Sáng kiến kinh nghiệm – ng d ng c a t s th tíchỨ ụ ủ ỉ ố ể
WWW.ToanCapBa.Net
LÝ DO CH N Đ TÀIỌ Ề
--------- *** ---------
Trong các đ thi tuy n sinh Đi h c – Cao đng nh ng năm g n đây, câuề ể ạ ọ ẳ ữ ầ
hình h c không gian luôn là câu khó đi v i đa s thí sinh, ph n l n các em đãọ ố ớ ố ầ ớ
quên các ki n th c hình h c không gian ch ng trình hình h c l p 11. Do đó,ế ứ ọ ở ươ ọ ớ
vi c h c hình h c không gian l p 12, đc bi t là v n đ tính th tích kh i đaệ ọ ọ ở ớ ặ ệ ấ ề ể ố
di n, h c sinh t ra r t lúng túng. Tr c tình hình đó cùng v i quá trình gi ngệ ọ ỏ ấ ướ ớ ả
d y và nghiên c u, tôi đã th gi i các bài toán tính th tích kh i đa di n b ngạ ứ ử ả ể ố ệ ằ
ph ng pháp t s th tích th y r t có hi u qu và cho đc l i gi i ng n g nươ ỉ ố ể ấ ấ ệ ả ượ ờ ả ắ ọ
r t nhi u; h n n a h c sinh ch c n nh ng ki n th c c b n v hình h c khôngấ ề ơ ữ ọ ỉ ầ ữ ế ứ ơ ả ề ọ
gian l p 11 là có th làm đcở ớ ể ượ
Tr c kì thi Đi h c – Cao đng đn g n, v i mong mu n có th cung c pướ ạ ọ ẳ ế ầ ớ ố ể ấ
cho các em h c sinh thêm m t ph ng pháp đ tính th tích c a các kh i đaọ ộ ươ ể ể ủ ố
di n, tôi nghiên c u và vi t đ tài: ệ ứ ế ề “ ng d ng c a t s th tích ”Ứ ụ ủ ỉ ố ể .
Xin chân thành c m n!ả ơ
Qu ng Ngãi tháng 10 năm 2010ả
Ng i th c hi n đ tàiườ ự ệ ề
Hu nh Đoàn Thu nỳ ầ
GV: Huúnh §oµn ThuÇnWWW.ToanCapBa.Net Trang 1
B
S
C
A
H
A'
B'
C'
Sáng kiến kinh nghiệm – ng d ng c a t s th tíchỨ ụ ủ ỉ ố ể
WWW.ToanCapBa.Net
N I DUNG Đ TÀIỘ Ề
--------- *** ---------
I/ C s lý thuy tơ ở ế :
Đ tính th tích c a m t kh i đa di n b t kì, chúng ta chia kh i đa di n đóể ể ủ ộ ố ệ ấ ố ệ
thành các kh i đa di n đn gi n đã bi t công th c tính ( Kh i lăng tr ố ệ ơ ả ế ứ ố ụ
.V B h=
,
Kh i chóp ố
1.
3
V B h=
, Kh i h p ch nh t ố ộ ữ ậ
V abc=
, …) r i c ng các k t qu l i.ồ ộ ế ả ạ
Tuy nhiên trong nhi u tr ng h p, vi c tính th tích c a các kh i lăng trề ườ ợ ệ ể ủ ố ụ
và kh i chóp theo công th c trên l i g p khó khăn do không xác đnh đcố ứ ạ ặ ị ượ
đng cao hay di n tích đáy, nh ng có th chuy n vi c tính th tích các kh iườ ệ ư ể ể ệ ể ố
này v vi c tính th tích c a các kh i đã bi t thông qua t s th tích c a haiề ệ ể ủ ố ế ỉ ố ể ủ
kh i.ố
Sau đây ta s xét m t s bài toán c b n và ví d minh hoẽ ộ ố ơ ả ụ ạ
Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25)
Cho kh i chóp S.ABC, trên các đo n th ng SA, SB, SC l n l t l y cácố ạ ẳ ầ ượ ấ
đi m A’, B’, C’ khác đi m S. CMR: ể ể
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
=
(1)
Gi iả:
G i H và H’ l n l t là hình chi u vuông góc ọ ầ ượ ế
c a A và A’ lên (SBC)ủ
Ta có AH//A’H’. Ba đi m S, H, H’ cùng thu cể ộ
hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng th ng hàng.ẳ
Xét
∆
SAH ta có
' ' 'SA A H
SA AH
=
(*)
Do đó
ﾷ
ﾷ
' '
. ' ' '
.
1' '. ' ' '. '.sin ' '
3.
1.. .sin
3
SB C
S A B C
S ABC SBC
A H S
V A H SB SC B SC
V AH
AH S SB SC BSC
∆
∆
= =
(**)
T (*) và (**) ta đc đpcm □ừ ượ
Trong công th c (1), đc bi t hoá, cho B’ứ ặ ệ
B và C’
C ta đcượ
. ' ' '
.
'
S A B C
S ABC
V SA
V SA
=
(1’)
Ta l i có ạ
GV: Huúnh §oµn ThuÇnWWW.ToanCapBa.Net Trang 2
I
M
O
C
A
D
B
S
O '
I
D'
B'
O
C
S
B
D
A
Sáng kiến kinh nghiệm – ng d ng c a t s th tíchỨ ụ ủ ỉ ố ể
WWW.ToanCapBa.Net
. . ' '.
. . '.
'
(1') .
S ABC S A BC A ABC
S ABC S ABC A ABC
V V V
SA
V V V
SA
= +
= +�
'.
.
' '
1
A ABC
S ABC
V SA A A
V SA SA
= − =�
V y: ậ
'.
.
'
A ABC
S ABC
V A A
V SA
=
(2)
T ng quát hoá công th c (2) ta có bài toán sau đây:ổ ứ
Bài toán 2: Cho kh i chóp đnh S, đáy là 1 đa giác l i Aố ỉ ồ 1A2…An (
3)n
, trên
đo n th ng SAạ ẳ 1 l y đi m Aấ ể 1’ không trùng v i Aớ1. Khi đó ta có
1 1 2
1 2
'. ... 1 1
. ... 1
'
n
n
A A A A
S A A A
VA A
V SA
=
(2’)
Ch ng minh (2’) b ng ph ng pháp quy n p theo n; ta chia kh i chóp ứ ằ ươ ạ ố
S.A1A2…An thành các kh i chóp tam giác r i áp d ng công th c (2)ố ồ ụ ứ
II/ Các d ng toánạ:
D a vào hai bài toán c b n trên, ta s xét m t s bài toán tính t s th ự ơ ả ở ẽ ộ ố ỉ ố ể
tích c a các kh i đa di n và m t s ng d ng c a nóủ ố ệ ộ ố ứ ụ ủ
D NG1Ạ: TÍNH T S TH TÍCH C A CÁC KH I ĐA DI NỈ Ố Ể Ủ Ố Ệ
Ví d 1ụ:
Cho kh i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, g i M là trungố ọ
đi m c a CD và I là giao đi m c a AC và BM. Tính t s th tích c a hai kh iể ủ ể ủ ỉ ố ể ủ ố
chóp S.ICM và S.ABCD
Gi iả:
G i O là giao đi m c a AC và BD. Ta có Iọ ể ủ
là tr ng tâm c a tam giác BCD, do đóọ ủ
. . .
1 1 1 1 1 1
. . . .
3 3 2 3 2 2
ISCM B SCM D SBC S ABCD
V V V V= = =
V y ậ
.
1
12
ISCM
S ABCD
V
V=
Ví d 2ụ:
Cho kh i chóp S.ABCD có đáy ABCD làố
hình bình hành. G i B’, D’ l n l t là trung đi mọ ầ ượ ể
GV: Huúnh §oµn ThuÇnWWW.ToanCapBa.Net Trang 3
Sáng kiến kinh nghiệm – ng d ng c a t s th tíchỨ ụ ủ ỉ ố ể
WWW.ToanCapBa.Net
c a SB và SD. M t ph ng (AB’D’) c t SC t i C’. Tính t s th tích c a hai kh iủ ặ ẳ ắ ạ ỉ ố ể ủ ố
chóp đc chia b i mp(AB’D’)ượ ở
Gi iả:
G i O là giao đi m c a AC và BD và I là giao đi m c a SO và B’D’. Khi đóọ ể ủ ể ủ
AI c t SC t i C’ắ ạ
Ta có
. ' '
.
' ' 1 '
.2
S AB C
S ABC
V SB SC SC
V SB SC SC
= =
. ' '
.
' ' 1 '
.2
S AC D
S ACD
V SC SD SC
V SC SD SC
= =
Suy ra
. ' ' . ' ' . . .
1 ' 1 '
. ( ) . .
2 2
S AB C S AC D S ABC S ACD S ABCD
SC SC
V V V V V
SC SC
+ = + =
K OO’//AC’ ( ẻ
' )O SC
. Do tính ch t các đng th ng song song cách đuấ ươ ẳ ề
nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
Do đó
. ' ' ' ' .
1 1
. .
2 3
S A B C D S ABCD
V V=
Hay
. ' ' ' '
.
1
6
S A B C D
S ABCD
V
V=
* Bài t p tham kh oậ ả :
Bài1: Cho hình chóp tam giác đu S.ABC, đáy ABC là tam giác đu có tr cề ề ự
tâm H và c nh b ng a. G i I, J, K l n l t là trung đi m các c nh AB, BC, CAạ ằ ọ ầ ượ ể ạ
và M, N, P l n l t là trung đi m các đo n SI, SJ, SK. Tính t s th tích c a haiầ ượ ể ạ ỉ ố ể ủ
kh i chóp H.MNP và S.ABC. T đó tính th tích kh i chóp H.MNPố ừ ể ố
ĐS:
.
.
1
32
H MNP
S ABC
V
V=
Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M t m tộ ặ
ph ng (ẳ
α
) qua AB c t SC, SD l n l t t i M và N. Tính ắ ầ ượ ạ
SM
SC
đ m t ph ng (ể ặ ẳ
α
)
chia hình chóp thành hai ph n có th tích b ng nhau.ầ ể ằ
ĐS:
3 1
2
SM
SC
−
=
D NG2Ạ: NG D NG T S TH TÍCH Đ TÍNH TH TÍCHỨ Ụ Ỉ Ố Ể Ể Ể
Ví d 1ụ: (ĐH kh i B – 2008 )ố
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang,
ﾷ
ﾷ
0
90BAD ABC= =
,
, 2 , ( )AB BC a AD a SA ABCD= = = ⊥
và SA = 2a. G iọ
M, N l n l t là trung đi m c a SA và SD. Tínhầ ượ ể ủ
th tích kh i chóp S.BCNM theo aể ố
GV: Huúnh §oµn ThuÇnWWW.ToanCapBa.Net Trang 4
2a
a
2a
M
B
C
S
Sáng kiến kinh nghiệm – ng d ng c a t s th tíchỨ ụ ủ ỉ ố ể
WWW.ToanCapBa.Net
Gi iả:
Áp d ng công th c (1) ta cóụ ứ
.
.
.
.
1
2
1
.4
S BCM
S BCA
S CMN
S CAD
V SM
V SA
V SM SN
V SA SD
= =
= =
Suy ra
. . . . .
3 3 3
1 1
2 4
2
2.3 4.3 3
S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD
V V V V V
a a a
= + = +
= + =
Ghi chú:
1/ Vi c tính th tích kh i S.BCNM tr c ti p theo công th c ệ ể ố ự ế ứ
1.
3
V B h=
g pặ
nhi u khó khăn, nh ng n u dùng t s th tích, ta chuy n vi c tính th tích kh iề ư ế ỉ ố ể ể ệ ể ố
S.BCNM v tính VềSBCA và VSCAD d dàng h n r t nhi uễ ơ ấ ề
2/ Khi d y h c có th yêu c u h c sinh tính th tích kh i đa di n ABCDMNạ ọ ể ầ ọ ể ố ệ
Ví d 2ụ: (ĐH kh i A – 2007 )ố
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, m t bên SAD làạ ặ
tam giác đu và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M, N, P l n l tề ằ ặ ẳ ớ ọ ầ ượ
là trung đi m c a các c nh SB, BC, CD. Tính th tích kh i t di n CMNP theo aể ủ ạ ể ố ứ ệ
Gi iả:
Ta có
.
.
1
. ( )
4
1( )
2
CMNP
CMBD
CMBD M BCD
CSBD S BCD
VCN CP a
V CB CD
V V MB b
V V SB
= =
= = =
L y (a) x (b) v theo v ta đcấ ế ế ượ
.
.
1 1.
8 8
CMNP
CMNP S BCD
S BCD
VV V
V= =�
G i H là trung đi m c a AD ta có ọ ể ủ
SH AD
⊥
mà
( ) ( )SAD ABCD⊥
nên
( )SH ABCD⊥
.
Do đó
3
2
.
1 1 3 1 3
. . . .
3 3 2 2 12
S BCD BCD
a a
V SH S a
∆
= = =
V y: ậ
3
3
96
CMNP
a
V=
(đvtt)
Ví d 3ụ: (ĐH kh i D – 2006 )ố
GV: Huúnh §oµn ThuÇnWWW.ToanCapBa.Net Trang 5
P
M
H
N
C
S
D
B
A
2a
a
a
a
D
A
C
B
M
N