ở ầ 1. M đ u
ọ ề
ệ
ố ộ ề ấ
ọ ụ ư ậ ố
ọ ứ
ố ớ
ư ố t là t ư ọ duy hình h c y u, đ c bi
ề ệ ở ươ ch
ở ấ ề
ủ ế ấ
ả ề ẳ ọ ề ể ặ ấ ng trình gi
ợ ả ườ ệ
ể ể ề ấ ọ
ườ ủ ụ ứ
ế ư ự ầ ị
ư ẫ ẽ ể ữ ầ
ộ ậ ng v n d ng công th c m t cách máy móc ch a có s ự ế duy th c t ệ ượ ư ỏ
ụ ấ ộ
ả ắ ụ ữ ầ
ọ ữ ạ ế ọ
ỹ Ứ Ệ ề
Ụ ằ ỹ
ụ ữ ầ ọ
ủ ậ ể ẳ
ế ể
và s liên h n i t
ẽ ả ấ ọ
ọ ố ấ ủ ụ t v n đ ng d ng c a tích phân.
ứ ụ ọ
ớ ồ 1.1. Lý do ch n đ tài. ấ ứ ư ủ ề giác, ngũ V n đ tính di n tích c a các hình quen thu c nh tam giác, t ọ ụ ệ ứ ọ ế t công th c tính di n giác, l c giác,… g i chung là đa giác h c sinh đ u đã bi ướ ớ ừ ư ự ươ ề ể ng t các l p d nh v y v n đ th tích các kh i nh tích t i. Cũng t ươ ậ ữ ố ộ ố ố ậ ng, kh i lăng tr , kh i chóp, ….g i chung (kh i h p ch nh t, kh i l p ph ể ề ố ọ ộ ượ ệ c h c công th c tính th tích. Đây là m t là kh i đa di n) h c sinh đ u đ ể ọ ố ề ấ ọ ả ơ ự ế ấ t nó v n không đ n gi n đ i v i các h c nh ng đ h c t v n đ r t th c t ừ ượ ụ ể ặ ế ư ng duy c th hoá, tr u t sinh có t ệ ạ ớ ướ ố ặ ọ i v n đã g p ng trình toán l p d hoá.Vi c d y và h c các v n đ này ự ự ế ố ề ấ “tr c quan và th c r t nh u khó khăn b i nhi u nguyên nhân, trong đó y u t ề ớ ề ấ ọ ế t ” trong các sách giáo khoa đang còn thi u. Do đó khi h c v v n đ m i: ề ệ ể ậ ủ ấ v n đ di n tích c a các hình ph ng, v n đ th tích c a các v t th tròn ế ầ ươ ở xoay i tích 12 h c sinh g p r t nhi u khó khăn. H u h t ch ẳ ọ ng có c m giác “s ” bài toán tính di n tích hình ph ng các em h c sinh th ậ ư cũng nh bài toán tính th tích c a v t th tròn xoay. Khi h c v n đ này ự nhìn chung các em th ặ và tr c quan nên các em hay b nh m l n, ho c phân tích, thi u t ả ặ ả ượ c, đ c bi không gi t là nh ng bài toán c n ph i có hình v đ “chia i đ ớ ệ nh ” di n tích m i tính đ c. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng nh các ế ể ọ t đ giúp h c sinh sách tham kh o có r t ít ví d minh h a m t cách chi ti ơ ọ ọ ậ h c t p và kh c ph c “nh ng sai l m đó”. Càng khó khăn h n cho nh ng h c ế ồ ị ỹ năng “đ c đ th ” còn h n ch . sinh có k năng tính tích phân còn y u và k Ể Ả Đ tài “ NG D NG TÍCH PHÂN Đ GI I BÀI TOÁN DI N TÍCH VÀ ỹ ọ Ể ” nh m giúp cho h c sinh 12 rèn k năng tính tích phân, rèn k TH TÍCH ồ ị ủ ắ ố ừ đó kh c ph c nh ng khó khăn, sai l m khi năng đ c đ th c a hàm s , t ể ư ệ ặ g p bài toán tính di n tích hình ph ng cũng nh tính th tích c a v t th tròn ứ ề ệ ọ ố ừ t ki n th c v di n tích và th tích mà xoay. T đó giúp h c sinh phát huy t ệ ộ ạ ủ ấ ượ ọ ự ự ế ọ ở ớ ướ i, th y đ l p d i c a c tính th c t h c sinh đã h c ế ứ ọ ớ ươ ề ấ v n đ này trong ch t ng các l p h c, h c sinh s c m th y h ng thú, thi ề ứ ự th c và h c t ứ ụ 1.2. M c đích nghiên c u. ọ ố ơ t h n bài toán ng d ng tích phân. Giúp h c sinh h c t ệ ả Tài li u tham kh o cho h c sinh l p 12 và đ ng nghi p.
ệ ố ượ ọ ứ
ng nghiên c u. ọ ườ ng THPT Th Xuân 5.
ụ ệ ể ể ẳ ậ
1.3. Đ i t ọ H c sinh tr Ứ ng d ng tích phân trong tính di n tích hình ph ng, th tích v t th tròn xoay.
1
ươ ứ 1.4. Ph ng pháp nghiên c u.
ọ ọ ụ ứ
ệ ể ổ ớ ồ ầ ả
ự ườ ả ạ ọ ng THPT Th Xuân 5.
ữ Tìm hi u nh ng khó khăn khi h c sinh h c bài toán ng d ng tích phân. ệ Trao đ i v i đ ng nghi p. ể ẽ ề Tìm tài li u, ph n m m đ v hình nh tr c quan. ớ Áp d ng gi ng d y các l p 12A1, 12A4 tr ớ ụ ữ ế ệ ể
ượ ẽ ừ ầ ự
c v t ự ế Ố
ụ ọ 1.5. Nh ng đi m m i trong sáng ki n kinh nghi m. ề ả ph n m m [10]. Dùng hình nh tr c quan đ ử ề Áp d ng trong các bài toán th c t trong các đ thi th THPT QU C GIA năm h c 20162017 [10].
ộ ế ệ 2. N i dung sáng ki n kinh nghi m
ệ ế
ố ớ ấ ạ ụ ậ ủ ươ ng pháp d y h c v i m c đích phát huy t
ọ ư ườ ọ
ổ ộ ả ả ớ ạ
ạ ng pháp hoàn toàn m i l ệ
ọ ọ ơ ở ằ ươ ề t nh t tính tích ậ ứ ằ i h c. Nh ng không ph i thay đ i ngay l p t c b ng ụ mà ph i là m t quá trình áp d ng ự ủ tích c c c a ng pháp
ổ ủ ộ ế Ứ
ứ ơ ả ở ọ ch ọ ề ả ớ
ọ ủ ể ể ề
ụ ể ọ ậ
ạ ử ủ ề ơ ở 2.1. C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m. ớ ổ Đ i m i ph ạ ủ ự c c, sáng t o c a ng ươ ữ nh ng ph ạ ươ ế ố ph ng pháp d y h c hi n đ i trên c s phát huy các y u t ạ ươ ố ứ ph ng pháp d y h c truy n th ng nh m thay đ i cách th c, ph ọ ậ ủ ọ ể ừ ụ ộ th đ ng sang ch đ ng. h c t p c a h c sinh chuy n t ươ ữ ộ ủ ụ ng d ng c a tích phân là m t trong nh ng ki n th c c b n ng ọ ấ ệ ạ trình toán gi i tích l p 12. Vi c d y và h c v n đ này h c sinh giúp h c sinh Ứ ể hi u rõ ý nghĩa hình h c c a tích phân. ng d ng tích phân trong các bài toán ứ ự ế ề ệ th c t v di n tích và th tích tròn xoay. Đ h c sinh hi u v bài toán ng ụ d ng tích phân Tôi đã phân d ng và các bài t p minh h a, sau đó là bài toán ườ ự ế th c t ọ ọ ng trong năm h c 20162017. trong các đ thi th c a các tr
ấ ệ c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.
ụ ế ữ
ả ế ề ụ ộ ệ ạ
ệ ự ủ ề ứ ng trình toán gi ể
ố ở ẳ ớ ạ
ọ ủ ồ ị ẳ ụ ặ
ộ ườ ề ề ặ ọ
ể ả ọ ườ ề ấ ạ ỏ ặ ng g p i)th
ầ
ườ ẽ ọ ng không hình dung đ
ượ ơ ế ẳ ể ạ
ệ ẳ ọ
ả c đây (di n tích đa giác, th ư ượ ể c ki u “t
2
ậ ề ệ ố ố ệ ủ ớ ề ướ ạ 2.2. Th c tr ng v n đ tr ủ ơ ả ở ứ Ch đ ng d ng c a tích phân là m t trong nh ng ki n th c c b n ọ ọ ấ ớ ươ i tích l p 12. Vi c d y và h c v n đ này h c sinh giúp ch ủ ặ ệ ọ t là tính di n tích c a h c sinh hi u rõ ý nghĩa hình h c c a tích phân, đ c bi ủ ậ ể ể i h n b i các đ th hàm s , tính th tích c a v t th tròn xoay hình ph ng gi ụ ở ạ t o b i khi quay m t hình ph ng quanh tr c hoành ho c tr c tung. Đây cũng ộ ộ là m t n i dung th ng g p trong các đ thi h c kì II, đ thi THPT QG. Nhìn chung khi ố ọ ọ h c v n đ này, đ i đa s h c sinh(k c h c sinh khá gi nh ngữ khó khăn, sai l m sau: c hình N u không có hình v thì h c sinh th ớ ọ ph ng(hay v t th tròn xoay). Do dó h c sinh có c m giác “xa l ” h n so v i ể ướ ọ ủ khi h c v di n tích c a hình ph ng đã h c tr ệ ậ ụ ọ tích các kh i đa di n). H c sinh không v n d ng đ duy liên h cũ ề ứ ấ ớ v i m i” v n có c a mình khi nghiên c u v n đ này.
ẽ ọ ở
ọ ể ừ ự ệ ư tr c quan đ n tr u t
ẳ duy t ấ ế ự ế ủ ậ ư ư các sách giáo khoa cũng nh sách bài t p còn ít “ ch a ừ ừ ượ ng. T đó ậ c a các hình ph ng, v t
ấ ự ầ ọ
ả ẹ ự ự ứ ấ ọ ề
ư ạ ọ ề ể i h c sinh có c m giác n ng n , khó hi u.
ườ ả ớ ặ ứ ệ ể ẳ ỉ ậ ng ch nh công th c tính di n tích hình ph ng (th tích v t
ạ ặ ộ
ọ ồ ị ể ỹ ộ ộ ộ ạ ỹ ể ỏ ỹ ấ ừ ể th tích. Đây là m t khó khăn r t
ả
ấ ừ ệ ặ ng g p ph i . ầ ứ ấ ườ ệ ị ệ ng b sai l m trong vi c tính tích phân có ch a d u giá tr tuy t
ể ả ả ử ụ Hình v minh h a ủ đ ” đ giúp h c sinh rèn luy n t ọ ư h c sinh ch a th y s g n gũi và th y tính th c t ể th tròn xoay đang h c ọ H c sinh ch a th c s h ng thú và có c m giác nh nhàng khi h c v n đ này, trái l ọ H c sinh th tròn ệ xoay) m t cách máy móc , khó phát huy tính linh ho t sáng t o, đ c bi t là k ẳ ứ ể năng đ c đ th đ xét d u các bi u th c, k năng “ chia nh ” hình ph ng đ tính, k năng c ng, tr di n tích; c ng, tr ườ ọ ớ l n mà h c sinh th ị ọ H c sinh th đ iố 2.3. Gi
b
= i pháp đã s d ng đ gi f x ( ) ả ử ụ = y y ở ồ ị ủ ề ế ấ i quy t v n đ . ạ [ ố liên t c trên đo n Gi s hàm s f x ( ) ụ ố ớ ạ i h n b i đ th c a hàm s ạ D ng 1: cong gi ;a b . Khi đó hình thang ẳ ng th ng
] ườ , tr c hoành và hai đ ) ( f x dx
a
= S x a x b , ứ ượ [1]. = có di n tích là ệ S và đ c tính theo công th c: = (cid:0)
3
ủ ệ ẳ ớ ạ ủ ố
ở ồ ị = - + 2 = - i h n b i đ th (C ) c a hàm s = x x 1, 2 Bài 1.1: Tính di n tích c a hình ph ng gi ườ ụ x y x , tr c hoành Ox và các đ 2 ẳ ng th ng .
y
(cid:0)
f x(cid:0)
(cid:0) = x3-x2
(cid:0) +2
6
4
x
3
A -1
-2
O 1
B 2
3
]
2
3
3
+ 2 " x x- ả ừ ủ ệ Gi ẽ i: T hình v ta suy ra .Di n tích S c a hình
� x
1
1 ẳ
+ 2 = - - 1;2 ) S x = dx + 2 x = dx 2 2 ẳ ph ng trên là (đvdt) Hình 1 [ -� � 2 0, 2 ( � x 85 12 - -
)
( f x
3
ủ ớ ạ ở ồ ị i h n b i đ th hàm s ố Bài 1.2. Tính di n tích c a hình ph ng gi - - = - = = x = x 1, 0 y ụ ườ , tr c hoành và các đ ẳ ng th ng . - x x ệ 2 1
y
-x-2
f x(cid:0)
(cid:0) =
x-1
x
-2
-1
A
B O 1
2
3
-4
]
0
0
- - " ả ừ ẽ ủ ệ ẳ Hình 2 [ -� � 0, 1;0 Gi i: T hình v suy ra . Di n tích S c a hình ph ng trên - x x
1
- - 2 1 3 = = - - - dx S 3ln 2 1 (đvdt) là - 2 1 1 - - � � 1 � -� x � = dx � �
1 , x2 , …, xk
x � x ế ươ ệ ệ ng trình f(x) = 0 có k nghi m phân bi t x
1 Chú ý: N u ph thu c ộ ỗ (a ; b) thì trên m i kho ng (a ; x
1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) bi u th c f(x) có d u
b
ả ứ ể ấ
S
dx
xf )(
a
x
b
b
x 1
2
(cid:0) (cid:0) ể ư ể ta có th tính nh sau: không đ i. ổ Khi đó đ tính tích phân
S
dx
dx
xf )(
xf )(
dxxf )(
...
dxxf )(
a
a
x
k
x 1
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) [1].
= - ồ ị ủ có đ th (C ). Tính di n tích c a hình + 23 x 2
x y ở ồ ị ẳ ụ ệ ườ Bài 1.3. Cho hàm s ố ớ ạ ph ng gi ụ i h n b i đ th (C ), tr c hoành , tr c tung và đ ẳ ng th ng 2x = .
y
4
(cid:0)
f x(cid:0)
(cid:0) = x3-3(cid:0) x2
(cid:0) +2
x
A
-2
-1
O 1
2 B
3
(C)
3
[
23 x
] 0;1
]
4
+ (cid:0) - " (cid:0) x ả Hình 3 2 0, và Gi 3 - " (cid:0) ồ ị [ x ự i: D a vào đ th ta có: + (cid:0) 23 x 2 0, 1;2 .
2
1
2
3
3
2
3
+ 2 = + - - - -
)
)
� x
S x = dx dx x dx 3 2 + 2 x 3 2 3 = 2 Do đó (đvdt)
( � x
( � x
0
0
1
5 2
ạ ồ ị ủ ườ ẳ ng th ng
ng y = f(x), y = g(x) và
b
ố
Cho hai đ th c a hai hàm s y = f(x), y = g(x) và hai đ
ớ ạ
i h n b i b n đ
ệ ở ố ườ
ượ ườ ứ ẳ D ng 2:
x = a , x =b (a S dx xf
)( xg
)( a (cid:0) (cid:0) (cid:0) [1]. 3 3 ủ ệ ẳ ớ ạ ở ồ ị ủ ố
i h n b i đ th c a hai hàm s : x x x x 4 2
x 3 4 3 2
x
2 2 3 2 3 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 2.1. Tính di n tích c a hình ph ng gi
y
y ườ ẳ , và hai đ ng th ng x = 0, x = 2 . S x x x x x dx x x dx 3 (3 4 )4 2( )(1 )1 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi i: ả 2 2 2 3 3 x x x x x x 2 4 3 3 0 x 2;0 2 01 2 x x x 1
2
1 2;0 2( )(1 )1 0 x
2 x 01 x 1 2;0 1 2 ủ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ộ
x ủ
2
x ể
3
x ươ
x Hoành đ giao đi m c a hai đ th trên là nghi m c a ph
x
4
2( ồ ị
x
2 ệ
01 ng trình :
)1
2(
)1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 S x x dx x x dx 2( )(1 )1 2( )(1 )1 7 7
6 35
6 0 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvdt) 2 3x + 2 ẳ ớ ạ ồ ị ố i h n đ th hàm s y = x ườ ẳ Bài 2.2. Tính di n tích c a hình ph ng gi
và đ ủ
ệ
ng th ng y = x – 1 . Hình 4 2 3x + 2 và đ ủ ồ ị ộ ố ườ ể
ng trình hoành đ giao đi m c a đ th hàm s y = x ng 5 i:ả
Gi
ươ
Ph
th ng ẳ x 1 2 2 x x x x x 3 2 1 4 3 0 x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y = x – 1 là: (cid:0) (cid:0) 3 3 2 2 ủ ệ ẳ Suy ra di n tích c a hình ph ng trên là : S x x x dx x x dx 3 (2 )1 4 3 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 – 3x + 2 ≤ x – 1 (cid:0) ự x (cid:0) [1 ; 3 ] . 3 3 3 2 2 dx S x x x )3 4 ( ( 2 x
)3 1 4
3 4
3 1 2 (cid:0) x (cid:0) [1 ; 3] (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvdt) ồ ị
D a vào đ th ta có x
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 (cid:0)
x
3 y x 3 4 x
4 (cid:0) ẳ ượ ớ ạ c gi ở ồ ị
i h n b i đ th (C ): và đ ngườ Bài 2.3. Hình ph ng sau đ ủ ẳ ẳ ệ
th ng y = x . Hãy tính di n tích c a hình ph ng đó . x 0 0 0 2 2 x x x x )14 3 4 3 ( 4 2 2 x
x 2 1
4 x x 3 4 16 4 ồ ị ộ ả ươ i : Ph (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Hình 5
ủ
ể
ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ th đã cho là :
x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi
x
4
Di n tích c a hình ph ng đã cho là : 0 2 0 2 2 2 2 2 ủ ệ ẳ S x dx x dx x x dx x x dx 3 4 3 4 3 4 3 4 . x
4 x
4 1
4 1
4 2 0 2 0 2 0 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) x x dx 3 4 x dx x 3 4 B (cid:0) A (cid:0) 0 2 0 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t ặ , (cid:0) 23
x = + = + A x x dx 3 4 Tính: Đ t ặ (cid:0) =�
du u xdx 4 6 - 2
x
x 6 =
0
= - Khi
Khi =�
u
=�
u
2 4
16 16 16 3
2 16 16 3 3 1
2 A u u du u ( 16 3
)4 4 4 1
6 1
6 1
9 1
9 56
9 4 4 u
1
36
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvdt) 56 56 (cid:0)S (cid:0)B 1
4 56
9 1
4 56
9 4.9 112
4.9 28
9 56
9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t ta có: . Suy ra (đvdt) ướ ư ộ ổ
c gi ng nh hình v k bên, bi ộ ậ ả ư ậ ề ể ắ ắ
ố
Bài 2.4. Ông An mu n làm m t c ng s t có hình
ế
ạ
ẽ ế
ố
d ng và kích th
t
21m c ngổ
ườ
đ
ng cong phía trên là m t parabol. Giá
ả
ồ
ắ
s t có giá là 700.000 đ ng. V y ông An ph i tr
ổ
bao nhiêu ti n đ làm c ng s t nh v y. (làm tròn
ế
đ n hàng nghìn) A. 6.423.000 đ ng.ồ B. 6.320.000 đ ng.ồ ồ C. 6.523.000 đ ng.ồ D. 6.417.000 đ ng [3]
. Gi ọ
i: ả Ch n D. ( ổ ọ ộ ư ệ ặ ệ 2,5 2 = +
2 ở
i h n b i parabol
ượ ừ ọ ộ ệ
ộ ươ c ph = - � m S x 5.1,5 )
P y
: )P là:( 5 15
=
= +
3
2 2
25 55
6 �
�
� 22
+
x
25 1
2 2,5 - ổ
)P và
ủ
ng trình c a
)
( (cid:0) Hình 7
ắ
ẳ
Ta có mô hình c ng s t trong m t ph ng t a đ nh hình trên. Di n tích c ng
ầ
ữ ậ
ồ
g m di n tích hình ch nh t và di n tích ph n gi
(
ể
ụ
tr c hoành. T t a đ 3 đi m thu c parabol
parabol ( - ớ ạ
)P ta tìm đ
1
�
+
dx
�
2
� =
.700000 6417000. ậ ầ
V y c n: (đ ng)ồ ạ ằ ầ ế ế ử
ể ồ ủ i thi ớ ử ng kính b ng
ộ
ủ
ằ ầ ộ 55
6
ộ
ườ
ỉ
ườ ầ ậ ả Bi
ả ả
ể ồ
4m
ỏ ể ồ ỏ
ậ ư ướ
ỏ ầ ậ ả ẽ
ề ể ồ ầ ấ ỏ 7 ườ
4 5 (m).
Bài 2.5. M t khuôn viên d ng n a hình tròn có đ
ạ
t k hai ph n đ tr ng hoa có d ng c a m t cánh hoa hình
Trên đó ng
ằ
ầ
parabol có đ nh trùng v i tâm n a hình tròn và hai đ u mút c a cánh hoa n m
4m
4 (m), ph nầ
ử
ng tròn (ph n tô màu), cách nhau m t kho ng b ng
trên n a đ
tế
ạ ủ
i c a khuôn viên (ph n không tô màu) dành đ tr ng c Nh t B n.
còn l
4m
100.000
các kích th
đ ng/mồ
ố
ề ượ
ti n đ c cho nh hình v và kinh phí đ tr ng c Nh t B n là
2. H i c n bao nhiêu ti n đ tr ng c Nh t B n trên ph n đ t đó? (S
ế
c làm tròn đ n hàng nghìn) ồ ồ A. 3.895.000 (đ ng). B. 1.948.000 (đ ng). ồ ồ C. 2.388.000 (đ ng). D.1.194.000 (đ ng) [4]. Gi i: ả Ch n Bọ ặ ệ ụ ọ ư ẽ ộ ươ
ng 2 2 2 2 = = Đ t h tr c t a đ nh hình v . Khi đó ph
trình
ử ườ
n a đ ) 2 x y R 2 5 20 - - - ng tròn là:
( . 2 ax= y ng trình parabol = ươ
Ph
d ng ạ ( a 4 1 )P và 2 2 = - ặ
. M t khác
) 2
2 ệ ầ ẳ do đó: ở (
i h n b i =
x
x
)P có đ nh là g c
(
ố O s cóẽ
ỉ
)2;4M
(
)P qua đi m ể
(
Hình 8
=�
ớ ạ
ủ
. Ph n di n tích c a hình ph ng gi
a
)
2 @ - - 2
x dx x m 20 11,9 4 S
1 2 = ầ (cid:0) ử ườ
n a đ ng tròn. (ph n tô màu) Ta có: . - S S S 19, 47592654 trongco hinhtron 1 1
2 - (cid:0) ệ ầ ậ ồ ỏ V y ph n di n tích tr ng c là S 100000 1.948.000 trongxo (cid:0) (cid:0) ậ ố ề ầ V y s ti n c n có là (đ ng)ồ ơ ậ
em hình ch nh t có chi u dài ườ ườ i ta làm m t con đ ề
ng n m trong sân (nh hình v ). Bi ườ ng là hai đ ề ộ 100 và chi uề
ư
ế
ẽ
t
ủ
ng elip, Elip c a
ạ
ớ
t song song v i các c nh hình
2m . Kinh phí cho m i ỗ
2m làm
ượ
c làm
ng đó. (S ti n đ ố ề ườ ữ
ằ
ườ
ề
ầ ượ
ụ ớ
ng vi n ngoài có tr c l n và tr c bé l n l
ủ
ậ
ng là
ổ
600.000 đ ng. Tính t ng s ti n làm con đ 100m 2m 60m ng
ế ộ
ẻ
Bài 2.6. M t sân ch i cho tr
ộ
ộ
r ng là
60m ng
ề
ằ
ủ
r ng vi n ngoài và vi n trong c a con đ
ụ
ườ
đ
ề
ặ ườ
ữ
ch nh t và chi u r ng c a m t đ
ố ề
ồ
ườ
đ
tròn đ n hàng nghìn). Hình 9 8 A. 293904000. B. 283904000. C. 293804000. D. 283604000. [5] ̣ i: ả Chon A. 2 2 + ( ) ủ Gi
Xé t h tr c t a đ ệ ụ ọ ộ Oxy đ t g c t a đ ặ ố ọ ộ O vào tâm c a hình Elip. : = .
1 E
1 2 2 x
50 y
30 ươ ủ ề ườ Ph ng vi n ngoài c a con đ ng là 1E n m phía trên tr c hoành có ph 2 = ủ ườ
) ầ ằ ụ ươ ng trình: ) ( x y 30 1 f
1 =
2 - ươ ủ ườ ủ ề . Ph ng trình Elip c a đ ng vi n trong c a con đ ườ
ng 2 ) + ) : 1 2E n m phía trên tr c hoành có ph E
2 2 2 x
48 y
28 2 = ng trình Elip c a đ
ồ ị ủ (
Ph n đ th c a
x
50
2 ầ ụ ằ là ( ồ ị ủ (
= . Ph n đ th c a ươ
ng ( ) y 28 1 2 =
2 x
48 ) - . trình: = ) y ệ ằ = ( ở ụ ệ y f 2 f
x
ủ (
G i ọ 1S là di n tích c a
ệ
ầ
ớ
ẳ
ầ
1E và b ng hai l n di n tích ph n hình ph ng gi
i
ủ (
(
)
ố
ạ
. G i ọ 2S là di n tích c a
ệ
ồ ị
2E và
f
x
h n b i tr c hoành và đ th hàm s
1
ầ
ồ ị
ớ ạ
ẳ
ằ
b ng hai l n di n tích ph n hình ph ng gi
i h n b i tr c hoành và đ th hàm
ệ
. G i ọ S là di n tích con đ
s ố 50 48 2 2 = ở ụ
ầ
)
x ườ ng. S S x
d 2 28 1 x
d 2 1 S
1 =
2 2 2 �
30 � x
50 x
48 50 48 a 2 + = - - - - Khi đó . - - ( ) ﾡ I b a b 2 1 x
d , , 2 x
a a p = - (cid:0) (cid:0) Tính tích phân . - x a t a t
sin , =
x
d t t
cos d 2 p
���
2 �
�
� �
�
� p p = - � x a = -
t =
�
t a =
x
; - Đ t ặ . 2 2 p p p 2 2 2 2 = = = = + = ) I t ab t t 2 sin t a
. t
cos d 2 2
t
s d +
1 co t
s 2 d ab p
ab �
t
� -�
b
1 �
co (
� p
�
2
�
p ổ ậ
Đ i c n . p a
b
p p t
sin 2
2 2 2 2 2 = (cid:0) (cid:0) - - - - p
50.30 p
156 = - - . S
600000. p
600000.156 294053000 =
p
48.28
ườ (cid:0) ng đó là ) (
f x = y , tr cụ ượ ớ ạ
= trong đó(
ộ ậ ố
ở ồ ị
i h n b i đ th hàm s
)
a b<
. Quay hình ph ng ẳ
ậ ủ ể ể c m t v t th tròn xoay. Th tích c a v t th ể b 2 ) .
=
S
S
S
Do đó
2
1
V y ậ t ng s ti n làm con đ
ố ề
ổ
ồ
(đ ng).
)H là hình ph ng gi
ả ử (
ẳ
Dang 3. Gi
s
=
x a x b
,
ẳ
ườ
hoành và hai đ
ng th ng
)H quanh tr c hoành ta đ
(
ụ
này (
p= � �� �
f x a 9 V dx ượ ứ đ c tính theo công th c: [1] (cid:0) ể ẳ ạ ớ
i 2 2 = = ụ ở y x ở
Bài 3.1. Tính th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
= quanh tr c hoành
ạ
Ox .
h n b i ủ ậ
=
x
0, 0, 2 = p =
p = 4
�
x dx 0 0
ủ ậ V dx Gi i: ả (đvtt) ể
2,
x y
(
�
x p
32
5 ẳ ạ ể
ở ố ườ ể
ở
ụ
ng sau quanh tr c hoành Ox: y = x ớ
i
2 – 2x , y = 0 , x = 0 , x = 1 1 5 3 1 2 2 4 3 2 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 3.2. Tính th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
ạ
h n b i b n đ
1. V x dx x x x dx x ( x
)2 ( 4 4 ) ( 4 ) 0 x
5 x
3 (cid:0)
8
15 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) ủ ậ ẳ ạ ể
ở ố ườ ể
ở
ụ
ng sau quanh tr c hoành Ox. y = x ớ
i
3 – 3x , y = 0 , x = 0 , x = 1 1 7 5 3 1 3 2 6 4 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 3.3. Tính th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
ạ
h n b i b n đ
1. V x dx x x x dx ( x
)3 ( 6 9 ) ( 6 9 ) 0 x
7 x
5 x
3 0 7 5 1 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( 3
x
)3 0 0
x
7 x
5 (cid:0)
68
35 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) 2 (cid:0) ủ ậ ẳ y x 2 (cid:0) ở
x ể
ườ ở ố ạ
ể
ụ
ng sau quanh tr c hoành Ox. ớ
i
, y = 0 , x = 0 , x = 1 1 5 3 2 1 2 4 3 2 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 3.4. Tính th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
ạ
h n b i b n đ
1. V x x dx x x x dx x 2 ( 4 4 ) ( 4 ) 0 x
5 x
3 38
15 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi iả : (đvtt) 2 (cid:0) ủ ậ ẳ ở x y x 3 2 2 )
2
x dx )
x dx 0 (cid:0) ớ
i
, y = 0, x = 0, x = 1. Bài 3.5. Tính th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
ạ
h n b i b n đ
1 =
p = + + = p V x 3 3 (đvtt) iả : Gi ạ
ể
ụ
ng sau quanh tr c hoành Ox.
1
(
�
x ể
ở ố ườ
(
� ẳ ủ ậ ớ i e 2 0
ể
ạ
ụ
ng sau quanh tr c hoành Ox.
(
(
)
2
=�
p
x dx )
� (đvtt)
x dx
ln 1 1 y x p
16
11
ở
=
ln ể
ở ố ườ , y = 0, x = 1, x = e. Bài 3.6. Tính th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
ạ
h n b i b n đ
e = p V ln iả : Gi du dx ln2 x
. x u 1
x ln 2
dx dv v x e e e 2 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xdx uv x x dx e e xdx e ln vdu ln x2lnx
. ln ln e
1 1 1
x 1 1 1 e
ln21
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) I 10 (cid:0) Do đó
e 2(cid:0) e dx du 1
x I xdx ln u
dv x
ln
dx 1 v x e e e e (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) , Đ t ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) I x x dx e e e e ln x
ln( ) ln x
)(1ln ( 1)1 1 1 1 1 e e 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V x dx dxx (ln ) ln 1 1
ủ ậ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra = (cid:0) (e – 2) (đvtt) x y sin
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) dx dxx V x dx dxx ( ) 1( cos )2 (sin ) sin cos
2 2 0 0 0 (cid:0) (cid:0) 2(cid:0) (cid:0) 0
(cid:0) ẳ ở i (cid:0) Bài 3.7. Tính th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
, y = 0 , x = 0, x = (cid:0)
ạ
h n b i b n đ ớ
. ể
ạ
ụ
ng sau quanh tr c hoành Ox.
(cid:0) ể
ở ố ườ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) x )0sin 0 (cid:0)
( )000 ( x
)2sin (cid:0)
( (cid:0)
2sin 2 1
2 1
2 2 2 1
2
ớ ạ 2
ở ồ ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) 2 , tr cụ ố ẳ i h n b i đ th hàm s y = 4 –x ủ ể ở 0
ọ
Bài 3.8. G i (H )là hình ph ng gi
ườ
ng th ng y = x + 2 .
hoành và đ
ậ
Gi
gi 3 1 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x dx dx x x ( ( )2 x
)4 (cid:0)
9 )4 4 2 ( V
1 2 2 ở ố ụ ẳ
ạ
1 là th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng
ng y = x + 2 , y = 0, x = 2, x = 1 quanh tr c hoành Ox . ẳ
ể
ả
ọ
i: G i V
ườ
ớ ạ
i h n b i b n đ
1
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ẳ ạ ớ
i x
3
2
G i Vọ
ể
2 là th tích c a v t th trên tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
ở ố ườ
ạ
h n b i b n đ
2 2 4 (cid:0) (cid:0) ụ ở
ể
2 , y = 0, x = 1 và x = 2 quanh tr c hoành Ox. ủ ậ
ng y = 4 x
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x dx x x dx V 4( 22
) 16( 8 ) 2 (cid:0)
53
15 1 1 (cid:0) (cid:0) (đvtt) VV (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ậ ể ể ầ V
1 2 Th tích c a v t th tròn xoay c n tính là : (đvtt) Hình 10 ậ ) = ẳ
(
g y x ụ ể
ụ
ộ
V t th tròn xoay khi quanh m t hình ph ng quanh tr c tung . Gi
ố
ở ồ ị
ớ ạ
, tr c tung và hai đ
i h n b i đ th hàm s ả ử
s
ườ
ng 11 ạ
D ng 4.
)H là hình gi
(
th ngẳ ) )H quanh tr c tung ta đ
ụ n 2 ) = y m y , m n< ượ = trong đó (
n . Quay hình ( ậ
c v t (
p= � �� �
g y m V dy ể ượ ể ể ậ ứ th tròn xoay. Th tích v t th đ c tính theo công th c: (cid:0) x y ln (cid:0) ở ẳ ớ ạ ườ ụ i h n b i các các đ ng sau : ườ ể ủ ậ ể x
ể (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả , tr c tung
ở
ạ
ng th ng y = 0, y = 1 .Tính th c a v t th tròn xoay t o b i khi
ẳ
y ụ
ye ẳ ạ ở ở ồ x (cid:0) 1 ụ ẳ ị , tr c tung và hai đ [2]
Bài 4.1. Cho hình ph ng gi
ẳ
, và hai đ
quay hình ph ng trên quanh tr c tung .
x
ln
i : Ta có
Gi
ủ ậ
ể
ạ
Do đó th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng t o b i đ
ye
ườ
ố
th hàm s y y 2 2 2 0 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) e e V dy e e e ( ) ( )1 1
0 1
2 0 2 ng th ng y = 0, y = 1 là :
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) (cid:0) 4 2
y 4 (cid:0) (cid:0) ớ ạ ẳ i h n b i đ x
ể 2
, tr cụ
ở ườ
ng cong (C ) :
ạ
ể
Tính th tích c a v t th tròn xoay t o ườ ẳ ủ ậ 1
2
Bài 4.2. Cho hình ph ng (H) gi
tung, hai đ
ở
b i khi quay hình ph ng trên quanh tr c tung. ng th ng x = 2 , y = 2.
ụ ẳ Hình 11 2 2 2 2 2 ả Gi i: Ta có y y x y x xC
(
:) 4 4 4 4 4 , 0 y 1
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 là th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
ở ử ể ể ẳ ở ạ
ườ ậ
ụ ớ
i
ụ
ng y = 0 , y = 1 quanh tr c 1 1 (cid:0) (cid:0) 2 2 2 (cid:0) G i Vọ
ủ
ạ
h n b i n a elip (E ) , tr c tung và hai đ
tung . x dx x dx 4 ) 4( ) . ( V
1 11
3 (cid:0)
11
12 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) (cid:0) (cid:0) ủ ậ ạ ẳ 1
2
ể
ườ 4
4
ở
ể
ườ
ng th ng y = 2, tr c tung và hai đ ụ ẳ ớ
i
ng y = 0, y = 1 quanh 12 G i Vọ
2 là th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi
ạ
ở
h n b i đ
ụ
tr c tung . 2 2 2 (cid:0) (cid:0) V dx 2 dx
4 (cid:0)
8 2 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
8 VVV
2
1 85
12 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ậ ể ầ ể Th tích c a v t th c n tính là : (đvtt) ạ ố ụ 2 + 0 ươ ử ủ
ể
ủ
ể
x
ng trình (P ): ụ
ố
ộ
ử ườ
ng tròn có
y > . (hình 12) Quay n a hình ệ ọ
r > và
0
ặ ầ ụ ằ ố ầ
D ng 5.Th tích c a kh i c u, kh i tr , kh i nón, kh i nón c t.
ố ầ
Bài 5.1. Th tích c a kh i c u: Trong h t a đ Oxy cho n a đ
=
2.
2
r
y
ph
ượ
tròn đó quanh tr c hoành ta đ r . (cid:0) (cid:0) V 3.
r 2 2 2 2 2 ặ ầ ủ ể (đvtt) [1] Th tích c a m t c u này là : v i ớ
ộ
c m t m t c u có bán hính b ng
4
3 = = - Gi r x x 0 vì r r 2 2 2 2 = p - - +
ậ ậ
ả
i : Th t v y
r
y
y > . Khi đó th tích kh i c u là
ể
:
)
=
2
x dx =
dx x r V p
2 �
y
ố ầ
(
�
r r 0 3 3 - p
4 . (đvtt) r
3 p �
3
r
2
�
� �-
r
=
�
3
� Hình 12
ớ ạ ể ủ ẳ ữ ậ )gi ố ụ
ụ ẳ ụ h h 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ậ ẳ
ề ằ Bài 5.2. Th tích c a kh i tr : Cho hình ph ng (
ườ
ườ
đ
ng th ng y = r( r > 0) ; tr c hoành và các đ
ượ
0). Quay hình ph ng trên quanh tr c hoành ta đ
ể
ể
đáy b ng r và chi u cao h . Th tích c a v t th tròn xoay ( ở
hình ch nh t
i h n b i
ẳ
ng th ng x = 0; x = h (h >
ố ụ
ộ
có bán kính
c m t kh i tr
kh i trố ụ )này là : V r dx (cid:0)
.( 2
xr
). 2
hr
.
. r
. 0. 2
hr
.
. 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) [1] . (cid:0) ể ẳ ố tam giác vuông ) Bài 5.3. Th tích kh i nón tròn xoay. Cho hình ph ng (H) ( y x (r 0) h , 0 r
h (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ạ ở ị ố ụ gi ồ
i h n b i đ th hàm s tr c hoành và hai đ ườ
ng ụ ẳ
ề ể ằ ằ h 2 2 3 3 (cid:0) (cid:0) h 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ẳ
ộ
ố ượ
c
th ng x = 0; x = h. (hình 13). Quay hình ph ng (H ) quanh tr c hoành ta đ
ủ
ố
m t kh i nón có bán kính đáy b ng r và chi u cao b ng h. Khi đó th tích c a
kh i nón đó là :
h V x dx x ) ( ( . ) 2 2 0 r
h x
3 2
hr
.
.
3 r
h r
h 2
hr
.
.
2
h
.3 0 0 13 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) [1] . (cid:0) (cid:0) Hình 13 ủ ể ố ụ
Bài 5.4. Th tích c a kh i nón c t Hình 14 y (cid:0) x r
a ớ ạ ố ụ Cho hình thang vuông gi ở ồ ị
i h n b i đ th hàm s , tr c hoành và hai ẳ ườ ượ ụ ụ ố ỏ ằ ể ằ b 2 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 3 3 2 2 (cid:0) ng th ng x = a; x = b (b > a > 0; R > r > 0 ). Hình 14. Quay hình thang
đ
ộ
ớ
c m t kh i nón c t có bán kính đáy l n
vuông trên quanh tr c hoành ta đ
ủ
ề
ằ
b ng R , bán kính đáy nh b ng r và chi u cao b ng h = b – a .Th tích c a
ụ ạ
ố
kh i nón c t t o thành là : V x dx 2
dxx a ab a ) ( ( . b
( ) .( bab
).( ) r
a r
.
2
a r
.
2
a 3
bx
)
a
3 r
.
2
a
3 r
.
2
a
3 a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y r R . 2 2 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vì khi x = a ta có y = r và khi x = b ta có V ab a )1 ( bh
.(
. ) ( )1 2 2 2 b
a
b
a R
r R
b
r
a
Rhr
.
.
3
r bhr
.
.
3
a r
.
a
3 (cid:0) 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Do đó R r ( rR
. ) h
.
3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) . 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvtt) V ( arbR
). 2
bR
.
3 2
ar
.
.
3 3 14 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Chú ý : ố ầ ườ ầ ớ ộ
ẳ
ộ ể ằ ả ự ể ế ằ
ắ ỏ
dm, ng
i ta c t b hai đ u b ng
ố ầ
ủ
ng kính c a kh i c u và cách tâm
ướ
c. Th tích cái dm đ làm m t chi c lu đ ng n 3 3 3 3 dm dm . dm . . dm ằ
Bài 5.5. M t kh i c u có bán kính b ng 5
ộ ườ
ặ
hai m t ph ng vùng vuông góc v i m t đ
ộ
ố ầ
kh i c u m t kho ng b ng 4
lu b ngằ p
500
3 p
2296
15 p
952
27 p
472
3 [6]
. A. B. C. D. ể ằ R 5 2 2 = p p ể ầ ỗ )
=
x dx V
1 (
�
25 d - - ộ
)
=
2
x dx i: ả Ch n D.
ọ
ầ ắ
ầ
(
�
R Gi
Hai ph n c t đi có th tích b ng nhau,
ỏ
m i ph n là m t ch m c u có th tích
p
14
3 4
ế p ể ậ ủ
V y th tích c a chi c lu là : 3
.5 2 =
V V
c =
V
2
1 4
3 14
=�
p
3 p
472
3 - - Hình 15 4 cm B ạ ể O ộ ậ
ư A
i đây . Ng ủ 6 cm V = V p=
12 12 ườ
i ta đo đ
ề
4cm và chi u cao là
ắ ở
ế
( ủ ể = p V V = ố
Bài 5.6. Có m t v t th là hình tròn xoay có d ng gi ng
ượ
ẽ ướ
ư ộ
nh m t cái ly nh hình v d
c
ệ
ủ
ườ
6cm .
ng kính c a mi ng ly là
đ
ẳ
ặ
ệ
ế
ế ằ
t di n c a chi c ly c t b i m t ph ng
t r ng thi
Bi
)3
ố ứ
ậ
ộ
V cm c a v t
đ i x ng là m t parabol. Tính th tích
ể
th đã cho.
A. B. . . I 72
5 72
5 ( C. . D. .[7] ( ) A B I 2;6 y . )P có ph )P đi qua
23
x=
2 2 2 = x y =�
x - i:ả Ch n Aọ
Gi
ố ọ
ộ O trùng v i đ nh
ọ
Ch n g c t a đ
)
(
2;6 , ớ ỉ
)0;0
( ươ . Hình 16
) .P Vì parabol (
ủ
I c a parabol
nên parabol ( các đi m ể và ng trình y . Khi đó th tích c a v t th đã cho là 2
3 6 3 = p = ( ) V cm p
12 . ủ ậ ể ể Ta có 2
3 3
2
� �
y dy
� �
� � 0 ( ) (cid:0) ố ụ ớ ỗ 10 cm .
ng kính ể ằ
ộ ẳ 15 ế
ớ
ố ỗ ể ớ ộ ậ
ằ
ạ
Bài 5.7. M t v t th b ng g có d ng kh i tr v i bán kính đáy b ng
ộ ườ
ặ
ố ụ ở
ắ
b i m t m t ph ng có giao tuy n v i đáy là m t đ
C t kh i tr
ạ
ủ
c a đáy và t o v i đáy góc ủ
o45 . Th tích c a kh i g bé là ( )3 ( )3 ( )3 ( )3
cm [8]. cm . B. cm . C. cm . D. 2000
3 1000
3 2000
7 2000
9 A. Gi ọ
i:ả Ch n A. 2 = ệ ụ ọ ộ ư ử x 10,10 - ắ , 10,10 100
ể y
x
i đi m có hoành đ
)
( ộ
[
-� ặ
ắ 2 = = ễ Hình 17
ẽ
ọ
Ch n h tr c t a đ nh hình v .Khi đó khúc g bé có đáy là n a hình tròn có
[
]
-�
ẳ
ươ
. M t m t m t ph ng c t vuông góc
ng trình:
ph
ớ ụ Ox t
ế
ạ
x
t
v i tr c
ệ
ệ
di n có di n tích là
tan 45o ) ( x MN PN
. 100 y= = 100 x 1
2 10 10 2 3 = = - ỗ
ộ
]
ỗ
, c t khúc g bé theo thi
ấ NP y= và
MN NP=
)2 - ộ x ,
S x (xem hình). D th y
(
S x . Suy ra . ) ) ( ) V x cm x
d 100 =
x
d (
� 1
2
(
�
S x 1
2 2000
3 10 10 - ể ỗ Khi đó th tích khúc g bé là : . - - ộ ườ ụ ạ ư ạ ộ SO
ợ ề ặ ớ )H có d ng hình “chóp l c giác cong
ề
3 m .
ủ
ạ
ẳ
( SO vuông góc v i m t ph ng đáy). Các c nh bên c a
ụ ố
1c , 2c , 3c , 4c , 5c , 6c n m trên các đ
ng parabol có tr c đ i S ườ ằ ớ ả (
d ngự m t cái l u v i
ề
Bài 5.8. Ng
i ta
)H là m t hình l c giác đ u c nh
ủ (
ụ
ẽ
ề
đ u” nh hình v bên. Đáy c a
m=
6
Chi u cao
)H là các s i dây
(
ớ SO . Gi
ứ
x ng song song v i
ẳ (
)H v i m t ph ng
có) c a ủ (
ặ )P qua trung ả ử
ế
ế
s giao tuy n (n u
)P vuông góc
( ể v i ớ SO là m t l c giác đ u và khi
ề
ộ ụ
ụ
ủ SO thì l c giác
đi m c a 1 m . Tính th tích ph n không 6c 5c 1m 1c ạ ề ể ầ 2c 3c 4c O 16 3m đ u có c nh
ề
ằ
gian n m bên trong cái l u
)H đó.
( 3m ). 3m ). B. 135 3
5 96 3
5 ( ( A. 3m ). 3m ) [9]. 135 3
4 135 3
8 ( ( C. D. i:ả ọ Hình 18 ( ( A )0; 6 A )0;6 ặ ệ ụ ọ ộ ư = ộ ầ ượ ể ọ Gi
Ch n D.
ầ
ẽ
Đ t h tr c t a đ nh hình v , ta có parabol c n tìm
)1;3B
(
,
đi qua 3 đi m có t a đ l n l , ( C )3; 0 y +
x 6 - ươ nên có ph ng trình là ẽ ạ t là
21
x
2
ế Theo hình v ta có c nh c a “ là ủ thi +
t
2 )1;3B
( ặ t OM= ế
BM . N u ta đ t thì (chú ý là ị BM
- ” tr
ệ = = ế ta ph i l y giá tr có d u “
ch y t ấ
ạ ừ C đ n ế A ). Khi đó, di n tích c a “ ả ấ t di n l c giác”
1
7
= -
2
4
ướ ấ
c d u căn và cho
ủ thi ) (
S t 6. +
t
2 ( C )3; 0 1
4 2 3
BM
4 2 - v iớ ” b ng ằ ụ
l c giác �
3 3 7
�
�
2
� [ t (cid:0) ]0;6 6 6 = = ủ ề ề ể ậ . V y th tích c a “túp l u” theo đ bài là: ) V +
t
2 (
� �
t
S t
d
2 135 3
8 1
4 0 0 �
3 3 7
�
�
2
� - ệ ụ ố ớ ạ ộ ệ ờ ạ ấ ằ ả ủ
ồ
ả ụ ệ
ườ
ng.
ừ
ệ ắ ầ ả ề ữ ể ả
ả ọ
ệ ư ể ở ậ ch ự ươ
ẩ ụ ừ
ả ọ
ế ạ ử
ể ướ ả ể ệ
ẫ ế ậ 2.4. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáo d c,
ớ ả
v i b n thân, đ ng nghi p và nhà tr
ệ
ậ
Qua quá trình gi ng d y trong th i gian v a qua tôi nh n th y r ng , tài li u “
Ứ
ể
i bài toán di n tích và th tích ” đã giúp tôi thu
ng d ng tích phân đ gi
ụ ượ
ế
ượ
c nhi u k t qu kh quan. H c sinh kh c ph c đ
c nh ng “sai l m” và
đ
ẳ
ặ
ủ
khó khăn khi g p bài toán tính di n tích c a hình ph ng cũng nh tính th tích
ệ
ậ ợ
ể
ủ
ả
i tích 12. Thu n l
ng trình gi
c a v t th tròn xoay
i cho vi c tăng
ạ
ệ
ứ
ạ
ườ
ng tính tr c quan, cũng đ y m nh ng d ng công ngh thông tin và d y
c
ề
ọ ố ấ
ọ
h c. T đó các em h c sinh rât thích thú và h c t
Trong quá
t v n đ này.
A1, 12A4 trong đó sử
ớ
ớ
trình gi ng d y, tôi ti n hành th nghi m v i hai l p: 12
ố ớ ớ
ạ
ụ
1. K t qu ki m tra
ng d n đ i v i l p 12A
d ng các d ng bài t p này đ h
ử ư
th nh sau:
ổ
L p ớ ố Đi m 8 tr lên T ng s i 5 ể
Đi m d
SL
0
5 ể
SL
15
3 TL
64,3%
81%
ả 42
42
ộ ụ ạ ờ 17 ố ượ ư ề ặ ỏ ở
ể
ở
Đi m 5 tr lên và < 8
TL
SL
35,7% 27
34
7,1%
ề
i, khá, trung bình đã có tăng lên m c dù ch a nhi u, s l 12A1
12A4
Sau m t th i gian áp d ng đ tài này trong gi ng d y tôi th y s l
gi ướ
TL
0%
11,9%
ấ ố ượ
ng
ế
ng y u, kém ố ớ ề ọ ệ ọ ậ ơ
ạ ả
ề ư ấ ộ ấ
ư
ẫ
v n còn. Nh ng đ i v i tôi, đi u quan tr ng h n c là đã giúp các em th y
ỗ
ớ
b t khó khă
n trong vi c h c t p b môn toán, t o ni m vui và h ng ph n m i
ướ
khi b c vào ti ế ọ
t h c ế ế ọ ầ ề ử ụ ứ ạ ứ
ạ
ứ ả ế i d y và ng ạ ế ạ
t d y, c ng
ớ
ứ ả ắ ế ứ ẽ ấ
ệ ả ẹ
ờ ạ ắ ẽ
ư ế ớ ẽ
ế ề ờ ị
ậ
3. K t lu n, ki n ngh .
ọ ộ
ạ
S d ng ph n m m trong d y và h c b môn toán t o h ng thú cho h c sinh
ể
ứ
ế
ệ
i các ch ng minh lý
trong quá trình tìm tòi, phát hi n ki n th c, ki m ch ng l
ệ
ị ố
ườ ọ
ườ ạ
i h c cùng b cu n hút vào vi c
thuy t. Trong ti
ủ
ủ ộ
ự
ế
khám phá ki n th c m i, nâng cao tính tích c c, ch đ ng và sáng t o c a
ơ
ộ
ượ
ọ
c trình bày sinh đ ng h n ph n tr ng b ng đen,
h c sinh. Các ki n th c đ
ộ
ộ
các hình v mang tính “đ ng”, rõ ràng, đ p, chính xác. Vi c hoàn thành m t
ố ấ
hình v trong GeoGebra [10] t n r t ít th i gian so v i v hình trên b ng đen
ữ
ụ
và nh th giúp chúng ta kh c ph c nh ng h n ch v th i gian, không gian,
ọ
chi phí ... trong quá trình d y và h c. ườ ế ộ ớ ệ
ầ
ọ Hi n nay các tr
ề
ộ ệ ầ ượ ọ ậ
ư ợ ộ ớ ủ Ứ ụ ự ể ọ
ọ
ế ế
ả Ủ ƯỞ Ủ Ậ Ị Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm ở ậ ự ế ợ
ể ố ơ ứ
ứ ụ ừ ụ t h n . T đó áp d ng các bài toán ng d ng th c t ườ ủ ủ
i khác, ướ c. ữ
ườ ạ
ệ ứ
ề
ng THPT đ u có các phòng trình chi u, vi c ng
ậ ợ
ế ợ
ụ
d ng ph n m m GeoGebra [10] k t h p v i máy vi tính là m t thu n l
i cho
ọ
ặ
ạ
ậ
ầ
t là ph n hình h c không gian và ph n v t
d y và h c b môn toán, đ c bi
ể
ạ
ự
ộ
ể
c quá trình t o
th tròn xoay m t cách tr c quan h c sinh có th nhìn đ
ề
ọ ậ
ạ ộ
ổ ứ
ệ ố
ể ạ
t cho giáo viên t
thành v t th , t o đi u ki n t
ch c các ho t đ ng h c t p
ệ ớ ộ
ể
ố
ơ ướ
ng đích, làm vi c v i n i dung m i, c ng c , ki m tra,
nh g i đ ng c , h
ủ
ạ ộ
ướ
ng tích c c hóa ho t đ ng c a h c sinh. ng d ng tích
đánh giá...theo h
ươ
ứ
ầ
ệ
ể
ng
phân đ n tính di n tích, th tích là ph n ki n th c tr ng tâm trong ch
ớ
ữ
trình l p 12. B i v y s k t h p gi a hình nh và ki n th c sách giáo khoa
ự ế
ọ
làm h c sinh hi u bài t
ố
ử
ề
trong các đ thi th THPT Qu c Gia.
Ơ
XÁC NH N C A TH TR
NG Đ N V
2017
Tôi xin cam đoan SKKN này c a Tôi
không sao chép c a ng
c a ủ
chính mình nh ng năm tr
Ng i vi ế
t 18 ọ Lê Ng c Hùngy
(C)
4
3
2
1
x
3
1
2
4
-3
-2
-1
O
-1
-2
d
-3
y
4
3
2
1
x
O
3
2
1
4
-3
-2
-1
-1
d
-2
(C)
-3
(
)
22
y
4
(cid:0)
9
3
(cid:0)
188
d
15
(cid:0)
53
15
(C)
2
1
x
2
-3 -2
O
1
3
-1
-1
-2
y
2
(E)
1
x
2
-2
O 1
(cid:0)
11
12
ố
y
(P)
4
2
x
-2
r
-r
O
2
3
1
-1
)
-1
(
�
y
(d)
r
x
O
h
1
y
(d)
R
r
x
a
b
O
1
7
2
ệ ụ
B
ệ
t di n
2
�
�
�
�
2
�
=
t
d
�
�
�
ế
