SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT CỦA
HỌC PHẦN “XÁC SUẤT THỐNG KÊ” NGÀNH KẾ TOÁN
Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
Lĩnh vực sáng kiến: Khoa học tự nhiên
Tác giả: BÙI NGỌC HÀ
Trình độ chuyên môn: ThS. Toán học
Chức vụ: Trưởng khoa
Nơi công tác: Khoa Bồi dưỡng CBQL&NV, Trường CĐSP Lạng Sơn
Điện thoại liên hệ: 0912.862.313
Địa chỉ thư điện tử: buingocha313@gmail.com
Lạng Sơn, tháng 4 năm 2023
2
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Lạng Sơn
Tôi ghi tên dưới đây:
Họ và tên
Số TT Chức danh
Ngày tháng năm sinh Nơi công tác Trình độ chuyên môn Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến
Thạc sĩ 100%
1 Bùi Ngọc Hà 13/3/1975 Trường CĐSP Lạng Sơn Giảng viên chính
Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn
- Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khoa học tự nhiên
- Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 10, Học kỳ
1, năm học 2022 - 2023:
- Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến “Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn” từ nghiên cứu lý thuyết cơ bản, thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu, các nguyên tắc, phương pháp, quy trình xây dựng, hệ thống bài tập.
- Những thông tin cần bảo mật: Không
- Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đảm bảo phục vụ, giảng viên nghiên cứu chương trình đào tạo, chuẩn bị tốt các nội dung liên quan, quan tâm, quản lý lớp học hiệu quả. Sinh viên chủ động, tích cực, sáng tạo trong học tập, phối hợp với giảng viên trong các giờ học.
- Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Sáng kiến được triển khai áp dụng như một tài liệu tham khảo trong dạy học bộ môn tại trường CĐSP Lạng Sơn đem lợi ích tiết kiệm thời gian, kinh phí cho giảng viên trong quá trình xây dựng, soạn giảng nội dung bài tập xác xuất. Nội dung các bài tập phù hợp chương trình đào tạo, vừa sức với sinh viên của nhà trường. Kết quả dạy học của bộ môn được nâng lên góp phần đưa chất lượng nguồn nhân lực của địa phương đáp ứng được những đòi hỏi ngày càng cao của xã hội.
3
Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn và Bản mô tả sáng kiến (kèm theo đơn) là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
Lạng Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2023 Người nộp đơn
Bùi Ngọc Hà
4
MỤC LỤC
TÓM TẮT SÁNG KIẾN ..................................................................................... 5
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT .................................................................... 5
I– MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 6
1. Lý do chọn sáng kiến .................................................................................... 6
2. Mục tiêu của sáng kiến .................................................................................. 6
3. Phạm vi của sáng kiến ................................................................................... 7
II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN .................................................. 7
1. Cơ sở lý luận ................................................................................................. 7
1.1. Các khái niệm ......................................................................................... 7
1.2. Các định lý và công thức tính xác suất .................................................. 9
2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................ 11
III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN ........................................................................ 11
1. Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến: .............................. 11
1.1. Một số nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập toán ............................. 11
1.2. Một số phương pháp xây dựng bài tập xác suất ................................... 13
1.3. Quy trình xây dựng hệ thống bài tập xác suất thống kê ....................... 14
1.4. Một số dạng bài tập xác suất ................................................................ 15
2. Đánh giá kết quả thu được .......................................................................... 26
2.1. Tính mới, tính sáng tạo ........................................................................ 26
2.2. Khả năng áp dụng và mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến .......... 26
III – KẾT LUẬN ............................................................................................... 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 28
PHỤ LỤC ........................................................................................................... 29
5
TÓM TẮT SÁNG KIẾN
Xác suất thống kê là học phần bắt buộc được bố trí giảng dạy vào học kỳ 1 của năm thứ nhất trong chương trình đào tạo ngành Kế toán tại trường CĐSP Lạng Sơn. Trong cuộc sống hàng ngày, xác suất thống kê là một công cụ quan trọng trong cơ sở sản xuất kinh doanh có ảnh hưởng không nhỏ bởi đó chính là việc xác định rủi ro trong buôn bán hàng hóa. Nó được sử dụng để hiểu hệ thống đo lường biến động, kiểm soát quá trình như trong kiểm soát quá trình thống kê hoặc thông qua hệ thống, cho dữ liệu tóm tắt, và đưa ra quyết định dựa trên dữ liệu.
Sáng kiến “Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn” từ nghiên cứu lý thuyết cơ bản, thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu, các nguyên tắc, phương pháp, quy trình xây dựng, hệ thống bài tập. Mục tiêu nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, biết khai thác các dạng bài toán xác suất thống kê giúp sinh viên củng cố, mở rộng kiến thức đáp ứng chuẩn đầu ra của ngành đào tạo.
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
XSTK: Xác suất Thống kê
CĐSP: Cao đẳng sư phạm
GV: Giảng viên
SV: Sinh viên
6
I– MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn sáng kiến
Lý thuyết XSTK gắn bó chặt chẽ, liên hệ mật thiết và là cơ sở nghiên cứu khoa học thống kê. Ra đời từ nửa cuối thế kỷ 17 ở nước Pháp, xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Nói một cách khác thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng ta không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên nếu tiến hành quan hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Vì thế nó đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành khoa học thực nghiệm, trong cuộc sống hàng ngày như Y khoa, Sinh học, Nông nghiệp, Kinh tế,… Cũng có thể vì lý do đó mặc dù môn học XSTK được dạy ở bậc phổ thông nhưng vẫn tiếp tục dạy cho hầu hết các ngành trong trường cao đẳng, đại học. Ngày nay trong thời đại công nghệ thông tin, với số lượng dữ liệu khổng lồ chưa từng có, kiến thức xác suất thống kê càng phát huy được tác dụng của nó.
Thống kê đóng vai trò là một công cụ quan trọng trong cơ sở sản xuất kinh doanh. Nó được sử dụng để hiểu hệ thống đo lường biến động, kiểm soát quá trình như trong kiểm soát quá trình thống kê hoặc thông qua hệ thống, cho dữ liệu tóm tắt, và đưa ra quyết định dựa trên dữ liệu. Tương tự, trong cuộc sống hàng ngày, xác suất cũng có ảnh hưởng không nhỏ bởi đó chính là việc xác định rủi ro trong buôn bán hàng hóa. Thậm chí, Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối...
Trường CĐSP Lạng Sơn là cơ sở uy tín, vững mạnh trong hoạt động đào tạo, bồi dưỡng nhân lực các ngành kinh tế - kỹ thuật cung ứng nguồn nhân lực chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu phát triển kinh tế - xã hội của tỉnh và khu vực. Việc giảng dạy học phần XSTK đối với sinh viên khối ngành Kinh tế nói chung, ngành Kế toán nói riêng sẽ giúp các em hiểu răng thông qua điều tra lấy mẫu các em sẽ đánh giá được chất lượng phẩm, thị trường tiềm năng của sản phẩm, từ đó có những biện pháp điều chỉnh, cải tiến mẫu mã, chất lượng sản phẩm phù hợp thị hiếu người tiêu dùng.
Từ thực tiễn đó và vị trí công tác của bản thân, tôi đã lựa chọn đề tài “Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn” để nghiên cứu.
2. Mục tiêu của sáng kiến
Trên cơ sở nghiên cứu thực trạng dạy học học phần XSTK ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng Sơn, sáng kiến đề xuất việc xây dựng hệ thống bài tập xác suất. Sáng kiến cung cấp một tài liệu tham khảo có giá trị cho giảng viên và SV sử dụng trong quá trình giảng dạy học phần góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy.
7
3. Phạm vi của sáng kiến
- Đối tượng nghiên cứu: Xây dựng bài tập xác suất của học phần “Xác suất
thống kê” ngành Kế toán ở trường Cao đẳng Sư phạm Lạng Sơn.
- Không gian: Dạy học học phần XSTK ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng
Sơn.
- Thời gian: Năm học 2022 - 2023.
II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
1.1. Các khái niệm
1.1.1. Phép thử và biến cố
Phép thử (phép thử ngẫu nhiên) là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định và có thể được lặp lại nhiều lần. Kết quả của nó, ta không đoán trước được.
Biến cố ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả
của một phép thử. Kí hiệu biến cố ngẫu nhiên bằng chữ in hoa A, B, C...[1]
1.1.2. Mối quan hệ giữa các biến cố
Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu là 𝐴 ⊂ 𝐵 nếu sự xảy ra
Biến cố A và biến cố B được gọi là bằng nhau nếu biến cố A kéo theo biến
của A dẫn đến sự xảy ra của B. cố B và ngược lại.
[1]
1.1.3. Các phép toán trên biến cố
Cho hai biến cố A và B
(hoặc A + B), là
Phép cộng: Tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu biến cố chỉ xảy ra nếu ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
Phép nhân: Tích của hai biến cố A và B, kí hiệu (hoặc AB), là biến
cố chỉ xảy ra nếu biến cố A và biến cố B đồng thời xảy ra.
Phép trừ: Hiệu của biến cố A trừ biến cố B, kí hiệu A\B, là biến cố chỉ xảy
ra nếu A xảy ra và B không xảy ra.
Định nghĩa 1. Gọi 𝐴̅ = 𝛺\𝐴 là biến cố đối lập của biến cố A. Biến cố 𝐴̅
xảy ra nếu A không xảy ra và ngược lại.
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
[1] Chú ý: Hai biến cố đối lập với nhau thì chúng xung khắc với nhau. Nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ gieo một lần con xúc xắc. Biến cố B1 và B2 xung khắc với nhau, nhưng B2 không là biến cố đối lập của B1 mà biến cố đối lập của B1 là 𝐵1̅̅̅ = {𝐵2, 𝐵3, 𝐵4, 𝐵5,𝐵6}
8
1.1.4. Hệ đầy đủ các biến cố
Định nghĩa 2. Dãy n biến cố B1, B2, …, Bn lập thành hệ đầy đủ các biến cố
nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
1. 2. [1]
1.1.5. Các định nghĩa xác suất
1.1.5.1. Định nghĩa cổ điển
Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng xảy
ra của chúng là ngang bằng nhau.
Ta gọi một trường hợp là thuận lợi cho biến cố A nếu trường hợp này xảy
ra thì A xảy ra.
Giả sử có tất cả n(Ω) trường hợp đồng khả năng, trong số đó có n(A) trường
hợp thuận lợi cho biến cố A.
Khi đó, ta gọi xác suất của biến cố A là:
Như vậy, xác suất của biến cố là tỉ số về khả năng biến cố đó xuất hiện.[3]
1.1.5.2. Định nghĩa thống kê về xác suất
Trong định nghĩa cổ điển có điều hạn chế là không gian biến cố sơ cấp có một số hữu hạn biến cố sơ cấp và lại đồng khả năng. Vì vậy, để khắc phục hai điều kiện trên ta đưa ra định nghĩa sau:
Ta lặp lại độc lập n lần một phép thử ngẫu nhiên, biến cố A xuất hiện m lần.
Tỉ số được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A. Nếu số lần thực nghiệm n càng
lớn thì tần suất càng gần tới một số cố định nào đó.
Định nghĩa 3. Nếu số phần tử n càng lớn, tần suất của biến cố A càng
tiến gần đến một số cố định p thì ta nói rằng biến cố A ổn định ngẫu nhiên và số p được gọi là xác suất của biến cố A.
Định nghĩa này được gọi là định nghĩa xác suất theo tần suất hay định nghĩa theo thống kê. Định nghĩa này có ưu điểm là giải quyết được trường hợp không gian biến cố sơ cấp gồm vô hạn biến cố sơ cấp và các biến cố sơ cấp này xuất hiện không đồng khả năng. [2]
1.1.5.3. Định nghĩa hình học về xác suất
Giả sử tập hợp (vô hạn) các trường hợp đồng khả năng của một phép thử có thể biểu thị bởi một miền Ω (chẳng hạn đoạn thẳng, mặt phẳng, không gian ba chiều v.v…) còn tập hợp các kết quả thuận lợi cho cho biến cố A là một miền con S của Ω . Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong miền Ω. Đặt
9
Định nghĩa 4. Xác suất để điểm M rơi vào miền S (biến cố A) được xác
định như sau:
P(A) = độ đo của S độ đo của
(Miền Ω chính là không gian biến cố sơ cấp). [4]
1.2. Các định lý và công thức tính xác suất
1.2.1. Công thức cộng xác suất
Định lí 1. Nếu là các biến cố đôi một xung khắc thì
Định lí 2. Với A và B là hai biến cố tùy ý, ta có:
Định lí 3.
[4]
1.2.2. Công thức xác suất có điều kiện
Định nghĩa 5. Giả sử A, B là hai biến cố bất kỳ và P(B) > 0. Gọi tỉ số
là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra
và kí hiệu: [3]
1.2.3. Công thức nhân xác suất. Sự độc lập của các biến cố
Định lí 4. Nếu các biến cố tùy ý A và B cùng liên kết với một phép thử
(P(A), P(B) > 0) thì ta có:
Nếu P(A) > 0 thì gọi tỉ số là xác suất có điều kiện của
biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra.
Định lí 5.
a) Nếu A và B độc lập thì b) Nếu các biến cố độc lập toàn thể thì [3]
1.2.4. Công thức Xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Định lí 6.
Giả sử A là biến cố bất kì, dãy B1, B2, ..., Bn lập thành hệ đầy đủ các biến
10
cố liên kết với một phép thử. Khi đó, ta có:
a) Nếu thì 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵𝑖)𝑃(𝐴 𝐵𝑖⁄ ) (1.1)
(1.1) được gọi là công thức xác suất đầy đủ. b) Nếu thêm giả thiết thì:
(1.2) được gọi là công thức Bayes. [3]
1.2.5. Dãy phép thử thức Bernuolli – Công thức xác suất nhị thức
Định nghĩa 6. Dãy n phép thử mà trong mỗi phép thử tương
và được gọi là dãy phép thử
ứng với không gian biến cố sơ cấp có 2 biến cố Bernoulli nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
a) Dãy n phép thử đó là độc lập;
b) Trong mỗi phép thử xác suất của biến cố A mà ta quan tâm có xác suất
P(A) = p không đổi.
Xác suất p gọi là xác suất thành công, số lần A xuất hiện trong n phép thử
gọi là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli.
Bài toán. Tìm xác suất để trong dãy n phép thử Bernoulli biến cố A xuất
hiện đúng k lần.
Giải
Xét biến cố tích của n biến cố dạng: (1.3)
Trong tích này có k nhân tử A và (n – k) nhân tử . Mỗi biến cố trong tích
(1.3) lấy từ các phép thử khác nhau trong n phép thử.
Ta có:
Ta nhận thấy rằng: biến cố “trong dãy n phép thử, biến cố A xuất hiện đúng các biến cố tích dạng (1.3) xung khắc từng đôi. Mỗi hạng
k lần” bằng tổng của tử của tổng này đều có xác suất như nhau và bằng
Vậy nếu kí hiệu là xác suất để có k lần thành công thì ta có:
Nếu đặt p = 1 – q thì
Xác suất cho dưới dạng (1.4) được gọi là xác suất nhị thức. [4]
11
2. Cơ sở thực tiễn
Cao đẳng Kế toán là mã ngành mới được trường CĐSP Lạng Sơn tổ chức đào tạo từ năm học 2019 – 2020. Căn cứ trên các văn bản của cấp trên nhà trường xây dựng chương trình khung trong đó Xác suất thống kê là học phần bắt buộc được bố trí giảng dạy vào học kỳ 1 của năm thứ nhất.
Qua 3 năm thực hiện công tác giảng dạy học phần Xác suất thống kê chúng
tôi nhận thấy có những ưu điểm nổi bật như sau:
Đội ngũ giảng viên có kiến thức chuyên môn vững vàng, giàu kinh nghiệm, nhiệt tình, năng động và có xu hướng tiếp cận với PPDH hiện đại. Đa số sinh viên có ý thức, tích cực trong học tập bộ môn
Nhà trường quan tâm, tạo điều kiện tốt nhất để phục vụ giảng dạy: phòng học, thiết bị bị dạy học hiện đại, nguồn học liệu phong phú, tổ chức biên soạn giáo trình phù hợp với tình hình thực tế, …
Tuy sinh viên đã được làm quen, học tập ở bậc học phổ thông nhưng nhiều em còn lúng túng, gặp khó khăn và đạt kết quả không cao trong học tập học phần do xác suất thống kê cho chúng ta thấy được qui luật của những cái ngẫu nhiên để rồi lượng hóa chúng. Trong nghiên cứu khoa học, ta dùng xác suất thống kê để kiểm định tính chính xác của mô hình, kiểm định độ tin cậy của thang đo… Trong kinh tế, xác suất thống kê giúp ta lựa chọn phương án sao cho lợi nhuận nhiều nhất với độ rủi ro ít nhất. Xác suất thống kê cũng có vai trò quan trọng trong việc lập mô hình phân tích và dự báo trong quá trình ra quyết định kinh doanh và các quá trình khác. Mà các hiện tượng xảy ra không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát nên sinh viên không xác định được tất cả các kết quả có thể xảy ra và không biết vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết. Mặc dù nguồn học liệu phong phú xong hệ thống bài tập phù hợp với ngành đào tạo, đối tượng sinh viên ngành Kế toán ở trường CĐSP chưa được biên soạn gây khó khăn cho các em trong việc luyện tập củng cố kiến thức.
Từ thực tế trên, để khắc phục những hạn chế còn tồn tại cũng như nâng cao chất lượng dạy học học phần cần đề ra các giải pháp nâng cao chất lượng đào tạo nói chung, chát lượng dạy học học phần Xác suất thống kê nói riêng. Một trong những giải pháp đó là việc xây dựng hệ thống bài tập làm tài liệu phù hợp với sinh viên ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng Sơn.
III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến:
1.1. Một số nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập toán
1.1.1. Đảm bảo tính chính xác khoa học
Đảm bảo tính chính xác khoa học là nguyên tắc quan trọng khi xây dựng hệ thống bài tập. Nội dung bài tập toán học phải thể hiện những kiến thức của toán học (ngôn ngữ toán học, các định nghĩa, định lý,…) và phải phù hợp với giáo
12
trình. Ngoài ra, hệ thống bài tập phải được trình bày một cách gọn gàng, dễ hiểu, cấu trúc rõ ràng.
Theo nguyên tắc này thì khi xây dựng hệ thống bài tập xác suất học phần Xác suất thống kê ngành đào tạo Kế toán phải thể hiện những kiến thức của toán học nói chung và xác suất nói riêng: các định nghĩa, định lý, ngôn ngữ toán học và phải phù hợp với chuẩn đầu ra, chương trình đào tạo, giáo trình chính và các tài liệu tham khảo khác.
1.1.2. Đảm bảo tính sư phạm
Nguyên tắc này đặt ra việc lựa chọn nội dung truyền đạt phải phù hợp với đặc điểm tâm lý và khả năng nhận thức của sinh viên. Theo nguyên tắc này, mức độ khó khăn của nội dung kiến thức cần được phân bổ và sắp xếp theo thứ từ từ đơn giản đến phức tạp, từ cái quen biết gần gũi đến cái ít quen biết, từ cái cụ thể đến cái khái quát, tổng quát hơn. Khi xây dựng hệ thống bài tập cần chú ý lựa chọn những nội dung vừa sức với người học và theo hướng nâng dần lên, nhằm phát huy khả năng tư duy, sáng tạo.
1.1.3. Đảm bảo đặc trưng của bộ môn
Xác suất thống kê là một bộ môn khoa học tự nhiên có tính chất lý thuyết và có ứng dụng thực tế to lớn có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn và đời sống. Thống kê toán học là một phương pháp khoa học phân tích và xử lý dữ liệu có được nhờ các thí nghiệm, các cuộc điều tra nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên, các vấn đề kỹ thuật cũng như các vấn đề xã hội. Những dữ liệu ở đây có thể là những đặc tính định tính, cũng có thể là những đặc tính định lượng. Theo đó, từ những dữ liệu thu thập được, dựa vào các quy luật xác suất để đưa ra những quyết định, những đánh giá và các dự báo về những hiện tượng đang được thí nghiệm hoặc đang được quan sát là mục đích của thống kê toán học. Còn xác suất là độ đo của toán học để đo tính phi chắc chắn của khả năng xảy ra một sự kiện, một môn học. Người dùng kiến thức để tìm hiểu nguyên nhân, giải thích các hiện tượng và ứng dụng vào cuộc sống là việc rất cần thiết. Điều đó khiến người học cảm thấy môn học thật gần gũi và thêm yêu mến môn học.
1.1.4. Đảm bảo mục tiêu của môn học
Mục tiêu dạy học xác suất thống kê ở khối ngành Kinh tế - Kỹ thuật là sau khi học xong môn học, sinh viên phải đạt được có hiểu biết cơ bản về lý thuyết xác suất và thống kê toán, xây dựng nền tảng thống kê mô tả và phân tích, dự báo trong kinh tế, xã hội và cuộc sống thực tiễn. Biết vận dụng các khái niệm, công thức, định lý đã học vào giải quyết các bài tập.
Do yêu cầu phát triển xã hội hướng tới một xã hội tri thức nên mục tiêu dạy học cũng cần phải được thay đổi để đào tạo ra những con người đáp ứng được những đòi hỏi của thị trường lao động và nghề nghiệp cũng như cuộc sống. Có khả năng hòa nhập và cạnh tranh quốc tế, đặc biệt là có năng lực hành động, tính sáng tạo, năng động, tính tự lực và trách nhiệm, năng lực cộng tác làm việc, năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp và khả năng học tập suốt đời. Ngoài những kiến thức, kĩ năng cơ bản mà sinh viên cần đạt được ta cần chú ý nhiều hơn tới
13
việc hình thành các kĩ năng vận dụng kiến thức, tiến hành nghiên cứu khoa học như: Biết vận dụng kiến thức để giải quyết một số vấn đề đơn giản của cuộc sống có liên quan tới hóa học; biết quan sát thí nghiệm, phân tích, dự đoán, kết luận, kiểm tra kết quả và mô tả,…
1.1.5. Đảm bảo tính cơ bản gắn liền với tính tổng hợp
Hệ thống bài tập của phải khái quát hết những thông tin cơ bản nhất của chương trình bộ môn. Nó buộc người học khi giải hệ thống bài tập đó phải huy động tổng hợp những kiến thức cơ bản của toàn bộ chương trình và những kiến thức hỗ trợ liên môn.
1.1.6. Bảo đảm tính kĩ thuật tổng hợp, hệ thống và tính kế thừa
Bài tập phải đóng vai trò cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn, giữa nhà trường và đời sống sản xuất. Nó phải là phương tiện rèn cho người học những kĩ năng chung nhất của việc tự học, của việc giải quyết các vấn đề nhận thức. Nó cũng góp phần vào việc hình thành ở người học những phẩm chất và những nét của văn hóa lao động (trí óc và chân tay).
Những bài tập cơ bản điển hình giữ vai trò rất quan trọng trong học vấn của người học vì chúng sẽ là kiến thức công cụ để giúp giải được những bài tập tổng hợp. Do đó phải quy hoạch toàn bộ hệ thống những bài tập trong toàn bộ chương trình của môn học, sao cho chúng sẽ kế thừa nhau, bổ sung nhau, cái trước chuẩn bị cho cái sau, cái sau phát triển cái trước tất cả tạo nên (cùng với nội dung các lý thuyết khác) một hệ thống toàn vẹn những kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo.
1.2. Một số phương pháp xây dựng bài tập xác suất
1.2.1. Phương pháp tương tự
Từ những bài toán đã biết giữ nguyên hiện tượng và đối tượng tham gia, chỉ thay đổi số lượng hoặc giữ nguyên hiện tượng và thay đổi đối tượng tham gia hoặc thay đổi cả hiện tượng phản ứng và đối tượng, chỉ giữ lại những dạng bài cơ bản đã biết.
1.2.2. Phương pháp tổng quát
Thay các số liệu bằng chữ để tính tổng quát. Bài tập tổng quát mang tính
trừu tượng cao nên khó hơn các bài tập có số liệu cụ thể.
Từ bài tập: Mười hai sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào ba hộp. Tìm xác
suất để hộp thứ nhất có chứa ba sản phẩm.
Ta có thể khái hóa thành bài toán: Có n sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào
ba hộp (n > 6). Tìm xác suất để hộp thứ nhất có chứa ba sản phẩm.
1.2.3. Phương pháp thay đổi hình thức câu hỏi
Từ một bài bằng cách đảo cách hỏi giá trị của các đại lượng đã cho như số
lượng, biến cố, ... sẽ tạo ra nhiều bài tập mới có mức khó tương đương.
1.2.4. Phương pháp phối hợp
14
Chọn các chi tiết hay ở một số bài để xây dựng, phối hợp thành một bài tập
mới.
1.2.5. Biến đổi bài tập sẵn có theo mục đích người dạy
Lược bỏ một số dữ kiện để tăng mức độ khó của bài tập hoặc xây dựng theo
các gợi ý để hướng dẫn người giải quyết bài toán.
1.3. Quy trình xây dựng hệ thống bài tập xác suất thống kê
Bước 1: Nghiên cứu nội dung kiến thức xác suất thống kê trong chương trình đào tạo ngành Kế toán ở trường CĐSP Lạng Sơn để xác định được mục tiêu, các vùng kiến thức của bộ môn.
Về kiến thức: sinh viên có hiểu biết cơ bản về lý thuyết xác suất và thống kê, xây dựng nền tảng thống kê mô tả và phân tích, dự báo kinh tế, xã hội và cuộc sống thực tiễn.
Về kỹ năng: sinh viên có kỹ năng thực hành nghề nghiệp liên quan đến điều tra, dự báo, ra quyết định trong nhiều lĩnh vực của đời sống. Thông qua môn học, sinh viên có thể hiểu các thuật ngữ chuyên môn về xá suất thống kê cũng như vận dụng các kỹ thuật trình bày và mô tả dữ liệu, phân tích thống kê.
Bước 2: Xác định kiến thức trọng tâm, tập trung vào những nội dung có tác dụng rèn tư duy, rèn kỹ năng cho sinh viên và có nhiều vận dụng trong các bài tập. Tùy thuộc vào tầm quan trọng của từng nội dung để lựa chọn số lượng bài tập cho phù hợp.
Bước 3: Xác định loại bài tập, các dạng bài tập
Căn cứ vào nội dung chương trình xác định loại bài tập hoặc dạng cách giải bài tập để xác định chủ đề của một hay một số chủ đề các dạng bài tập, khi xây dựng hệ thống bài tập cần lựa chọn những bài điển hình cho mỗi dạng.
Theo đề cương chi tiết, nội dung phần kiến thức xác suất có theo hệ thống
thành 5 dạng bài như sau:
Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố
Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa
Dạng 3: Các quy tắc tính xác suất
Dạng 4. Công thức Xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Dạng 5. Công thức xác suất nhị thức
Bước 4: Tiến hành soạn thảo hệ thống bài tập
Có thể soạn thảo bài tập bằng cách xây dựng bài tập mới, hoặc sưu tầm các dạng bài tập từ các nguồn khác nhau, nhưng cách phổ biến nhất là kết hợp sưu tầm và biến đổi bài tập sắp xếp cho phù hợp với mục đích của người soạn nhằm nâng cao chất lượng đào tạo.
15
Bước 5: Lược giải tất cả các bài tập để đảm bảo độ tin cậy, đối với những bài khó và phức tạp thì giải chi tiết theo cách dễ hiểu nhất để giúp người học có thể tự học.
Bước 6: Tham khảo, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp, tiếp thu những góp ý. Cần có các ý kiến trao đổi qua lại, tranh thủ kinh nghiệm của đồng nghiệp nhằm tìm ra giải pháp tốt nhất, làm sáng tỏ một vấn đề nào đó hoặc đi đến thống nhất một quan điểm.
Bước 7: Thực nghiệm dạy học theo hệ thống bài tập đã xây dựng, chỉnh sửa và bổ sung. Sau khi xây dựng bài tập xã suất tổ chức thực nghiệm tại lớp K4KT.
Bước 8: Rút kinh nghiệm (về cách giải, các lưu ý trong tư duy của sinh viên, trong cách gợi ý của GV, về sự chưa phù hợp nội dung, thứ tự,... của các bài tập,...), điều chỉnh, biên tập lại cho hoàn chỉnh và bước đầu đưa vào sử dụng
1.4. Một số dạng bài tập xác suất
Thực hiện theo quy trình trên, các bài tập được xác xuất xây dựng, hệ thống
theo từng dạng bài đảm bảo theo các nguyên tắc
Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố
Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau:
Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm.
Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian
mẫu và biến cố.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi
trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của:
1. Không gian mẫu
2. Các biến cố:
A: " 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng"
B: " 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ"
C: " 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu"
2 = 10624
2 = 4095
Giải
1. Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 𝐶24 2. +) Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là: 2 𝐶14 𝐶10
Suy ra: n(A)=4095
+) Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là:
4 = 7566
16
2 − 𝐶18
Suy ra : 𝑛(𝐵) = 𝐶24 +) Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là:
Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:
Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:
Suy ra n(C)=5859
Bài 2: Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi Ak là các biến cố " xạ thủ bắn trúng lần thứ k" với k = 1,2,3,4. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1, A2, A3, A4
A: "Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’
B: "Bắn trúng bia ít nhất một lần’’
C: " Chỉ bắn trúng bia hai lần’’
Giải Ta có: Giả sử 𝐴𝑘̅̅̅̅ là biến cố lần thứ k (k = 1,2,3,4) bắn không trúng bia. Do đó:
𝐴 = 𝐴1̅̅̅ ∩ 𝐴2̅̅̅ ∩ 𝐴3̅̅̅ ∩ 𝐴4̅̅̅ 𝐵 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ 𝐴4 𝐶 = 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝐽 ∩ 𝐴𝑘̅̅̅̅ ∩ 𝐴𝑚̅̅̅̅ với i, j, k, m ∈ {1,2,3,4} và đôi một khác nhau.
Bài 3. Bắn 3 mũi tên vào một tấm bia. Gọi là biến cố “mũi tên thứ i
trúng đích” (i= 1, 2, 3). Hãy biểu diễn qua A1, A2, A3 các biến cố:
A : Cả 3 mũi tên đều trúng đích.
B: Có đúng 1 mũi tên trúng đích.
C : Có ít nhất 1 mũi tên trúng đích.
D : Không có mũi tên nào trúng đích.
Giải:
Ta có
17
Các bài tập dạng: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố giúp sinh viên xác định đúng các phép thử , không gian mẫu để có thể học tốt các phần kiến thức khác.
Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa
* Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển
Ta sử dụng công thức :
Trong đó n(Ω) trường hợp đồng khả năng, trong số đó có n(A) trường hợp
thuận lợi cho biến cố A
Ví dụ minh họa
Bài 1. Một lô sản phẩm gồm N sản phẩm, trong đó có M sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên s sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để trong s sản phẩm lấy ra có đúng k sản phẩm tốt.
Giải:
Số sản phẩm xấu trong lô hàng là: (N – M) sản phẩm xấu
Số khả năng có thể lấy s sản phẩm từ N sản phẩm là .
Số khả năng chọn k sản phẩm tốt trong M sản phẩm tốt là .
Số khả năng chọn s sản phẩm trong đó có đúng k sản phẩm tốt và s – k sản
phẩm xấu là .
Vậy, xác suất cần tìm là:
Bài 2: Một đoàn tàu có 7 toa ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau và chọn một toa một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố sau
A: " Một toa 1 người, một toa 2 người, một toa có 4 người lên và bốn toa
không có người nào cả"
B: " Mỗi toa có đúng một người lên".
Giải: Số cách lên toa của 7 người là: 77 cách
+) Tính P(A)
3 cách chọn 4 cách chọn 2 cách chọn
Ta tìm số khả năng thuận lợi của A như sau:
Số cách chọn 3 toa có người lên là: 𝐴7 Số cách chọn toa có 4 người lên là: 𝐶7 Số cách chọn toa có 4 người lên là: 𝐶3
18
3𝐶7
Người cuối cùng vào toa còn lại nên có 1 cách chọn
2 4𝐶3
450
Theo quy tác nhân ta có số khả năng thuận lợi cho biến có A là: 𝐴7
3𝐶7 2 4𝐶3 𝐴7 77 =
16807
Vậy 𝑃(𝐴) =
+) Tính P(B)
Mỗi một cách lên toa thỏa yêu cầu bài toán chính là một hoán vị của 7 phần
7!
từ nên ta có: 7!
77
Do đó 𝑃(𝐵) =
Bài 3. Xét một đặc tính do một cặp gen A và a gây ra. Trong việc lai tạo thì bố mẹ mỗi người cho một gen. Nếu cả hai người đều là dị hợp tử, nghĩa là cả hai đều là hợp tử Aa thì các hợp tử của con sẽ là một trong 4 loại sau: AA, Aa, aA, aa. Tìm xác suất để con có kiểu gen:
a) [aa] b) [Aa] c) [AA]
Giải
1 4
a) Vì 4 biến cố AA, Aa, aA, aa là đồng khả năng nên 𝑃([𝑎𝑎]) =
1
b) Tương tự, ta có: (Vì người ta xếp Aa, aA là cùng kiểu gen)
4
c) Xác suất để con có kiểu gen [AA] là: 𝑃([𝐴𝐴]) =
Bài 4. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nộp đơn xin dự tuyểnn, và mỗi người đều có cơ hội được tuyển như nhau. Tính xác suất để trong 4 người được tuyển
a) có duy nhất một nam;
b) có ít nhất một nữ.
Giải
Đặt Ak là biến cố “Có k nam được tuyển trong 4 nhân viên” k ∈ {1,2,3,4}
5
a) Gọi A: “có duy nhất 1 nam”
1𝐶3 3 𝐶5 4 = 𝐶8
P(A) = P(A1) = 70
b) Gọi B: “có ít nhất một nữ”
13 14
4 𝐶5 4 = 𝐶8
P(B) = 1 - P(A4) =1-
* Tính xác suất theo thống kê
Ta sử dụng công thức:
𝑃(𝐴) = 𝑆ố 𝑙ầ𝑛 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố 𝐴 𝑁
19
Ví dụ: Các nhà toán học Pearson và Buffon đã làm thực nghiệm gieo nhiều
lần một đồng tiền cân đối và đồng chất. Kết quả cho ở bảng sau:
Người làm thí nghiệm Số lần gieo Số lần xuất hiện mặt ngửa Tần suất
Buffon 4040 2048 0,508
Pearson.K (lần 1) 12000 6019 0,5016
Pearson.K (lần 2) 24000 12012 0,5005
Nhìn vào kết quả thí nghiệm ta thấy số lần gieo đồng tiền càng lớn thì tần
suất càng gần Số được gọi là xác suất của biến cố “xuất hiện mặt ngửa”.
* Tính xác suất theo hình học
Tính xác suất để điểm M rơi vào miền S (biến cố A) được xác định như sau:
P(A) = độ đo của S độ đo của
(Miền Ω chính là không gian biến cố sơ cấp).
Ví dụ minh họa
Bài 1. Đường dây điện thoại ngầm nối một tổng đài đến một trạm dài 2 km. Tính xác suất để dây đứt tại nơi cách tổng đài không quá 150m biết rằng dây điện thoại đồng chất.
Giải
Do dây điện thoại là đồng chất nên khả năng nó bị đứt tại một điểm bất kì là như nhau. Khi đó, tập hợp các trường hợp đồng khả năng có thể biểu thị bằng đoạn thẳng nối tổng đài với trạm. Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A “dây bị đứt tại nơi cách tổng đài không quá 150m” là đoạn thẳng có độ dài 150m. Khi đó
𝑃(𝐴) = = 0.075 150 2000
Bài 2. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm theo quy ước như sau:
Mỗi người độc lập đến điểm hẹn trong khoảng từ 8 giờ đến 9 giờ.
20
Mỗi người đến, nếu không gặp người kia
thì đợi 10 phút hoặc đến 9 giờ không đợi nữa.
Tính xác suất hai người gặp nhau, nếu biết rằng mỗi người có thể đến chỗ hẹn trong khoảng thời gian quy định một cách ngẫu nhiên và không tùy thuộc vào người kia đến lúc nào.
Hình 1.1
Giải
Kí hiệu x là thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn (phút)
y là thời điểm người thứ hai đến điểm hẹn.
Hai người gặp nhau khi và chỉ khi
. Các trường hợp đồng khả năng tương ứng với các điểm (x; y) là không gian biến cố sơ cấp Ω tạo thành hình vuông có cạnh bằng 60. Tập S những điểm mà hai người có thể gặp nhau là miền có gạch chéo như hình 1.1.
Vậy xác suất phải tìm là: .
Bài 3. Tìm xác suất để điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông có
cạnh 4a.
Giải
Hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 4a có đường kính 4a. Vậy diện tích hình tròn đó là 𝜋𝑅2 = 4𝜋𝑎2 và diện tích hình vuông là
S = 4a x 4a = 16a2
Khi đó, xác suất phải tìm là:
𝑃(𝐴) = 4𝜋𝑎2 16𝑎2 = 𝜋 4
Dạng 3: Các quy tắc tính xác suất
* Tính xác suất bằng Quy tắc cộng
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công
thức biến cố hợp.
+) P(A ∪ B) =P(A)+P(B) với A và B là hai biến cố xung khắc
Mở rộng quy tắc cộng xác suất: Cho k biến cố A1, A2, A3,…, Ak đôi một
xung khắc. Khi đó:
21
P(A1 ∪ A2 ∪ A3….. ∪ Ak )=P(A1 )+P(A2)+...+P(Ak )
+) 𝑃(𝐴)̅̅̅ = 1 − 𝑃(𝐴) * Xác suất có điều kiện
Ví dụ minh họa
Bài 1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Kí hiệu A là biến cố “Tổng số chấm ở mặt trên của hai con xúc xắc bằng 8”, và B là biến cố “Tổng số chấm ở mặt trên hai con xúc xắc là số chẵn”.
Tìm xác suất của A, của B và của AB.
Giải
Khi gieo đồng thời hai con xúc xắc thì số các cặp có số chấm ở mặt trên
của hai con xúc xắc bằng 8 gồm 5 cặp: (2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2).
Số khả năng có thể xảy ra là n = 6 × 6 = 36.
Theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có:
Số các cặp mà có tổng là những số chẵn là 18.
Xác suất của biến cố B là
Ta thấy, nếu biến cố B xảy ra có nghĩa là số các cặp có thể xảy ra mà tổng
của chúng là số chẵn bằng 18.
Nếu kí hiệu xác suất của A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là P(A/B) thì
xác suất này bằng:
Hơn nữa ta cũng thấy biến cố tích A.B là tập hợp có 5 cặp.
Vậy
Từ kết quả trên ta suy ra:
Từ đó suy ra
* Tính xác suất theo Quy tắc nhân
Phương pháp: Để áp dụng quy tắc nhân ta cần:
+) Chứng tỏ A và B độc lập
+) Áp dụng công thức: P(A.B) = P(A).P(B)
22
Ví dụ minh họa
Bài 1: Hai cầu thủ sút phạt đền. Mỗi người đá 1 lần với xác suất làm bàn
tương ứng là 0,8 và 0,7.Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn
Giải
Ta sử dụng quy tắc nhân để giải bài toán Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn; P(A) = 0.8; P(𝐴̅) = 0.2 B là biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn: P(B) = 0.7; P(𝐵̅) = 0.3 X là biến cố ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn
P(X) = 0.94
Bài 2: Cho ba hộp giống nhau, mỗi hộp 7 bút chỉ khác nhau về màu sắc. Hộp thứ nhất : Có 3 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh , 2 bút màu đen, hộp thứ hai: Có 2 bút màu đỏ, 2 màu xanh, 3 màu đen, hộp thứ ba : Có 5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen. Lấy ngẫu nhiên một hộp, rút hú họa từ hộp đó ra 2 bút.
a) Tính xác suất của biến cố A: "Lấy được hai bút màu xanh"
b) Tính xác suất của xác suất B: "Lấy được hai bút không có màu đen
Giải
Gọi Xi là biến cố rút được hộp thứ i, i = 1,2,3 suy ra P(Xi) = 1/3
a) Gọi Ai là biến cố lấy được hai bút màu xanh ở hộp thứ i, i = 1,2,3
b) Gọi Bi là biến cố rút hai bút ở hộp thứ i không có màu đen.
Dạng 4. Công thức Xác suất đầy đủ và công thức Bayes Họ các biến cố B1, B2, …, Bn là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi: 𝐵1 + 𝐵2 + ⋯ + 𝐵𝑛 = { 𝐵𝑖 𝐵𝑗 = ∅
và A là một biến cố bất kỳ (thuộc cùng phép thử). Ta có:
23
Công thức xác suất đầy đủ:
𝑃(𝐵𝑖) > 0, 𝑖 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅ thì 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵𝑖)𝑃(𝐴 𝐵𝑖⁄ )
Công thức Bayes:
Nếu thêm giả thiết thì:
= 𝑃(𝐵𝑘 𝐴⁄ ) = 𝑃(𝐵𝑘)𝑃(𝐴 𝐵𝑘⁄ ) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵𝑘)𝑃(𝐴 𝐵𝑘⁄ ) 𝑛 ∑ 𝑃(𝐵𝑖)𝑃(𝐴 𝐵𝑖⁄ ) 𝑖=1
Trong thực tế có nhiều phép thử chứa một dãy nhiều biến cố. Sơ đồ cây xác suất cung cấp cho ta một công cụ thuận lợi cho việc xác định cấu trúc các quan hệ bên trong các phép thử khi tính xác suất. Cấu trúc của sơ đồ cây xác suất được xác định như sau:
- Vẽ biểu đồ cây xác suất tương ứng với các kết quả của dãy phép thử
- Gán mỗi xác suất với mỗi nhánh.
Ví dụ minh họa
Bài 1. Một nhà máy gồm 3 phân xưởng với tỷ lệ sản lượng lần lượt là 30%, 40%, 30%. Tỷ lệ phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là 2%, 4%, 5%. Hãy tính tỷ lệ phế phẩm của nhà máy.
Giải
Gọi : I, II, III tương ứng là biến cố sản phẩm ở phân xưởng 1, 2, 3.
B là biến cố chọn phải phế phẩm
Sơ đồ cây xác suất
I 2% B 30%.2% =0.6% (1)
30%
40% II 4% B 40%.4% =1.6% (2)
30%
III 5% B 30%.5% =1.5% (3)
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta được
P(B) = (1) + (2) + (3) = 3.7%
Bài 2. Một phân xưởng có 3 dây chuyền sản xuất: Dây chuyền I cung ứng 28% tổng sản phẩm, dây chuyền II cung ứng 30% tổng sản phẩm, dây chuyền III cung ứng 42% tổng sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 3%, 5% và 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ phân xưởng để kiểm tra. Xác suất để sản phẩm đó là chính phẩm là:
Giải
Gọi : I, II, III tương ứng là biến cố sản phẩm ở dây chuyền I, II, III
B là biến cố chọn được chính phẩm
24
Sơ đồ cây xác suất
I 97% B 28%.97% = 27.16% (1)
28%
30% II 95% B 30%.95% = 28.5% (2)
42%
III 98% B 42%.98% = 41.16% (3)
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta được
P(B) = (1) + (2) + (3) = 96.82%
Bài 3. Có 20 kiện hàng, mỗi kiện hàng có 10 sản phẩm. Trong số đó có 8 kiện hàng loại I, mỗi kiện hàng có 1 phế phẩm; 7 kiện loại II, mỗi kiện có 3 phế phẩm; 5 kiện loại III, mỗi kiện có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một kiện, rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm.
a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm.
b) Biết sản phẩm được lấy là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó của
kiện loại II.
Giải
Gọi Bi là biến cố “Kiện lấy ra là kiện loại i ”, i = 1, 2, 3.
Khi đó dãy B1, B2, B3 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố.
a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm lấy ra là phế phẩm”.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
Theo đầu bài:
Vậy
b) Xác suất để sản phẩm đó của kiện loại II là:
Theo công thức Bayes, ta có
.
Dạng 5. Công thức xác suất nhị thức
25
Ví dụ minh họa
Bài 1. Một lô hàng trong kho có 20% phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 5 sản
phẩm. Tính xác suất trong 5 sản phẩm này:
a) Có 2 phế phẩm.
b) Có ít nhất 1 phế phẩm.
c) Cần lấy ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm
không nhỏ hơn 0,99.
Giải
Số phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra là số lần thành công trong dãy 5 phép
thử Bernoulli với xác suất thành công là 0,2.
a) Ta có = (0,2)2 (0,8)3 = 0,2048.
c) Gọi n là số sản phẩm cần lấy ra.
Khi đó, xác suất có ít nhất một phế phẩm là
b) Ta có .
.
. Ta cần tìm n nhỏ nhất sao cho hay
Vậy, ít nhất phải lấy ra n = 21 sản phẩm.
Bài 2. Một gia đình dự định sinh 3 con. Tính xác suất để:
a) Trong số con sinh ra có một con trai b) Trong số con sinh ra có không quá hai con trai c) Trong số con sinh ra có số con trai nhiều hơn số con gái
1(0.53)1(1 − 0,53)2 = 0.351231
Giải thiết xác suất sinh con trai bằng 0.53 Giải a) Xác suất sinh ra có một con trai
𝐶3
b) Xác suất sinh ra có không quá hai con trai
3(0.53)1(0,53)0 = 0.148877 b) Xác suất sinh ra có số con trai nhiều hơn số con gái
2(0.53)2(1 − 0,53)1 = 0.54
3(0.53)3(1 − 0,53)0 + 𝐶3 𝐶3
1 − 𝐶3
26
2. Đánh giá kết quả thu được
2.1. Tính mới, tính sáng tạo
Sáng kiến tập trung vào các giải pháp xây dựng hệ thống bài tập xác suất của học phần XSTK trong chương trình đào tạo thống nhằm nâng cao chất lượng dạy học, các giải pháp này thể hiện tính mới, tính sáng tạo, khoa học trong công tác đào tạo đáp ứng được yêu cầu đổi mới giáo dục và phù hợp với sự phát triển của xã hội:
- Sáng kiến góp phần giúp sinh viên lựa chọn, hệ thống lại kiến thức cơ bản, hệ thống bài tập xác suất phù hợp với chuyên ngành Kế toán tại trường CĐSP Lạng Sơn trong điều kiện thực tế nhà trường chưa biên soạn được tài liệu bộ môn dành riêng cho chuyên ngành đào tạo này.
- Các giải pháp đảm bảo các nguyên tắc, phương pháp xây dựng hệ thống bài tập toán học đáp ứng mục tiêu môn học, phù hợp với đối tượng sinh của nhà trường.
- Hệ thống bài tập được xây dựng phát huy tối đa tính tích cực, sáng tạo, độc lập của người học, thực hiện hiệu quả việc chuyển hóa từ quá trình học tập thành quá trình tự học theo tiêu chí hiện đại trong giáo dục và đào tạo. Trong quá trình giảng dạy, giảng viên cần phải chú trọng, hỗ trợ học viên phát huy các chức năng tâm lý, khả năng tư duy độc lập, sáng tạo thông qua việc tạo điều kiện cho học viên được thảo luận, trình bày các quan điểm, tư duy về các vấn đề chính trị, kinh tế và xã hội.
- Hoàn thiện công tác kiểm tra, đánh giá: Việc kiểm tra và đánh giá kết quả học tập của sinh viên rất có ý nghĩa và quan trọng, cần phải khách quan, đảm bảo hiệu quả về giáo dục, giảng dạy và học tập. Hệ thống bài tập ngoài việc củng cố kiến thức, rèn kỹ năng giải còn góp phần đánh giá quá trình lĩnh hội kiến thức bộ môn.
2.2. Khả năng áp dụng và mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến
a. Khả năng áp dụng hoặc áp dụng thử, nhân rộng
Nội dung sáng kiến đã được áp dụng trên đối tượng là SV khi học học phần XSTK trong ngành đào tạo Kế toán tại trường CĐSP Lạng Sơn năm học 2022 – 2023 nhằm nâng cao chất lượng dạy học, phát triển năng lực, phẩm chất người học đáp ứng yêu cầu của sự phát triển của giáo dục, đào tạo ra những con người đáp ứng được những đòi hỏi của thị trường lao động và nghề nghiệp cũng như cuộc sống.
Dựa trên các yếu tố trên sáng kiến có thể áp dụng thử, nhân rộng cho hướng
tới các đối tượng sau:
- Giảng viên, sinh viên ngành Kế toán của các trường cao đẳng có chức
năng, nhiệm vụ đào tạo.
- Người học quan tâm đến môn học Xác suất thống kê.
27
b. Khả năng mang lại lợi ích thiết thực
Để đánh giá khả năng mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến, chúng tôi tổ chức tổng kết, đánh giá kết quả đạt được trong quá trình dạy học học phần XSTK trong đào tạo chuyên ngành Kế toán năm học 2021 - 2022, 2022 – 2023
Chất lượng dạy học học phần XSTK ngành Kế toán, năm học 2021 – 2022,
2022 – 2023:
Xếp loại
Năm học Giỏi Khá Trung bình Tổng số học viên
SL % SL % SL %
2021 – 2022 51 10 19.6 27 52.9 14 27.5
2022 - 2023 43 12 27.9 26 60.5 5 11.6
Tổng 94 22 53 19
* Hiệu quả kinh tế
- Nội dung các bài tập qua quá trình dạy học được sinh viên đánh giá là
phù hợp chương trình đào tạo, vừa sức với sinh viên của nhà trường.
- Qua bảng số liệu về chất lượng dạy học học phần Xác suất thống kê ngành Kế toán tại nhà trường năm học 2021 – 2022 so với năm học 2022 - 2023 tỷ trọng xếp loại Giỏi đã tăng từ 19.6% lên 27.9% trong khi tỉ trọng xếp loại Trung bình giảm từ 27.5 xuống 11.6% điều này giải pháp của sáng kiến đã tác động chất lượng học tập bộ môn nói chung cũng như chất lượng đào tạo của nhà trường.
- Sáng kiến được triển khai áp dụng như một tài liệu tham khảo trong dạy học bộ môn đem lợi ích tiết kiệm thời gian, kinh phí cho giảng viên trong quá trình xây dựng, soạn giảng nội dung bài tập xác xuất.
* Hiệu quả xã hội
SV có hứng thú với việc học tập bộ môn, không còn thấy khó khăn, cao siêu mà thấy rằng xác suất, thống kê quan trọng không chỉ với Khoa học tự nhiên mà với cả môn Khoa học xã hội, thậm chí trong đời sống hằng ngày. Dựa vào dữ liệu thống kê, người dân có thể đánh giá khả năng có thể xảy ra để phân tích, đối chiếu, so sánh, qua đó hỗ trợ rất nhiều trong quá trình nghiên cứu khoa học và phát triển xã hội. Chỉ cho sinh viên cách quan sát, liên hệ thực tế cuộc sống, hỗ trợ trong công việc ngành nghề mà các em đã lựa chọn. Góp phần nâng cao chất lượng nguồn nhân lực phục vụ công cuộc xây dựng kinh tế xã hội.
III – KẾT LUẬN
Mục tiêu của giáo dục và đào tạo là phát triển nguồn nhân lực phục vụ cho sự nghiệp phát triển kinh tế - xã hội của đất nước và địa phương. Thực tế cho thấy,
28
việc đổi mới nội dung, phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực đã không ngừng góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. Quá trình thiết kế hệ thống bài tập củng cố kiển thức, vận dụng vào thực tiễn đảm bảo các nguyên tắc xây dựng cho thấy bước đầu đã mang lại kết quả cao; tạo sự hứng thú say mê học tập cho sinh viên. Giúp học viên nắm bắt kiến thức tốt hơn, được thực hành rèn kỹ năng nhiều hơn, đem lại chất lượng tiết dạy cao hơn.
Sáng kiến này đã thực hiện phân tích, đánh giá thực trạng chất lượng dạy học học phần Xác suất thống kê của Trường CĐSP tỉnh Lạng Sơn, tập trung nghiên cứu thực trạng, yếu tố ảnh hưởng đến chất lượng công tác bồi dưỡng để đề xuất những giải pháp phù hợp với thực tiễn. Các giải pháp ấy có tính khả thi vì được đưa ra dựa trên cơ sở khoa học, chính trị, pháp lý và thực tiễn của Nhàtrường.
Một số giải pháp đưa ra và được áp dụng vào bồi dưỡng đã góp một phần nhỏ nâng cao chất lượng đào tạo của Nhà trường, từ đó góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao chất lượng đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài theo đúng kế hoạch và nhiệm vụ đặt ra trong chiến lược phát triển giáo dục và đào tạo đến năm 2025 của Sở Giáo dục và Đào tạo cũng như của UBND tỉnh Lạng Sơn đặt ra.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Đình Hiền, Giáo trình Xác suất thống kê (Giáo trình Cao
đẳng sư phạm), Nhà xuất bản Đại học sư phạm, 2003.
29
[2]. Đặng Hùng Thắng, Xác xuất thống kê, NBX Giáo dục, 1999
[3] Nguyễn Cao Văn, Lý thuyết xác suất và thống kê toán, NXB Thống
kê, NXB ĐH Kinh tế quốc dân, 2004.
[4]. Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lý thuyết Xác suất và các ứng dụng,
NXB giáo dục, 1998.
[5]. Nguyễn Bác Văn, Xác suất và xử lý số liệu thống kê, NXB Giáo dục,
1998.
[6]. Phạm Văn Kiều – Trần Diên Hiển, Xác suất thống kê (Giáo trình đào tạo giáo viên tiểu học hệ Cao đẳng sư phạm và sư phạm 12 + 2) , NXB Giáo dục, 1998.
[7]. Tống Đình Quỳ, Giáo trình Xác xuất thống kê, NXB Bách khoa - Hà
Nội
[8]. Đào Hữu Hồ, Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất – Thống kê, NXB
ĐH Quốc Gia Hà Nội, 2027
PHỤ LỤC
Bài tập đề nghị giải
1. Có 5 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu Bi (i = 1,2, …, 5) là biến cố sinh viên thứ i làm bài thi đạt yêu cầu. Hãy biểu diễn các biến cố sau đây:
30
(a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu.
(b) Có đúng ba sinh viên đạt yêu cầu.
(c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu.
(d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu.
2. Xét phép thử: Bắn không hạn chế vào 1 bia cho đến khi trúng bia lần đầu tiên thì dừng. Biểu diễn không gian biến cố sơ cấp của biến cố trên. Chỉ ra một hệ đầy đủ các biến cố.
3. Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân trong số các công nhân có mặt ở xí nghiệp. Gọi A là biến cố xảy ra khi người công nhân được chọn là nam và B là biến cố người công nhân được chọn ở khu tập thể; C là biến cố người công nhân được chọn không hút thuốc là.
a) Hãy mô tả biến cố AB .
b) Với điều kiện nào ta có A C = A.
c) Khi nào thì ta có C = .
4. Rút 2 lá bài từ bộ bài có 52 lá. Gọi A là biến cố “được 2 lá cơ”, B là biến cố “được 2 lá 10” và C là biến cố “được 2 lá đỏ”.
a) Các cặp biến cố sau, cặp nào xung khắc: A và B , A và C , B và C.
b) Tính các xác suất: P(A + B), P(B + C) và P(A + C)..
c) Tính các xác suất: P(AB), P(BC) và P(AC).
5. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi Ai là biến cố xảy ra khi số chấm ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất là i (i = 1, 2,…, 6), Bk biến cố xảy ra khi số chấm ở mặt trên con xúc xắc thứ hai là k (k = 1,2,…, 6).
(a) Hãy mô tả các biến cố A6B6, A4B5
(b) Viết bằng kí hiệu các biến cố:
• A: “hiệu giữa số chấm ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai có trị số
tuyệt đối bằng ba”.
• B: “Số chấm ở mặt trên hai con xúc xắc bằng nhau”.
(c) Hãy chỉ ra một nhóm đầy đủ các biến cố.
6. Một nhóm 10 người xếp ngẫu nhiên thành một hàng dài.
(a) Tìm xác suất để 2 người định trước đứng cạnh nhau.
(b) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau 2 người.
(c) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau r người (0 < r < 8).
(d) Xét trường hợp khi họ xếp thành một vòng tròn.
31
7. Cho một lô hàng gồm n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó k sản phẩm. Tìm xác suất sao cho trong số sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu (s < k).
8. Một thanh sắt thẳng được bẻ thành ba khúc một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để ba khúc đó tạo được thành một tam giác. Biết rằng thanh sắt dài l (đơn vị dài.)
9. Trên đoạn thẳng OA ta gieo một cách ngẫu nhiên hai điểm B, C có tọa độ tương ứng là OB = x, OC = y(y ≥ x). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn OB.
10. Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?
11. Ba khẩu súng độc lập cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất để khẩu thứ nhất bắn trúng là 0,7; để khẩu thứ hai bắn trúng là 0,8; để khẩu thứ ba bắn trúng là 0,5. Mỗi khẩu bắn một viên. Tính xác suất để:
a) Có 1 khẩu bắn trúng.
b) Có 2 khẩu bắn trúng.
c) Cả 3 khẩu bắn trật.
d) Ít nhất 1 khẩu bắn trúng.
e) Khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng đã có 2 hai khẩu bắn trúng.
12. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả còn mới. Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên 3 quả để thi đấu, sau đó lại trả vào hộp. Lần 2 lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tìm xác suất để 3 quả lấy ra lần sau đều mới.
13. Một hộp chứa 5 tờ vé số, trong đó có đúng 1 tờ vé số trúng thưởng. 5 bạn Trường, Đại, Học, Duy, Tân lần lượt rút ngẫu nhiên mỗi người 1 tờ vé số. Hỏi rút trước hay rút sau có lợi hơn (xác suất được tờ vé số trúng thưởng cao hơn)? Hãy tổng quát bài toán này cho n ( n ≥ 1) tờ vé số mà chỉ có đúng 1 tờ trúng thưởng.
14. Trong một lô hàng gồm có 100 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm loại tốt, lấy ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm không trả lại. Tìm xác suất để:
a) Lần thứ 2 lấy được sản phẩm loại tốt.
b) Lần thứ 3 lấy được sản phẩm loại tốt.
c) 2 lần đầu lấy được sản phẩm loại tốt.
15. Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó
(a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.
(b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp.
(c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp.
32
(d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.
(e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.
a) Mua ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để mua được sản phẩm loại I.
16. Một cửa hàng bán một loại sản phẩm trong đó có 40% là do xưởng A sản xuất, còn lại do xưởng B sản xuất. Tỉ lệ sản phẩm loại I do xưởng A sản xuất là 8,0 và của xưởng B sản xuất là 9,0.
b) Mua một sản phẩm từ cửa hàng và đó không phải là sản phẩm loại I. Hỏi
sản phẩm đó có khả năng do xưởng nào sản xuất nhiều hơn.
17. Bắn 3 viên đạn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi viên tương ứng là 3,0; 4,0 ; 5,0 . Nếu chỉ 1 viên trúng thì mục tiêu bị phá hủy với xác suất là 2,0. Nếu ít nhất 2 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị phá hủy. Hãy tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy khi bắn 3 viên trên.
18. Cho 3 lô sản phẩm. Lô thứ nhất có 30 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lô thứ hai có 30 sản phẩm, cả 30 sản phẩm này đều tốt. Lô ba cũng có 30 sản phẩm, có 15 sản phẩm xấu. Từ các lô đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm.
b) Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Tìm xác suất để sản phẩm đó của lô thứ 3.
a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.
19. Có hai hộp bi: Hộp I có 2 bi đỏ và 2 bi trắng, hộp II có 3 bi gồm 2 bi đỏ và 1 bi trắng. Lấy ngẫu 1 bi ở hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tìm xác suất để viên bi lấy ra sau cùng là bi đỏ.
20. Giả sử P(B/A1) = 1/2, P(B/A2) = 1/4 với A1 và A2 là hai biến cố đồng khả năng và tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố. Tính P(A1/B).
21. Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm. Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người.
22. Có hai hộp đựng bi. Hộp 1 đựng 25 bi trong đó có 10 bi đỏ và 15 bi trắng. Hộp 2 đựng 15 bi trong đó có 6 bi đỏ và 9 bi trắng. Lấy một bi ở hộp 1 bỏ vào hộp 2 , trộn đều rồi lấy ra một bi. Tính xác suất nhận được bi đỏ? bi trắng?
23. Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30%. Khám ngẫu nhiên một người và thấy người đó bị viêm họng.
(a) Tìm xác suất để người đó hút thuốc lá.
(b) Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc lá
là bao nhiêu.
24. Một trung tâm chẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm định T. Xác suất để một người đến trung tâm mà có bệnh là 0.8. Xác suất để người khám có bệnh khi phép kiểm định dương tính là 0.9 và xác suất để người khám không có bệnh khi phép kiểm định âm tính là 0.5. Tính các xác suất
33
(a) phép kiểm định là dương tính.
(b) phép kiểm định cho kết quả đúng.
25. Có hai lô sản phẩm, lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II. Lô thứ hai có 16 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Sau đó, từ 2 sản phẩm thu được lấy hú họa ra một sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại I.
26. Căn cứ trên dữ liệu quá khứ, người ta thấy rằng 40% khách hàng của siêu thị D sử dụng thẻ tín dụng để thanh toán cho mua hàng. Nếu một mẫu ngẫu nhiên 5 khách hàng được chọn, tìm các xác suất sau:
a) Không có khách hàng nào thanh toán bằng thẻ.
b) Có 2 khách hàng thanh toán bằng thẻ.
c) Có ít nhất 2 khách hàng thanh toán bằng thẻ.
d) Có không quá 2 khách hàng thanh toán bằng thẻ.
27. Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30% và máy III sản xuất 45% tổng sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là 0.1%; 0.2%; 0.4%. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì (a) được chi tiết phế phẩm. (b) chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất.
28. Một cửa hàng có 6 bóng đèn, xác suất mỗi bóng đèn bị cháy là 1/4. Cửa hàng đủ sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tính xác suất để cửa hàng không đủ sáng.
29. Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là 0.4; 0.7; 0.8. Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là 30%, khi trúng 2 phát đạn là 70%, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát.
(a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.
(b) Biết rằng mục tiêu đã bị tiêu diệt. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng
góp vào thành công đó.
30. Hộp I có 10 linh kiện trong đó có 3 bị hỏng. Hộp II có 15 linh kiện trong đó có 4 bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một linh kiện.
(a) Tính xác suất để cả 2 linh kiện lấy ra đều hỏng.
(b) Số linh kiện còn lại trong 2 hộp đem bỏ vào hộp III. Từ hộp III lấy ngẫu
nhiên ra 1 linh kiện. Tính xác suất để linh kiện lấy ra từ hộp III bị hỏng.
(c) Biết linh kiện lấy ra từ hộp III là hỏng. Tính xác suất để 2 linh kiện lấy
ra từ hộp I và II lúc ban đầu là hỏng.
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ
CAM ĐOAN CỦA TÁC GIẢ VỀ SÁNG KIẾN
34
Phùng Quý Sơn Bùi Ngọc Hà
