1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH
TỔ TOÁN
SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐ
CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
g v : TRẦN XUÂN BANG
Đồng Hới, tháng 4 năm 2012
2
SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CẤP HAI GIẢI MỘT SỐ
CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Đặt vấn đề.
Trong đề Dự bị thi vào Đại học năm 2007 khối A, có bài toán dưới đây:
Bài toán 1.
Chứng minh rằng hệ phương trình
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x
có đúng 2
nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0.
Giải.
Điều kiện của hệ
1 1
x x
y y
nhưng x > 0, y > 0 suy ra x > 1, y > 1.
T a sẽ chứng minh hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x > 1, y > 1.
Trước hết ta chứng minh từ hệ phương trình đã cho suy ra x = y.
Cách 1.
Xét các hàm số:
f(t) = et , t > 1
f '(t) > 0,
t > 1và
f tăng trên
(1;

).
/
3
222
t 1
g t ,t 1 g (t) 0, t 1
t 1 (t 1)
giảm trên
(1;

).
Như thế, f tăng trên và g giảm trên
(1;

).
Hệ phương trình (1)
2007
2007
f x g y
f y g x
f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (1)
Nếu x > y f(x) > f(y) g(y) < g(x) ( do(1) )
y > x ( do g giảm ) vô lý.
Tương tự khi y > x cũng dẫn đến vô lý.
Vậy, ta có x = y.
Cách 2.
Từ hệ phương trình đã cho suy ra
x y
2 2
x y
e e
x 1 y 1
(2)
Xét hàm số
t
2
t
F(t) e ,t 1
t 1
. Ta có :
3
2
2
t t
22 2
t
t 1 t 1
t 1
F '(t) e e 0, t 1
t 1 (t 1) t 1
.
Suy ra, F đồng biến, liên tục trên
(1;

).
(2) ( ) ( )
f x f y x y
.
Hệ phương trình đã cho tương đương:
x
2
x
e 2007 0 (*)
x 1
x y
Xét hàm số h(x) =
x
2
x
e 2007
x 1
, x > 1.
Khi x > 1
2
3
2x
2
3
2
x1xe
1x
1
ex'h
5
x 2 x
2
5
22
3 3x
h '' x e x 1 .2x e 0
2x 1
Đến đây, có một số lời giải như sau:
Lời giải 1. Đồ thị hàm số lõm, và hàm số nhận giá trị âm:
22
2 2012 0
3
f e
Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm x1 > 1, x2 > 1.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x; x) với x > 1.
Lời giải 2. Đồ thị hàm số lõm, và:

x
h
lim
1x
,
x
lim h x


,
2
2
h 2 e 2012 0
3
Suy ra phương trình (*) có đúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x; x) với x > 1.
Bình luận:
Lời giải 1 có hai sai lầm:
+ Trong chương trình Giải tích THPT hiện hành không có khái niệm "đồ
thị lõm".
+ Một hàm số có đồ thị lõm và nhận giá trị âm thì chưa hẵn đã có hai
nghiệm.
Lời giải 2 có một sai lầm:
+ Trong chương trình Giải tích THPT hiện hành không có khái niệm "đồ
thị lõm"
4
Lời giải đúng:
Từ
5
x 2 x
2
5
22
3 3x
h '' x e x 1 .2x e 0
2x 1
, suy ra h'(x) đồng biến, liên tục
trên (1, +).
Mặt khác,
1
lim '
x
h x

,


x
lim h ' x . Suy ra hàm số h'(x) đổi dấu từ âm
sang dương trên (1, +). Suy ra phương trình h(x) = 0 có không quá hai
nghiệm.
Cuối cùng do có

x
h
lim
1x
,
2
2
h 2 e 2007 0
3,
x
lim h x


, Suy ra
phương trình h(x) = 0 có đúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x; x) với x > 1.
Sau đây là một bài toán trên một trang Web
Bài toán 2. Giải phương trình 2
3 1 1
x x x x
.
Giải. ĐK x
0
Phương trình đã cho tương đương với 2
3 1 1 0
x x x x
(1)
Xét hàm số
2
( ) 3 1 1, 0; )
f x x x x x x

1 3
'( ) 2 1
2 2 3 1
f x x
x x
3 3
1 9
''( ) 2 0, 0.
4 4 (3 1)
f x x
x x
Đến đây, có một số lời giải như sau:
Lời giải 1. Đồ thị hàm số lồi, và hàm số nhận giá trị dương:
1 1 5 1 3 1 7
2 0
2 2 2 4 2 2 4
f
Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm.
Thấy ngay f(0) = f(1) = 0. Suy ra phương trình (1) có đúng hai nghiệm x = 0,
x = 1. Vậy, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x = 0, x = 1.
Lời giải 2. Đồ thị hàm số lồi, và hàm số nhận giá trị:
f(0) = 0, 1
0,
2
f
3 3 11 9 3 5 19
1 2 0
2 2 2 4 2 2 4
f
Suy ra phương trình (1) có không quá hai nghiệm.
Thấy ngay f(0) = f(1) = 0. Suy ra phương trình (1) có đúng hai nghiệm x = 0,
x = 1. Vậy, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x = 1, x = 2.
Lời giải 3. Theo Roll phương trình (1) có không quá hai nghiệm.
Thấy ngay f(0) = f(1) = 0. Suy ra phương trình (1) có đúng hai nghiệm x = 0,
x = 1. Vậy, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x = 0, x = 1.
5
Bình luận:
Lời giải 1 có hai sai lầm:
+ Trong chương trình Giải tích THPT hiện hành không có khái niệm "đồ
thị lồi"
+ Một hàm số có đồ thị lồi và nhận giá trị dương thì chưa hẵn đã có hai
nghiệm.
Lời giải 2 có một sai lầm:
+ Trong chương trình Giải tích THPT hiện hành không có khái niệm "đồ
thị lồi"
Lời giải 3 có một sai lầm:
+ Trong chương trình Giải tích THPT hiện hành không có định lý Roll.
Cách giải này chỉ có thể dùng trong các kỳ thi HSG.
Lời giải đúng:
Suy ra f ' nghịch biến, liên tục trên
[0;+ )
.
Mặt khác
0 0
1 3
lim '( ) lim 2 1
2 2 3 1
x x
f x x
x x

1 3
lim '( ) lim 2 1
2 2 3 1
x x
f x x
x x


Suy ra f '(x) đổi dấu từ dương sang âm trên
[0;+ )
nên phương trình (1) có
không quá hai nghiệm.
Thấy ngay f(0) = f(1) = 0. Suy ra phương trình (1) có đúng hai nghiệm x = 0,
x = 1. Vậy, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x = 0, x = 1.