Tài liệu Hàm số liên tục

Chia sẻ: Nguyễn Huy Vinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

406
lượt xem 56
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu "Hàm số liên tục" dưới đây để nắm bắt được định nghĩa, một số định lý cơ bản của hàm số liên tục, các dạng bài tập hàm số liên tục thường gặp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Hàm số liên tục

HÀM S LIÊN T C A/ TÓM T T LÍ THUY T: I. nh ngh a hàm s liên t c: 1) nh ngh a 1: Gi s! hàm s f ( x ) xác "nh trên kho ng ( a; b ) và x0 ∈ ( a; b ) . Hàm s f c g i là liên t c t i i#m x0 n u lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm s không liên t c t i i#m x0 c g i là gián o n t i x0. 2) nh ngh a 2: Hàm s f liên t c trên kho ng ( a; b ) n u nó liên t c t i m i i#m thu c kho ng ó. Hàm s f liên t c trên o n [ a; b ] n u nó liên t c trên kho ng ( a; b ) và lim f ( x ) = f ( a ) , lim f ( x ) = f ( b ) . x →a + x →b − II. M t s nh lí c b n v hàm s liên t c: 1) nh lí 1: a) Hàm a th$c liên t c trên t p R. b) Hàm phân th$c h%u t& và các hàm s l ng giác liên t c trên t'ng kho ng cu t p xác "nh c a chúng. 2) nh lí 2: Gi s! y = f ( x ) và y = g ( x ) là hai hàm s liên t c t i i#m x0. Khi ó: a) Các hàm s y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) , y = f ( x ) .g ( x ) liên t c t i i#m x0. f ( x) b) Hàm s y = liên t c t i i#m x0 n u g ( x0 ) ≠ 0. g ( x) 3) nh lí 3: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì t n t i ít nh t m t i#m c ∈ ( a; b ) sao cho f ( c ) = 0 . Nói cách khác: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( a; b ) . 2 http://kinhhoa.violet.vn
B/ CÁC D NG BÀI T P TH NG G P: D ng1: Xét tính liên t c c a hàm s t i i m x0. Ph ng pháp gi i: • Tính f ( x0 ) . • Tìm lim f ( x ) và áp d ng "nh ngh a 1). x → x0 Ví d 1: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 2. x3 − 8 khi x ≠ 2 f ( x) = x − x − 2 2 10 khi x = 2 3 L i gi i: 10 Ta có f ( 2 ) = 3 lim f ( x ) = lim x3 − 8 = lim ( ( x − 2) x2 + x + 4 = lim ) x 2 + x + 4 10 = = f ( 2) . x→2 x→2 x 2 − x − 2 x →2 ( x + 1)( x − 2 ) x→2 x +1 3 V y hàm s f liên t c t i i#m x0 = 2. --------------- Ví d 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 1. x −1 khi x ≠ 1 f ( x) = x −1 1 khi x = 1 L i gi i: Ta có f (1) = 1 x −1 x −1 1 1 lim f ( x ) = lim = lim = lim = ≠ f (1) . x →1 x →1 x −1 x →1 ( )( x −1 ) x +1 x →1 x +1 2 V y hàm s f không liên t c t i i#m x0 = 1. --------------- Ví d 3: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 2. x2 − x − 2 khi x > 2 f ( x) = x−2 5− x khi x ≤ 2 L i gi i: Ta có f ( 2 ) = 3 lim+ f ( x ) = lim+ x2 − x − 2 ( x − 2 )( x + 1) = lim x + 1 = 3 . = lim+ ( ) x →2 x→2 x−2 x →2 ( x − 2) x → 2+ 3 http://kinhhoa.violet.vn
lim f ( x ) = lim− ( 5 − x ) = 3 . x → 2− x→ 2 Suy ra lim f ( x ) = f ( 2 ) x→2 V y hàm s f liên t c t i i#m x0 = 2. --------------- Bài t p t gi i: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 x2 − 2 x − 3 khi x ≠ 3 f ( x) = x2 − 9 a) 1 (x0 = 3). khi x = 3 4 x+3 −2 khi x ≠ 1 f ( x) = x −1 b) 1 (x0 = 1). khi x = 1 4 x −5 khi x > 5 f ( x) = 2x −1 − 3 c) (x0 = 5). ( x − 5) 2 + 3 khi x ≤ 5 -------------------------------- D ng2: nh f ( x0 ) hàm s f liên t c t i i m x0 . Ph ng pháp gi i Tìm lim f ( x ) và l y f ( x0 ) = lim f ( x ) . x → x0 x → x0 Ví d 1: "nh f ( 0 ) # hàm s sau liên t c t i x = 0. 2− 4− x f ( x) = ( x ≠ 0) x L i gi i: 2− 4− x 4 − (4 − x) 1 1 Ta có lim f ( x ) = lim = lim = lim = . x →0 x →0 x x→0 ( x 2+ 4− x ) x →0 2 + 4 − x 4 1 V y hàm s ã cho liên t c t i x = 0 khi f ( 0 ) = . 4 --------------- x +1 − 2 khi x ≠ 3 f ( x) = x−3 Ví d 2: Cho hàm s a khi x = 3 "nh a # hàm s ã cho liên t c t i x = 3. 4 http://kinhhoa.violet.vn
L i gi i: Ta có f ( 3) = a x +1 − 2 ( x + 1) − 4 1 1 lim f ( x ) = lim = lim = lim = . x →3 x →3 x −3 x →3 ( ( x − 3) x + 1 + 2 x →3 ) x +1 + 2 4 1 V y hàm s ã cho liên t c t i x = 3 khi a = . 4 --------------- Bài t p t gi i: a) "nh f ( 9 ) # hàm s sau liên t c t i x = 9 3− x f ( x) = ( x ≠ 9). x−9 x2 + x + 1 −1 khi x ≠ 0 f ( x) = 3x b) Cho hàm s a khi x = 0 "nh a # hàm s ã cho liên t c t i x = 0. -------------------------------- D ng 3: Xét tính liên t c c a hàm s trên kho ng, o n. Ph ng pháp gi i: • Dùng "nh ngh a. • Dùng "nh lí c b n. Ví d 1: Ch$ng minh hàm s f ( x ) = 8 − 2 x 2 liên t c trên o n [ −2; 2] . L i gi i: Hàm s f ( x ) = 8 − 2 x 2 xác "nh trên o n [ −2; 2] . ∀x0 ∈ ( −2; 2 ) ta có lim f ( x ) = lim 8 − 2 x 2 = 8 − 2 x0 2 = f ( x0 ) x → x0 x → x0 V y hàm s ã cho liên t c trên kho ng ( −2; 2 ) . M t khác: lim f ( x ) = lim + 8 − 2 x 2 = 0 = f ( −2 ) x →( −2) + x →( −2) lim f ( x ) = lim− 8 − 2 x 2 = 0 = f ( 2 ) x → 2− x →2 Do ó hàm s ã cho liên t c trên o n [ −2; 2] . --------------- 5 http://kinhhoa.violet.vn
x3 − 1 khi x ≠ 1 f ( x ) = x −1 Ví d 2: Ch$ng minh hàm s liên t c trên R. 3 khi x = 1 L i gi i: Hàm s xác "nh trên R. x3 − 1 f ( x) = + N u x ≠ 1 thì x −1 Do f ( x ) là hàm phân th$c có t p xác "nh D = ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) nên f ( x ) liên t c trên các kho ng ( −∞;1) ; (1; +∞ ) . + N u x = 1 thì f (1) = 3 x3 − 1 lim f ( x ) = lim x →1 x →1 ( ) = lim x 2 + x + 1 = 3 = f (1) x − 1 x →1 Suy ra f ( x ) liên t c t i x = 1 . T' hai k t qu trên ta có f ( x ) liên t c trên R. --------------- Bài t p t gi i: 1 a) Ch$ng minh hàm s f ( x) = liên t c trên kho ng ( −∞; 2 ) . 2− x x 2 − 3x + 2 khi x ≠ 2 f ( x) = x−2 b) Ch$ng minh hàm s liên t c trên R. 1 khi x = 2 c) Ch$ng minh hàm s f ( x ) = x − 3 + 1 liên t c trên kho ng [3; +∞). x2 − x − 2 khi x ≠ −1 f ( x) = x +1 d) Cho hàm s a khi x = -1 "nh a # hàm s ã cho liên t c trên R. --------------- D ng 4: Ch ng minh m t ph ng trình có nghi m. Ph ng pháp gi i: S! d ng k t qu : N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( a; b ) . 6 http://kinhhoa.violet.vn
Ví d 1: Ch$ng minh r ng ph ng trình x 7 + 3 x5 − 2 = 0 có ít nh t m t nghi m. L i gi i: Xét hàm s f ( x ) = x 7 + 3x5 − 2 Ta có f ( x ) liên t c trên R f ( 0 ) = −2 < 0 Và f ( 0 ) . f (1) < 0 f (1) = 2 > 0 Nên ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( 0;1) , v y bài toán c ch$ng minh. --------------- Ví d 2: Ch$ng minh ph ng trình x 2 sin x + x cos x + 1 = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( 0; π ) . L i gi i: Ta có hàm s f ( x ) = x 2 sin x + x cos x + 1 liên t c trên R f (0) = 1 > 0 Và f ( 0 ) . f (π ) < 0 f (π ) = −π + 1 < 0 Nên ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈ ( 0; π ) . ( pcm) --------------- Ví d 3: Ch$ng minh ph ng trình m ( x − 1) ( x − 2 ) + 2 x − 3 = 0 luôn có 3 nghi m v i m i giá tr" c a m. L i gi i: Ta có hàm s f ( x ) = m ( x − 1) ( x − 2 ) + 2 x − 3 liên t c trên R 3 f (1) = −1 < 0 Và f (1) . f ( 2 ) < 0 ∀m ∈ R f ( 2) = 1 > 0 Nên ph ng trình m ( x − 1) ( x − 2 ) + 2 x − 3 = 0 luôn có nghi m v i m i giá 3 tr" c a m. ( pcm) --------------- Ví d 4: Ch$ng minh ph ng trình 2 sin x + m sin 2 x + 1 = 0 luôn có nghi m v i m i giá tr" c a m. L i gi i: Ta có hàm s f ( x ) = 2sin x + m sin 2 x + 1 liên t c trên R π f =3>0 2 π π Và f − .f
Nên ph ng trình 2sin x + m sin 2 x + 1 = 0 luôn có nghi m v i m i giá tr" c a m. ( pcm) --------------- Bài t p t gi i: 1) Ch$ng minh ph ng trình x3 − 3x + 1 = 0 có 3 nghi m phân bi t. 2) Ch$ng minh ph ng trình x 4 − x − 3 = 0 có nghi m x0 ∈ (1; 2 ) và x0 > 7 12. 3) Ch$ng minh v i m i giá tr" c a m, các ph ng trình sau luôn có nghi m: a) m ( x − 1) ( x + 2 ) + 2 x + 3 = 0 3 b) x 4 + mx 2 − 2mx − 2 = 0 c) 2 cos x + m cos 2 x − 1 = 0 --------------- Chú ý: N u i u ki n liên t c c a hàm s f trên o n [ a; b ] không còn thì không th# k t lu n v s t n t i nghi m c a ph ng trình f ( x ) = 0 trên kho ng ( a; b ) . 1 1 Ví d : Hàm s f ( x) = có f ( −1) . f (1) = −1 < 0 , nh ng ph ng trình =0 x x vô nghi m. --------------- C/ CÂU H I TR C NGHI M: x + 1 −1 1) Cho hàm s f ( x) = ( x ≠ 0 ) . Hàm s ó liên t c t i x = 0 khi x f ( 0 ) có giá tr" là: 1 A. -1 B. C. 1 D. 2 2 3− x khi x≠3 2) Cho hàm s f ( x) = x +1 − 2 . Hàm s ó liên t c t i m khi x=3 x = 3 khi m có giá tr" là: A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 1 khi x
4) Hàm s nào trong các hàm s sau ây không liên t c trên R? A. f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 1 B. f ( x ) = sin x + 2cos x x −1 x2 − 1 khi x ≠1 khi x ≠ −1 C. f ( x ) = x −1 D. f ( x ) = x + 1 2 khi x =1 2 khi x = −1 5) Hàm s nào trong các hàm s sau ây gián o n t i x = 0 ? x khi x≥0 f ( x) = A. f ( x ) = cot x B. − x khi x