intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu học tập môn Toán lớp 12 học kì 2 năm học 2022-2023

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:342

Thêm vào BST
Báo xấu
31
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Tài liệu học tập môn Toán lớp 12 học kì 2” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Chúc các bạn học tập thật tốt nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu học tập môn Toán lớp 12 học kì 2 năm học 2022-2023

  1. TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN Năm học 2022-2023 TOÁN 12 TOÁN TÀI LIỆU HỌC TẬP HỌC KỲ II 1 Tóm tắt lý thuyết 2 Ví dụ minh họa 3 Bài tập tự luận 4 Bài tập trắc nghiệm Họ và tên: .............................. Lớp: ................................. π π π π π π π π π π π π π π π TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ π π π π π
  2. Muåc luåc Phần I GIẢI TÍCH Chương 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 Chủ đề 1. Nguyên hàm 2 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dạng 1.Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dạng 2.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Dạng 3.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chủ đề 2. Tích phân 30 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Dạng 1.Dùng định nghĩa tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Dạng 2.Tính tích phân bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Zb Dạng 3.Tích phân hàm số chứa trị tuyệt đối | f ( x)| d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 a Dạng 4.Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Dạng 5.Phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chủ đề 3. Ứng dụng tích phân 76 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Dạng 1.Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành và hai cận . 78 Dạng 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Dạng 3.Thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Dạng 4.Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Dạng 5.Bài toán thực tế: Tìm vận tốc, quãng đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
  3. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Chương 4. SỐ PHỨC 123 Chủ đề 1. Số phức 123 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Dạng 1.Xác định phần thực - phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Dạng 2.Xác định mô-đun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Dạng 3.Hai số phức bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Dạng 4.Tìm tập hợp điểm biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Dạng 5.Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Chủ đề 2. Cộng, trừ và nhân số phức 146 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Dạng 1.Cộng trừ hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Dạng 2.Phép nhân hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Chủ đề 3. Phép chia số phức 163 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Dạng 1.Phép chia số phức đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Dạng 2.Các bài toán tìm phần thực và phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Dạng 3.Một số bài toán xác định môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Dạng 4.Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Chủ đề 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực 183 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Dạng 1.Giải phương trình bậc hai hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Dạng 2.Phương trình bậc cao với hệ số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Phần II HÌNH HỌC Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN 200 MỤC LỤC ii
  4. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian 200 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Dạng 1.Các phép toán về tọa độ của vectơ và điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Dạng 2.Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. 208 Dạng 3.Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Chủ đề 2. Phương trình mặt phẳng 232 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Dạng 1.Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Dạng 2.Diện tích của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Dạng 3.Thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Dạng 4.Thể tích khối hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Dạng 5.Tính khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Dạng 6.Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Dạng 7.Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Dạng 8.Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Dạng 9.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Dạng 10.Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Dạng 11.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vectơ chỉ phương cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Dạng 12.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song mặt phẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Dạng 13.Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Dạng 14.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Dạng 15.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Dạng 16.Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng cắt nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Dạng 17.Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm cho trước 257 iii MỤC LỤC
  5. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Dạng 18.Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Chủ đề 3. Phương trình đường thẳng trong không gian 287 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Dạng 1.Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm thuộc nó và một véc-tơ chỉ phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Dạng 2.Viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước . . . . . . . 291 Dạng 3.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cho trước và vuông góc với mặt phẳng (α) cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Dạng 4.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với một đường thẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Dạng 5.Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P ) và (Q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Dạng 6.Đường thẳng d qua M song song với mp(P ) và vuông góc với d ′ (d ′ không vuông góc với ∆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Dạng 7.Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Dạng 8.Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Dạng 9.Vị trí tương đối giữa đường và mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Dạng 10.Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Dạng 11.Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Dạng 12.Tọa độ hình chiếu của điểm lên đường-mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 MỤC LỤC iv
  6. PHẦN I GIẢI TÍCH
  7. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Chûúng 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG Chuã àïì 1 NGUYÊN HÀM A Tóm tắt lí thuyết . c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F ′ ( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . c Định lí 1.1. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . c Định lí 1.2. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số. c Định lí 1.3. Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 1. Tính chất của nguyên hàm Z c Tính chất 1.1. f ′ ( x) d x = f ( x) + C Z Z c Tính chất 1.2. k f ( x) d x = k. f ( x) d x ( k là một hằng số khác 0). Z Z Z c Tính chất 1.3. [ f ( x) ± g( x)] d x = f ( x) d x ± g( x) d x 2. Phương pháp tìm nguyên hàm 2.1. Phương pháp đổi biến số Z c Định lí 1.4. Nếu f (u) d u = F (u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f ( u( x)) u′ ( x) d x = F ( u( x)) + C. 2.2. Phương pháp từng phần c Định lí 1.5. Nếu hai hàm số u = u( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì Z Z ′ u( x).v x() d x = u( x)v( x) − u′ ( x)v( x) d x. 2
  8. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Lưu ý: Vì u′ ( x) d x = dv, u′ ( x) d x = d u nên Z đẳng thức Z trên còn được viết ở dạng u d u = uv − v d v. Z Để tính nguyên hàm f ( x) d x bằng từng phần ta làm như sau: Z ○ Bước 1. Chọn u, v sao cho f ( x) d x = u dv (chú ý dv = v ( x) d x). Sau đó tính v = ′ dv và d u = u ′ · d x. Z ○ Bước 2. Thay vào công thức (∗) và tính vd u . Z Lưu ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân v du Z dễ tính hơn u d v. Ta thường gặp các dạng sau: Z · ¸ sin x Dạng 1. I = P ( x) d x. Với dạng này, ta đặt cos x   u = P·( x) ¸ sin x  dv = dx cos x Z Dạng 2. I = P ( x) e ax+b d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt ( u = P ( x) Z dv = e ax+b d x Dạng 3. I = P ( x) ln (mx + n) d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt ( u = ln ( mx + n) Z · ¸ d v = P ( x) d x . sin x x Dạng 4. I = e d x. Với dạng này, ta đặt cos x  · ¸ sin x u=  cos x dv = e x d x  BẢNG NGUYÊN HÀM Z Z 1 dx = x + C 2 kd x = kx + C x n+1 1 (ax + b)n+1 Z Z 3 xn dx = +C 4 (ax + b)n d x = +C n+1 a n+1 dx 1 dx 1 1 Z Z 5 = − +C 6 2 =− . +C x2 x (ax + b) a ax + b dx dx 1 Z Z 7 = ln | x| + C 8 = ln |ax + b| + C x ax + b a 1 Z Z 9 ex d x = ex + C 10 eax+b d x = eax+b + C a ax 1 aα x+β Z Z 11 a x d x = +C 12 aα x+β d x = +C ln a α ln a 1 Z Z 13 cos xd x = sin x + C 14 cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C a 3 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
  9. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 1 Z Z 15 sin xd x = − cos x + C 16 sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C a dx dx 1 Z Z 17 = tan x + C 18 2 = tan(ax + b) + C cos2 x cos (ax + b) a dx dx 1 Z Z 19 = − cot x + C 20 2 = − cot(ax + b) + C sin2 x sin (ax + b) a 1 Z Z 21 tan xd x = − ln |cos x| + C 22 tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C a 1 Z Z 23 cot xd x = ln |sin x| + C 24 cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C a Z 1 1 ¯x−a¯ Z 1 1 x 25 d x = ln ¯+C 26 d x = arctan + C ¯ ¯ 2 2 2 2 ¯ x −a 2a x+a x +a a a B Các dạng toán Dạng 1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải: Phương pháp 1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−−−−→ khai triển. Phương pháp 2 Tích các hàm mũ −−−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. Phương pháp 3 Chứa căn −−−−−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. Phương pháp 4 Tích lượng giác bậc một của sin và cos −−−−−−−−−−→ sử dụng công thức tích thành tổng. 1 ○ sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] 2 1 ○ sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 ○ cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 Phương pháp 5 Bậc chẵn của sin, cos −−−−−−−−−−→ hạ bậc. 1 1 1 1 ○ sin2 a = − cos 2a ○ cos2 a = + cos 2a 2 2 2 2 P ( x) Z 6 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ d x với P ( x), Q ( x) là các đa thức. Q ( x) Phương pháp ○ Nếu bậc của tử P ( x) ≥ bậc của mẫu Q ( x) −−−−−−−−−−→ chia đa thức. Phương pháp ○ Nếu bậc của tử P ( x) < bậc của mẫu Q ( x) −−−−−−−−−−→ phân tích mẫu số Q ( x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về tổng của phân số 1 A Bx + C ✓ ¡ ¢=+ 2 , với ∆ = b2 − 4ac. ( x − m) ax2 + bx + c x − m ax + bx + c 1 A B C D ✓ = + + + . ( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 ( x − b) ( x − b)2 1. NGUYÊN HÀM 4
  10. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 1. Ví dụ minh họa VÍ DỤ 1 Tính các nguyên hàm của hàm số sau: 1 a) f ( x) = 3 x2 + x. b) f ( x) = x2 − 3 x ( x + 1). ¡ ¢ 3 BÀI GIẢI 1 x2 Z µ ¶ a) Ta có: F ( x) = 2 3 x + x d x = x3 + + C . 3 6 x4 2 x3 3 x2 Z Z ¡ 2 ¡ 3 x − 2 x2 − 3 x d x = ¢ ¢ b) Ta có: F ( x) = x − 3 x ( x + 1)d x = − − + C. 4 3 2 Nguyên hàm hữu tỷ L P ( x) Z Nguyên hàm của hàm hữu tỷ d x. Q ( x) VÍ DỤ 2 Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x2 − 3 x + 1 2x + 1 2x − 1 a) f ( x) = b) f ( x) = c) f ( x) = x x+1 x2 − x − 2 BÀI GIẢI 2 x2 − 3 x + 1 1 Z Z µ ¶ a) F ( x) = 2 x − 3 + d x = x2 − 3 x + ln | x| + C dx = x x b) Thực hiện chia đa thức 2 x + 1 cho x + 1 ta được. 2x + 1 1 f ( x) = = 2− . Zx + µ1 ¶x + 1 1 F ( x) = 2− d x = 2 x − ln | x + 1| + C x+1 (Sắp xếp phép chia đa thức hình bên) 2x − 1 2x − 1 A B ( A + B) x − 2 A + B c) Ta viết f ( x) = = = + = ( x2 − x − 2) ( x +(1)( x − 2) x + 1 x(− 2 ( x − 2)( x + 1) A+B =2 A=1 Đồng nhất thức 2 vế ta được: ⇔ − 2 A + B = −1 B=1 2x − 1 1 1 Ta viết lại: f ( x) = 2 = + . Z ( x − x − 2) Zx + µ 1 x−2 ¶ 2x − 1 1 1 Khi đó: F ( x) = 2 dx = + d x = ln | x + 1| + ln | x − 2| + C x − x−2 x+1 x−2 Tìm một nguyên hàm L Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k. VÍ DỤ 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của các hàm số sau: a) f ( x) = − x3 + 3 x2 − 2 x thỏa mãn F (1) = 1. 1 b) f ( x) = f ( x) = thỏa mãn F (1) = 2 ln 3. 2x − 5 2 c) f ′ ( x) = , biết f (0) = 2 và f (2) = 4. Tính giá trị P = f (−2) + f (5). x−1 BÀI GIẢI 5 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
  11. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 x4 Z a) Ta có F ( x) = − x + 3 x − 2 x d x = − + x3 − x2 + C . 3 2 ¡ ¢ 4 14 5 Theo giả thiết: F (1) = 1 ⇔ − + 1 − 12 + C = 1 ⇔ C = 3 4 4 x4 5 Vậy F ( x) = − + x3 − x2 + 4 4 1 1 Z b) Ta có: F ( x) = d x = . ln |2 x − 5| + C 2x − 5 2 1 1 Theo giả thiết: F (1) = 2 ln 3 ⇔ . ln |2.1 − 5| + C = 2 ln 3 ⇔ ln 3 + C = 2 ln 3 2 2 3 ⇔ C = ln 3. 2 1 3 Vậy F ( x) = ln |2 x − 5| + ln 3 . 2 2 2 Z Z ′ c) Ta có: f ( x)d x = f ( x) + C ⇔ f ( x) = d x − C = 2 ln | x − 1| − C . ( ( x − 1( ( f (0) = 2 2. ln |0 − 1| − C 1 = 2 C 1 = −2 f ( x) = 2 ln | x − 1| + 2 Ta có ⇔ ⇔ ⇒ . f (2) = 4 2. ln |2 − 1| − C 2 = 4 C 2 = −4 f ( x) = 2 ln | x − 1| + 4 Ta có: P = f (−2) + f (5) = (2 ln 3 + 2) + (2 ln 4 + 4) = ln 144 + 6. 2. Bài tập tương tự Bài 1. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x) = 2 x3 − 5 x2 − 4 x + 7 b) f ( x) = 6 x5 − 12 x3 + x2 − 8 ¢2 c) f ( x) = ( x − 1) x2 + 2 d) f ( x) = x x2 + 1 ¡ ¢ ¡ Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 2. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 1 2 4 2 a) f ( x) = 3 − 2+ 4 b) f ( x) = x x x (2 x − 1)3 1 1 6 9 c) f ( x) = + d) f ( x) = − x (2 − x)2 (3 x − 1)2 3x − 1 Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 1. NGUYÊN HÀM 6
  12. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Bài 3. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: p p p 1 a) f ( x) = x + 3 x b) f ( x) = x − p 4 x 1 p 3 1 c) f ( x) = − (2 x − 1)2 d) f ( x) = p x 3 (1 + 2 x)4 Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 4. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 2 3 2 ³π ´ a) f ( x) = +1− . b) f ( x) = + 2 x + cos − 3x . 3 − 2x cos2 x x 6 2 c) f ( x) = 3 x − e3x + . d) f ( x) = 2 − 31−4x + sin 2 x. sin2 4 x Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 5. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 3 1 a) f ( x) = sin2 x + . b) f ( x) = + cos2 2 x. 2 2 c) f ( x) = cos 2 x. cos x + 1. d) f ( x) = cos x. cos 3 x + sin2 2x . Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 6. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 7 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
  13. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 ¢2 x2 − 1 ¡ p p p a) f ( x) = . b) f ( x) = x + 3 x + 4 x. x2 p 1 c) f ( x) = (1 − 3 x)5 . d) f ( x) = 3 1 − 4 x + p 5 . 1 + 2x Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 7. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 4 x2 + 1 x−1 a) f ( x) = . b) f ( x) = . 2x 2x + 3 x3 + 2 2 c) f ( x) = . d) f ( x) = . x+2 x2 + x − 2 2x − 1 3 e) f ( x) = 2 . f) f ( x) = . 2x − x − 1 x( x + 3) Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 8. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa điều kiện cho trước: a) f ( x) = x3 − 4 x + 1; F (1) = 3. b) f ( x) = 3 − cos x; F (π) = 2. 3 − 5 x2 x2 + 1 3 c) f ( x) = ; F (e) = 1. d) f ( x) = ; F (1) = . x x 2 Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 1. NGUYÊN HÀM 8
  14. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 9. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa điều kiện cho trước: 5 1 a) f ( x) = ; F (2) = 3 ln 2. b) f ( x) = ; F (0) = 2. Tính F (e). 2 − 10 x 2x + 1 1 1 c) f ′ ( x) = và f (1) = 1. Tính f (5). d) f ′ ( x) = , biết f (0) = 1 và f (1) = 2. Tính 2x − 1 2x − 1 giá trị P = f (−1) + f (5). Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... LUYỆN TẬP 1 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 5 a) f ( x) = 3 x3 − 2 + . b) f ( x) = (3 x − 1)(2 x2 + 1). x c) f ( x) = x(3 x − 1)2 . d) f ( x) = (2 x2 − 1)2 . 2 1 p e) f ( x) = (3 x − 1)5 . f) f ( x) = 3 + 4 3 + 3 x − 1. x (3 − 2 x) LUYỆN TẬP 2 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 3 a) f ( x) = 3 x − e1+4x + . b) f ( x) = 3x + sin (5 − 10 x) + 9. 2 + 4x ³π ´ c) f ( x) = cos − 5 x + e x + 1. d) f ( x) = e x (e x − 1). 3 µ ¶− x e− x 1 3 µ ¶ x x e) f ( x) = e 2 + . f) f ( x) = 2 . + . cos2 x 3 cos2 5 x LUYỆN TẬP 3 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x) = 1 − sin2 2 x. b) f ( x) = cos2 3 x − 3. c) f ( x) = 2 sin 3 x. cos 2 x. d) f ( x) = 4 sin 6 x sin x. LUYỆN TẬP 4 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x3 + 2 x + 1 5x − 1 a) f ( x) = . b) f ( x) = . x x+2 3 3x − 1 c) f ( x) = 2 . d) f ( x) = 2 . x − x−6 3x − x − 4 9 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
  15. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 LUYỆN TẬP 5 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước x3 − 1 a) f ( x) = ; F (−2) = 0 b) f ( x) = − x3 + 3 x2 − 2 x; F (1) = 0 x2 1 2 µ ¶ 3 2 5 c) f ( x) = x + 3 x + 2; F (2) = 14. Tính F (−2) d) f ( x) = (1 − 2 x) ; − = . Tính F (1) 2 3 LUYỆN TẬP 6 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước p 4 p 1 a) f ( x) = 2 x − 1; F (1) = b) f ( x) = 3 2 x − 4; F (−2) = 3 4 2 p 1 p c) f ( x) = p ; F (3) = 3 11 d) f ( x) = p ; F (2) = 5 4x − 1 3x − 1 3 p 6x e) f ( x) = p p ; F (1) = 2 f) f ( x) = p p ; F (2) = 1 2x + 1 − 2x − 2 3x + 7 − 7 − 3x LUYỆN TẬP 7 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước e a) f ( x) = e3x ; F (0) = 1 b) f ( x) = e3x+1 ; F (0) = 3 ¢2 3 c) f ( x) = 2 + e3x ; F (0) = d) f ( x) = e x 2e2 + 1 ; F (0) = 1 ¡ ¡ ¢ 2 p 1 µ ¶ e) f ( x) = ex (3 + e−x ); F (ln 2) = 3 f) f ( x) = e 4x −2 ;F =1 2 VẬN DỤNG 1 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa ³ π ´điều kiện cho trước ³π´ π x a) f ( x) = sin 2 x. sin x; F = 0. b) f ( x) = sin2 ; F = . 3 2 2 4 3 p 6x c) f ( x) = p p ; F (1) = 2 d) f ( x) = p p ; F (2) = 1 2x + 1 − 2x − 2 3x + 7 − 7 − 3x ³π´ 3 ³ π ´ 3π e) f ( x) = cos4 x − sin4 x; F = . f) f ( x) = cos4 x − sin4 x; F = 4 2 4 16 VẬN DỤNG 2 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước 1 1 a) f ( x) = 3x − 2x .3x ; F (0) = − +2 b) f ( x) = 9x − 3 x2 ; F (0) = +2 ln 6 ln 9 2 x c) f ( x) = 4x .22x+3 ; F (0) = − . Tính A = d) f ( x) = ; F (2) = 3 − ln 3 ln 2 x+1 [ln 2.F (1)]3 210 x3 5 x3 e) f ( x) = ; F (2) = f) f ( x) = ; F (−3) = 0. Tính F (−1). x−1 3 x+2 VẬN DỤNG 3 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước 5x + 3 9 x − 10 a) f ( x) = ; F (−2) = 18 ln 2 b) f ( x) = ; F (1) = ln 2 x2 + 7 x + 12 6 x2 − 11 x + 3 1. NGUYÊN HÀM 10
  16. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 4 x + 11 1 3 µ ¶ c) f ( x) = 2 ; F (1) = ln 2. Tính eF(−4) d) f ( x) = 2 ; F (3) = 0. Tính F x + 5x + 6 x − 3x + 2 2 1 5 e) f ( x) = 2 ; F (1) = − ln 2 x + 3x 3 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Z Cho f ( u)d x = F ( u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm và liên tục thì Z f [ u( x)] u′ ( x)d x = F [ u( x)] + C Phương pháp giải: đạo hàm 2 vế Đặt t = u( x) −−−−−−−−−→ d t = u′ ( x)d x. Lưu ý: Sau khi biến đổi và tính nguyên hàm xong, cần trả lại biến cũ ban đầu là x. Một số dạng biến đổi thường gặp Dạng toán Cách đặt t Z ¢m f ax n+1 + b . x n d x t = ax n+1 + b ⇒ d t = a( n + 1) x n d x . ¡ 1 Z µ n ¶m x 2 f dx t = ax n+1 ⇒ d t = a( n + 1) x n d x. ax n+1 Z ¢n f ax2 + b d x t = ax2 + b ⇒ d t = 2axd x. ¡ 3 Z p n f ( x) f ′ ( x)d x f ( x) ⇒ t n = f ( x) ⇒ nt n−1 d t = f ′ ( x)d x. p n 4 t= 1 1 Z 5 f (ln x) . d x t = ln x ⇒ d t = d x. x x Z f e x .e x d x t = e x ⇒ d t = e x d x. ¡ ¢ 6 Z 7 f (cos x) . sin xd x t = cos x ⇒ d t = − sin xd x. Z 8 f (sin x) . cos xd x t = sin x ⇒ d t = cos xd x. 1 1 Z d x = 1 + tan2 x d x. ¡ ¢ 9 f (tan x) . dx t = tan x ⇒ d t = cos2 x 2 cos x 1 1 Z t = cot x ⇒ d t = − 2 d x = − 1 + cot2 x d x. ¡ ¢ 10 f (cot x) . 2 d x sin x sin x t = cos2 x ⇒ d t = − sin 2 xdx " Z f sin x; cos2 x . sin 2 xd x ¡ 2 . ¢ 11 t = sin2 x ⇒ d t = 2 sin x cos xd x Z 12 f (sin x ± cos x) . (cos x ± sin x) d x t = cos x ± sin x ⇒ d t = (cos x ∓ sin x) d x. 11 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
  17. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 1. Ví dụ minh họa VÍ DỤ 1 Tính các nguyên Z hàm của các hàm số sau: Z 2021 ¢5 x2 + 1 xd x. ¡ a) A = (1 − x) xd x. b) B = Z p Z c) I = x2 + 3 xd x. d) D = sin3 x. cos xd x BÀI GIẢI a) Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒ d x = −d t. t2023 t2022 Z Z 2021 t2021 − t2022 d t = ¡ ¢ A=− t (1 − t)d t = − − +C 2023 2022 (1 − x)2023 (1 − x)2022 = − +C 2023 2022 dt b) Đặt t = x2 + 1 ⇒ d t = 2 xd x ⇒ = xd x. 2 5 dt 1 t6 Z Z B= t = t5 d t = +C 2 2 12 ¡ 2 ¢6 x +1 = +C p 12 c) Đặt t = x2 + 3 ⇒ t2 = x2 + 3 ⇒ td t = xd x. ³p ´3 Z Z t3 x2 + 3 I= t.td t = t2 d t = +C = + C. 3 3 d) Đặt t = sin x ⇒ d t = cos xd x t4 sin4 x Z D= t3 d t = +C = + C. VÍ DỤ 2 4 4 Tính các Znguyên sau: Z p ln x a) I = d x. b) J = 5 − e x e x d x. x Z p 1 + tan x Z c) K = d x. d) H = sin3 xd x. cos2 x BÀI GIẢI dx a) Đặt t = ln x ⇒ d x = . x t2 ln2 x Z I= td t = +C = +C 2 2 p b) Đặt t = 5 − e x ⇒ t2 = 5 − e x ⇒ 2 td t = −e x d x 2 2 ³p Z Z ´3 J =− t.2 td t = −2 t2 d t = − t3 + C = − 5 − e x + C. 3 3 p dx c) Đặt t = 1 + tan x ⇒ t2 = 1 + tan x ⇒ 2 td t = cos2 x 2 2 ³p Z Z ´3 K= t.2 td t = 2 t2 d t = t3 + C = 1 + tan x + C 3 3 1. NGUYÊN HÀM 12
  18. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Z Z Z 3 2 1 − cos2 x . sin x d x ¡ ¢ d) Ta viết lại H = sin xd x = sin x. sin xd x = Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin xd x t3 cos3 x Z 1 − t2 d t = − t + C = ¡ ¢ H=− − cos x + C. 3 3 2. Bài tập tương tự Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: x Z Z ¡ 2 ¢7 a) I = 2 x + 1 x d x. b) J = d x. x2 + 5 3 x2 Z p Z 3 c) H = x2 + 1 x d x. d) K = p d x. 5 + 2 x3 Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: ex Z Z 2 a) I = p d x. b) J = ex +1 x d x. ex − 3 p e x etan x Z Z c) H = p d x. d) K = xd x. x cos2 Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 13 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
  19. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: ln3 x 1 + ln2 x Z Z a) I = d x. b) J = d x. x x Z p 3 ln x + 1 4 + ln x Z c) H = d x. d) K = d x. x. ln x x Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 4. Tính các nguyên hàm sau: sin x Z Z 2021 a) I = cos x. sin x d x. b) J = d x. cos2 x Z Z p c) H = sin 2 x. cos2 x d x. d) K = 1 + 4 cos x.2 sin xd x. Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... LUYỆN TẬP 1 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: x x3 d x Z Z a) I = d x. b) J = ¢3 . ( x + 1)5 ¡ 1 + x2 4 x3 x5 Z Z c) H = ¢2 d x . d) K = d x. x2 + 1 ¡ x4 + 2 1. NGUYÊN HÀM 14
  20. TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 LUYỆN TẬP 2 Tính các Znguyên hàm của các hàm số sau: (2 x − 3) Z p 3 a) I = p d x. b) J = x2 − 2021.x d x. x2 − 3 x − 5 2x x2 Z Z c) H = p 3 d x. d) K = p d x. x2 + 4 1− x LUYỆN TẬP 3 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: p ln x ln x 1 + 3 ln x Z Z a) I = p d x. b) J = d x. x 1 + ln x x dx ln2 x Z Z c) H = p3 d x. d) K = p d x. x 1 + ln x x 1 + ln x 1 ln x Z Z e) M = f) N = dx x (2 + ln x)2 p x ln x 6 + 3 ln2 x LUYỆN TẬP 4 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: p ex ln x 1 + 3 ln x Z Z a) I = p d x. b) J = d x. ex + 3 x dx dx Z Z c) H = p d x. d) K = d x. 3 x 1 + ln x e x + e− x e2x ex Z Z e) M = p dx f) N = d x. e2 + 1 e x + e− x LUYỆN TẬP 5 Tính các Znguyên hàm của các hàm số sau: sin x sin x Z a) I = d x. b) J = d x. cos2 x 2 + cos x 5 sin3 x Z Z c) H = d x. d) K = sin2 x. tan x d x. 1 − cos x sin 2 x. cos x sin 2 x Z Z e) M = dx f) N = d x. 1 − cos x 4 − cos2 x LUYỆN TẬP 6 Tính các Znguyên hàm của các hàm số sau: Z 3 a) I = cos x d x. b) J = (1 + 2 sin x) cos x d x. cos x sin 2 x Z Z c) H = d x. d) K = d x. 4 + sin x 1 − sin x cos x Z Z e) M = sin 2 x. sin5 xd x f) N = p d x. 2 + 3 sin x + 1 LUYỆN TẬP 7 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: sin2 x (1 + tan x)2 Z Z a) I = d x. b) J = d x. cos4 x cos2 x dx (2 − cot x)2 Z Z c) H = d x. d) K = d x. cos4 x sin2 x 15 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2