Chủ đề 6
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki –
Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng
trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này
chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga
Bunhiacopxki.
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó
ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán
THCS, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki.
2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki
a. Dạng tổng quát
+ Cho hai dãy số tùy ý 123 n
a ; a ; a ; ...; a và 123 n
b ; b ; b ; ...; b . Khi đó ta có:
Dạng 1:


2
22 222 2
12 n12 n 1122 nn
a a ... a b b ... b a b a b ... a b
Dạng 2:

22 222 2
12 n12 n 1122 nn
a a ... a b b ... b a b a b ... a b   
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: 12 n
12 n
aa a
...
bb b

Dạng 3:

22 222 2
12 n12 n 1122 nn
a a ... a b b ... b a b a b ... a b   
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: 12 n
12 n
aa a
... 0
bb b

Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý 12 n
a ; a ; ...; a và 12 n
x ; x ; ...; x với 12 n
x ; x ; ...; x 0
Khi đó ta có

2
22 2
12 n
12 n
12 n 12 n
aa...a
aa a
...
x x x x x ... x

 
- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là: 12 n
12 n
aa a
... 0
xx x

Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức
Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng
phân thức.
b. Một số dạng đặc biệt
n2 n3


2
2222
abxy axby


2
222222
abcxyz aybycz 

2222
abxy axby

222222
abcxyz aybycz 

2222
abxy axby

222222
abcxyz aybycz 

2
22ab
ab
xy xy


x, y 0

2
222abc
abc
xyz xyz

 

x, y 0
Đẳng thức xẩy ra khi ab
xy
Đẳng thức xẩy ra khi abc
xyz

B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng
minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác
định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số ví
dụ sau
Ví dụ 1.1: Cho a là số thức dương thỏa mãn mãn a2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
1
Aa a

+ Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: 2
2
11
A a 2a. 2
a
a

.
Sai lầm 2:

2
2
2
11111
A11a a .42
22a2
a

  


Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2.
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại
1
aa1
a
 trái với giả thiết a2
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức


2
2222
abxy axby với dấu đẳng thức xẩy ra
tại ab
xy
. Giả sử với các số ;
ta có

2222
222 2 22
11 1 1
Aa .a . aa
aa

 





Ta cần chọn hai số ;
sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
a2 4
a1 1
a



+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

2
222
22
22
11 1 1 1
Aa a .4 1 4a
17 17 a
aa
1a 1 15a 1 15 17
1
54 a 4 17 2 4





 


Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 .
4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2.
Ví dụ 1.2: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn ab 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
22
11
Aa b
ab

+ Sai lầm thường gặp:
22
22
11
Aa b 2222
ab

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 22.
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 22 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại
11
ab ab1
ab
 
Khi đó ab2 trái với giả thiết ab4
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức

2222
abxy axby với dấu đẳng thức xẩy ra
tại ab
0
xy

. Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số ;
ta có



2222
22
22 22
2222
22
22 22
22
11 1 1
a.a. a
a
aa
11 1 1
b.b. b
b
bb
111
Aab
ab

 

 



















Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại
ab2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
a1
4
a
ab2 b1 1
b





+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có


2222
22
2222
22
11 1 1 1
a.a.414a
a
aa
17 17
11 1 1 1
b.b.414b
b
cb
17 17








Khi đó ta được

111
A4ab
ab
17







Để ý ta thấy 11 4
abab
, do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được
 
15 a b
141ab4
A4ab
ab 4 ab 4
17 17
1215 17
17












Dấu đẳng thức xẩy ra
a1
4a ab2
b1
4b

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17. Đẳng thức xẩy ra khi ab2.
Ví dụ 1.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa abc6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
222
111
Aa b c
bca

+ Sai lầm thường gặp:
3
222
222
111abc
A a b c 2. 2. 2. 3 2 2 3 2
bca
bca

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 32
.
+ Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 32
thì dấu đẳng thức xẩy ra tại
111
abc abc1
abc
 
Khi đó abc 3 không thỏa mãn giả thiết abc6
+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức

2222
abxy axby với dấu đẳng thức xẩy ra
tại ab
0
xy
. Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số ;
ta có



2222
22
22 22
2222
22
22 22
2222
22
22 22
11 1 1
a.a. a
b
bb
11 1 1
b.b. b
c
cc
11 1 1
c.c. c
a
aa

 

 

 
















22
1111
Aabc
abc









Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại
abc2
. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
a1
b
4
b1 4
abc2 abbcca 1
c1
c1
a






+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có



2222
22
2222
22
2222
22
11 1 1 1
a.a.414a
b
bb
17 17
11 1 1 1
b.b.414b
c
cc
17 17
11 1 1 1
c.c.414c
a
aa
17 17

 










Khi đó ta được

1111
A4abc
abc
17







Để ý ta thấy 111 9
abcabc
, do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được
 
15 a b c
191abc9
A4abc
abc 4 abc 4
17 17
115 3 317
.6 2.
422
17







 







Dấu đẳng thức xẩy ra
a1
4b
b1 abc2
4c
c1
4a

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 317
,
2 khi abc2
Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b,c thỏa abc6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
111
Aa b c
bc ca ab


Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ;
ta
có: