THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

CHñ §Ò: tæ hîp vμ sè phøc n¨m häc: 2010 - 2011 Hä vμ tªn: NguyÔn V¨n Loan Tæ: To¸n (cid:31) Tin Tr¦êng THPT CÈm Lý

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 1

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

CCHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ:: SSỐỐ PPHHỨỨCC

11.. ĐĐỊỊNNHH NNGGHHĨĨAA PPHHÉÉPP TTOOÁÁNN SSỐỐ PPHHỨỨCC I> Khái niệm số phức:

 Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2i = –1.

Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.

 Tập hợp các số phức kí hiệu là (cid:0) = {a + b i / a, b (cid:0) và 2i = –1}. Ta có (cid:0)  (cid:0) .  Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a (cid:0)  (cid:0)  Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i  Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.

II> Số phức bằng nhau:

a

'

 Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z 

'

a   b b 

 VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) 2

3 2

2

2

y

x

x

x

1

(1) 

  y

 x

7

x

2

y

0

3 

  

  

  

y   y 1 3     III> Biểu diễn hình học của số phức:

 Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).  Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục

hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

 VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: Az = 1 + 4 i , Bz = –3 + 0. i , Cz = 0 –2 i , Dz = 4 – i

IV> Môđun của số phức:

 Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt được gọi là môđun của số

 phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM 2

2

phức z. Kí hiệu

z = a + bi = a + b

2

z

i 3 4

2 3

( 4)

= 5

 

 

 VD: z = 3 – 4 i có

2

2

2

2

2

2

2

z

a

b

2

abi

(

a

b

2 2 )

4

2 2 a b

a

b

z

 Chú ý:

V> Số phức liên hợp:

 Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z

a bi   .

z = a - bi ;

z ,

z = a + bi

Chú

ý

z z = z *

n

(

Z

(

i

i

i

Z  Z

Z

Z 

)  

n ;) ; Z i  Z là số thực  Z là số ảo 

2

2

Z

OM

a

b

. zz

* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b  R)

Chú ý:

Z

 z  C

Z 

 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.

VI> Cộng, trừ số phức:

z

'

. Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i

a bi   và

'  

 Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i  Cho z a b i '  Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.

VII> Phép nhân số phức:

a b i '

z

'

 Cho hai số phức z

. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2i = –1

'  

2

2

a bi   và và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i  k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z (cid:0)  z. z = (a + b i )(a – b i ) hay

2 z.z = a + b = z

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 2

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

2

2z + 4 thành nhân tử.

2z + 4 =

2z –

(2 )i

= (z – 2 i )(z + 2 i ).

 VD: Phân tích  Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.

VIII> Phép chia số phức:

z

a bi

 Số nghịch đảo của số phức z

hay

   0 là

=

-1 z = =

2

2

1 z

1 a + bi

a - bi 2 a + b

z

'

a bi

z

'

a b i '

hay

 Cho hai số phức z

thì

'  

   0 và

=

z z '. 2

2

z z

a' + b'i a + bi

(a' + b'i)(a - bi) 2 a + b

z

 VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i .

i

Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i  z =

z

z

i

z  

   

i 2 2   8

1 4

1 4

i i 2 2

(2 2 ) i  4 4 

IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N

4k+1

4k+ 2

4k+ 3

i = 1; i

= -1;

= -i

= i;

i

i

13

(2 2 )i

 4k  VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z =

6

2

6

6

z

i (8 ) (2 2 )

i

19 2

i

(2 2 ) i 

(2 2 ) i 

 

6 8 .2 8 .2 i 

19 2  

 

, phần ảo b =

192

  Phần thực a =

192

22..BBÀÀII TTẬẬPP PPHHÉÉPP TTOOÁÁNN SSỐỐ PPHHỨỨCC..

1) Tìm các số thực x, y biết:

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 1

3

5

1

 Hướng dẫn: a) x =

, y =

c) x =

, y =

b) x = 0, y = 1.

3 2

4 3

 2

 3

2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:

a) Phần thực của z bằng –2; b) Phần ảo của z bằng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].  Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2

tính cả biên.

3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:

d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.

c) 1 < |z|  2

b) |z|  1

2

2

2

2

1 1 2

 , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;  , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; b

2

b b 2 a

 , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không

a) |z| = 1;  Hướng dẫn: a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1 

 tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;

3

b) 2i(3 + i)(2 + 4i)

c)

4)Thực hiện các phép tính sau: 2 i (1 ) (2 ) i  i 2  

5)Giải phương trình sau:

c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z

c)

i

(2 3 ) 5 2 i

 

z 4 3 i 

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 3

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

 Hướng dẫn: a) z = 1

b) z =

c) z = 15 – 5i.

8 9 i 5 5

6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

 Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i.

nên F

F

cos

  ;sin 6 6

  

biểu diễn số

. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số

. E đối xứng F qua Ox

i

3 2

1 i 2

   1 2

3 2

nên E biểu diễn số

. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số

i

3 2

1 i 2

3 2

1 2

2

2

7)Cho

. Hãy tính:

.

;

z

i

z z ;

3 z ; ( ) ;1

z

z  

3 2

1    2  Hướng dẫn: Ta có

1 z z  nên 1

2

3

2

2

;

z

1

z

i

z

i

z z .

 ; 1

z  

 0

 ; z

1    2

3 2

1    2

3 2

1 z

8)Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng

, phần ảo của số phức z bằng

z

z

z

z

1 2

1 i 2

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z

z  . z .

'

'

z

z

'

z

',

zz

'

z z .

'

d) Với mọi số phức z, z, ta có

và nếu z  0 thì

z  

z z

z z

   

  

(1)

 Hướng dẫn:

z

a bi z

,

a bi

 

 

a) Lấy vế cộng vế  Phần thực của số phức z bằng

. Lấy vế trừ vế  phần ảo của số phức

z

z

1 2

z bằng

.

z

z

1 i 2

z z

0 0

z z

z z

z

z      .     .

2

2

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0  c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0  d)

là số thực

a bi

b i ' ;

z z

a

b

z

z

;

'

' a  

 

z

z

'

(

')

(

')

(

(

)

(

a

b i ' )

z

z

a a 

b b i ( ') 

a a 

b b i ') 

a bi 

' 

  '

zz

'

(

aa

bb

')

(

ab

a b i ' )

(

aa

bb

')

(

ab

a b i ' )

(

a bi a

)(

b i ' )

z z .

'

' 

' 

' 

' 

' 

'

'

z z

z z '. z z .

z z '. z z .

z z '. z z .

z z

  

  

  

  

m

4

m

4

m

2

4

m

3

1 

1;

i

i

;

i

1;

i

 

  i

2

2. i

 1

m

i m

m

m

m

m

m

m

 4

4

4

4

2

4

2

4

3

1 

1 

m 1

1

i .

i

i

i

i

i .

i

i

i .

i

i

4 i    

1. i  

i  

. i i  

1   

i 1.   

 

4

9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 i  Hướng dẫn: Ta có 4 i 

và từ đó nếu hai điểm

10)Chứng minh rằng:  e) Nếu u

của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì |

|

|

 u

z |

,A A theo 1 2

z

;

thứ tự biểu diễn số phức 1

,z z thì 2

2

z 1

 A A 1 2

'

'

f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z  0 thì

z z

z z

z

z

'

z

z

'

g) Với mọi số phức z, z, ta có  Hướng dẫn:

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 4

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

2

2

2

2

z

a

b

 , u

 biểu diễn số phức z thì u

do đó

a bi   thì

= (a; b) 

 u

a

b

|

|

|

a) z  u

z |

z

z

,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1

,z z thì 2

1

2

   A A OA OA 1 1 2 2

2

z   1

2

z 1

 A A 1 2

2

2

2

'

ab

z

a

b

,

z

'

a

2 '

b

'

z z .

'

z

'

,

b) z

' 

a bi   ,

 a b i '

2

2

2

2

z

.

z

'

a

b

a

2 '

b

2 '

Ta có

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z z .

'

'

ab

aa bb '   a b '

aa

'

bb

'

ab

'

a b '

a

b

a

2 '

b

2 '

'    ' aa bb 

a b i ' ,  

' 

Ta có



z

' .

z

z

z

'

Khi z  0 ta có

z 2

' . 2

Vậy |z.z| = |z|.|z| z ' z

z z '. z z .

z

z

 'u

 c) u

biểu diễn z,

z

z

'

z   ' u u

biểu diễn z thì

  ' u u  

2

2

2

2

2

 u

 ' u

2

  , u u '

' cos

  u u

 u

 ' u

  u u '

2

 u

 ' u

  ' u u 

biểu diễn z + z và 

2

z

z

'

z

z

'

, ta có   ' u u

do đó

   Khi u u  ' 0 ,   ' u u 

11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

z

z

z

i 3 4

h)

b)

c)

i  1

 

1

z z

i i

 

2

2

2

i 1)

1

1

x

y

x

y

x

z

(

(

i

y

a) Với z

yi

1    

  

  

1 

x  

 Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. 

2 1

1)  Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.

2

2

2

2

b) Với z

yi

1

x

(

y

1)

i

(

y

1)

x

i

y

x

y

y

0

x  

  

x  

  

  

 1

 1

z z

i i

 

2

2

2

2

x

z

z

yi

(

x

(4

y i )

x

y

(

x

3)

(4

y

)

yi

i 3 4    

3)  

  

Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.  c) Với z

x  

x

8

y

25 0

x

6  

 . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6

y 8

 25 0 10

2

9

1

z

z

z  

...  

12)Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có

z z

1  1 

10

2

9

2

2

9

10

9

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

...  

...  

...  

 1

 1   



 Hướng dẫn: Với z  1,   z 1 1      Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)

13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?

2

2

z

2

2

z

z ( )

3

3

2

2

2

2

2

,

z

 1  2 a (

,

z

(

a

b

abi

,

) 2 

3

2

 Hướng dẫn: Ta có 3 a Và

ab 3

z

(

)

z (3

 2 ab 3

)

a bi   3 3 a ( 

z z  z ( ) z  a bi z ,   3 2 a b b i z ) , 

( ) z zz b ) 2 abi   3 2 a b b i ) (3 

2

2

2

2

2

Vậy 2 z

z ( )

2(

a

b

)

là số thực;

là số ảo;

là số

i

i

3

3

3

2

2

z

a

z 1

z ( ) z z .

1

4 a

b

z z  ( ) z 

b ab 3 

 

ab 2 

ảo.

13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

2

2

i)

2z là số thực âm;

b)

2z là số ảo ;

c)

z

d)

là số ảo.

z ( )

2

2

2

2

2

z 2

z

x

xyi

2

2

x

y

y

1 i x 

2

x

0

yi ; xyi z       x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ

 Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z 2z là số thực âm khi xy = 0 và 2 y a) O

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 5

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

2

2

x

0

b)

y

  y =  x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.

c)

2z là số ảo khi 2 2 z

khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.

=

d)

là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;

(

x

i 1)

1 y

y ( y (

z

 

1) i  2 1) 

z ( ) 1 i

2

2

e)

2 z   0 4

iz

z

i 3

z

i 2 3

2 3 

 

0 

i 0     i z

 i z  1

c)  d) 

4 0   

x 2 x 14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau: iz j) k)  1 z    Hướng dẫn:

z

i 1 2

z

a)

b)

c)

d)

e)

i ; 3 ; 2 3 i

 

2 i  

z

i

z

i

i  

 

1 3  10 10

8   5

4 5

2) Tìm :

15) Cho số phức z

yi

x  

(x, yR). Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức

z z

i i

 

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện

là số

z z

i i

 

thực dương.

 Hướng dẫn:

2

2

a) Phần thực là

, phần ảo

2

2

x 2 x

y y

 ( 

1)

2

x

x 2 y (  2 1 0    Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm

x y

1  2 1)  0x  và b) Là số thực dương khi i . biểu diễn hai số phức ,i

,

z z ,

2

z . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào? 3

z

z z ,

,

.

z 1

2

z 3

z thỏa 3 z

2 z

 0

16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức 1 b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 z Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 1 

3

2

 Hướng dẫn:

vậy G biểu diễn số

 OG

   OA OB OC

z

z

a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có

z 1

2

3

1 3

1 3

phức

z

z

z

2

z 1 



nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G

1  3 3  b) Vì OA OB OC 

z

z

 . 0

z trùng O hay 1

2

3

33.. CCĂĂNN BBẬẬCC HHAAII CCỦỦAA SSỐỐ PPHHỨỨCC && PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẬẬCC HHAAII..

I> Căn bậc hai của số phức:

2z = w được gọi là căn bậc hai của w.

Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả

 w là số thực: w = a (cid:0)

 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0  a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a

.a i và –

.a i

 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là

 w là số phức: w = a + b i (a, b (cid:0) , b  0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi

2

2z

2 (x + yi) = a + bi

w  

2 x - y = a 2xy = b

   

 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.

 VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i .

2

2

y

3  

2

2

z

w

x

(

yi

)

  

Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có

x 2

 xy

4

 i 3 4      

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 6

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

4

2

2

2

2

y

y

x

4 0

y

3  

 

2

y

2

hoặc

.

x

x

x

1

x

  1

 

y   x 

  

y  2 y

3  2 y

    

    

     Vậy có 2 căn bậc hai của w là 1z = 1 + 2 i ,

4  2 y 2z = –1 – 2 i .

2

2

II> Phương trình bậc hai: 1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực:

ax

bx

0 (

a

0),

b

4

ac

.

c  

 

b

x

   0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2

i |.

x

  < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2

   2 a b    2

| a

3 8 0 x  

 VD: Giải phương trình

x

2  

3

3

3

2

x

x

x

x

x

8 0

2

0

(

2)(

2

4) 0

   

  

2

x

x

2

4 0 (1)

 

    

nên có 2 nghiệm phức

i 3.

.

3.i

1  

x 1,2

2

3. ,

1  

2  

1  

i 3. , 2

2

a bi

0 (

i x 3 0),

A

B

4

AC

,

(1) có  = 1 – 4 = –3 =  x Do đó phương trình có 3 nghiệm 1 2) Phương trình bậc hai với hệ số phức:

  

x 2 Bx C 

 

x

  = 0: Phương trình có nghiệm kép

với  là 1 căn bậc hai của .

x

   0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2

2

2

 VD: Giải phương trình: a)

i 5 5

(3 2 ) i z 

 

 0

2z

z 2

2

.

a)

1 0

2z

i

i

z

 

 , i

Phương trình có 2 nghiệm phức 1 z

2

2

2

i 5 5

0

b)

z

Ax B  2 A B   A 2 iz   ; b) 1 0 (3 )i iz   có  = –1 – 8 = – 9 = i 3 i  4 2 (3 2 ) i 

 có  =

(3 2 ) i z 

 

1 2 i 4 

20 20 i 

 

 = i 15 8

2

;

(1 4 )i

i 1 3

  

Phương trình có 2 nghiệm phức 1 z

i 3  4 i 4(5 5 ) 9 12 i    i 1 4 i 3 2     2

i 1 4

 

z

   2 i

2

i 3 2   2

44..BBÀÀII TTẬẬPP PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẬẬCC HHAAII

b)

c)

1) Giải các phương trình sau trên tập phức: 2

27 z

23 z

0

25 z

z

2

  1 0

z 3

  ;

z 7

 11 0

a)   Hướng dẫn: 2

1

47

7

171

3  

i

a)

b)

c)

i 3

i 14

10

4

4

b)

2) Giải các phương trình sau trên tập phức: 10

2 6

z

z

 

27 z

 0

2;

5

i

i

b)

a) z 0  Hướng dẫn: a) 2; 

2

,z z là hai nghiệm phương trình

az

bz

0

c

z

2

z   . Hãy tính 1

2

và 1 2z z

3i 3) Cho a, b, c  R, a  0, 1 theo các hệ số a, b, c.

=

z

 Hướng dẫn: 1 z

2

 , 1 2z z =

b a

c a

4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm

nghiệm.

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 7

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

 Hướng dẫn:

2

z x )

zz

 . 0

2

2

2

2

x 2

. Vậy phương trình đó là

2

Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0  Với z + z = 2a, z z = b 

ax a 

b

z (   0

x  w

a 5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z

2

2

2

z

w

w

w

z

z

z

w

      

a bi

 Hướng dẫn: z

w

2

z

i

w

VD:

tức

  là một căn bậc hai của

  thì z i 3 4

2

i

3 4 i 

  là một căn bậc hai của w  2

2

2

2

c)

z

i z (1 3 )

2(1

i

b)

z

5

z

 

  ) 0

z  1

6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:   0

z 2

a)  Hướng dẫn:

2

2

a)

z

z 2. .

z

z    

1 2

5     4

1 4

1 2

1 2

  

  

2

2

2

b)

z

2

z

5 0

z

4

z

i 2

i 1 2

1

z

z

   

   

i 2        

5 2 2 

5 4 

 1

 1

2

2

c)

i 2 ;

z

i

   . 1

i 2

i

 

 1 3 i 

 8 1

 i  

 1  

z Phương trình có hai nghiệm phức là 1

2

7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với

2

0

z

 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai

Bz C 

hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai  số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?  Hướng dẫn:

2

a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là

nên

B

4

AC

  

z 1,2

 2 

B   A 2

.

z

;

 

z 1

2

z z 1 2

B A

C A

2

z

4

i

b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình

 i z

 5 1

 0  

i z ;

i 1 2

.

Có

3  

 

i 5 12

   

2 3 i 

2

2

B

z

z

a

thì

là số

c) Phương trình

 

2  

z

z

a bi

;

z

a bi

2  z nên hai số cần tìm là 1  có hai nghiệm là Bz C 0  

 

 

2

2

thực và

a

iz

z

i

2 2 

C z z . b  8) a) Giải phương trình sau: 

2

là số thực. Điều ngược lại không đúng.  2   z 0 1 i 3

Bz

z

0

 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

2

0

z

z

i

i

 có 3 nghiệm là

.

i

;

i

;

i

2

2 2

2 2

2 2

2 2

i 3

z

;

nên

2

1

2

2

2

2

8

2

z

z

B

8

i 6

B

8

3

B

i

3

 b) Tìm số phức B để phương trình  Hướng dẫn:  a)  b) Ta có 1 z 

  

  

   

     

. B z z 2 

  i

z z 1 2

2 z 1

z 1

2 2

2

9) Tìm nghiệm của phương trình

z

k

  trong các trường hợp sau:

1 z

c) k = 2i.

a) k = 1;

b) k = 2 ;

k

2

2

 Hướng dẫn:

z

z

kz

1 0

k

4

k    

  có 2 nghiệm

  

z 1,2

 2 

1 z

 2

c)

i 2

k

2

i

z

z

i

i

a) k = 1 thì 1,2

b) k = 2 thì 1,2

z     1,2

1   2

3 2

2 2

2 2

4

3

 1 10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: c)

d)

b)

4

0

8

8

z

z

4 z   ;

4 1 0 z   ;

  1 z

3 1 0 a) z   ;  Hướng dẫn:

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 8

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

3

2

a)

.

z

1 0

z

z

0

z

1,

z

i z ,

i

   

z  

   

 1

 1

1   2

3 2

1   2

3 2

4

4

2

b)

1,

1

1

z

4

4

2

z z

1 0 4 0

z z

i 2

z

i

c)

z           z z 4            

i   z   i , 1

  1   

3

2

z

z

z

z

z

2

z

0

z

,

z

z

1,

i

0    

   

d) 

 1 2

 1 8

 1

 1 4

 1

1 2

1    4

2

1z

11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình

3 4   làm nghiệm.

 3

i

c

az

z

  và z = 2 làm nghiệm.

bz 

i   nhận c 0 2 1z   nhận 0 bz 

2

b c

2

b

c

b c

0

0

2

0

b

b

2,

c

0      

   

    

 2

vaø

 b i

 1z

i

z b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình  Hướng dẫn: a)    i 1 1 i bb)) Lần lượt thay

2

0

2 (2 2

a b i )  0

    b c a 2

 

b c   8 4  

8   

4  

a   b     c 

b c   2   4 

  và z = 2 vào phương trình, ta được 4     a b 2 6    b c 2 a  55.. DDẠẠNNGG LLƯƯỢỢNNGG GGIIÁÁCC CCỦỦAA SSỐỐ PPHHỨỨCC((tthhaamm kkhhảảoo)) I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z  0:  Cho số phức z = a + b i  0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian)

của góc

được gọi là một acgumen của z.

  , Ox OM (

)



 Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng  + k2 (k (cid:0) )

(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).

.

1 z

 VD: Biết z  0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ;  thì –z biểu diễn bởi – OM

  z biểu diễn bởi OM

nên có acgumen là  + (2k + 1)

 z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2

 – z biểu diễn bởi –

nên có acgumen là – + (2k + 1)

z

là một số thực nên

=

, vì

1  

1z  có cùng acgumen với z là – + k2.

z z

2 |

|

 'OM 1 2 |z

|

1 z

2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i :  Dạng lượng giác của số phức z  0 là z = r (cos + i sin) với  là một acgumen của z.

2

2

z = a + bi

z = r cosφ + isinφ

r = a + b ; cosφ = ; sinφ =

 Vôùi

a r

b r

 VD:

 Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng  nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin

 Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng  thoả cos =

và sin =

. Lấy  =

1 2

3 2

)

thì 1 + 3 i = 2(cos

+ i sin

 3

 3

 3

 Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos+ i sin)

 Chú ý:

 Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + )  Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(–) + i sin(–)  Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( – ) + i sin( – )

II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:

Cho z = r (cos + i sin) và z = r (cos’ + i sin’) với r , r  0

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 9

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

=

[cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')]

z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và

( r  0)

z z'

r r'

 Ta có

.

và z có cùng acgumen là –’ + k2 nên

[cos(

i

sin(

')]

')  

 

1 z '

1 r '

[cos(

i

sin(

')]

') -  

-  

Do đó

( r ’ 0)

1 'z z z

'

r r

'

và

i

sin

z

i

cos

. Tính 1

2.z z và

 VD: 1 z

2

3  4

5  12

5  12

3  4

z 1 z

  

 2 sin  

  

 2 cos  

2

Với

z

i

sin

i

sin

2 2

i

6

i 2.

 

; 1

2.z z =

2

 12

 12

5  6

5  6

1 2

3 2

  

 2 cos  

 2 2 cos  

  

   

   

=

và

cos

i

sin

2

i

i

 

z 1 z

2  3

2  3

1   2

3 2

2 2

6 2

2 2

  

  

2

   

   

*

n r(cosφ + isinφ) = r (cosnφ + isinnφ) (n

n

(cid:0) )

III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos + i sin)   2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos + i sin) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là

+ π

r

và

cos

i

sin

 

 2

   2

φ r cos + isin 2

φ 2

φ 2

 2

  

  

  

   2 

  

 + π + isin  

  

  

 r cos  

  

và căn bậc hai của w = 1 + 3.i

1 i

100

.

2

sin

i

i

 Ta có 1 + i =

 4

1 2

1 2

 2 cos  

  

φ 2  VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính:    

  

50

2

cos 25

i

sin 25

i

sin

=

1 i

 

Do đó 

100

 4

 4

  

  

 4 100   

và

 w = 1 + 3.i = 2 cos

sin

có 2 căn bậc hai là 2 cos

i

sin

i

 6

 6

 2 cos    3

 3

  

  

  

  

.

i

sin

7  6

7  6

 2 cos  

  

và công thức Moavrơ để tính

1 i

19

1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn  

...  

18 ð . 19

16 ð 19

4 ð 19

2 ð 19

0 ð 19

i

sin

 Hướng dẫn: 1

i  

 4

 4

 2 cos  

  

19

n

19

với phần thực là

i

...  

Ta có  1

0 0 ð i 19

1 1 ð i 19

2 2 ð i 19

18 18 ð i 19

19 19 ð i 19

k k i n

 ð

0 ð 19

2 ð 19

4 ð 19

k  0 16 ð ...   19

18 ð 19

19

19

19

9

9

có phần thực

92

512

i

2

cos

i

sin

2

i

2

i

 

2   

 1

19  4

19  4

2 2

2 2

  

   

   

Vậy

...  

0 ð 19

2 ð 19

16 ð 19

18 ð = –512. 19

   4 ð 19

21

2004

;

2) Tính:

1

i

i 

5 3 3 i i 1 2 3

 

  

   

   

    Hướng dẫn:

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 10

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

2004

2004

2004

i

1

i

i

cos

sin

cos

sin

 

 

i

 2

2 2

 4

 4

1 1002 2

1 1002 2

i   1 

  

  

  

  

  

  

   21

21

21

21

21

1

i 3

i

sin

2

cos14

i

sin14

2

 

   

2  3

2  3

5 3 3 i i 1 2 3

 

 2 cos  

  

  

   

   

. Tìm các số nguyên dương n để

3) Cho số phức

nw là số thực. Hỏi có số nguyên

i 3

w

 

   

dương m để

4

4

n

 Hướng dẫn:

i 3

cos

i

sin

cos

i

sin

w

w  

 

4  3

4  3

n  3

n  3

4

W là số thực khi

0

sin

 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.

1  1 2 mw là số ảo? 1  1 2 n 3

mw là số ảo.

Không có m nào để

6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN

1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

10

i

  i i 3232

i i

1 i

1 1

 

  

2   1  

2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:

a.

 zi

 b.  2

  .  

2

2

2

i iz ;0 ; z  3    1 i 2 2 1 i i 31 i  i 2      

d.

;

z 0  z | ;0|   z 

;2| z z z i | 1 

là số ảo tùy ý;

b. d.

i |;2 |2 z z i | | z  2

c. z 3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b. 1+i+i2+i3++……+i2011 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. | c. 

;4|3  z z  iz   5. Các vectơ ,uu '

trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.

 uu . '

a. Chứng minh rằng tích vô hướng

;

 zz '.

'. zz

1 2

 ,uu '

.|'

z

z

z

z

|

| |' 

vuông góc khi và chỉ khi

b. Chứng minh rằng 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn

,k

i

z

z 

(k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời

1

.1

và

z z

1 i

 

z i 3  z i  8. Tìm số phức z thỏa mãn

4   

1 z z i i     

9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:

1 1 i i tan tan    

10. Giải các phương trình sau trên C :

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 11

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

2

4

3

a.

bằng cách đặt ẩn số phụ

;

2

2

2

2

zw z z 01 z     1 z z 2

 zz

2

2

2

z z 6 3 2 3 0   

 6   zi

 0 i 

d.  z

 4 2 z

z z z 12 .0        z  1 3 z

sau :

z

i

55 i

4 



a/

b/

25 i

2 z

z

25 i





2 2

2 zz 21 2 z  1

2 2

b.  z 3   c. (z2+1)2+(z+3)2=0a.  11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z  1  2 z  1

1, zz   

12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :

b.

;

c.

d.

a.-1-i 3 ;

 4

 4

 8

 8

cos sin sin cos ; 1 sin i  i i  cos

 

  

 ;  

0  2

13. Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2

điều kiện sau : z

2 z 1 z  i     3

15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

10

7

2000

5

a.

b.

; c.

biết rằng

 ;3 i

 1

 3

 3

 i 

9

i  z .1 z cos sin i    1 2000 z 1  z    3

 1  i    18. CMR:3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007

n

3

19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức

là số thực, là số ảo?

i 3  i 33         

.Suy ra căn bậc hai số phức z

i 

20.Viết dạng lượng giác số z=

1 2 3 2

BBÀÀII TTẬẬPP TTỰỰ RRÈÈNN

b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.

2

2

2b = b

b

1) Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i;  Hướng dẫn: a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3 2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.

2a = a và |z| 

a  Hướng dẫn: z = a + bi  |z| = 3) Giải phương trình sau trên tập phức:

. Ta có |z| 

b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.

i

7 5

18 13  7 7 4) Giải phương trình sau trên tập phức:

a) b) a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i;  Hướng dẫn: 4 i 5

23 z

  8 0

4 8 0 z  

4 1 0 z  

47

b) c)

4 8

4 8i

 i

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 12

b) , a) c) 1,  a) z 7  Hướng dẫn: 7 i   6 5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

2

z

0

4

( 7 )i

2 3 z

  với  =

 Hướng dẫn: 1 z

2

2

7

3

z 3, 4 ,z z là nghiệm phương trình   z z 1 2   1

i 2

 1,2 z

2

2

2

z , ,z z là hai nghiệm một 6) Cho hai số phức 1 z z 1 2 là hai số thực. Chứng tỏ 1

2

2

2

2

z

az b

2 z

z

)

b ,z z là hai nghiệm phương trình ( z )( z z ) 0     hay z 1

2

1

z

z ,z z . Biết rằng 1  phương trình bậc hai với hệ số thực.  Hướng dẫn: a z z , z z Đặt 1  1 2 z z z z (  1 1 2

 thì số

w

zw

0

 1

2

 Hướng dẫn: Ta có

z z .

z

 1

là số thực. 7) Chứng minh rằng nếu  với a, b  R. Khi 1     0 0  z w  zw 1 

zw

0

 1

z w  zw 1 

2

nên là số thực.     z w  zw 1  z w  zw 1  z w  zw 1  z w  zw 1        1  1 1  z w 1 zw 8) Giải phương trình:

z

i

6

z

3

3

4 0

3  

i   

 13 0

 

3 iz  2 i z 

23 iz    2 i z  

  

2

2

b) c) a) 

 2 1   Hướng dẫn:

2

z z 3    0

2

z i z 6 3 13 0 3    i       a)  z z z z i 3 2 i 3 2 3 3 i     i     i   i 3    

1   i z

2

2

2

2

2

3 b)  4 0      (1 (4 i z ) i z )   i 3 2    i 3 8   iz 3  i z 2  iz 3  i z 2           i 4  5 1    2 2 4 35  17 17      z      iz 3   z i 2   iz 3    i z 2  

 z 1 (    

 1

2

0 z i 3) z z i 3 0 z i 3) 1 ( z        

0

    1 i

 1 2 ;  

 iz   

2

i z c)     Phương trình z   i 1 3

i 1 3

iz

0

z

  

2 i z 1 2 ; 2

Phương trình    1 i  

4 

2

( x yi ) 2( x yi    . Với giá trị nào của x, y thì số ) 5 z  có nghiệm 1 z  có nghiệm 3 BBààii 11.. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =

xy

)

2 2 

y

phức trên là số thực.  Hướng dẫn: Phần thực là x y x 5 . Số phức trên là số thực khi y =   , phần ảo là 2(

3

3

2010

2009

0 hoặc x = 1. BBààii 22.. Thực hiện các phép tính:

i (1 2 ) ; g) (1 i ) i ) e) a) d) (1 2 ) i     (1    2 1 i i 2 2 1 2 i i 2 2    

BBààii 33.. Tìm z, biết:

1

i

4

z

10 2 i 

  ; 1 5 i

  

1

3

i

i    

i

3)

z

i

2

2

c) a) (1 5 ) i z  b) (3 2 ) i z 

3 2 i 

z

i 1 3

2

z

1

z

 

i i i i

   

1 3 i   2 i 

z

i

d) ; e) ( 2 ; f)

2

z

2 2 i

i

z

5 5 i

 

3 i  

2 3 i  1 i  g) 

 1 1

   

z 1 2 1 i)  1

 i z

1 1

2 iz 1

i i

2 i i

 

2   1 i 

2 i  i 

z  1 

 Hướng dẫn:

z

z

h)

1 2 i   ;

2 3 i   ;

z

z

i

i

1 3   5 5

1    ; 5

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 13

a) b) c) d) ;

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

3z

3z

z

i  

i

2 3 i  

i

2   5

4 5

2

g) h) i) f) e) i ;

2z là hai nghiệm của phương trình

2

2

3 z 3 0    . Hãy tính: BBààii 44.. Biết 1z và

z

z

z

2 z 1

2 2

3 z 1

3 2

z 1

2

z 1 z

2

 Hướng dẫn:

2

2

; b) ; c) ; d) a) z z 2 z 1

z

z

z

2 z 1

2 2

3 z 1

3 2

z 1

2

z 1 z

2

z 2 z 1

a) = –3; b) = 6 3 ; c) = –1; d) = 6.

BBààii 55.. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.

i

z

i

 Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là 1 z

2

7 2

3   2

7 2

2

i 2

và

0  ;

3   2 BBààii 66.. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2 z 12 16 i 

2

z

5

8

iz

a) b) z  ; 0 

4 0   ;

i 0   

 

 i z  i z

d)

z

2

2

i 8 6 i 3 2

 2  

2 8(1 i z )     2 2 1 i z  c)  Hướng dẫn: a) i z 2 ,    z i z ;   1

2

4

4

4

 0

4

z 2; 2; z d)    ; i     ; i 2 z b) 1 z c) 1

 ; 0

x x

x 4 x

x 4 x

 ; 0 2  

100  ; 0

 

23 i 3 3 x    i 0 28 96 

x

x

3

i

,

x

3

x

2

,

x

i

x

b) e) i 8 6 c) f)  ; 0 ; BBààii 77.. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2 16 x   i 7 24  

 

 

 

i

x

,

x

x

2

i

x

i

x

2

x

; b) c)

 

 

  1 2 i      1    ;

 

 

  i  ;   i 1 2   

  3

 i  ,

  1      i 1 3   

26 a) x 25  d) i x 3(1 2 )    Hướng dẫn:   1 2 , i    a)   i ,   BBààii 88.. Tìm z biết:

2

z

z

2

i

z

i 1 2

z

2

z

z

; e) f) d)

  

 

2 4 i  

2

2

2

; b) c) và a)  1 z 10 10

 Hướng dẫn: Gọi z = x + y i  z = x – y i và

2

2

x

y

x

(1)

2

z

z

z x y 2 xyi .   

2

 xy

 y

(2)

 

  

a) 

(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1)  x = 0 hoặc x = 1

1 2

3 2

thay vào (1)  y = Nếu y  0  (2) có nhiệm x = –

(0;0), (1;0),

,

;

1 3 ; 2 2

1 2

3 2

   

   

   

   

Vậy nghiệm của hệ là các cặp số

i

i

1   2

3 2

1   2

3 2

Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z = ; z =

z

i 1 3 ;

z

i 1 3

z

i 4

 

  

2   3

b) c)

z

2

z

z

1

BBààii 99.. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:

i  ;

i   ;

0

i m 2 

 (m là tham số)

1

z z

3 i i 3

 

 Hướng dẫn:

2

2

2

2

z

x

i

(

y

i 1)

2

x

(

y

1)

2

x

(

y

1)

b) ; c) a) d) (2 3 ) i z 

2    

  

  

4 

a)

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 14

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

2

2

2

2

x ( y 3)   b) 1 y 0 1   1      z z 3 i i 3 x x ( ( y y i 3) i 3)       y x ( 3) 

2

2

2

2

i

(

(

z

z

x

x

y

x

1

yi

i 1)

x

y

(

(

y

1)

x

y

 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.

   

  

1 0     

c)

2 6

6 4 2 z i y 0 2 2 0 d)    i z (2 3 )  z   i m 2     x 3     4 m 3  13 m  13 m i 2  i 2 3 

1) 1)   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.  x       y 

5

m  13 m 3  13 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.

(1 . )i 3 i BBààii 1100.. Dùng công thức Moa-vrơ để tính , 

6

 Hướng dẫn:

  .

. 3 i

8

3

2

i

i

sin

i  

 6

3 2

1 2

 6

 2 cos  

  

 4 1 i BBààii 1111.. Tìm phần thực và phần ảo của số phức     

   

Hướng dẫn: .

22 z

2

2

z

2

11 0 z 4   . Tính giá trị của biểu thức Bài 12. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình

A

2

z

z 1 

z 1

2

z

2

2

i

. ĐS: A=11/4

   . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

Bài 14. Tìm số phức z thoả mãn:

.

z 2 i z 2 2 i ĐS: 2   2  

 1  

 2 ,

 1  

  1

1  1 i Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn: . HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.

  2

1 

1

i i

  

 . 0

z

z   z  Bài 17. Giải phương trình: 2 z HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i} 1. Giải phương trình: 2 z

  z   z  z i 3   z i   4 Bài 16. Giải phương trình: . ĐS: z{0;1;1}

0 z  .

2

4

3

1

0

z

z

z

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, z i   1 2 3 2

z 2

. Bài 18. Giải phương trình:

HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, . z i 1    2 1 2 Bài 19. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.

z 1, z i z , i . HD: Đặt thừa số chung ĐS:     1 2 3 2 1    2 3 2

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 15

Bài 20. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

Bài 21. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:

2i a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 -

2

Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.

y 

x 4

z z i 2 . ĐS: . Bài 23. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 i   z  

2

2

Bài 24. Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. z i 2 3   

. HD: *Gọi z=x+yi. z i 2 3 x y 3 2         …  3 2  3 2 9 4

 Vẽ hình |z|min z.

ĐS: z i .   26 3 13  13 78 9 13  26

2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.

CCÁÁCC ĐĐỀỀ TTHHII ĐĐẠẠII HHỌỌCC –– CCAAOO ĐĐẲẲNNGG

BBààii 11.. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)

2 ) (2

(1 i i z ) i z (1 2 ) 8 . Tìm phần a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn   i    

4

z

i

thực và phần ảo của z.

i 2

z  

3 7   z i 

i 2 (2

) 1 2

i

 Hướng dẫn: 2 a) i z ) i ) (2

b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình trên tập (cid:0) .

  

8 i  

(1

2 ) (2

i

i (1 2 )

)

i

z

i

  

8  

 i z

 

 

(8

(1 i z (1 2 ) 8   i       

z

z

z

i 2 3

  . Phần thực là 2, phần ảo –3

10 15 i  5

)(1 2 ) i i  1 4 

z

4

2

  

i 2

z  

2

2

b) z i 1 7   (4 3 ) i z     0

) . Phương trình có 2 nghiệm:    

z

3

i 1 2

  và i

 

z 1

2

8 i  1 2 i  3 7 i   z i  (4 3 ) i Ta có  =  i i 4 3 2    2

i i (2 2

i (3 4 ) | 2

z

 .

i 3 4

i 4)

3)

yi

y

x

z

(

(

(3 4 ) i 

x  

 

2

2

2

2

i 4(1 7 ) 3 4 i   i 4 3    2 BBààii 22.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,

i (3 4 ) | 2

z

4)

3)

(

 

= 4 4) 3) y x ( ( = 2    

tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện |  Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y (cid:0) )  Ta có | y x (   Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2 BBààii 33.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)

.z z = 25.

) |

10

i

z

(2

z

i

)

x

yi

2

i

x

y

i 1)

  

(2    2 2

( 2

và

10

(2

) |

z

2) (  2 4 

.z z = 25  (x + y i )( x – y i ) = 25 

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 16

( y 1) x 2) x y x 2 y 5 0 10        (1) Tìm số phức z thoả: |  Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y (cid:0) )  Ta có | (  i   2  2 Ta có x 25 (2) y 

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

2

2

y

x

y

x

10 2 

10 2 

x

y

4

x

2

y

5 0

 

2

2

2

2

2

x

y

25

x

8

x

15 0 

x

y

25

  

  

   

Từ (1) và (2), ta có    3 4 x   y 

2

2

2

hoặc . Vậy z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i . 5 0 x   y 

10

z

 . Tính giá trị của biểu thức

z 2

A

z

z 1

2

2

2

BBààii 44.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm . 0

10

z 2

 có  = 1 – 10 = –9 =

2

2

z

20

2

(3 )i , z       i 1 3 phức của phương trình  Hướng dẫn: z 0  i 1 3 2 1 9 1 9 và 10 Ta có:     z  2 z  1

4

2 3 

2

 i z

 i z

2

z

i 6 3

 

0 

 1  

 i z

z . Nghiệm là 1 nên 10 A z  1 BBààii 55.. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:

4

2 3 

 i 1 3    b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình  Hướng dẫn: a) Gọi z = a + bi, ta có: 

 i 1 3   

 i z

 i z

2

 i a bi 2 3 ( 

 i a bi 

2  i 1 3     

2

2

2

0

z

a a ) 4 ( ) 6 b 4 (2 b i 2 )      i 8 6     a 6 a 2 b 4 b 2 8 6     2   5     a   b 

 

 có  =

 1  

 i z

1

1

i

i

(1 i ) i (1 5 ) Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5. i 6 3 b)   4(6 3 ) i    24 10 i   

i 1 2

z

 

 3 i

2

i 1 5    2

i 1 5    2 BBààii 66.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)

; Do đó phương trình có 2 nghiệm: 1 z

2z là số thuần ảo

2 và z 

2

2

a

b

Tìm số phức z thỏa:  Hướng dẫn:

2

2

z

a

b

abi

2 2 

  z   

2

2

2

2

2

1

a

a

1  

2

1

a

b

a

2

a

b

hoaëc

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

0

0

a

b

a

b

0

a

b

  b 

  b 

    

    

    

1

hoaëc

hoaëc

hoaëc

1 1

 

1   1 

1   1  

 1  

a    b 

a   b 

a   b 

a   b  Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.

i z )

(1

z

BBààii 77.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm 1  

tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa  Hướng dẫn:

2

2

2

2

x

(

y

i 1)

(1

i x )(

yi

x

)

(

y

1)

(

x

y

)

(

x

y

)

Gọi z = x + yi, ta có

  

2

2

2

2

y

x

1)

2

2

y

x

y

(

   

 . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = 2 .

1 0 BBààii 88.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)

z

( 2

2 ) (1

i

i 2 )

a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa:

3

(1

b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:

. Tìm môđun của số phức

z

 1

3 ) i i

z

iz  Hướng dẫn:

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 17

. Theo đề ta có: Gọi z = a + bi 

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

a) Gọi z = a + bi, ta có:

i 2

a bi

i 2

.

z

( 2

2 ) (1

i

i 2 )

a bi 

 

5  

 i 1 2 2  

 1

. Vậy phần phần ảo b = – 2 .

5,

2

a  

b  

3

(1

i

)

b) Gọi z = a + bi, ta có:

z

i 4 4

  

 1

3 ) i i

9 3 3 i i 1 3 3   1 i 

8  i 1 

2

z

8 2

iz

8 

.

 z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i  z

iz = –8 – 8i. Do đó :

8(1  1 1  2 

 8  

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP

A. LÝ THUYẾT

n≥0.

1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1,

, n≥k>0.

2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

Ak n

!

n≥k≥0.

,

3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:

C k n

! n  kn  ! n  knk ! 

!

n

n

2

2

2

n

2

n

n

n

1 

1 

1 

aCb

b

2  baC

C

ab

.

1 aC n

2 n

n n

n n

n bC n

0 aC n

n

2

2

2

n

n

n

n

n

n

n

1 

1 

1 

( 1)

2 2 b

2  C a b

( 1)

( 1)

  

 

 

a b 

 ba  

1 n C a C a b C a n

2 n

n n

1 n  C ab n

n n C b n

!

0 n P n 

7.

, n

C

C

8.

k n

1

  

n A n  0, n,k N k   1 k C  n 1

1 

9.

C

C

k n

k n

C

C

C

C

......

10.

k n

4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton  n   6. Hoán vị k n k C  n n k C  n n k   k k 1  1 n 

k 1  2 n 

k 1  3 n 

b

,

0≤k≤n.

Công thức số hạng tổng quát:

T k

......

sau đó thay x = ….

k

n

........

( 1)

C

( 1)

C

0,

vì (0-0)

Hệ số khai triển thứ k+1: Một số tổng cơ bản: dựa theo  1 C C C  

 

1 k  C (k

2 n

o n

k n

1 n

n n

2

n

1 

 .. và

C

C

..............

C

C

C

C

..............

=2

n  ... Dựa theo  1

nx 2

o n 2

2 n 2

4 n 2

2 n n 2

1 2

n

3 n 2

5 n 2

2 n 1 C  n 2

 ……… Sau đó thay x = 1 cộng trừ vế với vế

k

n

C  nx 2 C 2

 1 C

C 3

........

kC

......

( 1)

0,

Sử dụng đạo hàm

 

1 n

kC

........

2 n C 2

k n ......

nC

n nC n 1 n n  2 ,

( 1) k n

1 n

3 n

2 n

  n n

n

n

n

n

n

n

n

2

2

2

1 

1 

1 

n 1  x by

........

2 2 C a x b

y

1  C axb

y

(x,y là biến,

ax by 

0 n

1 n

n n

n n

n n C b y n

k

n k 

n k 

3 n C C 3 Bài toán trong khai triển:   n n C a x C a a,b là hằng só thực) Loại 1 : Tìm số hạng

x

T k

k C a n

  1

k

, ..đạt max, hoặc hệ số nhị thức

n k b

Loại 2: Tìm hệ số đa thức khai triển

1

a k

k C a n

k b y  

C C C

,

,

,........,

C

,......, ( 1)

n C

1 n

2 n

o n

k n

n n

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 18

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008)

18

1

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

x

, (x>0). ĐS: 6528

2

5

x

  

  

2. (ĐH_Khối D 2004)

7

1

3

x

với x>0. ĐS: 35

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

4

x

  

  

3. (ĐH_Khối A 2003)

n

5

, biết rằng

Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

x

1 3 x

  

  

k

, (n nguyên dương, x>0, (

C

7

3

 n

nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495

n n 

1 n  4 n 

C  3 4. (ĐH_Khối D 2005)

M

Tính giá trị biểu thức

, biết rằng

C

C 2

C 2

C

149

(n là số nguyên

2

3

4

2 n 1 

2 n 

2 n 

2 n 

 

4 A n 1   n

3 3 A n !1

k

k

dương,

nA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và

nC là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS:

M

3 4 5. (ĐH_Khối A 2006)

n

, biết rằng

Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

 7 x

1 4 x

  

  

k

2 20

1

C

C

C

, (n nguyên dương và

n

1 2

2 n 2

n n 2

nC là số tổ hợp chập k của n phần tử).

1 

1 

1 

ĐS: 210

k

2048

C

C

C

. (

1 2

n

3 n 2

n 2 1 n 2

nC là số tổ hợp chập k của n

6. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức phần tử).

ĐS: n=6

7. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320 8. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. ĐS: n=5 9. (ĐH_Khối D 2002)

n

C 4

2

243

. ĐS: n=5

0 C n

1 C 2 n

2 n

n C n

k

(n, k là các số nguyên dương, k≤n,

Chứng minh rằng

nC là số tổ hợp chập k

n n

Tìm số nguyên dương n sao cho 10. (ĐH_Khối B 2008) 1 2

 

1 k C n

1 k C n 1 

1 k 1  C n 1 

   

   

của n phần tử).

k

n=2048 (n là số nguyên dương,

3+ … +(1)nCn

1+3n2Cn

23n3Cn

03n1Cn

nC là số tổ hợp chập k của

11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2003)

2

3

n

1 

2

1

2

1

2

1

k

Cho n là số nguyên dương. Tính tổng

C

C

C

C

, (

0 n

1 n

2 n

n n

nC là số tổ hợp

 3

n

 1

 2 n 1 

3

chập k của n phần tử). ĐS:

n

n 1   2 1 

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 19

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

13. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức

a

4096

. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. ĐS: a8=126720

0

a 1 2

na n 2

14. (ĐH_Khối A 2007)

n

2

k

1 

C

C

Chứng minh rằng

, (

nC là số tổ hợp chập k của n

n

1 C 2

3 2 n

5 2 n

2 n C 2 n

n

1 2

1 4

1 6

1 n 2

2 2

1  1 

phần tử).

2

n

2

3

,

C

2005

C

2.2

2.3

2.4

C

C

n

 2.1

 2

n

1 2

2 n 2

3 n 2

4 n 2

2 n 1  n 1 2 

1 

1 

1 

k

1 

n

n

n

1 

n

n

1 

x

x

1 

x  3

x  3

x  3

x  3

15. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho C nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 ( 16. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. ĐS: 238 17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức 1 x  2

1 x  2

1  2

1  2

2

2

C

2

C

2

2

2

2

C

C

2

n n

0 n

1 n

n n

   

   

   

   

   

       

   

   

   

   

   

   

và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó

    3 C  n

1 C 5 n

ĐS: n=7, x=4

18. Cho số phức z=1+i.

5…

a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. 2+Cn b. Tính các tổng S1=1Cn

S2=Cn

3+Cn

1Cn 100= –250.

19. Chứng minh rằng C100

0–C100

4Cn 2+C100

6+… 4–C100

98+C100

6+ … –C100 o0o

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 20