Tài liệu tham khảo – giải ch thực – Lớp giải ch K19
Chương 1:
1 .Mệnh đề 1.4: Gọi (ℝ) là tập hợp các hàm bậc thang xác định trên ℝ.
a. Nếu ,∈(ℝ) thì +,.∈(ℝ)
b. Cho :ℝ→ℂ thỏa (0)= 0. Nếu ∈(ℝ) thì ()∈(ℝ)
c. Với ,, … , ∈(ℝ) ta có max{,, … , }∈(ℝ), min {,, … , }∈(ℝ)
Chứng minh:
a .Nếu ,∈(ℝ) thì +,. ∈(ℝ)
Theo giả thiết ta có thể biểu diễn , dưới dạng chính tắc như sau:
()=∑
 ,()=∑
 Và do đó:
+=∑
 +∑
 ∈(ℝ)
.=∑
 󰇡∑
 󰇢=∑ ∑

 =∑ ∑ ∩

 ∈(ℝ)
b .Cho :ℝ→ℂ thỏa (0)= 0. Nếu ∈(ℝ) thì ()∈(ℝ)
Với cách biểu diễn chính tắc của , ta dễ thấy rằng:
()=∑
 =∑()
 ∈(ℝ)
c .Với ,, … , ∈(ℝ) ta có max{,, … , }∈(ℝ), min {,, … , }∈(ℝ)
Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp = 2.
Ta đã có +,−∈(ℝ). Biểu diễn − dưới dạng chính tắc −=∑

Và |−|=∑||
 ∈(ℝ)
Ta được: max{,}=||
∈(ℝ) và min{,}=||
∈(ℝ)
2 .Mệnh đề 1.7: Cho , là hàm bậc thang trên ℝ, và cho ∈ℂ. Khi đó:
a. ∫(+)
ℝ=∫+∫
ℝ
ℝ
b. Nếu ≥ thì ∫
ℝ≥∫
ℝ
Chứng minh:
a .Chứng minh ∫(+)
ℝ=∫+∫
ℝ
ℝ
Trước hết từ định nghĩa ch phân hàm bậc thang ta chứng minh được nếu ≥0 thì ∫
ℝ≥0 (1)
Giả sử: =∑
 , ∩=∅ nếu ≠ ; =∑
 , ∩=∅ nếu ≠
⋃
 =⋃
 (có thể có một số , bằng 0)
Đặt  =∩ , 1 ≤ ≤, 1 ≤≤ . Khi đó: ||=∑
 , =∑

Vậy: ∫(+)
ℝ=∑+ (tổng trên các = 1,2, … , ; = 1,2, … , )
=∑ ∑ 

 +∑ ∑ 

 =∑||
 +∑||
 =∫+∫
ℝ
ℝ
b .Chứng minh: nếu ≥ thì ∫
ℝ≥∫
ℝ
Thật vậy: nếu ≥ ⇔−≥0. Theo (1) ta có:
∫−
ℝ≥0⇒∫
ℝ−∫
ℝ≥0⇒∫
ℝ≥∫
ℝ
3 .Mệnh đề 1.8: Cho ,: ℝ→ ℂ là hai hàm khả ch Lebesgue. Khi đó ,<∞ hkn và +
 (∈ℂ),|| là các hàm khả ch Lebesgue và
∫(+)
ℝ=∫
ℝ+∫
ℝ , 󰇻∫
ℝ󰇻≤∫||
ℝ
Chứng minh:
Chứng minh: ,<∞ hkn
Giả sử ngược lại tức là tồn tại có ()> 0 sao cho ()=∞,∀∈. Khi đó:
∫
ℝ()≥∫||
=∞
Ta có mâu thuẫn. Vậy <∞ hkn
Chứng minh tương tự ta cũng có <∞ hkn
Chứng minh : + khả ch Lebesgue
Ta có ∫|+|
ℝ≤∫(||+||||)
ℝ=∫||
ℝ+||∫||
ℝ<∞
Vậy + khả ch Lebesgue
Chứng minh: || khả ch Lebesgue
Đặt ℎ()=|()| thì ∫|ℎ()|
ℝ=∫|()|
ℝ<∞
Vậy || khả ch Lebesgue
Chứng minh: ∫(+)
ℝ=∫
ℝ+∫
ℝ
Do , khả ch Lebesgue nên có dãy hàm bậc thang {} đơn điệu tăng hội tụ đến hkn và có
dãy hàm bậc thang {} đơn điệu tăng hội tụ đến hkn. Do đó:
∫
ℝ+∫
ℝ= lim
→∫(+)
ℝ=∫(+)
ℝ
(Do + là dãy hàm bậc thang đơn điệu tăng đến + )
Chứng minh: 󰇻∫
ℝ󰇻≤∫||
ℝ
Do khả ch Lebesgue nên có dãy hàm bậc thang {} đơn điệu tăng hội tụ đến hkn. Do đó:
󰇻∫
ℝ󰇻=󰇻lim
→∫
ℝ󰇻≤lim
→∫||=
ℝ∫||
ℝ
Chương 2:
1 .Bất đẳng thức Holder: Cho , đo được trên một tập đo được Ω;
+
= 1, 1 < <∞
Nếu ∈(Ω),∈(Ω) thì ‖‖=∫||
≤󰇡∫||
󰇢
󰇡∫||
󰇢
=‖‖‖‖
Nếu ∈(Ω),∈(Ω) thì ‖‖≤‖‖‖‖
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Young như sau:
Cho hai số thực
1, 1
p q
thoả 1 1
1
p q
, với hai số thực
0, 0
ta luôn có:
.
p q
(*)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
p q
Với
0
hoặc
0
thì bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng
Với
0
và
0
, ta xét hàm số ( )
t t
f t
p q
.
( )
f t
xác định với mọi t > 0 và có đạo hàm 1 1
1
1
'( )
p q
p q
q
t
f t t t
t
Ta có:
'( ) 0 1
f t t
Với
1
t
thì
'( ) 0
f t
Với
1
t
thì
'( ) 0
f t
Suy ra hàm
( )
f t
đạt cực ểu trong khoảng
(0, )
tại
1
t
Từ đó suy ra với
0
t
ta có 1 1
( ) (1) 1
f t f p q
Với =
ta có:
1 1 1 1
. .
. (1) 1
p q
q p
q p
f f p q
Nhân hai vế bất đẳng thức trên cho
.
ta được
1 1
1
p q
q p
p q
Từ 1 1
1
p q
ta suy ra được 1
p
p
q
và 1
q
q
p
Vì vậy ta được bất đẳng thức cần chứng minh .
p q
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1 1 1 1 1
1
pq pq
p q
q p q p q q
Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Holder
Nếu
0
p
f
hoặc
0
g
g
thì ( ). ( ) 0
f x g x hkn
trên
X
Do đó 1
0
fg
suy ra bất đẳng thức Holder đúng trong trường hợp này.
Nếu
0
p
f
và
0
q
g
thì theo chứng minh trên với mọi x
ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
.
p q
p q
p q p q
f x g x f x g x
f g p q
f g
Lấy ch phân hai vế bất đẳng thức trên ta được
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
p q
p q
p q p q
f x g x dx f x dx g x dx
f g p f q g
1 1 1
( ) ( )
p q
f x g x dx
f g p q
1
( ) ( ) 1
p q
f x g x dx
f g
( ) ( )
p q
f x g x dx f g
Hay 1
p q
fg f g
2. Định lý: Không gian định chuẩn là Banach ⇔ Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ
Chứng minh:
Thuận: Giả sử KG định chuẩn là Banach. Chứng minh mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ
Xét chuỗi ∑
 là chuỗi hội tụ tuyệt đối ⇒∑ ‖‖
 hội tụ nên theo nh chất Cauchy ta có:
∀> 0, ∃∈ℕ, ∀>,∀≥1 ta có :
 −=∑

 −∑
 = + +⋯+