Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
PHỤ LỤC ĐÁP SỐ
39 a 4
3
3
2
a 70
V
a 175
xqS
a 3
a
3. 3 6
TRÖÔØNG TRUNG HOÏC PHOÅ THOÂNG LAI VUNG 2 Tổ Toán
a
. 3a 24
3 6 6
3
2
b). R =
a 3
S xq
a
. 2a 2. 4
Phần II Phần I 1.15. , R = OA=a 3 2.1. , 1.1. 1.16. a). V= 2.2. V= ; 1.2.
3 3 12
2
3
3 a
13
3
S
,
V
1.3. 1.17. 10a3
xq
a
5
4
3 a 4
2
2
a 3
32 a 3
Löu Tuaán Hieäp
2
2.3. 1.18. V= , R = 1.4.
33 a 2
32 a 3
8000 3
3
a
a
1.19. V = 1.5. 2.4. S = 400 2,V=
2a .3 2
6a 4
2 5 4
a 12
3 6 3
6
a
1.20. R= ,S= . 1.6. 2.5. Sxq= ,V(N)=
a
3 3
V
. 3a 8
3 2 3
3
1.7. V= 2.6.
a
,S=
V
32 a 9
2a .8 3
6a 3
3 2 3
3
a
a
11
6
1.8. 1.21. R= 2.7.
V
S ABI .
S ABC
.
V=
3 3 3
1 V 2
24
3a .8 27
3
a
3
a
V
R
1.9. 2.8.
S ABC
.
2.9. , 1.22. V=
1 1.10. 4
2
13 2
33a 4
3
S ABC
.
2.10. V
a 1.11.
a 6
3 3 12
a 2
3a 3
1.23. V= , h =
a 1.12.
3 3 6
2
S 1.13.
a
xq
ba
2
a
b
S
tq
2 b 2
2
aa
V
ba
.S
ABC
2
V
ba
.S
ABCD
b 1 6 1 3
a
Taøi lieäu löu haønh noäi boä Naêm 2010
3 2 6
a
2
1.14. b).V =
AC 2
2
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 31 Löu Tuaán Hieäp
c). R =
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
5. Đề thi TN 2009
MỤC LỤC
PHẦN I . THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông
BAC
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. góc với mặt phẳng đáy. Biết 0 120
1. Thể tích khối chóp, khối lăng trụ ...................................................2-11
2. Thể Tích khối chóp, khối lăng trụ liên quan đến góc.....................12-16
3. Tỷ số thể tích ................................................................................17-19
4. Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp ..........20-21
PHẦN II . MẶT TRÒN XOAY
Bài tập tự rèn luyện ..........................................................................22-23
1. Công Thức, Ví dụ . .......................................................................24-26
PHẦN III . MỘT SỐ ĐỀ THI
2. Bài tập tự rèn luyện ...........................................................................27
6. Đề thi TN 2010
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 1 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 30 Löu Tuaán Hieäp
Một đề thi học kỳ , tốt nghiệp liên quan đến thể tích. ....................................28-30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể Phụ lục Đáp số. ..................................................................................................31 tích khối chóp S.ABCD theo a
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Phaàn I.
THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP – KHOÁI LAÊNG TRUÏ
3. Đề Thi Diễn Tập TN 2009. (1,0 điểm)
Trong tröôøng phoå thoâng , Hình hoïc Khoâng gian laø moät baøi toaùn raát khoù ñoái vôùi hoïc
sinh, do ñoù hoïc sinh phaûi ñoïc thaät kyõ ñeà baøi vaø töø ñoù xaùc ñònh giaû thuyeát baøi toaùn, veõ hình Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy 060 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a (ABC) bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). roài tieán haønh giaûi baøi toaùn.
Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).
Cả hai chương trình chuẩn vaø naâng cao đều đề cập đến theå tích cuûa khoái ña dieän ( Giải
theå tích khoái choùp, khoái laêng truï).
BC SB
Do
Thoâng thöôøng baøi toaùn veà hình choùp ñöôïc phaân thaønh 2 daïng nhö sau:
SA (ABC) BC AB
0 60 SBC ; ABC SBA S
Cho hình choùp
S
Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi maët Hình choùp ñeàu
Xét tam giác vuông SAB và SBC ta có:
S
0
SA AB. tan60
a 3. 3
3a
A
C
2
M
SB
SA
2 AB
2a 3
A
C
2 AC
2 AB
a
BC
O
C
A
2
B
a
3
dt( MBC)
dt( ABC)
AB.BC
B
1 4
4
B
2
SB.BC a
3
phaúng ñaùy
1 2 1 2
dt( SBC) Suy ra:
3
2
3
a
3
V
dt( MBC).SA
.3a
S.BCM
1 3
4
1 a . 3
3
a
4 3
3
- Hình choùp tam giaùc ñeàu Ña giaùc ñaùy : - Hình choùp töù giaùc ñeàu
S.BCM
d(M,(SBC))
2
Tam giaùc vuoâng Tam giaùc caân Tam giaùc ñeàu Hình vuoâng, chöõ nhaät
1.0 0.25 0.25 0.25 0.25
4 3
a
3V
dt( SBC)
3a 4
C1
A1
C1
A1
Thoâng thöôøng baøi toaùn veà hình laêng truï:
B1
V B h .
4. Đề Thi Diễn Tập TN 2010. (1,0 điểm)
B1
B: dieän tích ñaùy
a
V
A
C
3 3 36
A
C
G
H
B
B
h : ñöôøng cao Đáp số :
Laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 Laêng truï xieân ABC.A1B1C1
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 29 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 2 Löu Tuaán Hieäp
A1A (ABC) A1G (ABC)
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
HEÄ THOÁNG KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
MỘT SỐ ĐỀ THI LIÊN QUAN ĐẾN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. Các Tính Chất : a. Tam giác :
1. Đề Thi Học Kỳ 1- Năm học 2008-2009 (1,0 điểm)
A
S
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và Diện tích của tam giác
S
.
AB AC .
.sin
A
ABC
1 2
h
Gọi O là tâm của đáy và M là trung điểm của BC Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên:
*
S
BC AH . .
ABC
)
(
ABC
1 2
);(
(
)
SO g SBC ABC
0 SMO 60
C
B
H
2a
A
*
C
2
2
2
60
AC
BC
AB
O
2a
M
2a
A
Các tam giác đặc biệt : o Tam giác vuông :
B
2
B
sin
a
3
3
2
b
và
S
a
OM a
3
2
ABC
c
Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a nên: 3 6
a (2 ) 4
B
cos
a
3 3
0
b a c a
Xét tam giác vuông SMO:
SO OM
a
.t an60
. 3
3
C
3
a
B
tan
0,25 0,25 0,25 0,25
B
a
3
2
Ñoái Huyeàn Keà Huyeàn b Ñoái c Keà
Vậy
V
a
SO .
a 3.
ABC
S
1 3
3
1 3
AB AC .
S
.
ABC
+ Định lý pitago: + Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông
mặt đáy bằng
060 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
+ Diện tích tam giác vuông: 1 2
2. Đề Thi Học Kỳ 1- Năm học 2009-2010 (2,0 điểm)
A
o Tam giác cân:
. tan
B
S
BC AH . .
ABC
3
2
AH BH 1 2
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến + Tính đường cao và diện tích
V
R
,
C
B
H
33 a 4
a 3
Đáp số :
A
o Tam giác đều
h AM AB
.
3 2
+ Đường cao của tam giác đều
G
S
(
AB
2 ) .
( đường cao h = cạnh x )
ABC
C
3 2 3 4
B
M
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 3 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 28 Löu Tuaán Hieäp
+ Diện tích :
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
b. Tứ giác
Bài Tập Về Mặt Tròn Xoay
A
B
2
Hình vuông
AB
S
(
ABCD
+ Diện tích hình vuông :
O
Bài 2.1 Một hình trụ có khoảng cách hai đáy bằng 7a .Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một đoạn d = 3a theo một thiết diện có diện tích S=56a2 .Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
Bài 2.2 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền
) ( Diện tích bằng cạnh bình phương) + Đường chéo hình vuông AC BD AB . 2 ( đường chéo hình vuông bằng cạnh x 2 )
C
D
bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đă cho.
A
B
S
ABCD
O
'
'
'
'
Bài 2.3 Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a. Tính diện tích + OA = OB = OC = OD xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a. Hình chữ nhật Bài 2.4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A,có BC=20 2 (cm). Hình nón tṛòn xoay khi + Diện tích hình vuông : quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục là đường thẳng chứa cạnh AB. Tính Diện tích xung quanh của hình nón và Thể tích của khối nón.
ABCD A B C D có cạnh a .Gọi O là tâm hình vuông ABCD
'
D
Bài 2.5 Cho hình lập phương
AB AD . ( Diện tích bằng dài nhân rộng) + Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và C
' ' .O A B C
. a). Tính thể tích của hình chóp b). Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tṛòn
'
'
'
OA = OB = OC = OD
' A B C D
S
h
V
.
B h .
C
1 3
A
B. Thể Tích Khối Chóp: nội tiếp hình vuông + Thể tích khối chóp Bài 2.6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông
H
góc với đáy và SA = AC. a). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b). Khi quay tam giác SAB quanh trục SA tạo ra hình nón. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy h : là đường cao của hình chóp Bài 2.7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông
A
B Các khối chóp đặc biệt : Khối tứ diện đều: + Tất cả các cạnh đều bằng nhau góc với đáy cạnh SB = a 3 . a). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. + Tất cả các mặt đều là các tam giác đều Bài 2.8. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là
D
O
M
S
+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO (BCD)
C
trung điểm của BC. a). Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. b). Một hình nón có đỉnh trùng với đỉnh của hình chóp và đáy là hình tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón. B Khối chóp tứ giác đều Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Bài 2.9 + Tất cả các cạnh bên bằng nhau
A
B
O
D
C
+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O Biết AB=a, BC = a 3 , SA=3a. a). Tính thể tích khối chóp S.ABC. b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. + SO (ABCD) Bài 2.10 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 27 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 4 Löu Tuaán Hieäp
Biết SA=AB=BC=a. a). Tính thể tích khối chóp S.ABC. b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Ví dụ 2.5: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
C. Góc:
V B h .
a
B S
ABC
2 3 4
a
V
3 3 4
2 .
R l .
xqS
SC
ABCD
AC hc (
)
a
a
3
3
SC ABCD
SC AC ,
,(
(
(
)
45o
R
.
Cách xác định góc Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P): a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P) , o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/ a) Ta có trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ . Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và . Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên góc giữa SC với (ABCD) bằng 450. Hãy xác định góc đó. S (đvtt) h = AA’ = a Giải b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức Ta có : R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
SCA )) B
2 3
2
3
2
a
a
3
3
S
a
2 .
.
2
, l =AA’ =a A
xq
O
45
3
3
D
C
Ví dụ 2.6: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
Vậy diện tích cần tìm là (đvdt)
S
a
2
2
=2a
2
R
2
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) : a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón o Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) Giải o Tìm trong (P) đường thẳng a (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b (d) = 450 a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B o Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b SO = OA = h=R=
a
2 2 . a 2 a 2 2
2 2 a 2 a 2
(2 2 2)
.a Sxq = Stp = Sxq + Sđáy =
45o
3
A
B
2
2
S
O
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600. Hãy xác định góc đó.
2
R h
2 a .a
1 3
1 . 3
2 2 a 3
Ví dụ 2.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA
b) V = Giải
A
B
S
AM hc (
SM ABCD )
IO
SBC ABCD ), (
((
))
(
,
60o
SA a 2 2 3
vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm SC a) Tính thể tích khối chóp I.ABCD b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp I.ABCD ( khối nón có đỉnh I và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD) 60 Gọi M là trung điểm BC Ta có : (SBC) (ABCD) = BC (ABCD) AM BC (SBC) SM BC ( vì ) a). Ta có IO (ABCD) và
C
V
S
.
IO
I ABCD
.
ABCD
1 3
a 6
I
A
SM AM SMA ) M O Thể tích
B
a 2
2
b). Ta có khối nón có h = IO =
OA
O
D
2
C
3
Bán kính hình tròn đáy R =
2 R h
. .
N
V (
)
1 3
2 a a . 2 2
1 3
AC a 2 a 12
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 5 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 26 Löu Tuaán Hieäp
Vậy
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
SAO
Ví dụ 2.3: Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, gọi O là tâm của đáy, 060
3a
.
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , .Tính thể tích khối chóp 1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2.Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Giải
Baøi Toaùn 1.1: cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = S.ABC
SO
(
ABCD
)
2
a
ABCD
a
2
a
2
a
6
0
Giải 1). Vì S.ABCD đều nên Ta có : S ; Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
SOA
SO AO
tan
SAO
tan 60
3
2
2
2
3
a
6
2
V
S
.SO
a
vuông tại O có : Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
S.ABCD
ABCD
1 3
a 6 2
6
1 3
3a
(đvtt)
2
2
BC
AC
a
AB 2
a
BA BC .
a .
a 2.
S
ABC
C
Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 . SB = Lời giải: S * ABC vuông tại B nên
1 2
1 2
. 2 2 2
2
SB
AB
a
A
2
3
a
SA .
V
S
.
.
a .
S ABC
ABC
.
B
1 3
. 2 2
. 2 6
* SAB vuông tại A có SA * Thể tích khối chóp S.ABC a 1 3
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên S A D O B C 2.Gọi l,r lần lượt là đường sinh,bán kính đáy của hình nón .
Baøi Toaùn 1.2: SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB =
a
2
r OA
2
.Tính thể tích khối chóp S.ABC Ta có : ;
3a Giải
2
2
2
2
a
6
a
2
2
2
l
SA
SO AO
a
2
2
2
a 3 2
a 2
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
2
rl
S
a 2
a
(đvdt)
xq
a 2 2
S
3a
Ví dụ 2.4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45o.
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5
2
BA BC
a
2
C
A
BA BC .
a a . .
Lời giải: Ta có : AC = a 2 , . SB = * ABC vuông, cân tại B nên a) Tính thể tích khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải
S
ABC
1 2
a 2
AC 2 1 2
2
2
2
B
V
B h B a
h
a
SO OA
.
. ,
;
0 .tan 45
SB
AB
a
2 2
1 3
2
3
a
SA .
S .
V
a .
V
S ABC
ABC
.
a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD SO (ABCD).
a 6
3 2 6
2
a
a
2
2
S
a
.
(đvtt) * SAB vuông tại A có SA * Thể tích khối chóp S.ABC a 1 1 . 3 2 3 b) Ta có R =OA, l =SA= a.
xq
2
2
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 25 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 6 Löu Tuaán Hieäp
Vậy
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Phaàn II.
MẶT TRÒN XOAY
Baøi Toaùn 1.3:
5a
B
S
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = .Tính thể tích khối chóp S.ABC HÌNH TRỤ HÌNH NÓN
O
2
2
2
R
A
h
R
h
Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
h
h
R
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông SAB Lời giải:
A
B
B'
O
O'
A'
0
2
BA BC .
.sin 60
a a .2 .2 .
a
. 3
S
ABC
1 2
3 2
1 2
Rl
Rl 2
xqS
xqS
2
2
* ABC đều cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a S * Diện tích xung quanh * Diện tích xung quanh
SA
SB
AB
a
C
2
2
Rl
R
Rl
R
2
2
A
tpS
tpS
3
B
a
2
SA
S .
V
.
a .
a . 3.
* SAB vuông tại A có * Diện tích toàn phần * Diện tích toàn phần
S ABC
ABC
.
1 3
. 3 3
2
R h
)TV
(
N
V (
)
Baøi Toaùn 1.4:
2 R h 3
* Thể Tích Khối trụ * Thể Tích Khối trụ * Thể tích khối chóp S.ABC 1 3
B
,cạnh Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , 0 AC 120 bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
Ví dụ 2.1: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 6a2. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
2
a
S =
a
3
.2
6R
26 a R 2
2
Rl
2
a a 2 . .3
a 6
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Giải * Mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một hình chữ nhật Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200 Lời giải:
xqS
B
S
2
3
2 R h
a
.
a .3
a 3
TV
(
)
* Diện tích xung quanh : , BC = 2a 3 AB = AC = BC = 2a * Thể tích khối trụ :
a
* ABC cân tại A, 0 AC 120 Xét AMB vuông tại M có BM = a 3 , Â = 600
AM =
a
0
3 3
Cho hình nón,mặt phẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra thiết diện là tam giác C
Ví dụ 2.2: đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón.
A
M
2
AM BC .
a a . .2
3
a
. 3
S
ABC
BM tan 60 1 2
1 2
2
2
2
2
a
h
R
a
a
2
2R
a (2 )
3
2
Rl
a a . .2
a 2
Giải * Mặt phẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra tam giác đều cạnh 2a B * SA = a
xqS
3
a
2
SA
S .
V
.
a .
a . 3.
S ABC
ABC
.
3
* Diện tích xung quanh :
1 3
. 3 3
a
3
3
T
V (
)
2 R h 3
2 a a . . 3
3
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 7 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 24 Löu Tuaán Hieäp
* Thể tích khối chóp S.ABC 1 3 * Thể tích khối trụ :
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Baøi Toaùn 1.5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = .Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 1.14 Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh bằng a . a). Chứng minh rằng SABCD là khối chóp tứ giác đều . b). Tính thể tích của khối chóp SABCD . c). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD .
5a Giải
S
Bài 1.15 Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tâm O.Các cạnh Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: bên SA=SB=SC và cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 45o. Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA (ABCD) và vẽ thẳng đứng ABCD là hình vuông ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông a).Tính thể tích của khối chóp SABC b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
2
S
2
a
a
2
ABCD
Bài 1.16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. . Lời giải:
a
2. 2
a 2
a). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. b). Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a 2 SC = 5a * Diện tích ABCD
A
B
2
Bài 1.17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD
SAO
SC
SA
AC
2 * Ta có : AC = AB. 2 = SAC vuông tại A 2
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. . Biết AB = 3a, BC = 4a và 045
3
C
V
S .
.
SA
2 a a .2 .
S ABCD
.
ABCD
1 3
a 2 3
1 3
* Thể tích khối chóp S.ABCD Bài 1.18 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a 3 , D hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA =
Baøi Toaùn 1.6:
a 2 .
a). Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b). Tính diện tích và thể tích của mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
3a
S
Bài 1.19 Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A/A=A/B=A/C , Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: AB = a, AC = , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ. Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA (ABCD) và vẽ thẳng đứng Bài 1.20 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh diện. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng. nhân với 2 ) Bài 1.21 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh a, cạnh bên hợp đáy góc 600. Xác định tâm
AB
a
AC 2
2
S
a
ABCD
0 BAC 120 a) Chứng minh rằng Tam giác AB’I vuông tại A. b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A
Ta có : SA = AC = a 2 và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng. Lời giải: * ABCD là hình vuông Bài 1.22 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và AC = AB. 2 , cạnh AA’= a. Gọi I là trung điểm của CC’.
B
Diện tích ABCD : * SA = a 2
3
a
C
* Thể tích khối chóp S.ABCD
V
S .
.
SA
2 a a .
. . 2
D
S ABCD
.
ABCD
1 3
. 2 3
1 3
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 23 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 8 Löu Tuaán Hieäp
Bài 1.23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA (ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB).
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Bài Tập Về Thể Tích Khối Đa Diện
.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA
(
ABCD
)
Bài 1.1 Cho hình chóp và
Baøi Toaùn 1.7:
SA a .Tính thể tích khối chóp
.S BCD theo a.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
3a
S
Giải Bài 1.2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và 060 . Tính thể tích khối chóp theo a ? đáy là Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O Bài 1.3 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp theo a. + Gọi M là trung điểm BC + O là trọng tâm của tam ABC + AM là đường cao trong ABC Đường cao của hình chóp là SO ( SO (ABC)) Bài 1.4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , Lời giải: các cạnh bên bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
,
a 2
AB a AD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
SA
ABCD
3a
3a
Bài 1.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ; . Cạnh bên SB bằng , tâm O
SA
(
ABC
)
A
3a
C
O
a
3.
AM =
M
AM
B
a
a 3 2 a 2 3 . 3 2
2 AO= . 3
0
Bài 1.6 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, , góc * S.ABC là hình chóp tam giác đều Gọi M là trung điểm BC ABC đều cạnh SO (ABC) SA=SB=SC = 2a giữa SB và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC. * ABC đều cạnh Bài 1.7 3 2 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là , góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) tam giác vuông tại B, AB a 3, AC 2a 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABC bằng
AB AC .
.sin 60
a .
a 3.
3.
S
ABC
1 2
3 2
2 a 3 . 3 4
1 2
Bài 1.8
2
SO
2 SA
AO
a . 3
2
3
3
a
SA .
S .
V
a .
S ABC
ABC
.
4
. 3 4
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 300. Gọi M là trung điểm SB. Tính thể tích khối chóp M.ABC * SAO vuông tại A có Bài 1.9 Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp biết SA (ABC) SABC. * Thể tích khối chóp S.ABC a 1 3 1 . 3 3
Bài 1.10 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên AB, BC, CA. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC. Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì
BAC
2a
+ không xác định được vị trí điểm O Bài 1.11 Cho hình chóp S.ABC có SB = , Hai mặt bên ,AB=AC = a, 060 + không hiểu tính chất của hình chóp đều là SO (ABC) (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài 1.12 + không tính được AM và không tính được AO
Tính toán sai kết quả thể tích Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 1.13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 9 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 22 Löu Tuaán Hieäp
vuông góc với mặt đáy và SA= b. Cắt khối chóp bằng mặt phẳng (SBD) ta được hai khối chóp đỉnh S. a) Kể tên và so sánh thể tích của hai khối chóp đó. b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD. c) Tính thể tích của hai khối chóp S.ABC và S.ABCD.
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Baøi Toaùn 4.2:
3a
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a.
Baøi Toaùn 1.8:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
1) Tính thể tích của khối chóp. 2) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp trên. 3) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên. Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Giải
S
M
Hình chóp tứ giác đều có
I
C
B
+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O + SO (ABCD) + tất cả các cạnh bên bằng nhau Đường cao của hình chóp là SO ( SO (ABCD))
O
S
A
D
Lời giải:
3a
V
SO dt ABCD . (
.
)
1 3
2
2
2
A
2
2
2
2
SO
= SC -
= 4a
=
AO=
a
2
a 2
7a 2
2
O
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có : SO (ABCD) * S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O SO (ABCD) SA=SB=SC =SD =
AC 2 2
S
a
a
2
4
2
ABCD
SO =
D
C
2
SO
2 SA
AO
a
V
=
14 6
3
SA
S .
V
.
2 a a .4 .
S ABCD
ABCD
.
* Diện tích hình vuông ABCD AC = 2a. 2 B a 2 0,25 0,25 0,25 dt(ABCD) = a2 2a 4 a 14 2 3a * SAO vuông tại O có Vậy : 0,25
1 3
a 4 3
* Thể tích khối chóp S.ABCD 1 3
Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều
SIM
SAO
=
SI =
+ không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông Dựng trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD SO (ABCD) Dựng trung trực của SA d SA tại trung điểm M Xét (SAO) có d cắt SO tại I, ta có : SI = IA IA = IB = IC = ID IS = IA = IB = IC = ID Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính r = SI. + không SO (ABCD) mà lại vẽ SA (ABCD)
SI SA
SM SO
SM.SA SO
+ không tính được AC và không tính được AO
SI =
r
= SI =
Tính toán sai kết quả thể tích
2a 14 7
2a 14 7
2
2
S
= 4 r =
224 .a 49
3
14
3
V =
r
=
4 3
448 a 1029
. Vậy :
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 21 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 10 Löu Tuaán Hieäp
0,25 0,25 0,25 0,25
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Baøi Toaùn 1.9:
Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a
Dạng 4.
DIỆN TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP
THỂ TÍCH KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP
Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Trong chương trình toán phổ thông, yêu cầu xác định tâm , bán kính của mặt cầu ngoại tiếp Tứ diện đều ABCD có các tính chất hình chóp và tính diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu đó.
3
2
R 4
V
sS
( )
s ( )
R 4 3
A
- Xác định tâm I và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp + tất cả các cạnh đều bằng nhau + tất cả các mặt là các tam giác đều + gọi O là trọng tâm của tam giác đáy Đường cao của hình chóp là AO ( AO (BCD)) - Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu Lời giải:
Baøi Toaùn 4.1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 45o .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
D
B
Giải
a
O
BM =
M
2
a
3
a
3
C
BM
.
2 BO= . 3
2 3
3
2
2
a
* ABCD là tứ diện đều cạnh a Gọi M là trung điểm CD Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a BCD đều cạnh a, tâm O AO (BCD) * BCD đều cạnh a 3 Lời giải:
S
S
BCD
SC ABCD )
(
. 3 4
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O SO (ABCD) OC hc
SC ABCD
SC OC ,
, (
(
(
)
45o
SCO ))
2
2
A
a
3
a
6
B
2
2
AO
AB
BO
a
* AOB vuông tại O có
3
3
2
OC=AO=
a
2
* Diện tích hình vuông ABCD AC = 2a. 2
D
2
3
C
a
3
a
6
a
AO
V
S
.
.
.
.
ABCD
BCD
4
a
S
2
a 2 2
AC 2 2 2 a
ABCD
45 O
4
3
. 2 12
2a
* Thể tích khối chóp S.ABC 1 1 3 3
* SOC vuông tại O có OC = , 45o SCO Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a,
Baøi Toaùn 1.10: AC=a 3 , cạnh A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ
SO = OC =
2a
C/
3
4
a
2
2
2
AC
AB
a
SO .
S .
V
2 a a .4 .
2
2
BC =
Giải * Tam giác ABC vuông tại B A/
S ABCD
ABCD
.
3
2
a
2
S
AB BC .
ABC
B/ * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 1 3 3
2a
1 2
2
2a
3
3
3
4 (
2)
V
s ( )
2
2
a 3
4 R 3
a 3
8 a . 2 3
A
C
/ A A
/ A B
AB
a
3
3
a
a
6
V
S
/ A A
.
2a * Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có OA=OB=OC=OD=OS= mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm O và bán kính R = * Tam giác A/AB vuông tại A Vậy
/
/
/
ABC
ABC A B C .
2
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 11 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 20 Löu Tuaán Hieäp
* B
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Dạng 2.
THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP- KHỐI LĂNG TRỤ
LIEÂN QUAN ÑEÁN GOÙC
3a
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể
Baøi Toaùn 3.2: mặt phẳng đáy và SA = tích khối chóp S.AMN và A.BCNM
Trong chöông trình Toaùn phoå thoâng , Hình hoïc Khoâng gian ñöôïc phaân phoái hoïc ôû
Giải cuoái naêm lôùp 11 vaø ñaàu naêm lôùp 12, kieán thöùc veà goùc ( goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: phaúng ; goùc giöõa hai maët phaúng) ñöôïc hoïc vaøo cuoái naêm lôùp 11 vaø ñeán ñaàu naêm lôùp 12 Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho seõ ñöôïc vaän duøng vaøo baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái choùp, khối lăng trụ. Ñoù laø moät vaán
S
ñeà raát khoù ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 12 khi vaän duïng vì ña soá hoïc sinh queân vaø khoâng bieát caùch Lời giải: ( Dùng công thức tỷ số thể tích) vaän duïng, töø ñoù ña soá hoïc sinh ñeàu boû hoaëc laøm sai baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái choùp ,
S AMN
.
1.
.
khối lăng trụ trong caùc kyø thi hoïc kyø, thi Toát nghieäp THPT
1 4
SA SA
V V
S ABC
.
2
3
a .
a 3.
3
V
SM SN . SB SC 1 3
M
V
S AMN
.
ÔÛ ñaây, toâi heä thoáng laïi moät soá sai laàm maø hoïc sinh thöôøng gaëp khi giaûi baøi toaùn N Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có 1 1 . 2 2 tính theå tích lieân quan ñeán giaû thuyeát veà goùc
a 4
C
V
A
A BCNM
.
S ABC
.
S ABC . 4 3 V . 4
4 3 a 3 4
Goùc
Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
B
S
S
C
A
A
Goùc giöõa hai maët phaúng
Baøi Toaùn 3.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD
C
O
M
B
B
AB hc (
SB ABC ,(
SB AB ,
(
)
(
SBA ))
S
Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho Xaùc ñònh goùc giöõa (SBC) vaø Xaùc ñònh Goùc giöõa SB vaø (ABC) Ta coù : SB ABC ) (ABC)
IO (ABCD)
V
S .
.
IO
I ABCD .
ABCD
1 3
I
SBC ABC ),(
,
2
S
a
ABCD
A
Mà : B
IO
a
SA 2
3
O
D
V
2 a a . .
Lời giải: Gọi O là giao điểm AC và BD Ta có : IO // SA và SA (ABCD)
I ABCD .
1 3
a 3
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 19 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 12 Löu Tuaán Hieäp
Vậy Ta coù : (SBC) (ABC) = BC SM BC AM BC )) SM AM SMA ) ( (( Chuù yù : Xaùc ñònh hai ñöôøng thaúng naèm trong hai maët phaúng vaø cuøng vuoâng goùc vôùi giao tuyeán taïi moät ñieåm C
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Baøi Toaùn 3.1:
ACB
3a
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể
Baøi Toaùn 2.1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, 060 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
mặt phẳng đáy và SA = tích khối chóp S.AMN Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện (ABC) liên quan đến khối chóp đã cho
AB hc (
S
V
.
S h .
(
SB ABC , (
SB AB ,
(
)
1 3
Lời giải: * Ta có : AB = a , SB ABC ) Cách 1: (dùng công thức thể tích ) Lời giải: S
45o SBA )) * ABC vuông tại B có AB = a, 060 ACB 3
a
BC
0
AB tan 60
3
a 3
N
-Đáy là tam giác AMN - Đường cao là SA
2
a
3
a
A
60
a . .
BA BC .
A
ABC
S
45
1 2
. 3 6
M
2
045
a
0
AM AN .
.sin 60
a a . . .
B
S
AMN
.tan 45o
* AMN có Â = 600, AM=AN = a 3 2
1 2
. 3 4
C * Khối chóp S.AMN có C
1 2 3a
2
3
a
SA
S .
a .
V
.
.
S ABC
ABC
.
B * SA =
1 3 2 * SAB vuông tại A có AB= a, B a SA AB * Thể tích khối chóp S.ABC a 1 3
. 3 6
1 3
. 3 18
2
3
a
SA .
S .
V
.
a . . 3
S AMN
AMN
.
1 3
. 3 4
a 4
* Thể tích khối chóp S.ABC 1 3
Cách 2 : ( Dùng công thức tỷ số thể tích)
Baøi Toaùn 2.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A SMN
.
.
1.
V V
AS AS
1 4
1 1 . 2 2
A SBC
.
V
V
V
V .
S AMN
.
A SMN
A SBC
.
.
S ABC . 4
Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên (ABCD)
AC hc
3
SC ABCD )
(
SA .
.
V
S .
a . . 3
a
Ta có :
S ABC
.
ABC
AM AN . AB AC 1 4 2 a 1 4 . 3 3
4
, (
SC AC ,
)
(
60o
1 3 3
V
V
Vậy
S AMN
.
a 4
S ABC . 4
2
a
Lời giải: S * Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a ,
SCA SC ABCD )) ( * Diện tích hình vuông S
ABCD
C
060
o
.tan 60
2a 6
60
3
D
a
C
SA
S .
V
.
2 a a . .
6
S ABCD
ABCD
.
Nhận xét: , Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã cho và khi đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai. A Trong một số bài toán thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn.
1 3
. 6 3
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 13 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 18 Löu Tuaán Hieäp
* SAC vuông tại A có AC= B SA AC a * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 3
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Dạng 3.
TỶ SỐ THỂ TÍCH
3a
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB =
- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy
Baøi Toaùn 2.3: , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
S
nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối Giải chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau: Sai lầm của học sinh:
C
+ Cách 1:
60
60o
,
(
))
SBC ABC ), (
A
o Xác định đa giác đáy
M
B
o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt
S
phẳng đáy) (Hình vẽ sai) o Tính thể tích khối chóp theo công thức , + Cách 2
3a (SBC) (ABC) = BC AB BC ( vì ABC vuông tại B) SB BC ( vì AB hc (
SB ABC )
SBC ABC ), (
SB AB ,
((
(
)
60o
SBA ))
o Xác định đa giác đáy Gọi M là trung điểm BC Ta có AM BC SM BC SM AM SMA ) (( Lời giải đúng: * Ta có : AB = o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện
A
3a
C
a
BA BC .
a .
a 3.
S
ABC
B
1 2
1 2
. 3 2
S
tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã * ABC vuông tại B có AB = cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho ,BC =a 2 60 + Cách 3: dùng tỷ số thể tích
B
060
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S
o
SA AB
.tan 60
a
3
M
S MNK
.
.
.
K n
V V
SM SN SK SA SB SC
S ABC
.
2
3
N
a
A
SA .
S .
V
.
a .3
S ABC
ABC
.
C
và góc ở đỉnh S * SAB vuông tại A có AB= a, Ta có :
1 3
. 3 2
. 3 2
B
* Thể tích khối chóp S.ABC a 1 3 Nhận xét:
Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60o , do đó mất 0.25 điểm Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối
chóp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC Chương Trình Chuẩn Chương Trình Nâng Cao
- Không trình bày khái niệm tỷ số thể Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích của o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến tích của 2 khối chóp 2 khối chóp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 17 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 14 Löu Tuaán Hieäp
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến.
Toaùn 12
Toaùn 12
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay
Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 .Tính thể tích 2a
Baøi Toaùn 2.4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Baøi Toaùn 2.5: AB=a, BC = khối lăng trụ.
C/
A/
B/
/ A BC
ABC
BC
(
)
(
)
SBC ABC ), (
))
((
45o
SBA
Giải Giải Sai lầm của học sinh: * Ta có A/A (ABC)
2a
/
AB BC
ABC
hc (
)A B
0
/
/ A BA
30
)
A BC ABC ),(
(
C
Mà AB = ,
A
300
a
nên A/B BC
a 2
S
3a (SBC) (ABC) = BC Gọi M là trung điểm BC AM BC ( vì ABC cân tại A) SM BC ( vì
AM hc (
SM ABC )
B
2
a
2
SBC ABC ), (
((
(
,
45o
SM AM SMA ) ))
S
AB BC .
ABC
1 2
2
* Tam giác ABC vuông tại B Lời giải đúng: * Ta có : AB =
2a
a
3
/
0
C
A A AB
.tan 30
45
3
A
a
2
AB = BC = a và AM =
M
3
a
6
B
2
* ABC vuông cân tại A có ,BC = * Tam giác A/AB vuông tại A
V
S
/ A A
.
/
/
/
ABC
ABC A B C .
6
AB AC .
a a . .
S
ABC
1 2
1 2
2 a 2
a
2
*
045M
2
* SAM vuông tại A có AM= ,
Baøi Toaùn 2.6: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ.
a
2
o
SA AB
.tan 45
A/
2
C/
3
2
a
SA .
V
S
.
2 a a .
S ABC
ABC
.
1 . 3 2
2
. 2 12
/
Giải * Gọi M là trung điểm BC B/ G là trọng tâm của tam giác ABC * Thể tích khối chóp S.ABC 1 3 Ta có A/G (ABC)
ABC
hc (
/
0
A
/ A AG
A A ABC ,(
)
30
GA =
)A A
C 300
G
M
2a 3
B
2
a
a
2
3 .
3
3
ABCS
2
3 4
* Tam giác ABC đều cạnh 2a 3
AG
AM
a
a
0 30 ,
.2
3.
2
2 3
3 2
2 3
3
2
/
0
3
V
S
/ A A
a
.
6
* Tam giác A/AG vuông tại G có A
A G AG
.tan 30
/
/
/
ABC
ABC A B C .
a 3
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 15 Löu Tuaán Hieäp
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 16 Löu Tuaán Hieäp
.Vậy
