Thống kê thật kỳ quái..
Trong khoa học, trực giác có thể sẽ mang đến cho bạn nhiều rắc rối. Chẳng
hạn như lưỡng tính sóng - hạt trong cơ học lượng tử, rồi đến thuyết tương đối
dường như bẻ cong mọi suy nghĩ của chúng ta theo cách mà chúng ta không
muốn. Tin tưởng vào trực giác của bạn thường sẽ dẫn bạn đến kết luận sai
trái. Để minh họa cho điều này, ta xét một số thống kê trong toán học sau
đây. Thống kê thường có thể rất lạ. Dưới đây là hai ví dụ minh chứng về
những gì tôi nói:
Bài toán về ngày sinh
Cần bao nhiều người trong một căn phòng sao cho có khả năng có hai người
cùng ngày sinh, giả sử rằng ngày sinh là một phân bố ngẫu nhiên.
Trả lời theo trực giác (và là trả lời sai):
Nào, hãy nghĩ về chúng một chút. Một năm có 365 ngày. “Có khả năng có
hai người cùng ngày sinh”, nghĩa là có 50% cơ hội. Bởi vì ngày sinh là phân
bố ngẫu nhiên nên sẽ không có khả năng để lặp lại 2 lần cho đến khi một nửa
năm đã trôi qua. Vì vậy sau 182 ngày, người trong phòng tương ứng với số
ngày của nửa năm và sẽ có nhiều khả năng hơn nếu có một người nữa bước
vào phòng. Vì vậy câu trả lời là 183.
Câu trả lời chính xác là 23. Ngạc nhiên không?
Ủng hộ TVVL bằng cách click 1 quảng cáo nhé.
Thậm chí có 23 ngày sinh khác nhau cũng dẫn đến 93,6% những ngày trong
năm với 50,7% để có hai người, trong một căn phòng 23 người, có cùng ngày
sinh. Đáng ngạc nhiên hơn là nếu có 57 người trong một phòng thì có tới
99% cơ hội để có hai người có cùng ngày sinh. Câu trả lời theo cảm tính ở
trên chỉ đúng trong trường hợp câu hỏi là “Có bao nhiêu người trong một
phòng sao cho có ít nhất một người cùng ngày sinh với tôi”.
Bài toán về Monty Hall
Máy chủ của trò chơi, Monty Hall, sẽ cho bạn 3 cánh cửa. Phía sau một trong
số 3 cánh cửa đó là một chiếc xe hơi mới, sau hai cánh cửa còn lại là một con
dê. Bạn chọn một cửa (ví dụ cửa 1). Sau đó Monty sẽ mở cửa số 3 và cho
thấy một con dê. Máy chủ sẽ cho bạn một cơ hội - bạn có quyền chọn lại cửa
số 2 hoặc vẫn trung thành với lựa chọn ban đầu của mình. Bạn có nên chọn
lại không?
Câu trả lời theo cảm tính (và là câu trả lời sai):
Khi chọn lần đầu tôi có 1/3 cơ hội có được chiếc xe hơi. Monty mở một cửa,
và nó không phải là xe hơi. Điều đó có nghĩa là xe hơi có thể ở cửa 1 hoặc
cửa 2. Cơ hội lúc này là như nhau cho hai cánh cửa nên sẽ không có vấn đề gì
với cánh cửa mà tôi đã chọn.
Câu trả lời đúng:
Câu trả lời đúng là nếu thay đổi lựa chọn bạn sẽ tăng từ 1/3 cơ hội lên 2/3 cơ
hội. Có một chú ý quan trọng là Monty biết chiếc xe hơi đang ở đâu và sẽ
không bao giờ mở cánh cửa có nó (vì sẽ làm hỏng trò chơi). Tôi sẽ chỉ cho
bạn lý do toán học tại sao điều này lại đúng. Công cụ thống kê mà chúng ta
sử dụng gọi là định lý Bayes, cho phép chúng ta phân tích xác suất của một
sự kiện xảy ra khi có một sự kiện khác đã xảy ra rồi. Trong trường hợp này
chúng ta cần tính xác suất để có xe hơi ở cửa 1, khi biết có một con cừu ở cửa
3. Định lý Bayes được viết như sau:
Nghĩa là: Xác suất để xảy ra sự kiện A khi biết sự kiện B thì đúng bằng tích
của xác xuất để xảy ra sự kiện B khi biết sự kiện A với xác suất xảy ra sự
kiện A chia cho xác suất xảy ra sự kiện B.
Trong bài toán Monty Hall, chúng ta có 3 biến quan trọng. Cửa mà bạn chọn
là Dn, cửa mà Monty mở là Mn và cửa thật sự có xe hơi là Cn. Vì vậy xác
suất để có xe hơi trong cửa 2 là C2, khi biết bạn chọn D1 và Monty mở cửa
M3 là:
hay:
Vì vậy nếu bạn chon cửa 1 và Monty mở cửa 3 thì có 66,6% là chiếc xe hơi ở
cửa số 2 và chỉ có 33,3% ở cửa 1. Vì vậy lần tới nếu bạn phải đối mặt với bài
toán thống kê trông có vẻ đơn giản, nên nhớ rằng: thống kê cũng thật là ma
quái.
Thuyết tương đối vs QED: nghịch lí không còn là nghịch lí
Hồi tháng 4 năm ngoái, Masud Mansuripur, một kĩ sư điện tại trường Đại học
Arizona ở Tucson, khẳng định rằng phương trình xác định lực tác dụng lên
một hạt ích điện bởi điện trường và từ trường – định luật lực Lorentz – xung
đột với thuyết tương đối, lí thuyết có trọng tâm nói rằng các nhà quan sát
chuyển động ở một vận tốc không đổi so với nhau sẽ nhìn thấy những sự kiện
giống nhau. Để chứng minh, Masud đã nghĩ ra một “thí nghiệm tưởng tượng”
đơn giản trong đó định luật lực Lorentz dường như dẫn tới một nghịch lí, và
ông đã mô tả trên tạp chí Physical Review Letters (PRL). Nay bốn nhà vật lí
độc lập nhau cho biết rằng họ đã giải thích được nghịch lí đó trong phần bình
luận đăng trên tạp chí PRL.
“Masud đã hoàn toàn bị thuyết phục rằng ông đã đúng, nhưng ông không
đúng,” phát biểu của Stephen Barnett, một bình luận viên từ trường Đại học
Strathclyde ở Glasgow, nước Anh.
Để hiểu lực Lorentz, hãy giả sử một hạt tích điện đang chuyển động trong
điện trường và từ trường. Định luật lực Lorentz phát biểu rằng điện trường sẽ
đẩy hạt đó theo cùng phương với trường còn từ trường sẽ đẩy nó theo phương
vuông góc với từ trường và vận tốc của hạt. Định luật lực Lorentz thường
được dùng để minh họa cách trong thuyết tương đối, ví dụ, một lực xuất hiện
là thuần túy lực điện trước một nhà quan sát sẽ xuất hiện vừa là lực điện vừa
là lực từ trước một nhà quan sát đang chuyển động ở một tốc độ khác.
Nhưng Mansuripur đã tưởng tượng ra một ví dụ trong đó định luật lực
Lorentx dường như dẫn tới một mâu thuẫn lô gic. Xét một điện tích điểm
nằm cách một nam châm nhỏ xíu một khoảng cách cố định (xem hình). Nam
châm không tích điện, nên nó không chịu tác dụng lực từ phía điện trường
của điện tích. Tương tự, điện tích chưa bị từ hóa đó không tương tác với từ
trường của nam châm. Vì thế không có gì xảy ra.
Mặc dù nam châm chịu một moment lực trong một hệ quy chiếu nhưng không
có moment lực trong hệ quy chiếu kia, nó không quay trong hệ quy chiếu nào
hết, vì moment lực chỉ cung cấp xung lượng góc “ẩn” của nam châm. Ảnh:
Preston Huey/Science/AAAS
Giờ hãy tưởng tượng mọi thứ trông ra sao từ một “hệ quy chiếu đang chuyển
động” trong đó điện tích và nam châm đều lướt qua nhau ở một vận tốc
không đổi. Nhờ những hiệu ứng kì lạ của thuyết tương đối, nam châm dường
như có thừa điện tích dương ở một bên và thừa điện tích âm ở phía bên kia.
Cho nên điện tích điểm sẽ hút một bên của nam châm và đẩy bên kia, tạo ra
một moment quay – đó là cái Mansuripur khẳng định.
Chi tiết cụ thể như thế này. Cái nam châm có thể xem là một vòng dây nhỏ
xíu trong đó các electron tích điện âm chạy qua những ion dương đứng yên.
Trong hệ quy chiếu trong đó cái vòng dây là tĩnh, thì các electron và ion cách
đều nhau và cái vòng dường như không tích điện. Nhưng trong hệ quy chiếu
đang chuyển động, các electron ở một bên của vòng dây chuyển động nhanh
hơn các electron ở phía bên kia đối với người quan sát. Cho nên nhờ “sự co
Lorentz” kì lạ của thuyết tương đối, các electron ở một bên dường như ở gần
sát nhau hơn và các electron ở phía bên kia thì ở xa nhau hơn, tạo ra sự mất
cân bằng điện tích.
Tuy nhiên, theo thuyết tương đối, Mansuripur lưu ý rằng cái nam châm
không thể quay trong hệ quy chiếu này hoặc hệ quy chiếu kia nên những kết
quả đó là nghịch lí. Để tránh vấn đề đó, ông chủ trương thay thế định luật
Lorentz bằng một định luật xét lực từ không giống như vậy.
Nhưng theo bốn nhà vật lí bình luận trên PRL, Mansuripur đã quên mất cái gì
đó rồi. Nhờ sự kì lạ của thuyết tương đối hẹp, cái nam châm còn có một
“moment động lượng ẩn” lạ lùng trong hệ quy chiếu chuyển động tăng lên
đều. Theo định nghĩa, moment lực bằng với độ biến thiên moment động
lượng. Cho nên, thay vì làm quay cái nam châm, moment lực trong hệ quy
chiếu chuyển động chỉ làm tăng moment động lượng ẩn mà thôi. Vấn đề thế
là xong.
Đây là cách moment động lượng có mặt trong bài toán. Nếu ta xem cái nam
châm là một dòng điện vòng, thì ở một bên của vòng điện trường từ điện tích
điểm đẩy các electron theo chiều chuyển động của chúng và làm tăng năng
lượng của chúng. Ở phía bên kia của vòng, điện trưởng cản trở chuyển động
của các electron và làm giảm năng lượng của chúng. Cho nên có một dòng
năng lượng toàn phần từ bên này đổ sang bên kia của vòng. Nhờ phương trình Einstein E = mc2, dòng năng lượng đó tương đương với sự chuyển động
của khối lượng, cái bản thân nó tương đương với động lượng. Cho nên, dòng
năng lượng cấp cho nam châm một động lượng ẩn hướng sang bên, mặc dù
nó không chuyển động hướng sang bên.
Trong hệ quy chiếu chuyển động, động lượng ẩn này còn gây ra một moment
động lượng tăng dần. Để hình dung, hãy giả sử bạn quay một quả bóng buộc
ở đầu một sợi dây phía trên đầu bạn. Tại một thời điểm bất kì, quả bóng có
một động lượng hướng vuông góc với sợi dây và gây cho nó một moment
động lượng hướng theo tay của bạn, và moment động lượng đó tăng khi bạn
buông sợi dây ra. Tương tự như vậy trong hệ quy chiếu chuyển động, động
lượng ẩn hướng sang bên của cái nam châm dẫn tới một sự tăng đều moment
động lượng. Và để tăng moment động lượng đó tuyệt đối cần có moment lực
mà Mansuripur đã nhận ra.
Mansuripur đang mắc kẹt với khẩu súng đã khơi ngòi của mình. Ông cho
rằng động lượng ẩn, cái đã được nhận ra hồi thập niên 1960, là một khái niệm
mập mờ được nêu ra để lấp liếm vấn đề. “Luôn luôn có vấn đề với động
lượng ẩn,” Mansuripur nói. “Bạn biết rằng có cái gì đó còn thiếu, nên bạn
thừa nhận sự tồn tại của nó.” Ông nói cách tiếp cận của ông loại bỏ nhu cầu
viện dẫn động lượng ẩn.
Những người khác thì nói động lượng ẩn là một bộ phận của thuyết tương
đối. “Nếu bạn có một hệ có chuyển động nội tại chịu một lực bên ngoài, thì
động lượng ẩn là một tính chất chung,” phát biểu của Daniel Vanzella, một
bình luận viên tại trường Đại học São Paulo ở São Carlos, Brazil. “Đó không
phải là một khái niệm đặc biệt được đưa vào để né tránh vấn đề.” Vanzella
còn lưu ý rằng về mặt toán học, định luật lực Lorentz có thể được viết dưới
một dạng sẽ khớp với thuyết tương đối, cho nên đơn giản là nó không thể nào
mâu thuẫn với thuyết tương đối.
