Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất

Tín Hiệu và Hệ Thống

Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất

Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn

Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện

Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược

6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt

22

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Tổ chức

3

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace

6.1.1 Phép biến đổi Laplace

6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ

6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược

6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt

4 44

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

5

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Tại sao cần phép biến đổi Laplace?

(cid:131) Ta có

(cid:131) Khi phân tích trong miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các xung và cộng các đáp ứng của hệ thống với các xung đó.

(cid:131) Khi phân tích trong miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các thành phần mũ phức có dạng est trong đó s là tần số phức

s

= +

jσ ω

6 66

EE3000-Tín hiệu và hệ thống EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Định nghĩa phép biến đổi Laplace

(cid:131) Biiến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là

(cid:131) Giải thích bằng phép biến đổi Fourier

t e σ−

(cid:131) Phép biến đổi Laplace có thể được coi là phép biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) sau khi nhân với hàm mũ thực

7 7

EE3000-Tín hiệu và hệ thống EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace

6.1.1 Phép biến đổi Laplace

6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ

6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược

6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt

8 88

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Biến đổi Laplace: Ví dụ 1

(cid:131) Ảnh Fourier của tín hiệu mũ thực nhân quả

chỉ tồn tại khi a > 0

(cid:131) Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có

(cid:131) Do đó với bất kỳ giá trị nào của a, biến đổi Laplace tồn tại với mọi giá trị σ > -a

9

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Biến đổi Laplace: Ví dụ 1

(cid:131) Do s = σ+jω, ta viết lại thành

(cid:131) Nếu a > 0, X(s) tồn tại với σ = Re{s} = 0, khi đó trở thành X(jω).

Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω).

(cid:131) Miền hội tụ: Miền các giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ

Biến đổi Laplace bao gồm biến đổi Fourier

10 10

EE3000-Tín hiệu và hệ thống EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Biến đổi Laplace: Ví dụ 2

(cid:131) Xét tín hiệu mũ thực phản nhân quả

Ảnh Laplace của nó là

(cid:131) Miền hội tụ

Biến đổi Laplace bao gồm biến đổi Fourier

11 11 1111

EE3000-Tín hiệu và hệ thống EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Sơ đồ điểm không/điểm cực

(cid:131) Ảnh Laplace thường có dạng phân thức của s, tức là

với s thuộc miền hội tụ (MHT)

X s ( ) , =

trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đa thức bậc M và N của biến s

(cid:131) M nghiệm của tử thức B(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace

N nghiệm của mẫu thức A(s) đgl các điểm cực của ảnh Laplace.

(cid:131) Chú ý: các điểm cực của B(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểm không có thể nằm trong hoặc nằm ngoài MHT.

(cid:131) Mô tả một cách cô đọng đặc tính của ảnh Laplace trong mặt phẳng s bao gồm cả việc chỉ ra vị trí các điểm không và điểm cực, ngoài MHT.

1212

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

B s ( ) A s ( )

Biến đổi Laplace: Ví dụ 3

(cid:131) Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệu mũ nhân quả

có ảnh Laplace là

(cid:131) Biểu diễn X(s) thành dạng phân thức

Điểm cực

Điểm không

13 1313

EE3000-Tín hiệu và hệ thống EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace

6.1.1 Phép biến đổi Laplace

6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ

6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược

6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt

14 1414

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Các tính chất của miền hội tụ

(cid:131) Với tín hiệu một phía phải

( )x t

t

.

( ) 0, x t =

>

MHT:

Re

,

t 1 {

} s σ>

max

t

1t

0

trong đó σmax là phần thực lớn nhất của các điểm cực

(cid:131) Với tín hiệu một phía trái

( )x t

t

t

.

( ) 0, x t =

<

2

Re

,

{ } s σ<

MHT:

min

t

0

2t

trong đó σmin là phần thực nhỏ nhất của các điểm cực

15

EE3000-Tín hiệu và hệ thống EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Các tính chất của miền hội tụ

( )x t

(cid:131) Với tín hiệu khoảng hữu hạn (tín hiệu vừa là một phía phải, vừa là một phía trái

t

t

t

.

( ) 0, x t =

< ∪ >

t 1

2

t

0

MHT: toàn bộ mặt phẳng s

1t

2t

(cid:131) Với tín hiệu hai phía (không phải là các tín hiệu trên)

( )x t

Re

,

<

<

{ } s

MHT:

σ 1

σ 2

t

0

trong đó σ1 và σ2 là các phần thực của (ít nhất) hai điểm cực

16

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Miền hội tụ: Ví dụ

x t ( )

(cid:131) Xét tín hiệu hai phía

at sdfssdfdsfs e u t ) ( − − (cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:10) 2( ) x t

at −= sdfssdf u t e ( ) (cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:10) 1( ) x t

(cid:131) Từ các ví dụ trên ta có

, Re

, Re

a

a

=

> −

=

<

và

{ } s

{ } s

( ) X s 1

( ) X s 2

jω

1 s a +

1 s a −

(cid:131) Do đó

,

Re

,

( ) X s

a

=

a − <

<

+

1 s a −

σ

× a

× a−

Re

,

a

=

a − <

<

2

2

s

1 s a + s 2 a −

( )x t

( )x t

(

0)

a <

(

0)

a >

t

t

0

0

17

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace

6.1.1 Phép biến đổi Laplace

6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ

6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược

6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt

18 1818

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Biến đổi Laplace ngược

(cid:131) Để tìm lại tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổi Fourier ngược.

∞

t − σ

−

j t ω

(cid:131) Do

X

j

x t e ( )

dt

,

=

( ) σ ω +

∫

⎤ e ⎦

⎡ ⎣

−∞

nên có thể viết ảnh Fourier ngược của nó là

∞

t − σ

j t ω

( ) x t e

X

j

=

( ) e σ ω +

d ω

∫

1 2 π

−∞

(cid:131) Nhân cả hai vế với eσt, ta có

∞

t

j ( ) + σ ω

( ) x t

X

j

=

( ) e σ ω +

d ω

∫

1 2 π

−∞

nằm trong MHT

(cid:131) Thay s = σ+jω và ds=jdω,

σ

j + ∞

st

∫

X s e ds x t ( ) ( ) =

j − ∞

σ

1919

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

j 1 2 π

Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ

(cid:131) Cho hàm phân thức bậc 2

được phân tích thành tổng các phân thức đơn giản

(cid:131) Có 3 khả năng của MHT

và

20

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ

(cid:131) Trường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu một phía phải

(cid:131) Ta có

(cid:131) Do đó ảnh Laplace của

là

21

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ

(cid:131) Trường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu hai phía

(cid:131) Ta có

(cid:131) Do đó ảnh Laplace của

là

22

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ

(cid:131) Trường hợp MHT là

tín hiệu x(t) phải là tín hiệu phía trái

(cid:131) Ta có

(cid:131) Do đó ảnh Laplace của

là

23

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Các cặp biến đổi Laplace

24

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Chương 6: Phép biến đổi Laplace

6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace

6.1.1 Phép biến đổi Laplace

6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ

6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược

6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

6.4 Hàm truyền đạt

25 2525 2525

EE3000-Tín hiệu và hệ thống EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Tính tuyến tính

(cid:131) Cho các tín hiệu x1(t) và x2(t) có các ảnh Laplace là X1(jω) và X2(jω) với các MHT tương ứng R1 và R2

(cid:131) Ta có

+ ↔ + ax t ( ) 1 bx t ( ) 2 aX s ( ) 1 bX s ( ) 2

MHT:

(cid:131) Thông thường, khi không có sự triệt tiêu điểm cực/điểm không

R ′ ⊃ ∩ R 1 R 2

(cid:131) Khi R1 và R2 không giao nhau, R’ là tập rỗng

ảnh Laplace của

không tồn tại

R ′ = ∩ R 1 R 2

26

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

+ ax t ( ) 1 bx t ( ) 2

Tính tuyến tính: Ví dụ

(cid:131) Xét hai tín hiệu x1(t) và x2(t) sau

at

−= e

at

s a , Re{ }> − = X s ( ) 1 u t ( ), x t 1( )

−= e

at e u t ( −

u t ( ) ) − x t 2 ( ) , a s Re{ }< = a − < X s ( ) 2 1 s a + s 2 s a s a )( ( ) + −

(cid:131) Tổng của hai tín hiệu

x t ( ) = + x t ( ) 1 x t ( ) 2

s Re{ } a a − < < X s ( ) , = + = + = X s ( ) 1 X s ( ) 2 s 2 s a s a )( ) ( ) ( 1 s a + + − s a − s a s a )( − 3 +

Do đó

(cid:131) Hiệu của hai tín hiệu

R ′ = ∩ = R 2 R 1 R 2

x t ( ) = − x t ( ) 1 x t ( ) 2

Do đó, MHT R’ lớn hơn

Re{ }s a< X s ( ) , = − = − = X s ( ) 1 X s ( ) 2 s 2 s a s a )( ) ( 1 s a + + − 1 − s a −

27

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

R 1 R∩ 2

Tính dịch thời gian

(cid:131) Cho tín hiệu x(t) có ảnh Laplace X(s) với MHT là R

(cid:131) Theo định nghĩa

∞

st

−

{ L x t (

}0 )

∫

−∞

t x t ( dt − = − t e ) 0

Đặt

0

∞

s

t

)

−

( + τ

0

t

x

e

−

=

( ) τ

d τ

{ L x t (

} )

0

∫

−∞

∞

s

t

st

)

−

( + τ

−

0

0

e

e

x

=

( ) τ

d τ

−∞

st

−

0

e

∫ X s ( )

=

st

−

0

t t τ = −

(cid:131) Do đó

2828

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

′ x t ( t e X s ( ), R R = ) − ↔ 0

Tính dịch tần số (Điều chế)

(cid:131) Dễ dàng chứng minh được

0

s te x t

{ } s 0

jω

jω

R

R′

σ

c

b

b

Re

+

c

Re

+

{ }0 s

σ { }0 s

(cid:131) Ví dụ

ate −

′ ( ) X s ( ), R Re ↔ − R = + s 0

{ } s

u t a ( ) , Re ↔ > −

{ } s

u t ( ) , Re a a ↔ > − +

a +

{ } s

u t ( ) , Re 0 ↔ >

2929

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

1 s a + 1 ( s a ) − 1 s

Tính co giãn

(cid:131) Ảnh Laplace của x(at)

′ X R aR x at ( ) ( ), ↔ =

jω

jω

R

R ′

σ

σ

c

ac

b

ab

(cid:131) Đặc biệt khi a = -1, ta có

1 a s a

Tính đảo thời gian

30

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

′ x ( ) t ), R R X s ( − ↔ − = −

Đạo hàm và tích phân

(cid:131) Đạo hàm hai vế của biến đổi Laplace ngược theo thời gian t, ta suy ra

′ R R sX s ( ), ↔ ⊃

MHTsẽ không thay đổi (R’ = R) nếu không có sự triệt tiêu điểm không/điểm cực tại s = 0

(cid:131) Ví dụ:

dx t ( ) dt

{ } s

u t ( ) 0 , Re ↔ >

t ( ) 1 s 1, δ= ↔ s ∀

(cid:131) Theo tính chất đối ngẫu

du t ( ) dt

′ tx t ( ) , R R − ↔ =

3131

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

dX s ( ) ds

Đạo hàm và tích phân

(cid:131) Ảnh Laplace của tích phân của tín hiệu x(t)

t

{ } s

∫

−∞

′ x X s R ( ), Re 0 d ( ) τ τ ↔ R ⊃ ∩ >

(cid:131) Ví dụ:

Đáp ứng xung

at

1 s

−= e

{ } s

u t a h t ( ) ( ) H s ( ) , Re ↔ = > −

1 s a +

{ } s

s t ( ) S s ( ) , Re 0 = ↔ = >

Đáp ứng bước nhảy với a > 0

32

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

) 1 s s a ( +

Tích chập

Hệ LTI

∞

∫

−∞

∞

st

−

(cid:131) Ta có

Y s ( )

y t e ( )

=

∫

−∞

∞

∞

st

−

x

e

dt

( ) ( h t τ

=

−

∫

∫

⎡ ⎢ ⎣ −∞ −∞

⎤ d ) τ τ ⎥ ⎦

∞

∞

∞

st

−

x

h t (

e

( ) τ

) τ

τ

=

−

H s ( )

x

=

s − e ττ d ( ) τ

∫

∫

∫

−∞

−∞

−∞

⎡ ⎢ ⎣

⎤ dt d ⎥ ⎦

se H s τ− ( )

Do đó

Y s ( )

H

s ( )

X s

( ),

R

=

R ⊃ ∩ h

R x

y

nếu không có sự triệt tiêu điểm

R

y

R = ∩ h

R x

(cid:131) Thông thường không/điểm cực

33

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

( )x t ( )h t y t ( ) x t ( ) h t ( ) x ( ) ( h t τ ) d τ τ = ∗ = −

Tích chập: Ví dụ

(cid:131) Xét đáp ứng của hệ bậc 1 (có thể không ổn định) với tín hiệu vào x(t)

(cid:131) Lấy biến đổi Laplace

(cid:131) Do đó biến đổi Laplace của tín hiệu ra của hệ thống là

(cid:131) và biến đổi Laplace ngược là

34

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Các tính chất của biến đổi Laplace

Miền thời gian

Tính chất

Ảnh Laplace

MHT

Tuyến tính

R

+

+

′ ⊃ ∩ R 1

R 2

bX s ( ) 2

bx t ( ) 2

0

Dịch thời gian

ax t ( ) 1 x t (

)

t−

R

R′ =

aX s ( ) 1 ste −

X s ( )

0

0

X s (

)

R

Re

′ = + R

s te

x t ( )

s− 0

Điều chế

{ }0 s

Co giãn trục

x at (

)

R

aR

′ =

X

(

)

1 a

s a

Đảo trục

R

R

′ = −

)

Đạo hàm

X s− ( sX s ( )

R

R′ ⊃

( ) t− x dx t ( ) dt

R

R′ =

( )

tx t−

dX s ( ) ds

t

Tích phân

x

dτ τ ( )

R

Re

0

′ ⊃ ∩ R

>

( )X s

{ } s

Tích chập

1 s ( ) X s X s

( )

∗

R

1

2

−∞∫ x t ( ) 1

x t ( ) 2

′ ⊃ ∩ R 1

R 2

35

EE3000-Tín hiệu và hệ thống