zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tính liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu vectơ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Báo xấu

14
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ bị nhiễu trong không gian định chuẩn. Các khái niệm liên quan đến tính lồi của một ánh xạ có giá trị vectơ như tính

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu vectơ

Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ Nguyễn Hữu Danh1*, Lâm Quốc Anh2 và Phạm Thanh Dược3 1 Trường Đại học Tây Đô 2 Trường Đại học Cần Thơ 3 Trường Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) Ngày nhận: 01/3/2022 Ngày phản biện: 22/5/2022 Ngày duyệt đăng: 20/6/2022 TÓM TẮT Mục tiêu nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ bị nhiễu trong không gian định chuẩn. Các khái niệm liên quan đến tính lồi của một ánh xạ có giá trị vectơ như tính 𝒞-lồi, 𝒞-lồi chặt, tính 𝒞-tựa lồi tự nhiên và 𝒞-tựa lồi tự nhiên chặt, các khái niệm tổng quát liên quan đến các tính lồi suy rộng của một ánh xạ có giá trị vectơ như tính 𝒞-tựa giống lồi tự nhiên và 𝒞-tựa giống lồi tự nhiên chặt, được thảo luận. Tiếp theo, dựa trên hàm khoảng cách định hướng Hiriart-Urruty, chúng tôi giới thiệu một hàm vô hướng phi tuyến mới và thảo luận về các tính chất cơ bản của nó, trong đó tính liên tục đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu của chúng tôi. Cuối cùng, sử dụng các tính chất của hàm vô hướng phi tuyến này cùng với tính compact của tập ràng buộc và các giả thiết về tính 𝒞- liên tục cũng như tính 𝒞-tựa giống lồi tự nhiên chặt trên hàm mục tiêu, chúng tôi đã thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu của bài toán đã nêu ra. Từ khóa: Bài toán tối ưu vectơ, tính giống lồi, nửa liên tục, hàm khoảng cách Hiriart-Urruty, vô hướng hóa phi tuyến Trích dẫn: Nguyễn Hữu Danh, Lâm Quốc Anh và Phạm Thanh Dược, 2022. Tính liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu vectơ. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô. 16: 298-308. * Ths. Nguyễn Hữu Danh – Giảng viên Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đô 298
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 1. GIỚI THIỆU nghiệm (Xu and Li, 2016), sự đặt chỉnh Nghiên cứu sự ổn định nghiệm của bài của bài toán (Gupta and Srivastava, toán tối ưu vectơ là một trong các chủ đề 2020), và phương pháp tìm nghiệm rất được quan tâm trong tối ưu hóa. (Köbis and Köbis, 2016). Xu và Li (2016) Huang (2000) đã thiết lập các kết quả ổn đã giới thiệu một hàm vô hướng phi tuyến định của tập nghiệm hữu hiệu của bài tính, là một phiên bản tổng quát của hàm toán tối ưu vectơ và đa trị, trong đó dữ khoảng cách có định hướng. Các tác giả liệu của các bài toán xấp xỉ hội tụ về dữ đã nghiên cứu một số tính chất của hàm liệu của bài toán gốc theo nghĩa Painlevé- này như tính đơn điệu, tính lồi, tính nửa Kuratowski. Sử dụng tính chất trội, liên tục,... Han (2021) đã nghiên cứu tính Bednarczuk (2004) đã nghiên cứu các lồi, tính liên tục và tính liên tục Lipschitz tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm hữu của hàm vô hướng phi tuyến thông qua hiệu bài toán tối ưu vectơ đa mục tiêu hàm khoảng cách định hướng. chứa tham số. Lucchetti và Miglierina Từ những quan sát trên, mục tiêu (2004) đã nghiên cứu sự ổn định dưới sự nghiên cứu là khảo sát tính liên tục của nhiễu của cả hàm mục tiêu và ánh xạ ràng ánh xạ nghiệm cho bài toán tối ưu vectơ. buộc cho bài toán tối ưu vectơ lồi. Crespi Chúng tôi giới thiệu các khái niệm về tính và các cộng sự (2009) đã nghiên cứu các lồi suy rộng của một hàm có giá trị vectơ. tính chất ổn định của các bài toán cực tiểu Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đề xuất một hóa vectơ bằng cách xét hàm mục tiêu có hàm vô hướng phi tuyến mới dựa trên tính tựa lồi theo nón. Lalitha và hàm khoảng cách định hướng Hiriart- Chatterjee (2012) đã thiết lập sự hội tụ Urruty và nghiên cứu về tính liên tục của theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của tập nó. Sử dụng các tính chất này, chúng tôi hợp các điểm cực tiểu, cực tiểu yếu và các đã thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên điểm cực tiểu chính thường Henig của bài tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu bài toán toán nhiễu đến tập cực tiểu tương ứng của tối ưu vectơ. bài toán gốc với giả thiết hàm mục tiêu có 2. MỞ ĐẦU tính tựa lồi chặt theo nón. Han (2016) đã thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên Cho 𝕏, ℤ là các không gian định tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ chuẩn, 𝕐 là không gian Banach phản xạ, mức. Sử dụng các tính chất này, tác giả Λ là tập con khác rỗng của ℤ và 𝒞 là nón đã thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa lồi, đóng, có đỉnh với phần trong khác liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh rỗng của không gian 𝕐. Cho 𝒫(𝕐) là tập xạ nghiệm hữu hiệu bài toán tối ưu vectơ. hợp tất cả các tập con khác rỗng của 𝕐, ℬ 𝕐 là quả cầu đơn vị đóng trong 𝕐. int𝒜 và Phương pháp vô hướng hóa là một bd𝒜 lần lượt là phần trong và biên của trong những phương pháp quan trọng tập con 𝒜. Với hai phần tử bất kỳ 𝑦1 , 𝑦2 ∈ trong tối ưu vectơ và tối ưu tập. Phương pháp này đã được sử dụng trong nhiều 𝕐, ta định nghĩa các quan hệ sau đây: chủ đề khác nhau như sự tồn tại nghiệm 𝑦1 ≼ 𝑦2 ⇔ 𝑦2 − 𝑦1 ∈ 𝒞 và 𝑦1 ≺ 𝑦2 (Gutiérrez and López, 2020), tính ổn định ⇔ 𝑦2 − 𝑦1 ∈ intC. 299
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 Định nghĩa 2.1 Cho 𝒦 là một tập hợp 1, 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑠ố ℎữ𝑢 𝑡ỉ, 𝐷( 𝑥) = { lồi trong không gian 𝕏, một ánh xạ 0, 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑠ố 𝑣ô 𝑡ỉ. 𝑓: 𝕏 → 𝕐 được gọi là (Hàm D còn gọi là hàm Dirichlet). Khi (a) (Luc, 1989) 𝒞-lồi trên 𝒦, nếu với đó, D là hàm lồi nửa chặt trên ℝ, nhưng mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒦 và 𝑡 ∈ [0,1], ta có không lồi cũng không lồi chặt trên ℝ. 𝑓 ((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) Tiếp theo, ta giới thiệu thêm các tính ≼ (1 − 𝑡)𝑓 ( 𝑥1 ) + 𝑡𝑓( 𝑥2 ); lồi suy rộng của một ánh xạ có giá trị vectơ như sau. (b) (Luc, 1989) 𝒞-lồi chặt trên 𝒦, nếu với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒦 với 𝑥1 ≠ 𝑥2 và 𝑡 ∈ Định nghĩa 2.4 Cho một tập con khác (0,1), ta có rỗng 𝒦 của 𝕏, một ánh xạ 𝑓: 𝕏 → 𝕐 được gọi là 𝑓 ((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) ≺ (1 − 𝑡 ) 𝑓( 𝑥1 ) + 𝑡𝑓( 𝑥2 ); (a) 𝒞-tựa giống lồi tự nhiên trên 𝒦, nếu với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒦, tồn tại 𝑥3 ∈ 𝒦 (c) 𝒞-lồi nửa chặt trên 𝒦, nếu với và tồn tại 𝑠 ∈ (0,1), sao cho mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒦 với 𝑓 ( 𝑥1 ) ≠ 𝑓 ( 𝑥2 ) và 𝑡 ∈ (0,1), ta có 𝑓 ( 𝑥3 ) ≼ (1 − 𝑠)𝑓 ( 𝑥1 ) + 𝑠𝑓 ( 𝑥2 ); 𝑓 ((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) (b) 𝒞-tựa giống lồi tự nhiên chặt trên ≺ (1 − 𝑡)𝑓 ( 𝑥1 ) + 𝑡𝑓( 𝑥2 ); 𝒦, nếu với hai phần tử khác nhau bất kỳ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝒦, tồn tại 𝑥3 ∈ 𝒦 và tồn tại 𝑠 ∈ (d) (Han and Huang, 2018) 𝒞-tựa lồi (0,1), sao cho tự nhiên trên 𝒦, nếu với mọi 𝑥1 , 𝑥2 trong 𝒦 và 𝑡 ∈ [0,1], tồn tại 𝑠 ∈ [0,1], sao cho 𝑓 ( 𝑥3 ) ≺ (1 − 𝑠)𝑓 ( 𝑥1 ) + 𝑠𝑓 ( 𝑥2 ). 𝑓 ((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) Định nghĩa 2.5 (Luc, 1989) Cho ≼ (1 − 𝑠) 𝑓( 𝑥1 ) + 𝑠𝑓( 𝑥2 ); 𝑓: 𝕏 → 𝕐 là một ánh xạ có giá trị vectơ và 𝑥0 ∈ 𝕏. Khi đó, 𝑓 được gọi là (e) (Han and Huang, 2018) 𝒞-tựa lồi tự nhiên chặt trên 𝒦, nếu với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (a) 𝒞-nửa liên tục dưới ( 𝒞-lsc) tại 𝑥0 , 𝒦 với 𝑥1 ≠ 𝑥2 và 𝑡 ∈ (0,1), tồn tại 𝑠 ∈ nếu với lân cận 𝒱 bất kỳ của 𝑓( 𝑥0 ) trong [0,1], sao cho 𝕐, tồn tại một lân cận 𝒰 trong 𝕏 của 𝑥0 sao cho 𝑓(𝑥) ∈ 𝒱 + 𝒞 với mọi 𝑥 ∈ 𝒰; 𝑓 ((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) ≺ (1 − 𝑠) 𝑓( 𝑥1 ) + 𝑠𝑓 ( 𝑥2 ). (b) 𝒞-nửa liên tục trên ( 𝒞-usc) tại 𝑥0 , nếu với lân cận 𝒱 bất kỳ của 𝑓( 𝑥0 ) trong Nhận xét 2.2 Rõ ràng, một ánh xạ lồi 𝕐, tồn tại một lân cận 𝒰 trong 𝕏 của 𝑥0 chặt là một ánh xạ lồi nửa chặt, chiều sao cho 𝑓(𝑥) ∈ 𝒱 − 𝒞 với mọi 𝑥 ∈ 𝒰; ngược lại nói chung là không đúng. Ví dụ sau minh họa rằng một hàm lồi nửa chặt (c) 𝒞-liên tục tại 𝑥0 , nếu nó vừa 𝒞-usc có thể không lồi cũng không lồi chặt. vừa 𝒞-lsc tại 𝑥0 . Ví dụ 2.3 Cho hàm số D được xác định như sau 300
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 Định nghĩa 2.6 (Aubin and ta bỏ qua cụm từ “trên 𝐴” trong các phát Frankowska, 1990) Cho ánh xạ đa trị biểu. 𝐹: 𝑋 ⇉ 𝑌. 3. HÀM VÔ HƯỚNG HÓA PHI (a) 𝐹 được gọi là nửa liên tục trên TUYẾN (viết tắt là usc) tại 𝑥0 nếu với tập mở 𝑈 Trước hết ta nhắc lại hàm khoảng cách bất kỳ của 𝑌 thỏa mãn 𝐹 ( 𝑥0 ) ⊂ 𝑈 thì tồn định hướng Hiriart-Urruty được giới tại một lân cận 𝑁 của 𝑥0 sao cho 𝐹 ( 𝑥) ⊂ thiệu trong Hiriart-Urruty (1979) và các 𝑈 với mọi 𝑥 ∈ 𝑁. tính chất của nó. (b) 𝐹 được gọi là nửa liên tục dưới Định nghĩa 3.1 (Hiriart-Urruty, 1979) (viết tắt là lsc) tại 𝑥0 nếu với tập mở 𝑈 bất Cho 𝒜 ∈ 𝒫(𝕐) với 𝒜 ≠ 𝕐. Hàm khoảng kỳ của 𝑌 thỏa mãn 𝐹 ( 𝑥0 ) ∩ 𝑈 ≠ ∅ thì tồn cách định hướng Hiriart-Urruty 𝜑 𝒜 : 𝕐 → tại một lân cận 𝑁 của 𝑥0 sao cho 𝐹 ( 𝑥) ∩ ℝ được xác định như sau, với mọi 𝑦 ∈ 𝕐, 𝑈 ≠ ∅ với mọi 𝑥 ∈ 𝑁. 𝜑 𝒜 ( 𝑦): = 𝑑 ( 𝑦, 𝒜 ) − 𝑑 ( 𝑦, 𝕐 ∖ 𝒜 ). (c) Ánh xạ 𝐹 được gọi là liên tục tại 𝑥0 nếu nó vừa là usc vừa là lsc tại 𝑥0 . Ví dụ 3.2 Cho 𝕐 = ℝ2 , 𝒜 = −ℝ2 , + 𝑥 = (−2, −1), 𝑦 = (3, −2), 𝑧 = (1,2), Ánh xạ 𝐹 được gọi là usc, lsc hay liên khi đó 𝜑−ℝ2 (𝑥) = −1, 𝜑−ℝ2 (𝑦) = 3 và + + tục trên tập 𝐴 ⊂ 𝑋 nếu nó thỏa mãn các tính chất tương ứng đó tại tất cả các điểm 𝜑−ℝ2 ( 𝑧) = √5. + thuộc 𝐴. Trong trường hợp 𝐴 = dom𝐹 thì Hình 1. Minh họa hàm khoảng cách Hiriart-Urruty 301
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 Bổ đề 𝟑. 𝟑 (Jiménez et al., 2020) Cho Ngược lại, giả sử 𝜑−𝒞 (𝑦) ≤ 0, theo 𝑦 là một phần tử bất kỳ trong 𝕐. Khi đó, Bổ đề 3.3 (b) và (c), ta có 𝑦 ∈ (−𝒞) ⊂ (a) 𝜑 𝒜 là lồi, nếu 𝒜 là lồi. 𝑟ℬ 𝕐 − 𝒞 với mọi 𝑟 ∈ ℝ\{0}. Nếu 0 < 𝜑−𝒞 (𝑦) ≤ |𝑟|, thì (b) 𝜑 𝒜 (𝑦) < 0 ⇔ 𝑦 ∈ int 𝒜. 𝜑−𝒞 (𝑦) = 𝑑(𝑦, −𝒞) = inf ∥ 𝑦 + 𝑐 ∥ (c) 𝜑 𝒜 (𝑦) = 0 ⇔ 𝑦 ∈ bd𝒜. 𝑐∈𝒞 ≤ |𝑟|. Bổ đề 𝟑. 𝟒 (Jiménez et al., 2020) Cho Theo Mệnh đề 2.3 trong Borwein và 𝑦1 và 𝑦2 là hai phần tử bất kỳ trong 𝕐. Fitzpatrick (1989), ta có 𝑐 ′ ∈ 𝒞, ∥ 𝑦 + Khi đó, 𝑐 ′ ∥ ≤ |𝑟|, và do đó 𝑦 ∈ 𝑟ℬ 𝕐 − 𝒞. Ta (a) 𝑦1 ≼ 𝑦2 suy ra 𝜑−𝒞 ( 𝑦1 ) ≤ được điều phải chứng minh . 𝜑−𝒞 ( 𝑦2 ). Cho 𝑓: 𝕏 × Λ → 𝕐 là một ánh xạ có giá (b) 𝑦1 ≺ 𝑦2 suy ra 𝜑−𝒞 ( 𝑦1 ) < trị vectơ, ta xét hàm số 𝜉: 𝕏 × 𝕏 × Λ → 𝜑−𝒞 ( 𝑦2 ). ℝ, được xác định như sau, với mọi 𝑥, 𝑧 ∈ (c) 𝜑−𝒞 ( 𝑦1 + 𝑦2 ) ≤ 𝜑−𝒞 ( 𝑦1 ) + 𝕏, 𝑝 ∈ Λ 𝜑−𝒞 ( 𝑦2 ). 𝜉 ( 𝑧, 𝑥, 𝑝): = 𝜑−𝒞 (𝑓( 𝑧, 𝑝) − 𝑓( 𝑥, 𝑝)). Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu một số Phần còn lại của mục này, ta sẽ nghiên tính chất của hàm khoảng cách định cứu các tính chất liên tục của hàm 𝜉, các hướng Hiriart-Urruty. tính chất này đóng một vai trò quan trọng Bổ đề 𝟑. 𝟓 Cho 𝑟 là một số thực. Khi trong phần tiếp theo. đó, Bổ đề 𝟑. 𝟔 Cho 𝑓: 𝕏 × Λ → 𝕐 là một (a) [ 𝑦 ∈ 𝑟ℬ 𝕐 − 𝒞] ⟺ [ 𝜑−𝒞 (𝑦) ≤ ánh xạ có giá trị vectơ và 𝒦 là một tập |𝑟|]. con khác rỗng của 𝕏. Khi đó, (b) [ 𝑦 ∈ 𝑟ℬ 𝕐 − int𝒞] ⟺ [ 𝜑−𝒞 (𝑦) < (a) 𝜉 là nửa liên tục dưới theo biến thứ |𝑟|]. nhất và nửa liên tục trên theo biến thứ hai trên 𝒦, nếu 𝑓 là 𝒞-nửa liên tục dưới theo Chứng minh. Vì kỹ thuật chứng minh biến thứ nhất trên 𝒦. giống nhau, ta chỉ trình bày chứng minh cho khẳng định (a). Cho 𝑦 là một phần tử (b) 𝜉 là nửa liên tục trên theo biến thứ bất kỳ trong 𝕐. Với bất kỳ 𝑦 ∈ 𝑟ℬ 𝕐 − 𝒞, nhất và nửa liên tục dưới theo biến thứ hai ta xét hai trường hợp. trên 𝒦, nếu 𝑓 là 𝒞-nửa liên tục trên theo biến thứ nhất trên 𝒦. Trường hợp 1. Nếu 𝑦 ∈ (−𝒞), thì 𝜑−𝒞 (𝑦) = −𝑑(𝑦, 𝕐 ∖ (−𝒞)) ≤ 0 ≤ |𝑟|. (c) 𝜉 là liên tục theo biến thứ nhất và biến thứ hai trên 𝒦 × 𝒦, nếu 𝑓 là 𝒞-liên Trường hợp 2. Nếu 𝑦 ∉ (−𝒞), thì tục theo biến thứ nhất trên 𝒦. 𝜑−𝒞 ( 𝑦) = 𝑑(𝑦, −𝒞) ≤ |𝑟| vì 𝑦 ∈ 𝑟ℬ 𝕐 − 𝒞, và do đó 𝜑−𝒞 (𝑦) ≤ |𝑟|. Chứng minh. Vì kỹ thuật chứng minh tương tự nên trong khẳng định (a) và (b), 302
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 ta chỉ chứng minh cho tính nửa liên tục Vì ‾ 𝑛 hội tụ về ‾, tồn tại 𝑛 𝑘 ∈ ℕ sao 𝑥 𝑥 của 𝜉 theo biến thứ nhất trên 𝒦. Lấy 𝑎 ∈ cho ‾ 𝑛 ∈ 𝒰 với mọi 𝑛 > 𝑛 𝑘 . Khi đó, 𝑥 𝑛 𝑥 𝕏 và 𝑝 ∈ Λ. thỏa mãn cả (2) và (3), đây là điều mâu 𝑎 Với khẳng định (a), ta chứng minh thuẩn. Do đó, 𝐿≤𝑟 𝜉 là tập đóng, và do đó 𝑎 rằng 𝐿≤𝑟 𝜉: = {𝑥 ∈ 𝒦 ∣ 𝜉(𝑥, 𝑎, 𝑝) ≤ 𝑟} là 𝜉 là nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất một tập đóng với bất kỳ 𝑟 ∈ ℝ, nghĩa là trên 𝒦. 𝑎 với bất kỳ dãy { 𝑥 𝑛 } ⊂ 𝐿≤𝑟 𝜉, 𝑥 𝑛 hội tụ về Với khẳng định (b), ta chứng minh 𝑎 𝑎 ‾ suy ra ‾ ∈ 𝐿≤𝑟 𝜉. Giả sử ngược lại, 𝑥 𝑥 rằng 𝐿≥𝑟 𝜉: = {𝑥 ∈ 𝒦 ∣ 𝜉(𝑥, 𝑎, 𝑝) ≥ 𝑟} là 𝑎 nghĩa là, tồn tại ‾ ∈ ℝ, { ‾ 𝑛 } ⊂ 𝐿≤𝑟 𝜉 và 𝑟 𝑥 ‾ một tập đóng với bất kỳ 𝑟 ∈ ℝ, nghĩa là 𝑎 𝑎 ‾ ∈ 𝕏 sao cho ‾ 𝑛 hội tụ về ‾ và ‾ ∉ 𝐿≤𝑟 𝜉. 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ‾ với bất kỳ dãy { 𝑥 𝑛 } ⊂ 𝐿≥𝑟 𝜉, 𝑥 𝑛 → ‾ suy 𝑥 𝑎 Khi đó, tồn tại 𝜀 ≥ 0 và 𝜍 > 0 sao cho ra ‾ ∈ 𝐿≥𝑟 𝜉. Giả sử ngược lại, nghĩa là, 𝑥 𝑎 𝜑−𝒞 ( 𝑓( ‾ 𝑛 , 𝑝) − 𝑓(𝑎, 𝑝)) = 𝜉 ( ‾ 𝑛 , 𝑎, 𝑝) 𝑥 𝑥 tồn tại ‾ ∈ ℝ, { ‾ 𝑛 } ⊂ 𝐿≥𝑟 𝜉 và ‾ ∈ 𝒦 sao 𝑟 𝑥 ‾ 𝑥 𝑎 𝑎 ≤ ‾< ‾+ 𝜀< ‾+ 𝜀+ 𝜍 𝑟 𝑟 𝑟 cho ‾ 𝑛 → ‾ và ‾ ∉ 𝐿≥ 𝜉. Vì ‾ ∉ 𝐿≥𝑟 𝜉, tồn 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ‾ < 𝜉(𝑥 𝑎, 𝑝) ‾, tại 𝜀 > 0 và 𝜍 > 0 sao cho 𝜉(𝑥 𝑎, 𝑝) < ‾, ‾ − 𝜀 < ‾ − 𝜀 + 𝜍 < ‾ ≤ 𝜉 ( ‾ 𝑛 , 𝑎, 𝑝). 𝑟 𝑟 𝑟 𝑥 = 𝜑−𝒞 (𝑓(𝑥 𝑝) − 𝑓(𝑎, 𝑝)). ‾, Khi đó, Bổ đề 3.5 cho ta Kết hợp điều này với Bổ đề 3.5 ta 𝑓(𝑎, 𝑝) ∈ 𝑓(𝑥 𝑝) + (𝑟 − 𝜀)ℬ 𝕐 ‾, ‾ được + int𝒞 và 𝑓(𝑎, 𝑝) 𝑓 ( 𝑎, 𝑝) ∈ 𝑓 ( ‾ 𝑛 , 𝑝) + ( ‾ + 𝜀)ℬ 𝕐 𝑥 𝑟 ∉ 𝑓 ( ‾ 𝑛 , 𝑝) + (𝑟 − 𝜀 𝑥 ‾ + int 𝒞 và 𝑓 ( 𝑎, 𝑝) + 𝜍)ℬ 𝕐 + 𝒞. ∉ 𝑓 ( ‾, 𝑝) + ( ‾ + 𝜀 + 𝜍 )ℬ 𝕐 𝑥 𝑟 Sử dụng lập luận tương tự như trong + 𝒞. (1) chứng minh khẳng định (a), ta được Nếu tồn tại 𝑛0 ∈ ℕ, 𝑓(𝑥 𝑛0 , 𝑝) ∈ ‾ 𝑓(𝑥 𝑝) ∉ 𝑓 ( ‾ 𝑛 , 𝑝) + 𝜍ℬ 𝕐 + 𝒞, và do đó ‾, 𝑥 𝑓 ( ‾, 𝑝) + 𝜍ℬ 𝕐 + int𝒞, thì 𝑥 𝑓(𝑎, 𝑝) ∈ 𝑓 ( ‾ 𝑛 , 𝑝) ∉ 𝑓(𝑥 𝑝) + 𝜍ℬ 𝕐 − 𝒞, điều này 𝑥 ‾, 𝑓(𝑥 𝑝) + (𝑟 + 𝜀 + 𝜍)ℬ 𝕐 + int𝒞, điều ‾, ‾ mâu thuẫn với tính 𝒞-nửa liên tục trên của 𝑎 này mâu thuẩn với (1). Vì vậy, ta được 𝑓 tại ‾. Vì vậy, 𝐿≥𝑟 𝜉 là một tập đóng, suy 𝑥 𝑓 ( ‾ 𝑛 , 𝑝) ∉ 𝑓(𝑥 𝑝) + 𝜍ℬ 𝕐 + int𝒞 𝑥 ‾, với ra 𝜉 là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất mọi 𝑛, nghĩa là, trên 𝒦. 𝑓 ( ‾ 𝑛 , 𝑝) ∉ 𝑓 ( ‾, 𝑝) + 𝜍ℬ 𝕐 + int𝒞 + 𝑥 𝑥 Với khẳng định (c), lấy tùy ý ( 𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝒦 × 𝒦, theo (a) và (b) trong 𝒞. (2) bổ đề này, với mọi 𝜀 > 0, ( 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) ∈ 𝒦 × Rõ ràng 𝒱: = 𝑓(𝑥 𝑝) + 𝜍ℬ 𝕐 + int𝒞 là ‾, 𝒦 hội tụ về ( 𝑥0 , 𝑦0 ), tồn tại 𝑛0 , với mọi một lân cận của 𝑓(𝑥 𝑝) trong 𝕐, do tính ‾, 𝑛 > 𝑛0 , 𝒞-nửa liên tục dưới của 𝑓, tồn tại một lân cận 𝒰 của ‾ trong 𝕏, với mọi 𝑥 ∈ 𝒰, 𝑥 | 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥0 , 𝑝) − 𝜀 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥0 , 𝑝)| ≤ và | 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦 𝑛 , 𝑝) − 𝑓 ( 𝑥, 𝑝) ∈ 𝑓( ‾, 𝑝) + 𝜍ℬ 𝕐 + int𝒞 + 𝒞. 𝑥 𝜀 2 (3) 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦0 , 𝑝)| ≤ , (4) 2 303
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 | 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥 𝑛 , 𝑝) − Trường hợp 2. max{| 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥0 , 𝑝) + 𝜀 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥0 , 𝑝)| ≤ và | 𝜉 ( 𝑦 𝑛 , 𝑦0 , 𝑝) − 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦 𝑛 , 𝑝)|, | 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥 𝑛 , 𝑝) + 2 𝜀 𝜉 ( 𝑦 𝑛 , 𝑦0 , 𝑝)|} 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦0 , 𝑝)| ≤ , (5) 2 = |𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥 𝑛 , 𝑝) + 𝜉 ( 𝑦 𝑛 , 𝑦0 , 𝑝)|. với mọi ( 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) ∈ 𝒰 × 𝒱. Theo định nghĩa của 𝜉 và Bổ đề 3.4 (c), ta có Bằng lập luận tương tự, ta cũng có |𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , 𝑝) − 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑝)| ≤ 𝜀. Vậy, ta 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , 𝑝) = 𝜑−𝒞 (𝑓( 𝑥 𝑛 , 𝑝) − 𝑓 ( 𝑦 𝑛 , 𝑝)) kết luận 𝜉 liên tục tại mọi điểm ≤ 𝜑−𝒞 (𝑓( 𝑥 𝑛 , 𝑝) − 𝑓 ( 𝑥0 , 𝑝)) + ( 𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝒦 × 𝒦, nghĩa là 𝜉 liên tục trên 𝒦 × 𝒦. ◻ 𝜑−𝒞 (𝑓( 𝑥0 , 𝑝) − 𝑓 ( 𝑦0 , 𝑝)) Bằng cách chứng minh tương tự, ta +𝜑−𝒞 (𝑓( 𝑦0 , 𝑝) − 𝑓 ( 𝑦 𝑛 , 𝑝)) cũng có kết quả sau. ≤ 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥0 , 𝑝) + 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑝) Bổ đề 𝟑. 𝟕 Cho 𝑓: 𝕏 × Λ → 𝕐 là một + 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦 𝑛 , 𝑝). ánh xạ có giá trị vectơ và 𝒦 là một tập Tương tự, ta có 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑝) ≤ con khác rỗng của 𝕏. Khi đó, 𝜉 là liên tục 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥 𝑛 , 𝑝) + 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , 𝑝) + theo biến thứ ba trên Λ, nếu 𝑓 là 𝒞-liên 𝜉 ( 𝑦 𝑛 , 𝑦0 , 𝑝). Khi đó, tục theo biến thứ hai trên Λ. | 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , 𝑝) − 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑝)| ≤ 4. TÍNH NỬA LIÊN TỤC CỦA max{| 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥0 , 𝑝) + ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN TỐI 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦 𝑛 , 𝑝)|, | 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥 𝑛 , 𝑝) + ƯU VECTƠ 𝜉 ( 𝑦 𝑛 , 𝑦0 , 𝑝)|}. (6) Mục đích của phần này là nghiên cứu Kết hợp (4) − (6), 𝜉(𝑥, 𝑥, 𝑝) = 0 với các tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm mọi 𝑥 ∈ 𝒦, ta chỉ cần xét hai trường hữu hiệu cho bài toán tối ưu vectơ. Với hợp. mỗi phần tử 𝑝 ∈ Λ, ta xét bài toán tối ưu vectơ như sau: Trường hợp 1. max{| 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥0 , 𝑝) + 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦 𝑛 , 𝑝)|, | 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥 𝑛 , 𝑝) + (VOP) 𝜉 ( 𝑦 𝑛 , 𝑦0 , 𝑝)|} min 𝑓(𝑥, 𝑝) với 𝑥 ∈ 𝒦 = |𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥0 , 𝑝) + 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦 𝑛 , 𝑝)|. trong đó 𝕏, 𝕐, Λ như trong Mục 2, 𝑓: 𝕏 × Λ → 𝕐 là một hàm có giá trị Theo kết quả của khẳng định (a) và vectơ và 𝒦 là một tập con khác rỗng của (b) của bổ đề này, ta có 𝕏. | 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , 𝑝) − 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑝)| Định nghĩa 4.1 Cho 𝑝 ∈ Λ và 𝑥0 ∈ 𝒦. ≤ | 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥0 , 𝑝) Ta nói rằng 𝑥0 là một nghiệm hữu hiệu + 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦 𝑛 , 𝑝)| của (VOP) nếu với mọi 𝑥 ∈ 𝒦, 𝑓(𝑥, 𝑝) − ≤ | 𝜉 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥0 , 𝑝) − 𝜉 ( 𝑥0 , 𝑥0 , 𝑝)| 𝑓 ( 𝑥0 , 𝑝) ∉ −𝒞 ∖ {0}. + | 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦 𝑛 , 𝑝) − 𝜉 ( 𝑦0 , 𝑦0 , 𝑝)| ≤ 𝜀 304
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 Ta kí hiệu tập nghiệm hữu hiệu của 𝒦 của 𝕏, nghĩa là 𝑆 𝑣 (𝑝) là tập khác rỗng. (VOP) là Eff(𝑓, 𝒦). Với mỗi 𝑣 ∈ 𝒦, 𝑝 ∈ Giả sử tồn tại hai phần tử khác nhau 𝑧1 , 𝑧2 Λ, ta đặt trong 𝑆 𝑣 (𝑝), do tính 𝒞-tựa giống lồi tự 𝑆 𝑣 (𝑝): = {𝑧 ∈ 𝒦 ∣ với mọi 𝑥 ∈ nhiên chặt của 𝑓, tồn tại ˆ ∈ 𝒦 và 𝜇 ∈ 𝑥 𝒦, 𝜉(𝑥, 𝑣, 𝑝) ≥ 𝜉(𝑧, 𝑣, 𝑝)}. [0,1], 𝑓(𝑥 , 𝑝) ∈ (1 − 𝜇)𝑓 ( 𝑧1 , 𝑝) + ˆ 𝜇𝑓 ( 𝑧2 , 𝑝) − int𝒞. Suy ra, 𝑓(𝑥 , 𝑝) − ˆ Định lí 𝟒. 𝟐 Cho 𝒦 là một tập con 𝑓(𝑣, 𝑝) ∈ (1 − 𝜇) [ 𝑓( 𝑧1 , 𝑝) − 𝑓(𝑣, 𝑝)] + compact của 𝕏, 𝑣 ∈ 𝒦 và 𝑝0 ∈ Λ. Giả sử 𝜇[ 𝑓 ( 𝑧2 , 𝑝) − 𝑓(𝑣, 𝑝)] − int𝒞. Kết hợp rằng 𝑓 là 𝒞-liên tục trên 𝒦 × Λ. Khi đó, điều này với các Bổ đề 3.3(a) và 3.4(b) ta Eff(𝑓, 𝒦) là nửa liên tục trên tại 𝑝0 . được Chứng minh. Giả sử Eff(𝑓, 𝒦) không 𝜉(𝑥 , 𝑣, 𝑝) < 𝜑−𝒞 ((1 − 𝜇)[𝑓(𝑧1 , 𝑝) − 𝑓(𝑣, 𝑝)] ˆ nửa liên tục trên tại 𝑝0 , nghĩa là tồn tại +𝜇[𝑓(𝑧2 , 𝑝) − 𝑓(𝑣, 𝑝)]) một lân cận 𝑈 của Eff(𝑓, 𝒦), một dãy {𝑝 𝑛 } hội tụ về 𝑝0 và 𝑥 𝑛 ∈ Eff(𝑓, 𝒦) sao ≤ (1 − 𝜇)𝜑−𝑐 (𝑓(𝑧1 , 𝑝) − 𝑓(𝑣, 𝑝)) cho 𝑥 𝑛 ∉ 𝑈 với mọi 𝑛. Do 𝒦 là tập +𝜇𝜑−𝒞 (𝑓(𝑧2 , 𝑝) − 𝑓(𝑣, 𝑝)) compact nên ta có thể giả sử 𝑥 𝑛 hội tụ về = (1 − 𝜇)𝜉(𝑧1 , 𝑣, 𝑝) + 𝜇𝜉(𝑧2 , 𝑣, 𝑝) 𝑥0 nào đó thuộc 𝒦. Nếu 𝑥0 ∉ Eff(𝑓, 𝒦) = 𝜉(𝑧1 , 𝑣, 𝑝) vì 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑆 𝑣 (𝑝) thì tồn tại 𝑦 ∈ 𝒦 sao cho 𝑓 (y, 𝑝0 ) − 𝑓 ( 𝑥0 , 𝑝0 ) ∈ −𝒞 ∖ {0}. Vì 𝑥𝑛 ∈ điều này mâu thuẫn với 𝑧1 ∈ 𝑆 𝑣 (𝑝), do Eff( 𝑓, 𝒦 ), nên ta có 𝑓(y, 𝑝 𝑛 ) − vậy 𝑆 𝑣 (𝑝) là tập đơn phần tử với mọi 𝑓 ( 𝑥n , 𝑝 𝑛 ) ∉ −𝒞 ∖ {0}, với mọi 𝑦 ∈ 𝒦. 𝑣 ∈ 𝒦. Từ tính liên tục của 𝑓, ta có 𝑓(y, 𝑝0 ) − Tiếp theo, ta chứng minh rằng 𝑓 ( 𝑥0 , 𝑝0 ) ∉ −𝒞 ∖ {0}. Điều này vô lý vì Eff( 𝑓, 𝒦 ) = ∪ 𝑣∈𝒦 𝑆 𝑣 ( 𝑝). 𝑓 (y, 𝑝0 ) − 𝑓 ( 𝑥0 , 𝑝0 ) ∈ −𝒞 ∖ {0}. Do đó (⊂) Lấy ‾ ∈ Eff(𝑓, 𝒦) tùy ý, khi đó 𝑥 𝑥0 ∈ Eff( 𝑓, 𝒦 ) ⊂ U, đây lại là một mâu với 𝑥 ∈ 𝒦, 𝑓(𝑥, 𝑝) − 𝑓(𝑥 𝑝) ∉ −𝒞 ∖ ‾, thuẩn vì 𝑥 𝑛 ∉ 𝑈 với mọi 𝑛. Vậy {0}, suy ra 𝑓(𝑥, 𝑝) − 𝑓(𝑥 𝑝) ∉ −intC. ‾, Eff(𝑓, 𝒦) là nửa liên tục trên tại 𝑝0 . Kết hợp điều này với Bổ đề 3.3(b) ta được Bổ đề 4.3 Cho 𝒦 là một tập con 𝜉(𝑥, ‾, 𝑝) ≥ 0 = 𝜉(𝑥 ‾, 𝑝) với mọi 𝑥 ∈ 𝑥 ‾, 𝑥 compact của 𝕏 và 𝑝 ∈ Λ. Giả sử 𝑓(⋅, 𝑝) là 𝒦, do vậy ‾ ∈ 𝑆 ‾𝑥 (𝑝). 𝑥 𝒞-tựa giống lồi tự nhiên chặt và 𝒞-liên tục (⊃) Lấy bất kỳ ‾ ∈∪ 𝑣∈𝒦 𝑆 𝑣 (𝑝), tồn tại 𝑥 trên 𝒦. Khi đó, Eff( 𝑓, 𝒦 ) = 𝑣0 ∈ 𝒦 sao cho ‾ ∈ 𝑆 𝑣0 (𝑝). Do tính đơn 𝑥 ∪ 𝑣∈𝒦 𝑆 𝑣 ( 𝑝). phần tử của 𝑆 𝑣0 ( 𝑝), nên 𝜉 ( 𝑥, 𝑎0 , 𝑝) > Chứng minh. Với mọi 𝑣 ∈ 𝒦 và 𝑝 ∈ 𝜉 ( ‾, 𝑎0 , 𝑝) với mọi 𝑥 ∈ 𝒦 ∖ {𝑥 Giả sử 𝑥 ‾}. Λ, ta chứng minh rằng 𝑆 𝑣 (𝑝) là tập đơn ngược lại ‾ ∉ Eff(𝑓, 𝒦), khi đó ta có thể 𝑥 phần tử với bất kỳ 𝑣 ∈ 𝒦. lấy một vectơ ˆ ∈ 𝒦, sao cho 𝑓(𝑥 , 𝑝) − 𝑥 ˆ Vì 𝑓 là 𝒞-liên tục, Bổ đề 3.6(c) suy ra 𝑓(𝑥 𝑝) ∈ −𝒞 ∖ {0} ⊂ −𝒞. ‾, Suy ra 𝜉 là liên tục, do đó hàm 𝜉(⋅, 𝑣, 𝑝) đạt được 𝑓(𝑥 , 𝑝) − 𝑓( 𝑣0 , 𝑝) ≼ 𝑓(𝑥 𝑝) − 𝑓 ( 𝑣0 , 𝑝), ˆ ‾, giá trị nhỏ nhất trên cả tập con compact và do đó Bổ đề 3.4 cho ta 𝜉 ( ˆ , 𝑣0 , 𝑝) ≤ 𝑥 305
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 𝜉 ( ‾, 𝑣0 , 𝑝), đây là điều mâu thuẩn. Vậy, 𝑥 Định lí 𝟒. 𝟓 Cho 𝒦 là một tập con ‾ ∈ Eff(𝑓, 𝒦). 𝑥 compact của 𝕏, 𝑣 ∈ 𝒦 và 𝑝 ∈ Λ. Giả sử Định lí 𝟒. 𝟒 Cho 𝒦 là một tập con rằng compact của 𝕏, 𝑣 ∈ 𝒦 và 𝑝 ∈ Λ. Giả sử (i) 𝑓 là 𝒞-tựa giống lồi tự nhiên chặt rằng theo biến thứ nhất trên 𝒦; (i) 𝑓 là 𝒞-tựa giống lồi tự nhiên chặt (ii) 𝑓 là 𝒞-liên tục trên 𝒦 × Λ. và 𝒞-liên tục theo biến thứ nhất trên 𝒦; Khi đó, Eff(𝑓, 𝒦) là liên tục trên Λ. (ii) 𝑓 là 𝒞-liên tục theo biến thứ hai 5. KẾT LUẬN trên Λ. Bằng cách sử dụng các giả thiết về tính Khi đó, ánh xạ có giá trị vectơ lồi suy rộng và tính liên tục theo nón của 𝑆 𝑣 (𝑝): 𝒦 × Λ → 𝒦 là nửa liên tục dưới ánh xạ có giá trị vectơ, kết hợp với các trên Λ và do đó tập nghiệm hữu hiệu tính chất của hàm vô hướng hóa phi Eff(𝑓, 𝒦) nửa liên tục dưới trên Λ. tuyến, chúng tôi đã thiết lập các điều kiện Chứng minh. Nếu tồn tại 𝑝0 ∈ đủ cho tính liên tục của ánh xạ nghiệm Λ, mà 𝑆 𝑣 (⋅) không nửa liên tục dưới tại hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ phụ 𝑝0 , thì tồn tại một lân cận mở 𝒱 của thuộc tham số. Cách tiếp cận của chúng 𝑆 𝑣 ( 𝑝0 ) và một dãy { 𝑝 𝑛 } hội tụ về 𝑝0 sao tôi khác với các kết quả đã có. Hơn nữa, cho 𝑆 𝑣 ( 𝑝 𝑛 ) không thuộc vào 𝒱 + 𝒞 với cách tiếp cận này có thể áp dụng cho các mọi 𝑛. Xét { 𝑧 𝑛 } ⊂ 𝒦 được xác định bởi bài toán quan trọng khác trong tối ưu như 𝑧 𝑛 : = 𝑆 𝑣 ( 𝑝 𝑛 ) với mọi 𝑛. Vì tính compact các bài toán tối ưu tập, bài toán bao hàm của 𝒦, ta có thể giả sử { 𝑧 𝑛 } hội tụ về 𝑧0 ∈ thức biến phân,… 𝒦. Từ 𝑧 𝑛 = 𝑆 𝑣 ( 𝑝 𝑛 ) suy ra 𝜉 ( 𝑥, 𝑣, 𝑝 𝑛 ) ≥ TÀI LIỆU THAM KHẢO 𝜉 ( 𝑧 𝑛 , 𝑣, 𝑝 𝑛 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝒦, kết hợp điều 1. Aubin, J. P., Frankowska, H., này với giả thiết (ii) và Bổ đề 3.6, 3.7 suy 1990. Set-Valued Analysis. Birkhäuser ra 𝜉 ( 𝑥, 𝑣, 𝑝0 ) ≥ 𝜉 ( 𝑧0 , 𝑣, 𝑝0 ). Tương Boston Inc., Boston. đương, 𝑧0 = 𝑆 𝑣 ( 𝑝0 ) ∈ 𝒱 + 𝒞, vì 𝑆 𝑣 ( 𝑝0 ) là tập đơn phần tử, điều này là không thể 2. Bednarczuk, E. M., 2004. vì { 𝑧 𝑛 } hội tụ về 𝑧0 và 𝑧 𝑛 ∉ 𝒱 + 𝒞 với Continuity of minimal points with mọi 𝑛. Vậy, 𝑆 𝑣 (⋅) là nửa liên tục dưới tại applications to parametric multiple mọi điểm 𝑝 ∈ Λ. Theo nhận xét 2.44 của objective optimization. European Hu và Papageorgiou (1997), ∪ 𝑣∈𝒦 𝑆 𝑣 ( 𝑝) Journal of Operational Research.157:59– là nửa liên tục dưới tại mọi điểm 𝑝 ∈ 67. Λ, nghĩa là Eff(𝑓, 𝒦) là nửa liên tục dưới 3. Borwein, J. M., Fitzpatrick, S., trên Λ. 1989. Existence of nearest points in Kết hợp Định lí 4.2 và Định lí 4.4, ta Banach spaces. Canadian Journal of có kết quả sau. Mathematics. 41(4): 702–720. 306
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 4. Crespi, G. P., Papalia, M., Rocca, banach spaces. Mathematics of M., 2009. Extended well-posedness of Operations Research. 4(1): 79–97. quasiconvex vector optimization 11. Hu, S., Papageorgiou, N., 1997. problems. Journal of Optimization Handbook of Multivalued Analysis, Theory and Applications. 141:285–297. Volume I: Theory. Kluwer, Boston. 5. Gupta, M., Srivastava, M., 2020. 12. Huang, X. X., 2000. Stability in Approximate Solutions and Levitin– vector-valued and set-valued Polyak Well-Posedness for Set optimization. Mathematical Methods of Optimization Using Weak Operations Research.52:185–193. Efficiency. Journal of Optimization Theory and Applications. 186: 191–208. 13. Jiménez, B., Novo, V., Vílchez, A., 2020. Characterization of set 6. Gutiérrez, C., López, R., 2020. relations through extensions of the On the Existence of Weak Efficient oriented distance. Mathematical Solutions of Nonconvex Vector Methods of Operations Research. Optimization Problems. Journal of 91(1):89–115. Optimization Theory and Applications. 185: 880–902. 14. Köbis, E., Köbis, M. A., 2016. Treatment of set order relations by 7. Han, Y., Gong, X., 2016. means of a nonlinear scalarization Continuity of the efficient solution functional: a full characterization. mapping for vector optimization Optimization. 65: 1805–1827. problems. Optimization. 65(7): 1337– 1347. 15. Lalitha, C. S., Chatterjee, P., 2012. Stability and scalarization of weak 8. Han, Y., Huang, N. J., 2018. efficient, efficient and Henig proper Existence and connectedness of efficient sets using generalized solutions for generalized vector quasi- quasiconvexities. Journal of equilibrium problems. Journal of Optimization Theory and Applications. Optimization Theory and Applications. 155:941–961. 179(1): 65–85. 16. Luc, D. T., 1989. Theory of 9. Han, Y., 2021. Some vector optimization. Springer. characterizations of a nonlinear scalarizing function via oriented distance 17. Lucchetti, R. E., Miglierina, E., function. Optimization: 1–33. 2004. Stability for convex vector optimization. Optimization.53:517–528. 10. Hiriart-Urruty, J. B., 1979. Tangent cones, generalized gradients 18. Xu, Y. D., Li, S. J., 2016. A new and mathematical programming in nonlinear scalarization function and applications. Optimization. 65:207–231. 307
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 16 - 2022 CONTINUITY OF THE SOLUTION MAPS TO VECTOR OPTIMIZATION PROBLEMS Nguyen Huu Danh1*, Lam Quoc Anh2 and Pham Thanh Duoc3 1 Tay Do University, 2Can Tho University, 3Can Tho University of Technology (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) ABSTRACT The objective was to study the continuity of the efficient solution maps of perturbed vector optimization problems in normed spaces. The concepts related to the convexity of a vector- valued map such as 𝒞-convexity, strictly 𝒞-convexity, naturally quasi 𝒞-convexity, and strictly naturally quasi 𝒞-convexity were reviewed. Then, we proposed generalized concepts related to the generalized convexity of a vector-valued map such as naturally quasi 𝒞- convexlikeness and strictly naturally quasi 𝒞-convexlikeness. Based on the Hiriart-Urruty- oriented distance function, we introduced a new nonlinear scalarization function and discussed its basic properties, in which continuity played an important role in our analysis. Finally, employing properties of the nonlinear scalarization function with the compactness of constraining set and the 𝒞-continuity as well as strictly naturally quasi 𝒞-convexlikeness assumptions on the objective map, we established sufficient conditions for continuity of the efficient solution maps to problems. Keywords: Convexlikeness, Hiriart-Urruty oriented distance function, nonlinear scalarization, semicontinuity, vector optimization problems 308

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.