Điều kiện tối ưu cần cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu trong bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, nhóm tác giả đã đi nghiên cứu điều kiện tối ưu cần cấp hai cho bài toán tối ưu vectơ không trơn có các ràng buộc tập, nón và đẳng thức dựa vào khái niệm đạo hàm theo phương cấp hai liên tục trong không gian Banach thực...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điều kiện tối ưu cần cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu trong bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 35-43 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẦN CẤP HAI CHO NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU TRONG BÀI TOÁN TỐI ƢU VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC Trần Mậu Vĩnh1* và Trần Văn Sự2 1 Trường Trung học cơ sở Chu Văn An, Tam Kỳ, Quảng Nam 2 Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Tác giả liên hệ: vtranmau@gmail.com * Lịch sử bài báo Ngày nhận: 20/4/2022; Ngày nhận chỉnh sửa: 10/8/2022; Ngày duyệt đăng: 26/9/2022 Tóm tắt Trong bài báo chúng tôi đi nghiên cứu điều kiện tối ưu cần cấp hai cho bài toán tối ưu vectơ không trơn có các ràng buộc tập, nón và đẳng thức dựa vào khái niệm đạo hàm theo phương cấp hai liên tục trong không gian Banach thực. Với mục đích trên, chúng tôi cung cấp một số khái niệm cho các nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán và trình bày một số đặc trưng về tính khả vi hai lần theo phương cho lớp hàm giá trị thực. Dưới các giả thiết phù hợp, một số điều kiện tối ưu cần cấp hai cơ bản và đối ngẫu dạng Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán được cung cấp. Điều kiện tối ưu cấp hai thu được trong bài báo là mới hoặc cải thiện các kết quả đã biết trong những năm gần đây. Từ khóa: Bài toán tối ưu vectơ không trơn, các điều kiện tối ưu cần cấp hai, các nghiệm hữu hiệu yếu, đạo hàm theo phương liên tục hai lần. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- SECOND-ORDER NECESSARY OPTIMALITY CONDITION FOR WEAKLY EFFICIENT SOLUTIONS IN CONSTRAINED VECTOR OPTIMIZATION PROBLEMS Tran Mau Vinh1* and Tran Van Su2 1 Chu Van An Secondary School, Tam Ky, Quang Nam 2 Department of Mathematics, The University of Danang - University of Science and Education * Corresponding author: vtranmau@gmail.com Article history Received: 20/4/2022; Received in revised form: 10/8/2022; Accepted:26/9/2022 Abstract In the paper we study second-order necessary optimality conditions for a nonsmooth vector optimization problem with set, cone and equality constraints based on the concept of twice continuously directional derivatives in real Banach spaces. For the purpose above, we provide some concepts for weakly efficient solutions to such problem and present some characterizations on twice continuously directional differentiabilities for the class of real-valued functions. Under suitable assumptions, some primal and Fritz John-type dual second-order necessary optimality conditions for the locally weakly efficient solutions of such problem are provided as well. The second-order optimality conditions obtained are new or improve some recent existing ones in the literature. Keywords: Nonsmooth vector optimization problems, second-order necessary optimality conditions, weakly efficient solutions, twice continuously directional derivatives. DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.12.2.2023.1030 Trích dẫn: Trần Mậu Vĩnh và Trần Văn Sự. (2023). Điều kiện tối ưu cần cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu trong bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 12(2), 35-43. 35
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 1. Mở đầu cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán vẫn còn ít. Tối ưu hoá vectơ là một lĩnh vực năng động Đây là lý do chính để chúng tôi sử dụng công cụ được quan tâm nghiên cứu nhiều trong thời gian đạo hàm theo phương này cho công việc nghiên gần đây bởi nhiều nhà khoa học trong nước và cứu điều kiện tối ưu cần cấp hai đối với bài toán tối quốc tế (xem Bonnans và cs. (1999); Constantin ưu vectơ không trơn với đầy đủ các ràng buộc tập, (2011, 2021); Ginchev và Ivanov (2008); Ivanov bất đẳng thức tổng quát (nón) và đẳng thức. (2015); Jiménez và Novo (2003, 2004); Liu (1991); Dựa trên sự hiểu biết của chúng tôi đối với Luu (2018); Rockafellar (1970); Su (2020); lớp hàm khả vi liên tục theo phương hai lần trong Bonnans và Shapiro (2000) và danh mục các tài trường hợp đơn trị, điều kiện tối ưu cần cấp hai cho liệu trích dẫn trong đó). Giữa các khía cạnh khác tính hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ có đầy đủ nhau như sự tồn tại nghiệm, độ nhạy nghiệm, cấu các ràng buộc (tập, nón, đẳng thức) vẫn chưa được trúc tập nghiệm và thuật toán thì điều kiện tối ưu xem xét cẩn thận trong thời gian gần đây và nhiều được nhiều nhà nghiên cứu tiến hành do sự ứng kết quả quan trọng của chúng về tính tối ưu cần cấp dụng rộng rãi của chủ đề trong khoa học toán học, hai liên quan đến đạo hàm theo phương đã bị bỏ kinh tế, kỹ thuật... Bonnans và cs. (1999) dẫn điều qua. Vì vậy, việc thiết lập điều kiện tối ưu cần cấp kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu vectơ có hai cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu ràng buộc theo các tập tiếp xúc cấp hai dạng vectơ đầy đủ các ràng buộc là hữu ích trong bài báo Parabolic; Constantin (2011) cung cấp điều kiện tối này. Chú ý đạo hàm theo phương liên tục hai lần là ưu cấp hai cho bài toán tối ưu có ràng buộc theo công cụ tốt để thiết lập điều kiện tối ưu cần cấp hai các phương tiếp xúc với dữ liệu Lipschitz địa cho lớp các bài toán tối ưu vectơ không trơn bởi vì phương; Liu (1991) thiết lập điều kiện tối ưu cấp công cụ đạo hàm theo phương cấp hai xét về mặt hai cho các nghiệm không trội trong bài toán quy tính toán thì dễ dàng thực hiện, có thể vận dụng hoạch đa mục tiêu suy rộng với dữ liệu thuộc lớp linh hoạt và tiện lợi hơn các công cụ dưới vi phân hàm C1,1. Đặc biệt, đối với một lớp bài toán tối ưu trừu tượng khác, chẳng hạn dưới vi phân Clarke, vectơ không có ràng buộc đẳng thức, thậm chí dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Mordukhovich... không có ràng buộc tập (chỉ có ràng buộc bất đẳng Với các lý do nêu trên, chúng tôi sử dụng thức tổng quát hay ràng buộc nón), Ginchev và công cụ đạo hàm theo phương khả vi hai lần cấp Ivanov (2008) thu được điều kiện tối ưu cấp hai hai để xây dựng các điều kiện tối ưu cần cấp hai cho bài toán tối ưu vectơ trừ ràng buộc đẳng thức cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán với dữ liệu thuộc lớp hàm C1; Ivanov (2015) xây tối ưu vectơ có ràng buộc không trơn. Kết quả thu dựng điều kiện tối ưu cấp hai cho lớp bài toán tối được trong bài báo là công cụ tốt để làm việc với ưu vectơ với dữ liệu khả vi Fréchet và chuẩn hóa các điều kiện tối ưu cấp hai dạng đối ngẫu và các ràng buộc cấp hai; Jiménez và Novo (2003, 2004) mô hình đối ngẫu cho lớp bài toán tối ưu vectơ hiển thị điều kiện tối ưu cấp hai cho cực tiểu chặt không trơn có đầy đủ ràng buộc trong tương lai và trong lớp bài toán tối ưu không trơn và khả vi dựa cơ sở để đề xuất thuật toán giải bài toán sau này. trên các tập tiếp xúc cấp hai. 2. Bài toán tối ƣu vectơ Để nghiên cứu điều kiện tối ưu cần cho các kiểu nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu vectơ, đạo 2.1. Ký hiệu hàm theo phương (hướng) được sử dụng nhiều Cho một không gian Banach X với không gian trong thời gian gần đây, chẳng hạn, Luu (2018) đối ngẫu tôpô của nó ký hiệu là X* và cho một tập cung cấp điều kiện tối ưu cần và đủ cấp hai cho bài con không rỗng tùy ý A  X . Phần trong, bao toán tối ưu đa mục tiêu sử dụng công cụ đạo hàm đóng, bao lồi và bao nón của tập A được ký hiệu theo hướng cấp hai kiểu Páles-Zeidan kết hợp với tương ứng bởi intA, A , coA, coneA, ở đây các chuẩn hóa ràng buộc cấp hai; Su (2020) thiết lập các điều kiện tối ưu cần và đủ cấp hai cho tính coneA  ta : t  0, a  A. Một dãy các số thực hữu hiệu của lớp bài toán cân bằng vectơ ngoài dương  tn  có giới hạn bằng 0 được ký hiệu bởi ràng buộc đẳng thức dựa trên công cụ đạo hàm theo tn  0. Số phần tử của tập A ký hiệu là A và nón hướng đa trị với một lớp hàm ổn định. Tuy nhiên, kết quả thu được về điều kiện tối ưu cần cấp hai đối ngẫu của tập A định nghĩa là theo công cụ đạo hàm theo phương khả vi hai lần A    X * |  , a  0 a  A. 36
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 35-43 Cho tùy ý các vectơ v, w, x thuộc X. Ký hiệu K tập chấp nhận được của bài toán (PC), nghĩa là Định nghĩa 2.1.1. Ta nói v với liên kết w nếu  t2  K   x  C : g  x  S , h  x   0. d  x  tv  w, A  lim    0. 2 Định nghĩa 2.2.1. 2 t  0 t (i) Mỗi vectơ x  K được gọi là chấp nhận Chú ý 1: w được gọi là vectơ tiếp xúc cấp hai được của bài toán (PC). đối với tập A tại vectơ x. (ii) Mỗi vectơ x  K được gọi là một Định nghĩa 2.1.2. Nón tiếp xúc cấp một và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (PC) nếu với cấp hai đối với tập A tại vectơ x  A được định mọi x  K ta có nghĩa tương ứng là:   T A, x  v  X |  :  0,     X sao cho  f  x   f x  int Q . lim   t   0 và x  t  v   (t )   A, t  0 , t  0  (iii) Mỗi vectơ x  K được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (PC) nếu   T 2 A, x  w  X | v  X ,  :  0,     X sao cho tồn tại hình cầu mở tâm x bán kính 1  lim   t   0 và x  tv  t 2  w   (t )   A, t  0 .     0 B  x,   sao cho với x  K  B  x,   , ta có   t  0 2 f  x   f x  int Q Chú ý 2: Dễ dàng thấy rằng các nón tiếp xúc cấp một và cấp hai đều chứa gốc tọa độ O. Chú ý 3: Nếu vectơ x  K là một nghiệm hữu Chú ý T  A, x  là một nón đóng trong X và hiệu yếu của (PC), thì x cũng là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (PC). Đặc biệt, trong   T 2 A, x là một nón trong X (xem Constantin trường hợp Q  [0, ), mối quan hệ (2021)). Trong trường hợp vectơ v liên kết w  f  x   f x  int Q tương đương với bất đẳng ta luôn có các quan hệ v  T  A, x  và thức f  x   f x .   w  T 2 A, x .  Ký hiệu: H  x  X : h( x)  0. 2.2. Định nghĩa Theo định nghĩa 2.1.2., ta luôn có Cho X, Y, Z, W là các không gian Banach thực với một chuẩn . (ở đây không có sự nhầm lẫn  T 2 H, x     T 2 C, x  T 2 H  C, x .  (*) xảy ra), không gian đối ngẫu tôpô của X, Y, Z, W Tuy nhiên, do C là tập tùy ý trong X nên bao tương ứng là X*, Y*, Z*, W*. Cho một tập con tùy hàm thức ngược lại không đúng trong trường hợp ý C khác rỗng của X, một nón lồi đóng có phần tổng quát. Trường hợp C mở và C  H mở, trong khác rỗng Q trong Y và một nón lồi đóng S có hiển nhiên phần trong khác rỗng trong Z. Xét các ánh xạ giá trị vectơ sau:    T 2 C, x  T 2 C  H , x  X .  f : X  Y , g : X  Z , h : X  W. Do đó, bao hàm thức ngược lại của (*) luôn Bài toán tối ưu vectơ không trơn có các ràng được thỏa mãn. Trong bài toán tối ưu (PC), không buộc tập, nón và đẳng thức (PC) được định nghĩa là: phải lúc nào tập C và C  H cũng mở, nên để  min f ( x) thuận tiện trong công việc nghiên cứu, chúng tôi đề  x X xuất chuẩn hóa ràng buộc cấp hai (CQ) sau:   g ( x)   S Định nghĩa 2.2.2. Ta nói điều kiện chuẩn hóa    sao cho h( x)  0 ràng buộc cấp hai (CQ) cho bài toán (PC) được  x C thỏa mãn tại vectơ x  C  H nếu   37
Chuyên san Khoa học Tự nhiên  T 2 H, x     T 2 C, x  T 2 H  C, x .    (i) D2 f x  su   s 2 D2 f x  u  , s  0. Với chuẩn hóa ràng buộc cấp hai (CQ), ta có (ii) D2 f  x  u  v   D f  x  u   D f  x   v  . 2 2 đẳng thức đúng:  T 2 H, x     T 2 C, x  T 2 H  C, x .  (iii)  t2   f  x  tu  v   f x  tDf x  u     2  Định nghĩa cơ bản về đạo hàm theo phương được trích từ tài liệu Rockarfellar (1970): t2 2     Df x  v   D 2 f x  u  + o  t 2  t  0, Định nghĩa 2.2.3. Cho ánh xạ f : X  Y và o(t 2 ) x, v  X . Khi đó: ở đây lim  0.  t 0 t2 (i) Đạo hàm theo phương cấp một của f tại x Chứng minh: theo phương v được xác định bởi Theo định nghĩa đạo hàm theo hướng với  f x  tv  f x  . mọi số thực s  0 , ta có  Df x  v   lim    f x  tsu  f x  tDf x  su    tt 0 Nếu giới hạn trên tồn tại theo mọi phương v  D 2 f x  su   lim t 0 t2 thì f gọi là khả vi theo phương tại x. 2 (ii) Đạo hàm theo phương cấp hai của f tại  lim     f x   ts  u  f x   ts  Df x  u  vectơ x theo phương v được xác định bởi  t 0  st  2    f x  tv  f x  tDf x  v   2s 2 2  D f x  v   lim t 0 t2 .   s 2 D2 f x u  . 2 Hiển nhiên (i) đúng trong trường hợp s  0 và Nếu giới hạn trên tồn tại theo mọi phương v thì f do đó (i) đúng với mọi s  0. gọi là khả vi hai lần theo phương tại x. (ii) Tương tự như chứng minh trong trường (iii) Ta nói rằng f khả vi theo phương liên tục hợp (i) ta có: hai lần tại x nếu các đạo hàm cấp một và cấp hai  D2 f x u  v  Df . , D2 f . liên tục tại x. f  x  t (u  v)   f  x   tDf  x   u  v  Chú ý 4: Theo Rockafellar (1970) ta được  lim t  0 t2   Df x  su   sDf x  u  , s  0. 2 và nếu thêm giả thiết đạo hàm Df(.) liên tục tại  lim      f x  tu  tv  f x  t Df x  u   Df x  v    vectơ x thì với tùy ý x, u, v thuộc X:  t 0 t2   Df x  u  v   Df x  u   Df x  v  .  2  3. Đặc trƣng cấp hai  lim      f x  tu  tv  f x  tu  tDf x  v    Vận dụng kết quả trong Chú ý 4 ta nhận được t 0   t2 một số đặc trưng cấp hai liên quan đến đạo hàm   2 theo phương như sau:  Mệnh đề 3.1. Cho ánh xạ khả vi liên tục hai lần theo phương f : X  Y tại vectơ x  X và cho +    f x  tu  f x  tDf x  u     t2  các vectơ u, v  X . Khi đó:  2  38
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 35-43   = lim D2 f x  tu  v   D 2 f x  u   t 0  (b) h là hàm khả vi Fréchet liên tục đến cấp hai trong một lân cận của điểm x.   = D2 f x  u   D2 f x  v  . (c) h  x  : X  W là toàn ánh tuyến tính. (iii) Sử dụng tính khả vi liên tục hai lần của ánh xạ f tại x  X và sau đó kết hợp (i), (ii) và Khi đó,  T 2 H , x   với vectơ liên kết o(t 2 ) lim 2  0, ta có khai triển Taylor đến cấp hai: u T H , x  khi và chỉ khi t  0 t  t 2v    h x  u   0  t2  Df x  tu      h x     h x  u , u   0   2 f  x  tu  v   f x   2    2  1 Mệnh đề 3.3. (Su (2020)) Cho dãy số thực   Df x  tu   o(t 2 ) dương  tn  với tn  0 và giả sử z S. 2 zn  z Nếu tồn tại lim   int cone  S  z  , thì     t2 2 2 n  tn  f x  tDf x  u   dãy  zn   S với mọi số nguyên dương n đủ lớn.  Df  x   v   D f  x  u   o t . 2 2 4. Điều kiện tối ƣu cần cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu Điều phải chứng minh.  Xét bài toán tối ưu vectơ không trơn có ràng Chú ý 5: Công thức (iii) được gọi là khai triển buộc (PC) được xác định như trong tiểu mục 2.2. Taylor đến cấp hai của hàm số khả vi liên tục theo Cho ngắn gọn, từ đây ta quy ước bất kỳ phương f tại x  X và biểu thức o  t 2  được gọi là     T 2 H , x có vectơ liên kết u  T H , x nếu   vô cùng bé bậc cao hơn so với t trong quá trình 2 không có phát biểu khác. Đặt t  0 . Trường hợp f khả vi liên tục Fréchet hai lần ˆ  S  cone S  g x ,   tại x  X , ta có từ công thức (iii):  K ( H )  u  X : h( x)(u)  0 .   t    2 f  x  tu  v   f x  tf x  u  ˆ ˆ ˆ ˆ Khi đó, ta có S  int S  int S do S là một  2  ˆ nón lồi đóng với int S khác rỗng. Cho trước     2 f x  v    2 f x  u   o  t 2  t  0,   t    T 2 H , x , ta ký hiệu 2 ở đây lim o(t 2 )  0, các đạo hàm Fréchet cấp một   v  X : Df x  u   0, Dg x  u    S ,    t2    o t 2    t 0 C, x     2 K   Dg x  v   D 2 g x  u     int S t  0  và cấp hai của hàm f tại điểm x  X được ký hiệu 1 2  t   tương ứng bởi f x và  2 f x .   2  v  X : h  x   v    h  x  u, u   0 T C , x  , 2 2 Để nghiên cứu điều kiện tối ưu cần cấp hai K  C , x   v  X : Df  x   u   0, Dg  x   u    S  2 cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (PC), chúng ta gọi lại mệnh đề sau (xem Constantin (2011)): v  X : h  x   v    h  x  u, u   0 T C, x . 2 2 Mệnh đề 3.2. Giả sử rằng:     2 Hiển nhiên K 2 C , x  K C , x . Do đó, nếu (a) x  H : x  X : h( x)  0.   C, x  cũng khác rỗng. 2 K 2 C , x khác rỗng thì K 39
Chuyên san Khoa học Tự nhiên Tiếp theo chúng tôi đưa ra điều kiện để K 2 C , x    Do u  ker Dg x . suy ra Dg x  u   0,  khác rỗng. Đặt   ˆ   0  S kéo theo g x  cone S  g x  S . Sử dụng  K1  x  C : g  x   int S , h  x   0 . ˆ  Mệnh đề 3.1 trên, với mọi t  0 : Mệnh đề 4.1. Cho x  K1 và bất kỳ ( ) ( )( ) ( )( )    T 2 K1 , x  có vectơ liên kết   u T K1 , x  ker Df ( x)(.)  ker Dg ( x)(.). Nếu f, g ( ( ( ) )) ( ) ( )( ) khả vi liên tục hai lần theo phương tại x ; h là hàm khả vi Fréchet liên tục đến cấp hai trong một lân cận của điểm x với h x : X  W là toàn ánh  ( ( ( ) )) ( )     2 tuyến tính, thì K 2 C , x   và K C , x   . Chứng minh: ⏜ ( ) ̂ ̂  Vì x  K1 nên T K1 , x   và theo giả thiết  ̂ ban đầu ta luôn vectơ tìm được     2   u T K1 , x  ker Df ( x)(.)  ker Dg ( x)(.) sao cho Vậy v  K 2 C , x suy ra v  K C , x và chúng ta kết thúc chứng minh mệnh đề.     T 2 K1 , x .  Bởi vì K1  H  C nên Bây giờ chúng tôi cung cấp điều kiện tối ưu T  K , x   T  H  C, x   T C, x   T  H , x . 2 1 2 2 2 cần cấp 2 cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (PC): Do đó   T  C , x  có vectơ liên kết u  T  H , x  , 2 Định lý 4.1. Giả sử các giả thiết (a), (b) và (c) áp dụng Mệnh đề 3.2 trên ta suy ra rằng trong Mệnh đề 3.2 được thỏa mãn và chuẩn hóa  h x  v   2 h x  u, u   0, hay ràng buộc cấp hai (CQ) cho bài toán (PC) đúng tại x  K . Giả sử các ánh xạ f, g khả vi liên tục hai lần v T 2 C, x   v  X : h  x  v    h  x  u, u   0. 2 theo phương tại x. Nếu vectơ x  K là một Ta có nón lồi đóng S chứa 0 và nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (PC) u  ker Df ( x)(.)  ker Dg ( x)(.) nên theo định nghĩa thì với mọi phương chấp nhận được v  K 2 C , x   nhân của ánh xạ ta được với liên kết u  K  H  ta có   Df x  u   0, Dg x  u  S . Ta chứng minh   Df x  v   D2 f x  u   int Q. (1) v  K C, x , 2   hay tương đương với Chứng minh: o t 2   Dg x  v   D 2 g x  u    t2   int S với mọi  Ta có u  K  H  kéo theo h x  u   0 và 2   K C , x  suy ra h  x   v    h  x   u, u   0. 2 2 t > 0. Vì   T 2   K1 , x nên ta tìm được một ánh xạ Áp dụng Mệnh đề 3.2 ta được vectơ   T  H , x  2  :  0,    X thoả mãn lim   t   0 và không vì vectơ u  T  H , x  dựa theo Jiménez và Novo, t  0 mất tính tổng quát với mọi t > 0 đủ nhỏ ta giả sử rằng 2003. Theo giả thiết ban đầu v  K  C , x  chúng ta 2 suy ra rằng v  T  C , x   T  H , x  . Áp dụng 2 x  tu  t 2   t   v   K1. 2 2 chuẩn hóa ràng buộc cấp hai (CQ) cho bài toán 40
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 35-43 (PC) thỏa mãn tại xK ta được Kết hợp (2), (3), (4) và sử dụng khai triển v T 2 C  H , x . Ta có vectơ chấp nhận được x Taylor đến cấp hai của hàm f tại x ta được là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (PC), khi đó tồn tại một hình cầu mở   2 Df x  v   D 2 f x  u    Df x  u  t    U : B x,  thoả mãn  t2  f  x  tu  v   f x  + lim  2   f  x   f x  int Q (x  K  U ) . (2) t  0 t2   Từ quan hệ v  T 2 C  H , x suy ra tồn tại 2  t2  một ánh xạ  :  0,    X thoả mãn lim   t   0 f  x  tu  v   f x  = lim  t  0 2  và không mất tính tổng quát với mọi t > 0 đủ nhỏ t 0  t2 ta giả sử rằng 2 t2   t   v   C  H  U . x  tu  2 (3)  Y \   int Q  . Vì ánh xạ g khả vi liên tục hai lần theo Vậy quan hệ (1) đúng và kết thúc chứng minh định lý.  phương tại x , lại áp dụng Mệnh đề 2.2 (iii), với tùy Định lý 4.2. Giả sử các giả thiết (a), (b) và (c) ý t  0 ta có trong Mệnh đề 3.2 được thỏa mãn và chuẩn hóa  t2   g  x  tu  v   g x  tDg x  u   2   ràng buộc cấp hai (CQ) cho bài toán (PC) đúng tại x  K . Giả sử các ánh xạ f, g khả vi liên tục hai lần theo phương tại x. Nếu vectơ là một + t2     Df x  v   D 2 g x  u   o  t 2  , nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (PC)   2 2 thì với mọi hướng chấp nhận được   K C , x ở đây o  t  / t  0 khi t  0 . 2 2  với liên kết u  K  H  , ta có Từ các quan hệ   Dg x  v   D2 g x  u   int S , ˆ  Df  x  v   D f  x  u  , Dg  x  v   D g  x  u  2 2 ( ) ( ̂) (5) Dg  x   u    S , g  x    S ta được: ˆ  ở đây S : cone S  g x .   t  t2  Chứng minh: Nếu xảy ra trường hợp g  x  tu  v   g x    Dg x  v   D2 g x  u   int S , thì quan hệ (5) ˆ lim  2  ˆ   int S t 0  t2 hiển nhiên được thoả mãn. Ngược lại, theo cách   2 do giới hạn bên trái bằng với xây dựng của tập K C , x và suy ra từ giả thiết 1 2     Dg x  v   D 2 g x  u   K 2 C, x  rằng   K C, x . 2 Áp dụng Định lý Dg  x   u  4.1, ta có quan hệ (1) đúng và điều này kéo theo  ˆ   int S . quan hệ không phụ thuộc (5) cũng đúng và điều t này kết thúc chứng minh định lý.   t2  Cuối cùng, chúng tôi cung cấp điều kiện tối Vậy g  x  tu  v    S (4) với bất kỳ ưu cần cấp hai kiểu Fritz John sau:  2  Định lý 4.3. Giả sử các giả thiết (a), (b) và (c) số dương t> 0 đủ bé. trong Mệnh đề 3.2 được thỏa mãn và chuẩn hóa 41
Chuyên san Khoa học Tự nhiên ràng buộc cấp hai (CQ) cho bài toán (PC) đúng tại g : R  R cho bởi g  x   x  x 2  x  R  , x  K . Giả sử các ánh xạ f, g khả vi liên tục hai lần h : R  R cho bởi h  x   x 2  x  x  R  . theo phương tại x. Nếu vectơ x  K là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (PC) Ta có tập chấp nhận được có dạng   K   x  C : g  x    S , h( x)  0 2 thì với mọi hướng chấp nhận được   K C , x với liên kết u  K  H  , tồn tại các cặp 1 , 2  Q   x   1,1 : x 2  x  0 và 1 , 2  S  , chúng không đồng thời bằng 0 thoả  0, 1.    1 Df x  v   2 D 2 f x  u     1 Chọn B x,   B  0,  , suy ra    mãn   1 Dg x  v   2 D 2 g x  u   0 (6)  1  2  K B  0,   0.    1 g x  0,  2 g x  0 (7)  2 Chứng minh:  1 Ta có với mọi x  K B  0,  , Áp dụng Định lý 4.2 ta có quan hệ (5) đúng.  2 Sử dụng một định lý tách mạnh (Rockarfellar (1970)) cho hai tập hợp rời nhau gồm tập compact  f  x   f x  f  x   f  0 và tập tích có phần trong khác rỗng, khi đó tồn tại   0,0    int R 2   ,     Q  S   \ 0,0 với  g  x   0 thỏa mãn Theo Định nghĩa 2.2.1, x  0 là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (PC) và thêm           Df x  v   D f x  u  Dg x  v   D g x  u   0  2 2 nữa, u, v  R, ta có khả vi hai lần theo phương tại và h khả vi hai lần Fréchet tại x. Do tương đương  h x : R  R là toàn ánh và hơn nữa          Df x  v   D f x  u    Dg x  v   D g x  u   0. 2 2 Df1 (0)(v)  Df 2 (0)(v)  0, Chọn 1  2  , 1  2   ta đi đến kết quả (6) và Dg (0)(v)  v, h(0)(v)  v, (7) và điều này kết thúc chứng minh định lý.  2 Để khép lại bài báo, chúng tôi đề xuất một ví D 2 f1 (0)(u )   D 2 f 2 (0)(u )  u 2 , 3 dụ minh hoạ cho Định lý 4.3: D 2 g (0)(u )  2u 2 ,  2 h  0  u   2u 2 . Ví dụ 1: Xét bài toán tối ưu vectơ (PC) có đầy đủ các ràng buộc tập, nón, đẳng thức với   2 Theo Định lý 3.3 v  K C , x với vectơ X  Z  W  R, Y  R2 , Q  R , 2 S  R , liên kết u  K (H ) tồn tại các số thực C   1, 1 và x  0. 1 , 2  R , 1 , 2  R , tất cả chúng không đồng 2  Định nghĩa hàm mục tiêu f : R  R cho bởi 2 thời bằng không thỏa mãn f   f1 , f 2  , trong đó:   1 Df x  v   2 D 2 f x  u     xcosx - sin x  f1  x    , ( x  0)  2    1 Dg x  v   2 D g x  u   0 (8) x  0  , ( x  0)    1 g x  2 g x  0  (9)   sinx 2 1  1  , ( x  0) Thật vậy ta chọn 1  1,1 , 2   , 2  , f2  x     x    2  0 , ( x  0) 1  1  0, 2  và được kết quả và các hàm ràng buộc 4 42
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 35-43  Bonnans, J.F., and Shapiro, A. (2000).    Perturbation analysis of optimization 1 Df x  v   2 D f x  u  2 problems, Springer-Verlag, New York, 1st ed.       1 Dg x  v    2 D 2 g x  u  Constantin, E. (2011). Second-order optimality conditions for problems with locally Lipschitz  1 2 2 2 2  1.0  1.0      u   2. u  data via tangential directions. Comm. Appl.   2 3  3  Nonlinear Anal., 18(2), 75-84.    1   0.v   2u 2    u 2  0, 1 Constantin, E. (2021). Necessary conditions for    4  2 weak minima and for strict minima of order  two in nonsmooth constrained multiobjective    1 g x  0.0  0,  1 2 g x  .0  0. 4 optimization. J. Glob. Optim., 80, 177-193. Ginchev, I., and Ivanov, V.I. (2008). Second-order Vậy bất đẳng thức và đẳng thức (8) và (9) optimality conditions for problems with C1 cùng thỏa mãn. Điều phải kiểm tra. data. J. Math. Anal. Appl., 340, 646-657. 5. Kết luận Ivanov, V.I. (2015). Second-order optimality Trong bài báo, chúng tôi đã thiết lập được các conditions for vector problems with điều kiện tối ưu cần cấp hai dạng cơ bản và dạng continuously Fréchet differentiable data and đối ngẫu kiểu Fritz John cho các nghiệm hữu hiệu second-order constraint qualifications. J. yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ không Optim. Theory Appl., 166, 777-790. trơn có đầy đủ các ràng buộc (PC) dựa trên công cụ Jiménez, B., and Novo, V. (2003). First- and của đạo hàm theo phương cấp một và cấp hai với second-order sufficient conditions for strict lớp hàm khả vi liên tục hai lần theo phương tại minimality in nonsmooth vector optimization. nghiệm chấp nhận được. Kết quả nhận được trên J. Math. Anal. Appl., 284, 496-510. vẫn còn đúng đối với nghiệm hữu hiệu yếu cho bài Jiménez, B., and Novo, V. (2004). Optimality toán (PC). Bên cạnh, một số đặc trưng cấp hai cho conditions in differentiable vector lớp hàm liên quan cũng được thiết lập phù hợp với optimization via second-order tangent sets. mục đích ứng dụng của công thức khai triển Taylor Appl. Math. Optim., 49, 123-144. đến cấp hai nhằm mục đích phục vụ cho quá trình Liu, L.P. (1991). The second-order conditions of chứng minh các kết quả của bài báo. Một ví dụ nondominated solutions for C1,1 generalized cũng được cung cấp để mô tả định lý đối ngẫu dạng multiobjective mathematical programming. J. Fritz John. Syst. Sci. Math. Sci., 4, 128-131. Lời cảm ơn: Tác giả chân thành cảm ơn đến Luu, D.V. (2018). Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium phản biện đã đọc bản thảo cẩn thận và đưa ra các problems. J. Glob. Optim., 70, 437-453. nhận xét cùng với một số đề xuất phù hợp giúp tác giả điều chỉnh bản thảo tốt hơn. Rockafellar, R.T. (1970). Convex Analysis. Princeton University Press: Princeton. Tài liệu tham khảo Su, T.V. (2020). New second-order optimality Bonnans, J.F., Cominetti, R., and Shapiro, A. conditions for vector equilibrium problems (1999). Second order optimality conditions with constraints in terms of contingent based on parabolic second order tangent sets. derivatives. Bull. Braz. Math. Soc. New SIAM J. Optim., 9(2), 466-492. Series., 51(2), 371-395. 43