Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bất phương trình Diophante tuyến tính

Chia sẻ: Kethamoi2 Kethamoi2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu vấn đề về bất phương trình Diophante tuyến tính mà chủ yếu đi sâu nghiên cứu bất phương trình dạng này với hai biến, ba biến hoặc bốn biến. Để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu mời các bạn cùng tham khảo luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bất phương trình Diophante tuyến tính

I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN TRN TR×ÍNG SINH BT PH×ÌNG TRNH DIOPHANTE TUYN TNH Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ CP M¢ sè: 60.46.01.13 LUN VN THC Sß KHOA HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC GS.TSKH NGUYN VN MU H NËI - 2015
Möc löc Mð ¦u 2 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 ×îc sè chung lîn nh§t. Thuªt to¡n Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Li¶n ph¥n sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 T¼m nghi»m ri¶ng düa v o gi£n ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 T¼m nghi»m ri¶ng düa v o thuªt to¡n Euclid . . . . . . . . . . . 6 1.4 Nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh . . . . . 7 2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 8 2.1 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh . . . 11 2.3.1 Mët sè v½ dö li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante d¤ng li¶n ph¥n sè . . . . . . . . . . 13 3 Mët sè b i to¡n li¶n quan 14 3.1 Nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c câ i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 X¡c ành ph¥n thùc ch½nh quy thäa m¢n i·u ki»n cho tr÷îc . . . . . . 16 K¸t luªn 19 T i li»u tham kh£o 20 1
Mð ¦u Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n hay cán gåi l ph÷ìng tr¼nh Diophante l mët trong nhúng d¤ng to¡n l¥u íi nh§t cõa To¡n håc. Thæng qua vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante, c¡c nh to¡n håc ¢ t¼m ra ÷ñc nhúng t½nh ch§t s¥u sc cõa sè nguy¶n, sè húu t¿, sè ¤i sè. Gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante ¢ ÷a ¸n sü ra íi cõa li¶n ph¥n sè, lþ thuy¸t ÷íng cong elliptic, lþ thuy¸t x§p x¿ Diophant, th°ng d÷ b¼nh ph÷ìng, sè håc modular,. . . B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh thüc ch§t l ph÷ìng tr¼nh Dio- phante tuy¸n t½nh câ chùa tham sè. Câ thº nâi ¥y l mët d¤ng to¡n kh¡ mîi m´ v ch÷a phê bi¸n trong c¡c ký thi håc sinh giäi bªc phê thæng. Trong luªn v«n n y, t¡c gi£ khæng câ tham vång bao qu¡t h¸t c¡c v§n · v· b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh m chõ y¸u i s¥u nghi¶n cùu b§t ph÷ìng tr¼nh d¤ng n y vîi hai bi¸n, ba bi¸n ho°c bèn bi¸n. Hi vång ¥y s³ l mët t i li»u bê ½ch cho c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c em håc sinh trong qu¡ tr¼nh æn luy»n thi håc sinh giäi. Luªn v«n ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng 2. B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh Ch÷ìng 3. Mët sè b i to¡n li¶n quan. Nh¥n ¥y, t¡c gi£ xin b y tä sü k½nh trång v láng bi¸t ìn s¥u sc tîi GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu. Th¦y ¢ d nh nhi·u thíi gian h÷îng d¨n công nh÷ gi£i ¡p c¡c thc mc cõa håc trá trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v gióp ï t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n n y. T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi Ban gi¡m hi»u, Pháng o t¤o Sau ¤i håc, Khoa To¡n - Cì - Tin håc, c¡c th¦y cæ gi¡o ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi º t¡c gi£ câ thº ho n th nh nhi»m vö cõa m¼nh. 2
T¡c gi£ xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n, cê vô v t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian m t¡c gi£ håc tªp t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H Nëi. M°c dò ¢ câ nhi·u cè gng nh÷ng do thíi gian v tr¼nh ë cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. V¼ vªy t¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o công nh÷ c¡c b¤n çng nghi»p º b£n luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nëi, th¡ng 09 n«m 2015 Håc vi¶n thüc hi»n Tr¦n Tr÷íng Sinh 3
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1 ×îc sè chung lîn nh§t. Thuªt to¡n Euclid ành ngh¾a 1.1 (xem [1]). Sè nguy¶n c ÷ñc gåi l mët ÷îc sè chung cõa hai sè nguy¶n a v b (khæng çng thíi b¬ng khæng) n¸u c chia h¸t a v c chia h¸t b. ành ngh¾a 1.2 (xem [1]). Mët ÷îc sè chung d cõa hai sè nguy¶n a v b (khæng çng thíi b¬ng khæng) ÷ñc gåi l ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v b n¸u måi ÷îc sè chung c cõa a v b ·u l ÷îc cõa d. Chó þ 1.1. N¸u d l ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v b th¼ −d công l ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v b. Vªy ta quy ÷îc r¬ng ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v b l sè nguy¶n d÷ìng. ành ngh¾a 1.3 (xem [1]). Mët sè nguy¶n c ÷ñc gåi l mët ÷îc sè chung cõa n sè nguy¶n a1 , a2 , a3 , . . . , an (khæng çng thíi b¬ng khæng) n¸u c l ÷îc cõa méi sè â. ành ngh¾a 1.4 (xem [1]). Mët ÷îc sè chung d cõa n sè nguy¶n a1, a2, a3, . . . , an (khæng çng thíi b¬ng khæng) ÷ñc gåi l ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a1 , a2 , a3 , . . . , an n¸u måi ÷îc sè chung c cõa a1 , a2 , a3 , . . . , an ·u l ÷îc cõa d. ành l½ 1.1. (v· sü tçn t¤i ÷îc sè chung lîn nh§t cõa nhi·u sè, xem [1]) Cho c¡c sè nguy¶n a1 , a2 , a3 , . . . , an khæng çng thíi b¬ng khæng. Khi â tçn t¤i ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a1 , a2 , a3 , . . . , an . T½nh ch§t 1.1 (xem [1]). Cho a, b, q, r l c¡c sè nguy¶n (a2 + b2 6= 0). N¸u a = bq + r v 0 ≤ r < |b| th¼ (a,b) = (b,r). Thuªt to¡n Euclid (thuªt to¡n t¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa hai sè nguy¶n d÷ìng ). 4
1.2 Li¶n ph¥n sè ành ngh¾a 1.5. (Li¶n ph¥n sè húu h¤n, xem [3]) ành ngh¾a 1.6. (Li¶n ph¥n sè væ h¤n, xem [3]) T½nh ch§t 1.2 (xem [3]). Méi sè húu t¿ l mët li¶n ph¥n sè húu h¤n. T½nh ch§t 1.3. (T½nh duy nh§t cõa li¶n ph¥n sè húu h¤n, xem [3]) T½nh ch§t 1.4. (Cæng thùc t½nh gi£n ph¥n, xem [3]) T½nh ch§t 1.5 (xem [3]). Gi£ sû {Ck } l d¢y gi£n ph¥n cõa li¶n ph¥n sè húu h¤n [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]. Khi â ta câ c¡c mèi li¶n h» sau (−1)k−1 i) Ck − Ck−1 = , vîi 1 ≤ k ≤ n. qk qk−1 ak (−1)k ii) Ck − Ck−2 = , vîi 2 ≤ k ≤ n. qk qk−2 T½nh ch§t 1.6 (xem [3]). Vîi c¡c gi£n ph¥n Ck cõa li¶n ph¥n sè húu h¤n [a0; a1, a2, . . . , an] ta câ c¡c d¢y b§t ¯ng thùc sau i) C1 > C3 > C5 > . . . ii) C0 < C2 < C4 < . . . iii) méi gi£n ph¥n l´ C2j−1 ·u lîn hìn méi gi£n ph¥n ch®n C2i . T½nh ch§t 1.7 (xem [3]). Vîi måi k = 0, 1, . . . , n th¼ (pk , qk ) = 1 (tùc l pk , qk nguy¶n tè còng nhau). T½nh ch§t 1.8 (xem [3]). Cho a0, a1, a2, . . . l d¢y væ h¤n c¡c sè nguy¶n, ai > 0 vîi ∀i ≥ 1. Vîi méi k, °t Ck = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ]. Khi â tçn t¤i giîi h¤n lim Ck . k→+∞ T½nh ch§t 1.9 (xem [3]). Måi sè væ t¿ α ·u biºu di¹n ÷ñc mët c¡ch duy nh§t d÷îi d¤ng mët li¶n ph¥n sè væ h¤n. 5
1.3 Ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh ành ngh¾a 1.7 (xem [3]). Ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh câ d¤ng a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = c n trong â c¡c h» sè ai , c ∈ Z, a2i 6= 0, c¡c bi¸n sè xi ∈ Z, ∀i = 1, 2, . . . , n. P i=1 ành l½ 1.2 (xem [3]). X²t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh Ax + By = C. (1) i) (1) câ nghi»m khi v ch¿ khi d = (A, B) |C . ii) N¸u (x0 , y0 ) l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) th¼ måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) ÷ñc cho bði cæng thùc  B  x = x0 + t   d , t ∈ Z.  y = y0 − A t   d Nhªn x²t 1.1. Vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh (1) quy v· vi»c t¼m i) d = (A, B). ii) Mët nghi»m ri¶ng (x0 , y0 ) cõa ph÷ìng tr¼nh (1) . 1.3.1 T¼m nghi»m ri¶ng düa v o gi£n ph¥n 1.3.2 T¼m nghi»m ri¶ng düa v o thuªt to¡n Euclid ành l½ 1.3 (xem [3]). X²t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = c. (5) i) Ph÷ìng tr¼nh (5) câ nghi»m khi v ch¿ khi d = (a1 , a2 , . . . , an ) |c . ii) N¸u ph÷ìng tr¼nh (5) câ nghi»m th¼ nâ s³ câ væ sè nghi»m. V½ dö 1.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 6x + 15y + 10z = 3. (7) 6
1.4 Nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Dio- phante tuy¸n t½nh X²t ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = c (5) vîi c¡c h» sè ai , c ∈ Z+ , c¡c bi¸n sè xi ∈ Z+ , ∀i = 1, 2, . . . , n. Khi â ph÷ìng tr¼nh (5) luæn câ húu h¤n nghi»m nguy¶n d÷ìng x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Tø · b i, ta câ thº h¤n ch¸ i·u ki»n cõa c¡c bi¸n sè bði (c + ai ) − (a1 + a2 + . . . + an ) 1 ≤ xi ≤ , ∀i = 1, 2, . . . , n. ai Khi â, c¡ch ìn gi£n nh§t º t¼m nghi»m nguy¶n d÷ìng x = (x1 , x2 , . . . , xn ) cõa ph÷ìng tr¼nh (5) l ta cho mët bi¸n sè xi n o â l¦n l÷ñt ch¤y qua c¡c gi¡ trà câ thº câ cõa nâ v t¼m c¡c bi¸n sè cán l¤i tø ph÷ìng tr¼nh ¢ cho. V½ dö 1.2. T¼m c¡c nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 6x + 15y + 10z = 200. (8) ¡p sè: Ph÷ìng tr¼nh (8) câ c£ th£y 15 nghi»m nguy¶n d÷ìng (x, y, z) bao gçm (5, 2, 14) , (5, 4, 11) , (5, 6, 8) , (5, 8, 5) , (5, 10, 2) , (10, 2, 11) , (10, 4, 8) , (10, 6, 5) , (10, 8, 2) , (15, 2, 8) , (15, 4, 5) , (15, 6, 2) , (20, 2, 5) , (20, 4, 2) , (25, 2, 2) . 7
Ch÷ìng 2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh Trong ch÷ìng n y, chóng ta s³ nghi¶n cùu c¡ch gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh v c¡c th½ dö minh håa. 2.1 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh ành ngh¾a 2.1. B§t ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh câ d¤ng a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn < c (9) (ho°c f (x) ≤ c, f (x) > c, f (x) ≥ c, vîi f (x) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn ) n trong â c¡c h» sè ai , c ∈ Z, c¡c bi¸n sè xi ∈ Z, ∀i = 1, 2, . . . , n, a2i 6= 0. P C¡ch gi£i. Ta câ b§t ph÷ìng tr¼nh (9) t÷ìng ÷ìng vîi i=1 a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + an x n = m (10) trong â m l tham sè, m ∈ Z, m < c. Nh÷ vªy vi»c gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh ÷ñc ÷a v· gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh (chùa tham sè) m chóng ta ¢ bi¸t c¡ch gi£i. V½ dö 2.1. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 342x − 123y ≥ 13. (11) ¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (11) l x = 9k + 41t , ∀t, k ∈ Z, k ≥ 5. y = 25k + 114t 8
V½ dö 2.2. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 6x + 9y + 18z < 5. (12) ¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (12) l ( x = −k + 3u + 3t y = −k + 4u + 2t z = k − 3u − 2t trong â k, u, t ∈ Z, k ≤ 1. V½ dö 2.3. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 6x + 15y + 10z > 3. (13) ¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (13) l ( x = −4m + 25u + 15t y = − m + 6u + 4t z = 4m − 24u − 15t trong â m, u, t ∈ Z, m ≥ 4. V½ dö 2.4. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 2x + 4y + 6z − 10t ≥ 1. (14) ¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (14) l   x = k − 2u − 3v + 5w  y= u  z= v  t= w trong â k, u, v, w ∈ Z, k ≥ 1. 2.2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" ành ngh¾a 2.2. B§t ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" câ d¤ng b ≤ a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + an x n ≤ c (15) n trong â c¡c h» sè ai , b, c ∈ Z, c¡c bi¸n sè xi ∈ Z, ∀i = 1, 2, . . . , n, a2i 6= 0. P C¡ch gi£i. Ta câ b§t ph÷ìng tr¼nh (15) t÷ìng ÷ìng vîi i=1 a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + an x n = m (16) 9
trong â m l tham sè, m ∈ Z, b ≤ m ≤ c. Nh÷ vªy vi»c gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh ÷ñc ÷a v· gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh (chùa tham sè) m chóng ta ¢ bi¸t c¡ch gi£i. V½ dö 2.5. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" 1 < 12x + 15y ≤ 10. (17) ¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (17) l x = −k + 5t y = k − 4t trong â k ∈ {1; 2; 3} , t ∈ Z. V½ dö 2.6. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" 12 < 6x − 18y + 54z ≤ 17. (18) ¡p sè: B§t ph÷ìng tr¼nh (18) væ nghi»m. V½ dö 2.7. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" −1 < 4x + 10y − 20z < 20. (19) ¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (19) l ( x = 3k − 1 5u + 5t y = k − 4u + 2t z = k − 5u + 2t trong â k, u, t ∈ Z, 0 ≤ k ≤ 9. V½ dö 2.8. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" −2 ≤ 6x + 8y + 2z + 4t ≤ 28. (20) ¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (20) l   x=  u y= v  z = k − 3u − 4v − 2w t= w  trong â k, u, v, w ∈ Z, −1 ≤ k ≤ 14. 10
2.3 Nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh X²t b§t ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + an x n ≤ c (5) vîi c¡c h» sè ai , c ∈ Z+ , c¡c bi¸n sè xi ∈ Z+ , ∀i = 1, 2, . . . , n. Khi â b§t ph÷ìng tr¼nh (5) luæn câ húu h¤n nghi»m nguy¶n d÷ìng x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Tø · b i, ta câ thº h¤n ch¸ i·u ki»n cõa c¡c bi¸n sè bði (c + ai ) − (a1 + a2 + . . . + an ) 1 ≤ xi ≤ , ∀i = 1, 2, . . . , n. ai Khi â, c¡ch ìn gi£n nh§t º t¼m nghi»m nguy¶n d÷ìng x = (x1 , x2 , . . . , xn ) cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (5) l ta cho mët bi¸n sè xi n o â l¦n l÷ñt ch¤y qua c¡c gi¡ trà câ thº câ cõa nâ v t¼m c¡c bi¸n sè cán l¤i tø b§t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho. V½ dö 2.9. T¼m nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 3x + 4y + z + 2t ≤ 14. (21) ¡p sè: B§t ph÷ìng tr¼nh (21) câ c£ th£y 12 nghi»m nguy¶n d÷ìng (x, y, z, t) bao gçm (1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 2) , (1, 1, 1, 3) , (1, 1, 2, 1) , (1, 1, 2, 2) , (1, 1, 3, 1) , (1, 1, 3, 2) , (1, 1, 4, 1) , (1, 1, 5, 1) , (1, 2, 1, 1) , (2, 1, 1, 1) , (2, 1, 2, 1) . 2.3.1 Mët sè v½ dö li¶n quan Ti¸p theo ta x²t mët sè v½ dö li¶n quan. V½ dö 2.10. T¼m nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" −1 < 4x + 10y − 20z < 20. (22) ¡p sè: Nghi»m nguy¶n d÷ìng têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (22) l ( x = 3k − 5l y= k + 2a z = k −l+ a 3k k trong â l, a ∈ Z, l < , a > − , l − a < k, k = 0, 1, . . . , 9. 5 2 11
B i to¡n 2.1. Mët tr÷íng håc câ 20 b¤n håc sinh giäi, trong â sè håc sinh giäi méi mæn To¡n, Lþ, Hâa, V«n t÷ìng ùng l 6, 8, 2, 4 b¤n. Häi câ bao nhi¶u c¡ch chia 28 qu£ cam cho 20 b¤n â sao cho çng thíi ta câ: i) Méi b¤n nhªn ÷ñc ½t nh§t 1 qu£ cam v sè cam nhªn ÷ñc l sè nguy¶n. ii) C¡c b¤n håc sinh giäi còng mæn håc th¼ nhªn ÷ñc sè cam nh÷ nhau. H¢y x¡c ành t§t c£ c¡c c¡ch chia cam sao cho têng sè cam m 20 b¤n nhªn ÷ñc l nhi·u nh§t. ¡p sè: B i to¡n câ 12 c¡ch chia cam, t÷ìng ùng vîi c¡c nghi»m nguy¶n d÷ìng (x; y; z; t) cõa h» tr¶n, cö thº l : (1; 1; 1; 1), (1; 1; 2; 1), (1; 1; 3; 1), (1; 1; 4; 1), (1; 1; 5; 1), (1; 1; 1; 2), (1; 1; 2; 2), (1; 1; 3; 2), (2; 1; 1; 1), (2; 1; 2; 1), (1; 2; 1; 1), (1; 1; 1; 3). °t S = S(x, y, z, t) = 6x + 8y + 2z + 4t. MaxS = 28 v t÷ìng ùng l 5 c¡ch chia cam thäa m¢n (x; y; z; t) ∈ {(1; 1; 5; 1), (1; 1; 3; 2), (2; 1; 2; 1), (1; 2; 1; 1), (1; 1; 1; 3)} . B i to¡n 2.2. Clara c¦n mua c£ hai lo¤i thüc ph©m l Pizza v Cola. Bi¸t gi¡ méi b¡nh Pizza l 57 USD v méi chai Cola câ gi¡ 22 USD. Häi Clara câ bao nhi¶u ph÷ìng ¡n chån mua hai lo¤i thüc ph©m tr¶n sao cho sè ti·n bä ra khæng v÷ñt qu¡ 399 USD. Tø â x¡c ành ph÷ìng ¡n mua m sè ti·n Clara bä ra l nhi·u nh§t. ¡p sè: Clara câ c£ th£y 41 ph÷ìng ¡n º mua h ng. Mua 5 b¡nh Pizza v 5 chai Cola th¼ Clara s³ bä ra sè ti·n nhi·u nh§t l 395 USD. B i to¡n 2.3. An c¦n mua c£ ba lo¤i vªt nuæi l Thä, M±o v Châ. Bi¸t gi¡ méi con thä l 16 çng, méi con M±o l 19 çng v méi con Châ l 25 çng. Häi An câ bao nhi¶u ph÷ìng ¡n chån mua c£ ba lo¤i vªt nuæi tr¶n sao cho sè ti·n bä ra khæng v÷ñt qu¡ 150 çng. Tø â x¡c ành ph÷ìng ¡n mua m sè ti·n An bä ra l nhi·u nh§t. ¡p sè: An câ c£ th£y 37 ph÷ìng ¡n º mua c£ ba lo¤i vªt nuæi tr¶n. Mua 3 Thä 4 M±o 1 Châ ho°c 5 Thä 1 M±o 2 Châ th¼ sè ti·n An bä ra nhi·u nh§t l 149 çng. 12
2.3.2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante d¤ng li¶n ph¥n sè Vîi m ∈ Z cho tr÷îc ta câ i) [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ] > m ⇔ a0 ≥ m, ai nguy¶n d÷ìng, tòy þ, ∀i = 1, 2, 3, . . . ii) [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ] < m ⇔ a0 ≤ m − 1, ai nguy¶n d÷ìng, tòy þ, ∀i = 1, 2, 3, . . . V½ dö 2.11. Gi£i c¡c b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante sau a0 ∈ Z, a1 , a2 , a3 ∈ Z+ . (25) [a0 ; a1 , a2 , a3 ] > 2 b0 ∈ Z, b1 , b2 ∈ Z+ . (26) [b0 ; b1 , b2 ] < 3 c0 ∈ Z, c1 , c2 , c3 ∈ Z+ . (27) 2 < [c0 ; c1 , c2 , c3 ] < 3 d0 ∈ Z, d1 , d2 , d3 , d4 ∈ Z+ . (28) −2 ≤ [d0 ; d1 , d2 , d3 , d4 ] ≤ 5 ¡p sè: a) Nghi»m cõa (25) l (a0 ; a1 ; a2 ; a3 ), trong â a0 ∈ Z, a0 ≥ 2, ai ∈ Z+ , ∀i = 1, 2, 3. b) Nghi»m cõa (26) l (b0 ; b1 ; b2 ), trong â b0 ∈ Z, b0 ≤ 2, bi ∈ Z+ , ∀i = 1, 2. c) Nghi»m cõa (27) l (c0 ; c1 ; c2 ; c3 ), trong â c0 = 2, ci ∈ Z+ , ∀i = 1, 2, 3. d) Nghi»m cõa (28) l (d0 ; d1 ; d2 ; d3 ; d4 ), trong â d0 ∈ Z, −2 ≤ d0 ≤ 4, di ∈ Z+ , ∀i = 1, 2, 3, 4. 13
Ch÷ìng 3 Mët sè b i to¡n li¶n quan Trong ch÷ìng n y, chóng ta s³ x²t mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n vi»c gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh. 3.1 Nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c V½ dö 3.1. ¸m sè nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh π cos x =0 2 trong kho£ng (−2015; 2015). ¡p sè: Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 2016 nghi»m nguy¶n x trong kho£ng (−2015; 2015). V½ dö 3.2. T¼m c¡c nghi»m nguy¶n (x, y) cõa h» ph÷ìng tr¼nh  π(2x + y) 1  sin =   6 2  cos π(x + y) = 1   3 2 Bi¸t x, y thuëc kho£ng (−6; 10). ¡p sè: H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 14 nghi»m nguy¶n (x, y) bao gçm (0, 5) , (6, 5) , (−2, −3) , (4, −3) , (−2, 9) , (4, 9) , (−4, −3) , (2, −3) , (−4, 9) , (8, −3) , (2, 9) , (8, 9) , (0, 1) , (6, 1) vîi x, y thuëc kho£ng (−6; 10). 14
3.2 Ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c câ i·u ki»n C¡ch gi£i. B÷îc 1: T¼m nghi»m têng qu¡t (x1, x2, . . . , xn) cõa ph÷ìng tr¼nh (h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh) l÷ñng gi¡c. B÷îc 2: Tø i·u ki»n cõa ph÷ìng tr¼nh (h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh) l÷ñng gi¡c ta h¤n ch¸ i·u ki»n cõa c¡c tham sè trong nghi»m têng qu¡t (x1 , x2 , . . . , xn ).  1  sin 2015x >  V½ dö 3.3. Gi£i h» b§t ph÷ìng tr¼nh  2  cos 445x ≤ 1 .   2  1  sin(2x + y) = 2  V½ dö 3.4. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh   cos(x + y) = 1   2 vîi i·u ki»n x − y ≥ 10π . ¡p sè: Câ 4 hå nghi»m (x;y) thäa m¢nπ · b i, bao gçm  π  x = − 6 + (a + t)2π   x=  2 + (b + t)2π , ,   y= π  y = − 5π +  + t2π t2π 2  6  π 7π  x= + (c + t)2π  x = 6 + (d + t)2π    2 ,  y=−π +  t2π  y = − 3π +  t2π  6 2 trong â a, b, c, d, t ∈ Z, a ≥ 6, b ≥ 5, c ≥ 5, d ≥ 4.  1  sin(2x + y) =  V½ dö 3.5. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh  2  cos(x + y) = 1   2 tr¶n o¤n [−6π; 6π] v thäa m¢n x − y ≥ 10π . ¡p sè: B i to¡n ¢ cho câ hai nghi»m (x; y) bao gçm 35π 11π 31π 11π ;− , ;− . 6 2 6 2 15
3.3 X¡c ành ph¥n thùc ch½nh quy thäa m¢n i·u ki»n cho tr÷îc ành ngh¾a 3.1. (Ph¥n thùc ch½nh n quy mët bi¸n, xem[5]) Cho ai > 0, αi ∈ R vîi ∀i = 1, 2, . . . , n. Khi â f (x) = ai xαi vîi x > 0 ÷ñc gåi l ph¥n thùc ch½nh quy P i=1 n (mët bi¸n x) n¸u ai αi = 0. P i=1 Chó þ 3.1. Ph¥n thùc ch½nh quy f (x) ¤t gi¡ trà nhä nh§t t¤i x = 1. ành ngh¾a 3.2. (Ph¥n thùc ch½nhnquy hai bi¸n, xem [5]) Cho ai > 0, αi, βi ∈ R vîi ∀i = 1, 2, . . . , n. Khi â f (x, y) = ai xαi y βi vîi x > 0, y > 0 ÷ñc gåi l ph¥n thùc P i=1 n n ch½nh quy (hai bi¸n x, y) n¸u ai βi = 0. P P ai αi = i=1 i=1 Chó þ 3.2. Ph¥n thùc ch½nh quy f (x, y) ¤t gi¡ trà nhä nh§t t¤i x = y = 1. Trong c¡c v½ dö sau ta x²t αi , βi ∈ Z. V½ dö 3.6. X²t ph¥n thùc ch½nh quy f (x) = xα1 + 2xα2 + 3xα3 + 5xα4 + 7xα5 . T¼m (α1 ; α2 ; α3 ; α4 ; α5 ) sao cho α1 + α2 + 2α3 + α4 − α5 > 4. (29) ¡p sè: α1 = −2m − a + 3b + 9c    α2 = m − a − 4b − 8c  α3 = a  α4 = b   α5 = c trong â m, a, b, c ∈ Z, m < −4. Ch¯ng h¤n vîi m = −5, a = 1, b = 2, c = −4 ta câ b i to¡n sau B i to¡n 3.1. Cho x l sè thüc d÷ìng tòy þ. Chùng minh r¬ng 7 1 2x18 + 5x2 + 3x + 4 + 21 ≥ 18. x x 16
V½ dö 3.7. X²t ph¥n thùc ch½nh quy f (x, y) = xα1 y β1 + 2xα2 y β2 + 3xα3 y β3 . T¼m (α1 ; α2 ; α3 ) v (β1 ; β2 ; β3 ) sao cho thäa m¢n çng thíi c¡c h» thùc sau α1 + 4α2 − 3α3 > 0, (30) β1 − 3β2 + β3 ≤ 3. (31) ¡p sè: (α1 ; α2 ; α3 ) = (−9m − 7a; 3m + 2a; m + a) , (β1 ; β2 ; β3 ) = (4n + 11b; n + 2b; −2n − 5b) trong â m, n, a, b ∈ Z, m ≥ 1, n ≥ −3. Ch¯ng h¤n vîi m = 1, n = −3, a = 1, b = 2 ta câ ph¥n thùc ch½nh quy y 10 5 3x2 f (x, y) = + 2x y + x16 y4 câ gi¡ trà nhä nh§t min f (x, y) = f (1, 1) = 6. a b N¸u thay x = , y = th¼ ta câ b i to¡n sau 2 2 B i to¡n 3.2. Cho a, b l c¡c sè thüc d÷ìng tòy þ. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc 64b10 a5 b 12a2 M= + + 4 . a16 32 b V½ dö 3.8. Cho h m ph¥n thùc ch½nh quy c f (x) = ax2 + bx4 + x2 vîi a, b, c l c¡c sè nguy¶n d÷ìng. T¼m bë sè (a, b, c) sao cho gi¡ trà nhä nh§t cõa f (x) khæng v÷ñt qu¡ 11. ¡p sè: Câ 7 bë sè (a, b, c) thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n, gçm (1, 1, 3) , (2, 1, 4) , (1, 2, 5) , (3, 1, 5) , (2, 2, 6) , (1, 3, 7) , (4, 1, 6) . Vîi (a,b,c) = (1,1,3) ta câ ph¥n thùc ch½nh quy 3 f (x) = x2 + x4 + . x2 √ Thay x bði x 3 ta ÷ñc b i to¡n sau 17
B i to¡n 3.3. Cho x l sè thüc d÷ìng thay êi. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc 5 1 f (x) = 2 − 4 − 9x2 . x x V½ dö 3.9. Cho h m ph¥n thùc ch½nh quy y3 x5 y f (x, y) = ax2 y + b +c 4 +d 3 x y x vîi a, b, c, d l c¡c sè nguy¶n d÷ìng. T¼m bë sè (a, b, c, d) sao cho 2a + b + 3c + 2d < 40. ¡p sè: Câ 2 bë sè (a, b, c, d) thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n, gçm (1, 2, 3, 5) , (4, 1, 4, 9) . Ch¯ng h¤n vîi (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 5) ta câ ph¥n thùc ch½nh quy 2y 3 3x5 5y f (x, y) = x2 y + + 4 + 3 x y x câ gi¡ trà nhä nh§t min f (x, y) = f (1, 1) = 11. b N¸u thay x = a, y = th¼ ta thu ÷ñc b i to¡n sau 2 B i to¡n 3.4. Cho a, b l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng b3 192a5 10b 2a2 b + + + 3 ≥ 44. a b4 a 18
K¸t luªn Sau mët thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H Nëi, ÷ñc c¡c th¦y cæ tªn t¼nh gi£ng d¤y v d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu, t¡c gi£ ¢ ho n th nh luªn v«n vîi · t i "B§t ph÷ìng tr¼nh Dio- phante tuy¸n t½nh". Luªn v«n ¢ ¤t ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau: 1. Tr¼nh b y ÷ñc mët c¡ch câ h» thèng nhúng ki¸n thùc cì b£n l m cì sð cho vi»c gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh (m thüc ch§t l ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh câ chùa tham sè). 2. ÷a ra ÷ñc hai c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh. L§y â l m cì sð º ÷a ra c¡ch gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh công nh÷ b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n". 3. T¼m tái, ÷a ra mët sè d¤ng to¡n li¶n quan ¸n vi»c gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh, câ thº dòng cho vi»c æn thi håc sinh giäi r§t húu ½ch. M°c dò trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, t¡c gi£ ¢ r§t cè gng song chc chn luªn v«n v¨n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n gâp þ cõa c¡c th¦y cæ v b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Xin ch¥n th nh c£m ìn! 19