Tổng hợp các bài toán đại số ôn thi HSG Quôc Gia

Chia sẻ: Nguyen Chau | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

136
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Baì 1. Cho trươć số nguyên tô ́ p và số nguyên dương a với 1

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp các bài toán đại số ôn thi HSG Quôc Gia

Tông hợp cac bai toan đai số ôn thi HSG Quôc Gia ̉ ́ ̀ ́ ̣ ́ Người soan : Vũ Minh Hoang 11A-THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̣ ̀ ̀ Bai 1. Cho trước số nguyên tố p và số nguyên dương a với 1 < a ≤ p-1. Giả sử ̀ A= a. Chứng minh răng với moi ước nguyên tố q cua A ta đêu có q-1 chia hêt cho p. ̀ ̣ ̉ ̀ ́ Bai 2. Tim số tự nhiên n lớn nhât sao cho số 1995 băng tông cua n số a, a, a..., a ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ̉ trong đó cac số a (i=1,2,...,n) đêu là hợp sô. ́ ̀ ́ Bai 3. Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thoả man: ̀ ̃ abc=1 và + + = + + Chứng minh răng it nhât môt trong 3 số a,b,c là binh phương cua 1 số hữu ti. ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̉ Bai 4. Cho day số (b), (n=1,2,...) được xac đinh bởi: b=0; b=14; b=-18 và ̀ ̃ ́ ̣ b = 7b - 6b với moi n ≥ 3. ̣ Chứng minh răng với moi số nguyên tố p ta đêu có b chia hêt cho p. ̀ ̣ ̀ ́ Bai 5. Giai phương trinh nghiêm nguyên ̀ ̉ ̀ ̣ 4y = 2 + 199 − x − 2 x 2 Bai 6. Tim tât cả cac số tự nhiên a để phương trinh ̀ ̀ ́ ́ ̀ x - ax+a+1=0 có nghiêm nguyên. ̣ Bai 7. Chứng minh răng với moi số tự nhiên n (n ≥ 2) ta đêu có ̀ ̀ ̣ ̀ C.C chia hêt́ cho 4. Bai 8. Tim cac số tự nhiên m,n để A = 3 +4 là số nguyên tô. ̀ ̀ ́ ́ Bai 9. Tim cac nghiêm nguyên (x ; n) cua phương trinh ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ 1 1 x + x+ + x+ = n. 2 4 Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 10. Cho p là số nguyên tô. Chứng minh răng với moi số m nguyên không âm bât ̀ ́ ̀ ̣ ́ ki, tôn tai môt đa thức Q có hệ số nguyên sao cho p là ước chung lớn nhât cua tât cả ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̉ ́ cac số ́ a = (p+1) +Q với n=1,2,3,... Bai 11. Cho day số nguyên (a), (n=0,l,2,...) thoả man ̀ ̃ ̃
a + a = 2(a + a) với n=1,2,... Chứng tỏ răng tôn tai số nguyên M không phụ thuôc vao n sao cho M+4a.a là số ̀ ̀ ̣ ̣ ̀ chinh phương với moi n ∈ N. ́ ̣ Bai 12. Cho A có 1997 chữ số trong đó có 1996 chữ số 5 và môt chữ số khac 5. Hoi ̀ ̣ ́ ̉ A có thể là số chinh phương hay không? ́ Bai 13. Cho day số (a), (n=1,2,...) được xac đinh bởi ̀ ̃ ́ ̣ a = 1, a = 3, a = (n+2)a - (n+1)a ∀ n ≥ 2. Tim tât cả cac giá trị cua n để a là số chinh phương. ̀ ́ ́ ̉ ́ Bai 14. Chứng minh răng nêu môt câp số nhân có n số hang (n ≥ 3) là cac số tự ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ́ nhiên phân biêt và công bôi cung là môt số tự nhiên thì tông cua tât cả n số hang đó ̣ ̣ ̃ ̣ ̉ ̉ ́ ̣ không thể là luỹ thừa cua 5. ̉ Bai 15. Giai phương trinh nghiêm nguyên ̀ ̉ ̀ ̣ xy - x - 8y = 2xy Bai 16. Xet day số hữu tỉ (a), (n=1,2,...) thoả man ̀ ́ ̃ ̃ a = 3a - 2 ∀ n ≥ 1. Tim tât cả cac số hữu tỉ a để tôn tai cac số m,n phân biêt thoả man a = a. ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ̃ Bai 17. Tim cac số nguyên tố x, y thoả man phương trinh ̀ ̀ ́ ̃ ̀ [] + [] + ... + [] = y Bai 18. Giả sử x và y là hai số nguyên dương sao cho x + y + 6 chia hêt cho xy. ̀ ́ Chứng minh răng là lâp phương cua môt số tự nhiên. ̀ ̣ ̉ ̣ Bai 19. Cho cac số không âm x, y, z thoả man x+y+z=1, và n ∈ N. Tim giá trị lớn ̀ ́ ̃ ̀ nhât cua biêu thức ́ ̉ ̉ P = xy + yz + zx. Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 20. Chứng minh bât đăng thức sau với a, b, c là cac số dương ̀ ́ ̉ ́ + + ≥ Bai 21. Chứng minh bât đăng thức ̀ ́ ̉ + + ≤ Bai 22. Giai hệ phương trinh ̀ ̉ ̀
Bai 23. Chứng minh bât đăng thức sau với n ≥ 5: ̀ ́ ̉ 1,71 < 1 + + +...+ < 1,72. Bai 24. Tim tât cả cac đa thức P với cac hệ số thực và thoả man: ̀ ̀ ́ ́ ́ ̃ P = 0, P = P + 1, với moi x ∈ R ̣ Bai 25. Cho ham số ϕ : R → R, đăt A = {x ∈ R, ϕ = x}; A = {x ∈ R, ϕ(ϕ) = x} ̀ ̀ ̣ Giả sử A\A là môt tâp hợp hữu han và tôn tai ham số f: R → R thoả man ̣ ̣ ̣ ̀ ̣ ̀ ̃ f(f) = ϕ ∀ x ∈ R. Chứng minh răng số phân tử cua A\A là môt số nguyên chia hêt cho 4. ̀ ̀ ̉ ̣ ́ Bai 26. Cho a, b, c, d, e, f là 6 số thực thoả man ̀ ̃ ab + bc + cd + de + ef = 1. Chứng minh răng a + b + c + d + e + f ≥ ̀ Bai 27. Hay tim cac giá trị x, y, z, t để biêu thức ̀ ̃ ̀ ́ ̉ A = (x-y) + (y-z) + (z-t) + (t-x) Đat giá trị nhỏ nhât, trong đó 4 số x, y, z, t là cac số 1930, 1945, 1975, 1995. ̣ ́ ́ Bai 28. Cho day (a), (n=0, 1, 2,...) được xac đinh như sau ̀ ̃ ́ ̣ a = , a = a(4a - 10a +5) ∀ n=0, 1, 2,... Tim số hang tông quat a ̀ ̣ ̉ ́ Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 29. Tim nghiêm dương cua hệ phương trinh ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ Bai 30. Giai phương trinh ̀ ̉ ̀ 729x + 8 = 36 Bai 31. Giả sử a, b, c là ba số dương, n ∈ N, n ≥ 2. Chứng minh răng ̀ ̀ + + >. Bai 32. Tim tât cả cac ham số f: R → R thoả man ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̃ f((x+1).f(y)) = y(f(x)+1) ∀ x, y ∈ R. Bai 33. Tim tât cả cac giá trị cua m để hệ phương trinh ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̀ có năm nghiêm. ̣ Bai 34. Xet song anh f: N → N, chứng minh răng tôn tai vô số bộ (a, b, c) ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣
với a, b, c ∈ N thoả man điêu kiên a < b < c và 2f(b) = f(a)+f(c). ̃ ̀ ̣ Bai 35. Cho đa thức f(x) = x + 4x - 2x - 12x + 1. ̀ ̃ ́ ̉ Hay tinh tông S = Ở đó n là số nghiêm và x là cac nghiêm cua đa thức f(x). ̣ ́ ̣ ̉ Bai 36. Cho ba số thực a, b, c thoả man điêu kiên a + b + c = 2. Chứng minh răng: ̀ ̃ ̀ ̣ ̀ 1, |a+b+c-abc| ≤ 2 2, |a + b + c - 3abc| ≤ 2 Bai 37. Cho cac số dương a, b, c và cac số x, y, z thoả man điêu kiên ̀ ́ ́ ̃ ̀ ̣ Chứng minh răng a(x+b) + b(y+c) + c(z+a) < 1. ̀ Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 38. Tim hăng số dương C nhỏ nhât sao cho với n số dương bât kì a, a,..., a. ̀ ̀ ̀ ́ ́ ta đêu có ̀ + +...+ < C( + + ... + ). Bai 39. Tim giá trị lớn nhât cua biêu thức ̀ ̀ ́ ̉ ̉ F= + + + Với a, b, c, d ∈ [0;1] Bai 40. Cho hai đa thức có hệ số thực P(x) và Q(x), trong đó P(x) là đa thức bâc ba ̀ ̣ tuỳ y, Q(x) là tam thức bâc hai không có nghiêm thực. Chứng minh răng nêu đồ thị ́ ̣ ̣ ̀ ́ ham số y = có ba điêm uôn thì ba điêm uôn cua nó năm trên môt đường thăng. ̀ ̉ ́ ̉ ́ ̉ ̀ ̣ ̉ Bai 41. Cho 2n số a, a,..., a, b, b,..., b thoả man: ̀ ̃ 1, a ≤ a ≤ ... ≤ a 2, b ≥ 0, (i = 1, 2,..., n). ̣ Đăt m={a - a; a}, M = {b}. Chứng minh răng̀ M(ab + ab + ... + ab) ≥ (b + b + ... + b). Bai 42. Cho day số thực (x), (n = 1, 2, ...) được xac đinh như sau : ̀ ̃ ́ ̣ x = 2; x = với moi n ≥ 1. ̣ Chứng minh răng < x < 2 với moi n ≥ 1 ̀ ̣ Bai 43. Hay xac đinh tât cả cac bộ ba số thực (a, b, c) sao cho ham số ̀ ̃ ́ ̣ ́ ́ ̀ f(x) = ax + bx + cx + 1 có tinh chât |f(x)| ≤ 1 với moi x ∈ [-1; 1] ́ ́ ̣
Bai 44. Cho 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. Chứng minh răng ̀ ̀ + + + ≤ 1+ Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 45. Biêt răng đa thức f(x) = x + ax + ax + ... + ax + a ̀ ́ ̀ có 2000 nghiêm thực khac nhau và a = 1995, a = 1997. ̣ ́ Chứng minh răng |a| > 1996. ̀ Bai 46. Cho số nguyên dương n. Chứng minh răng : ̀ ̀ + + ... + < Bai 47. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả man x + y + z = 3. Tim giá trị lớn nhât ̀ ̃ ̀ ́ cua biêu thức ̉ ̉ F=x+y+z Bai 48. Cho x, x,..., x là n số thực thuôc đoan [0; 1]. Chứng minh răng ̀ ̣ ̣ ̀ x(1 - x) + x(1 - x) + ... + x(1 - x) + x(1 - x) ≤ Bai 49. Day số (a), (n = 1, 2,...) được xac đinh như sau ̀ ̃ ́ ̣ a = 1, a = a + với moi n ≥ 1. ̣ Tim tât cả cac số thực α sao cho day số (u), (n = 1, 2,...) xac đinh bởi u = (n ≥ 1) ̀ ́ ́ ̃ ́ ̣ là hôi tụ và giới han cua nó khac 0. ̣ ̣ ̉ ́ Bai 50. Cho cac day (a) và (b), n ∈ N được xac đinh như sau ̀ ́ ̃ ́ ̣ a = 1 + + ... + . b = với moi n ∈ N. ̣ ̀ Tim b. Bai 51. Chứng minh răng với moi số nguyên dương n cho trước thì phương trinh ̀ ̀ ̣ ̀ x=x+1 có đung môt nghiêm thực. Goi nghiêm ây là x, hay tim giới han cua x khi n→ +∞. ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ̃ ̀ ̣ ̉ Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 52. Cho phương trinh x - x + 3x - 3x + 1 = 0. ̀ ̀ a, Chứng minh răng phương trinh trên có đung môt nghiêm thực. ̀ ̀ ́ ̣ ̣
b, Đăt x = 1 và ̣ x = với moi n ∈ N. ̣ Chứng minh răng day số (x) có giới han khi n → +∞ và khi đăt x = -lim x thì x là ̀ ̃ ̣ ̣ nghiêm thực noi trên. ̣ ́ c, Dung may tinh bỏ tui hay tinh gân đung nghiêm thực noi trên đên hai chữ số thâp ̀ ́ ́ ́ ̃ ́ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̣ phân. Bai 53. Giả sử S = , biêt răng = . ̀ ́ ̀ Tinh ́ Bai 54. Cho day số (x), (n = 1, 2, ...) thoả man 1 < x < 2 và x = 1+ x - ̀ ̃ ̃ Với moi n ≥ 1. Chứng minh răng day số (x) hôi tụ và hay tim giới han cua nó khi ̣ ̀ ̃ ̣ ̃ ̀ ̣ ̉ n → +∞. Bai 55. Cho ham số f(x) liên tuc trên [0; 1], có đao ham trong (0; 1) và f(0) = f(1) = 0. ̀ ̀ ̣ ̣ ̀ Chứng minh răng tôn tai môt số c ∈ (0; 1) sao cho f(c) = 1996f '(x). ̀ ̀ ̣ ̣ Kêt luân cua bai toan có thay đôi không nêu cho f(0)=f(1)=m, với m là số thực khac ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ́ ́ 0 cho trước. Bai 56. Tim tât cả cac ham số f: R→ R thoả man điêu kiên |f(x)-f(q)| ≤ 5(x-q) ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̃ ̀ ̣ với moi q ∈ Q, moi x ∈ R. ̣ ̣ Bai 57. Cho m là số thực dương. Với môi n nguyên dương, day số thực (a), (i=0, ̀ ̃ ̃ 1,...,n) được xac đinh như sau ́ ̣ a = 1, a = a với i=0, 1, ..., n-1. 1, Chứng minh răng nêu m ≤ 1 thì a > với moi n ∈ N. ̀ ́ ̣ 2, Giả sử n > 1. Chứng minh răng̀ a, a < với moi n ∈ N ̣ b, a = . Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀ Bai 58. Cho day (a), (n = 1, 2, ...) thoả man ̀ ̃ ̃ a = a; a = với moi n ∈ N. ̣ Chứng minh răng nêu |a| ≥ 2 thì day (a) hôi tụ và tinh giới han cua day khi n → +∞. ̀ ́ ̃ ̣ ́ ̣ ̉ ̃ Bai 59. Cho day số (b), (n = 1, 2, ...) được xac đinh bởi: ̀ ̃ ́ ̣ b = , b = với moi n ≥ 1. ̣ Chứng minh răng day (b) là day hôi tụ và hay tim giới han cua day khi n→ +∞. ̀ ̃ ̃ ̣ ̃ ̀ ̣ ̉ ̃
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh ̀ ̀