Ố Ứ
Ổ
T NG ÔN S PH C
Ầ
Ắ
Ọ
Ứ
Ữ
CÁC CÔNG TH C QUAN TR NG C N N M V NG
2
2
2
2
2
2
2
= + = + = z . z z z 1 z z . 1 z 1 z 1 z z . 1 z z . 1
2
2
= z = - = z z z= .z z z 1 z z 1 z
2
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
+ - z z z z z 1 = = = = . z z Re , Im z z . 1 z z . 1 z z . 1 z 2
)
(
)
{
}
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+ + - £ - £ - £ £ - £ £ 2 ( z z z z z z z z z z Re , Im z 1 z 2 + z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
= +
(
)
ề
ệ
ỏ
th a mãn đi u ki n
Đ t ặ
M nhệ
a bi
2
2
= - - z P b a + = 4 z 2 . 8 12.
ố ứ z i đây đúng? ) 2
) 2
.
.
.
.
- - - -
) 2
) 2
A.
B.
C.
D.
Câu 1. Cho s ph c ướ ề đ nào d ( z=
P
( z=
( z=
P P
( z=
P 2 4 4 2
Ứ
Ặ
Ệ
(THPT Đ NG THÚC H A NGH AN)
2
2
2
)
( a bi a b
= + = + = ˛ (cid:222) - (cid:222) - ¡ z z b a , 4 2 abi . 4
ờ ả i L i gi + 2 2 abi b 2
Cách 1. Đ t ặ
2
2
2
2
2
2
(
)
ả
ế
Khi đó, gi
thi
t
2
2
2
2
2
2
(cid:219) - + + 2 a ) z z z ( + a a + b + = 4 2 4 4
) 2
)
(
2
2
4
2
2
+ + (cid:219) - - b ( = 2 2 a b ( + 4 ) a b a = a b 8
(
)
( + a
) + = 2 b
2
2
2
(cid:222) - - - + 16 4 ( = P + 2 a b 4 2 4 4
2 + = z 4 )
(
ừ ả
ế
thi
t, ta có
Cách 2. T gi
2 = z
2
2
2
+ = (cid:219) z ) ( + 2 z + 2 z z b ) 2 . ) = 4 4 4 2 4 z z 4 .
)
2
2
2
2
2
2
2
(cid:219) (cid:219) - - z ( ( z ) + 2 z + 2 z z z + 2 2 z z . 4 z z . + 12 4
(
(
+ (cid:219) - - (cid:219) - - - = z z 16 4 . ) ( + = - z z 4. . ( 4 )
(
( )
2
2
2
z z z z 4 ) = - 2 z z . + 12 4 2
(
) 1 . ) 2 .
2
2
2
(
= + + (cid:222) - = 12 4 ( z ) fi = - z z z a
Đ t ặ T ừ (
= - - - a bi ( = 2 ) z a bi ) ) 1 , 2 suy ra 2 ( P b a z
ọ Ch n D.
8 = 12 b ) 2 2 .
ố ứ
ề
ệ
ỏ
th a mãn đi u ki n
Câu 2. Cho các s ph c
2
2
+ = = / = / . 0 z 1 z 20, 1 + 1 z z 2 z 1 z 1
ứ
ể
ị ủ Tính giá tr c a bi u th c
2
A.
D.
C. 2.
= + P . z 1 z z 2 z 1
B. 2.
. 1 2 3 2 2
Ứ
Ặ
Ệ
(THPT Đ NGTHÚC H A NGH AN)
(
)
.
) ( + 2
2
Cách 1. Ta có
+ z 1 + = z = 2 + = (cid:219) (cid:219) z z 2 z 1 z 1 z z 1 2 1 +
ờ ả L i gi i 1 +
2
2
2
(
(
) 2 = (cid:219)
ho c ặ
.
) 2 + z 1
2
2
2
2
2
1 z z z 2 z 1 z 1 z 1 2 z z 1 2 2 (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) = - - = - (cid:219) i 1 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) z i 2. 2. 0 2. 2 0 1 + z z 1 2 z 1 z Ł ł Ł ł z + 1 z z + = (cid:219) 1 z z 1 z
Khi đó
2
1 = + P = - + i 1 + 2 . - - z 1 z i i = - + i 1 1 1 = 1 3 2 2 1 = 2 z 2 z 1
Cách 2. Ch n ọ
- i 1 = = = (cid:222) (cid:222) (cid:222) i z P 2 .
ọ Ch n D.
2
2
2
2
z 1 2 = (cid:222) + i 1 = z 1 + z i z 1 z 2 3 2 2
(
2
) 1
ố ứ
ỏ
th a mãn
ố ứ . S ph c
có môđun là
Câu 3. Cho s ph c
z „
0
A. 9.
B. 26.
C. 6.
- iz z = = w iz z + i 3 + 26 9 i 1
Ộ
Ạ
D. 5. Ồ (THPT PH M H NG THÁI HÀ N I)
2
2
)
)
( +
(
)
ả
( yi x y
) ( + i
Đ t ặ
, khi đó gi
thi
2
2
2
˛ (cid:219) - - ¡ z = + x x x y , i 3 1 .
ế t (
) ( 1 (
) = + yi )
= - + (cid:219) - - - - - xi y - + xi y x x = y + y
ờ ả L i gi i ( + yi i x ) + x i
2
+ 2 x y x y i 3 3 4 2 .
(
)
( +
) 1
) = (cid:219) = y x 0
. L y ấ (
, ta đ
c ượ
2
)
( (
(cid:236) - - (cid:239) x + 2 x y yi ) 1 (cid:222) - - - - - (cid:237) x y x 2 4 2 y 5 . + 2 - (cid:239) = y 4 + = x y x y 2 2 (cid:238)
2
(
ươ
Th ế
vào ph
ng trình
)1 , ta có
Ø y = (cid:222) = x 0 0 Œ = - (cid:219) y y y= 5x 26 9 . Œ = - y x º 9 (cid:222) = - 26 45 26
V y ậ
(cid:230) (cid:246) = - = = - (cid:222) - - (cid:231) (cid:247) z = + x yi i w i i i 1 5 26.
ọ Ch n C.
ề
ệ
ỏ
ấ ủ
ị ớ
ể
ố ứ z th a mãn đi u ki n
ứ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
Ł ł 45 26 9 26 26 9 45 26 9 = - 26
Câu 4. Cho s ph c
2.
- z - = 1 = + + - z i z T 2
B. max
D. max
A. max
C. max
L i gi
T = T = 4. 8. T = i . T = 8 2. 4 2. (THPT CHU VĂN AN HÀ N I)Ộ
ờ ả i
2
)
(
Đ t ặ
, ta có
) 2 = 1
2
2
˛ + (cid:219) (cid:219) - z = + x z - + x yi x y - = 1 2 = 1 2 2
( yi x y , (
(
)
+ 2 + 2 (cid:219) - - * y x y x 2 2 2 1
(
ạ
( + y
L i có
2
2
2
2
2
2
- x = + + - i z z T y i ¡ ) = (cid:219) + 2 y 1 - = + x i 2 = (cid:219) + + 2 x x 1 2 ) + - + x i 1 2 = ) 1
2 +
(
)
(
) 1
) 2 = 1
+ + = + - - - - y x y + x + y + x y + x y 2 4 5
)
ế ợ
c ượ
) + + y 2
* + - - - 2 ( x ớ ( K t h p v i T x y x x y 2 2 + + 2 6 2 + 2 2
[
)
( ) , ta đ = + , khi đó y
Đ t ặ t
v i ớ
- = = - = ( x = y 2 t ˛ + + y 2 1 ( + x 2 ]1;1 . T f t t 6 2 t 2
(
)
(
)
(
( = t
) 1
Ta có
= = - t f t f f f ' + + 2 ) = (cid:219) = (cid:222) t 0 ' ; 1 4
ọ . Ch n B.
max
- 1 + t 2 2 1 t 6 2
(
) i z
) z i
( + 4 3
ủ ố ứ z bi
t ế
.
Câu 5. Tìm môđun c a s ph c
- z - = + 1 4
A.
B.
C.
D.
z = z = z = 1. 4. 2. z = . 1 2
Ở
Ị
(S GD&ĐT NAM Đ NH)
ờ ả i +
(
(
)
(
)
ừ ả
ế
L i gi zi i 3 4
) + + = i z 1 3
thi
t, ta có
Cách 1. T gi
- - (cid:219) - * z + z i z z z i - = 4 4 4
)
(
)
(
)
ấ
2
2
2
= * - z z i + i 1 3 + + 4
ế ủ ( L y môđun hai v c a (
, ta đ (
c ượ )
(
)
2
2
+ (cid:219) - (cid:219) - z ) 4 ( z = z + z z 4 10 4 4
) 2 + 4 (
2 = z
2 = z
= (cid:219) - (cid:219) (cid:219) = + i . 1 3 ( z ) + z z z 10 + z ) 2 + 4 4 8 = (cid:222) 32 2.
(
ế
ố Cách 2. Ta bi n đ i
) i z
) (cid:219) = z i
( + 4 3
+ - 4 ( 1 4 - z z - = + 1 4
ọ z Ch n C. ) + i i z 4 + i 1 3
ử ầ ượ ớ
Th l n l
(lo i).ạ
( 4 1
- 1 (cid:0) 4 = - (cid:222) „ z z = fi = z 1 1 85 5
(lo i).ạ
( 2 1
(ch n). ọ
ấ t v i các đáp án, ta th y + + - i i 4 + i 1 3 ) + + - i i 4 + i 1 3 ) + + - i i 4 + i 1 3
(cid:0) i 5 3 = - + i 1 3 4 = (cid:222) „ z = i z = fi = z 4 1 2 9 = i 5 5 4 12 5 5 4 10 5 - 4 = (cid:222) (cid:0) z z = fi = z 2 = i 2 2 8 = - + i 1 3 i 6 2 = - + i 1 3
ố ứ
ố ự
ả
ố ự
sao cho z không ph i là s th c và
là s th c. Tính
Câu 6. Cho s ph c
2
ứ
ị ể giá tr bi u th c
2 .
= w z „ 0 z + z 1
z z+ 1
A.
B.
D.
C. 2.
. . . 1 5 1 2 1 3
Ố
Ọ
Ế (THPT CHUYÊN QU C H C HU )
L i gi
ờ ả i
ố ự
ố ự là s th c
ố ự là s th c.
ư Cách 1. T duy nhanh.
2
Mà d th y
2
ễ ấ z
2
fi w là s th c fi + z 1 z 1 w z = z = (cid:219) z z = (cid:219) z z . 1 = (cid:222) 1 1 . z+ là s th c nên ố ự + 1 = (cid:219) z 1 2 z 1
)
(
ế
ổ Cách 2. Ta có bi n đ i
2
2
2
2
= (cid:219) - (cid:219) + z = + 2 z - = z z z z z z . z z . z z . . z + z 1 Ø z z 0 z = (cid:219) (cid:219) z = (cid:219) z z . = (cid:222) 1 1 . Œ z + 1 - = z = + º 1 z z . 1 2 z 1
(
) 2 = (cid:219) = (cid:222) 1
Cách 3. Ch n ọ
z = = (cid:219) - w z z z 0 = (cid:222) 1 = 1 .
ọ Ch n B.
2
2
ố ứ
ể
ễ
ố
z + + z 1 1 2 1 2 z 1
ố ứ z và s ph c liên h p c a nó có đi m bi u di n là ợ ủ ể
ợ ủ
ể
ố
ế ằ
Câu 7. Xét s ph c ứ và s ph c liên h p c a nó có đi m bi u di n l n l
ể ,N N ¢ . Bi
ữ ậ
ấ ủ
ủ
ỏ
ị
t là 5
ỉ đ nh c a hình ch nh t. Tìm giá tr nh nh t c a
¢ ¢ ,M M ¢ . S ph c z M M N N , , , t r ng i+ ứ (4 3 ) là b nố - z
A.
B.
C.
D.
ễ ầ ượ i+ 4 1 2
(THPT CHUYÊN LÀO CAI)
L i gi
. . . . 2 5 4 13 1 2
ờ ả i
)
)
)
(
( M x y
) i z
) y i
( M x ; '
G i ọ
và (
)
( N x 4 ( ' 4
- (cid:236) (cid:239) + x y y 3 ;3 4 = fi - - (cid:222) (cid:237) y x + y + x ; + 4 3 4 3 3 4 - - - (cid:239) N x x y y 3 ; 3 4 (cid:238)
ễ ấ D th y
vì cùng vuông góc v i ớ Ox nên đ ể
ữ ậ MM N N là hình ch nh t.
MM NNP ' ' ' '
2
2
(
)
(
)
ỉ
Khi và ch khi
2 +
(cid:236) (cid:239) + - - (cid:237) (cid:222) + = (cid:222) = - z y x (cid:222) + x xi - = z x x 0 ' i 4 5 5 4 ' (cid:239) (cid:238) = MM NN ' ' = MN M N P MN Ox
)
(
(
) 2 = 4
) 2 + ‡ 9
Ta có (
- - - - x x x z 5 2 = i 4 5 .
ọ Ch n C.
min
2
1 2 1 1 (cid:222) + 2 2 1 2
ủ ố ứ z , bi
t ế
.
Câu 8. Tính môđun c a s ph c
.
.
.
B.
C.
D.
A. 2 .
- z = + + iz 0 - z z 1
(THPT YÊN MÔ A NINH BÌNH)
L i gi
i i 1 3 1 9 13 3
ờ ả i
2
(
) (
)
2
ả
ế
ễ ấ D th y
, khi đó gi
thi
t
2
+ - - i i 1 z z = (cid:219) = + + iz z + + iz z 0 0 z (cid:219) = z z z . - i = (cid:219) i 2 (cid:219) * iz z i
( )
( yi x y
) ( = - x
Đ t ặ
suy ra z
˛ * (cid:219) + iz 2 ) z 1 ) + = - z i 1 3 ( + yi ¡ z = + x 1 ) + - yi x yi , i 3 z ) ( + 1 1. z + + - + - = (cid:219) i i z 0 2 , do đó ( = - x
i = (cid:236) x = (cid:236) (cid:239) x 3 0 + (cid:219) - (cid:219) - (cid:222) (cid:219) (cid:237) (cid:237) xi + - yi x = - x yi i x y xi i 3 + + y 3 1 2 = - 3 3 1 - = (cid:238) x = - y 2 3 1 y (cid:239) (cid:238) 0 .1 3
V y ậ
z = z .
ọ Ch n C.
i = (cid:222) 3 i = 3 1 3
(
ỏ
ệ
ề
ố ứ z th a mãn
. M nh đ nào sau đây đúng?
Câu 9. Xét s ph c
) i z
= i + 1 2 - + 2 10 z
A.
D.
L i gi
z > . 2 z< z< 2 < . B. < . C. 1 2 3 2 3 2 1 z < . 2 (THPT NHÂN CHÍNH HÀ N I)Ộ
ờ ả i
(
(
ừ ả
ế
thi
t, ta có
Cách 1. T gi
) i z
) + - = i z 2
= + i i + 1 2 - + (cid:219) 2 1 2 10 z 10 z
(
)
(
) 1
2
2
(cid:219) (cid:219) - * + z i + + z i + - = z i 2 2 2 = z 2 10 z
)
)
( +
)
(
ấ
) 1
ế ủ ( L y môđun hai v c a
c ượ (
, ta đ
2
2
2
2
= * * (cid:219) - z z . + 2 2 10 z 10 z
2 =
(
)
(
)
Đ t ặ t
, ta có
) 1
( + t 5
ậ
V y môđun c a s ph c
ủ ố ứ z b ng ằ
+ + + - = (cid:219) = 4 - (cid:219) (cid:219) z= t t t t t 2 t 2 = 5 10 2 0 1. 10 t
ướ
ử ụ
ể
< z 1 .
t
ế ở câu 26) đ tìm
.z 1 3 (cid:222) < 2 2 ng d n chi ti
Cách 2. S d ng máy tính casio ( h ) = +
ứ
ẳ
( a bi a b
ẫ z=
và c
, thay vào đ ng th c đã cho thì
Cách 3. Đ t ặ
˛ ¡ z ,
(
(
) = i c
) i c
( + 1 2
) a bi - + 2 c
- 10 (cid:219) Gt + i i - + (cid:219) 2 = 1 2 2 10 + a bi (cid:230) (cid:246) b a (cid:219) - - (cid:231) (cid:247) i c 2 + c 2 1 0 (cid:231) (cid:247) 10 = 2 c 10 + + 2 c Ł ł
2
2
(
2
2 =
) =
Suy ra
nên (
)
( + -
)
4
(cid:236) (cid:236) a a + = - (cid:239) (cid:239) c 2 0 + = c 2 10 2 10 2 + (cid:239) (cid:239) a b 10 c c (cid:219) (cid:237) (cid:237) + c c 2 1 2 (cid:239) (cid:239) b b c 10 2 c + - = - c 2 1 0 = c 1 2 (cid:239) (cid:239) 10 2 (cid:238) (cid:238)
ả
Gi
i ra ta có
mà
< c c = – 1 1 z = . Do đó z< .
ọ Ch n B.
10 c 1c = hay c > nên 0 1 2 3 2
ố
ị ớ
ủ
ổ
ỏ
ị
ứ z th a mãn ỏ
ấ ủ z
Câu 10. Cho s ph c
D. 5.
là A. 3.
B. 5.
C. 13.
+ z 3 = . T ng c a giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a ấ 1 z
Ẻ Ầ
Ọ
Ổ
(TOÁN H C & TU I TR L N 8)
L i gi
ờ ả i
Ta có
2 1 = z
2
4
2
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:219) a = + z = + 2 a z + z + z (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) Ł ł Ł ł 1 z 1 z
2 +
(
)
(
2
2
+ + + - 1 z ) 2 z z z z z 2 1 = + + = z . z 2 1 2 z z z
4
2
2
)
(
( + z
) + = - 2 1
.
Khi đó
2
Ø ø + 2 + 2 - + a + a 4 4 + 2 - £ (cid:222) ˛ Œ œ z z a z z ; . 0 Œ œ a 2 a 2 º ß
V y ậ
+ + + 2 a - + a 4 4 = = (cid:222)
ọ Ch n C.
z z = + M m max ; min + = 2 a 4 13. a 2 a 2
ỏ
ệ
ề
ướ
ố ứ z th a mãn
. M nh đ nào d
i đây đúng?
Câu 11. Xét s ph c
- + - £ z z i 2 1 3 2 2
A.
B.
C.
D.
< < z > 2. z< z < z< 2. . . 3 2 1 2 3 2
Ẻ Ầ
Ọ
Ổ
1 2 (TOÁN H C & TU I TR L N 8)
ử ụ
ấ ẳ
‡ - + u .
)
‡ ‡ - - - u v (
ờ ả L i gi i + ‡ u v )
Cách 1. S d ng b t đ ng th c s ph c, ta có + - z
Khi đó
.
z i i - + z - = z z i z i i 1 3 2 2 2 v + - z 1 2
.
ứ ố ứ ( - + - z 2 1 (cid:222) = (cid:222) z i
= + - (cid:219) - £ z i - + - = i z z z i 2 1 2 2
ọ
ể
ả ử ể
) ;M x y .
Cách 2. S d ng hình h c, gi
˛ 1 ) ¡ i ( yi x y z ,
ể
ể
ễ
ễ
s đi m ( A x
( ) 1
ố ứ S ph c
ể có đi m bi u di n là
.
, z
- - i
(
(
Ta có
.
ử ụ 1z - - + z
ễ ể có đi m bi u di n là ( B x y - ; = AB
) 1
+ = - £ (cid:219) £ - (cid:222) i z = 0 = + x )1; y OB 2 2. 2
ể có đi m bi u di n là uuur ) AB 1; 1 )
vì (
ặ
M t khác
1 3 + 3. + 2. + AB + ‡ 2 2 ( = OA OA ) OA OB OB OB AB OB 2. 2. 3. 2. 2
(
(
) (cid:222) = 0;0
T ừ (
) ) 1 , 2 suy ra
ậ
= (cid:236) x 0 + ‡ (cid:219) £ (cid:222) ” (cid:222) (cid:237) AB AB OB OB OB O B z i 2. 2. = (cid:222) 0 0 = (cid:238) y 1
ọ
V y môđun c a s ph c
ủ ố ứ z là
z 1. i= = Ch n D.
(
ỏ
) ( + - z
2 2
) 1
.
ố ứ z th a mãn
Câu 12. Cho s ph c
= - +
ớ ố ứ
Tính min |
- z - + z + = z 5 i 1 2 i 3
.
w z
i 2 2 | 2w = .
|w , v i s ph c
B. min |
A.
C. min |
D.
| 1w = . min | min | 3 w = . | 2 1 w = . | 2
ƯƠ
Ồ
Ế
NG TH VINH Đ NG NAI)
2
(
(
- - - - - -
(THPT CHUYÊN L ờ ả L i gi i ( ) 2 - +
) (
)
Ta có
.
2 2
) 2 + = 4 1
) 1
( = i 2
z z z z z + = z 5 i 1 2 i 1 2
) (
) - +
(
) (
ả
ế
( - + z
) 1
Khi đó, gi
thi
t
= - Ø z (cid:219) - - (cid:219) Œ z z z i 1 2 = i 1 2 + - i 1 2 i 3 - - z z i 1 2 = + - i 1 2 i 3 1 º
= -
TH1. V i ớ
z
(cid:222) w z w = 1 1.
)
2
2
2
- - * ˛ = - = - + i 2 2 ) ( ¡ z z - + i 1 2 = + x z = - i 2 2 ( yi x y i 3 1
TH2. V i ớ ) (
i 1 2 , ta có = + - i 1 2 (
, ta có (
, đ t ặ )
(
(
)
(
)
) = - + y 2
) = 1
) 2 (cid:219) = - 1
+ + * (cid:219) - (cid:219) - - - , ( - + x i x + i x y x y y y 1 3 1 + 2 3 . 1 2
( +
) 2
Do đó
= - + (cid:222) - ‡
ọ . Ch n A.
ỏ
ấ ủ
ị ớ
ể
w z w x = - i x 2 2 = - + i x 2 2 2 2 1 - + i 2 3 = i 2 9 4 3 2
ố ứ z th a mãn
Câu 13. Cho s ph c
1 z = . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ứ
= + + - T z z 1 2
A. max
B. max
C. max
T = T = 1 . T = 2 5. 2 10. 3 5. 3 2.
Ộ
D. max Ạ
T = Ữ
(THPT CHUYÊN NGO I NG HÀ N I) ờ ả i
(
( yi x y
2
2
˛ z ,
) (cid:222)¡ = (cid:222) + x
L i gi ) ;M x y . = (cid:219) yi
Cách 1. G i ọ ) ( 1;0 ,
ng kính
+ = - = + x ) ( z x y 1;0 1 1 1.
2
2
A Và M(cid:222) AB . (cid:222)
. Ta có ườ ng tròn đ = 2 AB 4. (
Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có ) ) ( =
ấ ủ
ị ớ
ể
ậ
V y giá tr l n nh t c a bi u th c
B ộ ườ thu c đ = + 2 2 MA MB + = £ T MA MB + 2 MA MB 2 + 2 1 2 = 5.4 2 5
ọ . Ch n A.
ứ max
2
2
T = 2 5
(
(
và
.
Cách 2. Đ t ặ
( yi x y
) (cid:222) + = z
) 2 + 1
) 2 + 1
2
2
+ ˛ - ¡ = + x z x y z x y , 1 - = 1
ặ
M t khác
, khi đó
2
2
2
+ = z + 2 x = (cid:219) 2 y x y = (cid:219) 1 1
2 +
) 1
) 1
2
2
= + + + - 1 ( T x y y x 2
2 +
(
(
)
( (
) 2 + 1
2
2
Ø ø + 2 £ - + x y x y 2 + 2 1 º ß
(
) 1 ) 1
ỏ
ị ủ
= = + + = (cid:222) x y = T 10 10.2 2 5 max 2 5.
, bi
t ế
ể . Tính giá tr c a bi u
2z là hai s ph c th a mãn ố ứ
Câu 14. Cho 1z , = z
th c ứ
.
2
A.
B.
C.
D.
z i iz z- 2 - = + 2 1 z 1 = 2 + P z 1
P = P = P = . . 3. P = 2. 3 2 2 2
ƯƠ
Ệ
(THPT THANH CH
NG I NGH AN)
)
(
( yi x y
) = - + i 1
˛ (cid:219) - ¡ z = + x z i y y xi x , 2 - = + 2 2 2
ờ ả L i gi i + iz 2
Đ t ặ
2
2
2
2
2
2
(
, ta có )
(
+ + (cid:219) - - (cid:219) - + 2 x y x x y y y x y 4 2 4 + = - 2 y 4 4 + + 1 4 4 2
ử ụ
ứ
ứ
) = 1 = (cid:222) z
. S d ng công th c (ch ng minh
ở câu 16)
2
2
2
2
2
2
(cid:219) + 2 x = (cid:222) 2 y z 1 = 1 = z 1
2 =
2 +
+ + + = - (cid:222) - -
(
)
(
1 ) z z z = z z z
ọ Ch n D.
2
2
2
2
2
2
2 3. 2 z 1 z 1 z 1 z 1 + z 1 z 1
ứ
ố
ề
ệ
ỏ
2
2
Câu 15. Cho ba s ph c +
ứ
.
2 3
2 z 2 B. 0 .
D. 1 i+ .
ị ể giá tr bi u th c A. 1.
C. 1-
. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA HÀ NAM)
2
= = + + z z ; 0 = . Tính z th a mãn đi u ki n 3 z 1 z 3 = và 1 z 1 z 3 z z ; 1 2 + z = 2 A z 1
(
)
) = -
(
)
(
Ta có
2 2
2 3
2
3
+ + = + + - z z z z 2 2 = 2 A z 1 z 1 z z 3 1 + z z 1 2 + z z 2 3 z z 3 1
ờ ả i L i gi + + z z z z 1 2 2 3
)
( + z z z 1 2 3
2
3
2
3
ặ
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) z = - = - = - 3 + (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) z z 2 2 z z z 1 2 3 z z z 1 2 3 z 1 Ł ł 1 + z z + 2 z Ł ł z + 1 z 1 + +
ọ
M t khác
suy ra
0.
2
2 + z 1
z 1 + z 1 = (cid:222) 0 0 z A = Ch n B. z 1 z 3 1 z 3 + z 2 = z 3
ớ
ứ
ố
ị ớ
và
ấ . Tìm giá tr l n nh t
1z và
2z th a mãn ỏ
2
Câu 16. V i hai s ph c +
c a ủ
.
2
A.
B.
C.
+ = + z z- i 8 6 2 z 1 z 1 = 2 = z
P z 1 P = + P = P = 5 3 5. 2 26. 4 6. + 34 3 2. P = D. Ọ Ự
Ầ
2
2
(THPT CHUYÊN KHOA H C T NHIÊN L N 4) ờ ả L i gi i +
2 =
2 +
(
)
+ - *
)
ố ứ
.
z z 2
ổ ề Cho hai s ph c
B đ .
2
2
1z và
2z , ta luôn có
2
2
2
z 1 z 1 z 1
(
)
+ = z ) (
ứ
ử ụ
và
. Khi đó
Ch ng minh.
z
( z=
2
2
2
2
.z z z 1 z 1 z 1
2 =
S d ng công th c (
(
ứ ) (
2
2
2
2
2
2
+ + - - - z ) + + ) z z z z z z z 1 z 1 + z 1 + z 1 z 1 z 1
2
2
2
2
2
+ z ) ( + + + = - - z z . 2 z z . 1 + z z . 2 1 z z . 2
2 +
2
2
2
= z z . 1 + = fi z z . 1 1 ( z z . 1 ) + ( 2 2 . z z . 1 1 z z . 2 z 1 z z . 1 1 ) 2 zđpcm 2
(
)
, ta đ
c ượ
Áp d ng ụ
2 = (cid:222) 4
* + + = - - - z z z 4 1 1.
( = (cid:222) 3
2
2
2
2
z 1 z 1 z 1 = - z 2 z 1
2 +
ấ ẳ
ứ
ượ
Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki, ta đ
c
= + £
) 2 ) =
(
P z z
ọ Ch n B.
2
2
(
ộ
ỏ
)P z là m t đa th c v i h s th c. N u s ph c ( ứ ớ ệ ố ự
ế ố ứ z th a mãn
2 26. 2 z 1 z 1
Câu 17. Cho ) ( P z =
) P z = thì 0 ( ) P z =
A.
B.
C.
D.
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) = = (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) P P 0. 0. 0. 0. Ł ł Ł ł 1 z 1 z
Ỉ
(THPT CHUYÊN T NH HÀ NAM)
2
)
ọ
ươ
( P z
= + Ø = - - z + z z
ờ ả i L i gi ( ) P z
2 2
ố Ch n hàm s
. Ph
ng trình
ớ ố ứ
, ta có
2
5 = (cid:219) 0 + = (cid:219) z 2 5 0 Œ = - º z z i 1 2 i 1 2 = +
)
z Xét v i s ph c = + i 1 2 = (cid:0) = + = - - - „
(
) 2
suy ra
( P z
z i 1 2 5 z + = z 5 2 5 2. 5 5 10 2 5 0.
suy ra
(cid:230) (cid:246) = „ = (cid:0) (cid:231) (cid:247) P i 0. i Ł ł
suy ra
2
(cid:230) (cid:246) = - „ = (cid:0) (cid:231) (cid:247) P i 0. i - Ł ł 1 2 z 1 2 z 2 - + = 5 z 2 - + = 5 z 1 z 1 z 1 + i 1 2 1 i 1 2 1 = - 5 1 = + 5 2 5 2 5
)
)
suy ra
( P z
= - = - - - (cid:0) z z i 1 2 1 z 1 z ( + = - 2 2 z 5 i 1 2 112 16 + 25 25 112 16 25 25 ) ( + = i 2 1 2 5 0.
ọ Ch n D.
ỏ
ệ
ề
ố ứ z th a mãn
. Đ t ặ
M nh đ nào sau đây đúng?
Câu 18. Cho s ph c
- = z £ 1 A .
D.
A.
B.
(THPT CHUYÊN HÀ NAM)
L i gi
A > A £ A ‡ 1. 1. 1. z i + iz A < 1. 2 2 C.
ờ ả i
ừ ả
ế
T gi
thi
t, ta có
) = iz
( + 2
- + = (cid:219) - (cid:219) - A A z i = A Azi z i 2 2 2 z + i iz 2 2
(
)
. Mà
( z Ai
) (cid:219) = 2
£ (cid:222) £ (cid:219) - * (cid:219) - z A i Ai 1 + £ 1 2 2 . z + = A i 2 - -
)
)
( yi x y
( + 2
Đ t ặ
2
2
2
2
2
2
2
= + + A i 2 - + ˛ * (cid:219) £ - ¡ A x x y i y xi + 2 2 Ai ) 1 2
( +
(
2
2
+ + + (cid:219) £ (cid:219) £ + A i 2 Ai 2 , khi đó ( ) y + 2 x x x + £ 2 y y + x + (cid:219) 2 y + y x y + 2 , ) 1 4 + y 2 4 4 4 1 4 4 1.
ủ
ậ
V y môđun c a
= + £
ọ Ch n A.
ỏ
ố ứ z th a mãn
Câu 19. Cho s ph c
và đi m ể A trong hình v bênẽ
A x y 1.
ể
ễ
ế ằ
ẽ
ể
ể
ể là đi m bi u di n c a
ủ z . Bi
ễ t r ng trong hình v bên, đi m bi u di n
z = 2 2
ứ
ố
ộ
ủ ố c a s ph c
là m t trong b n đi m
ể M , N , P , Q . Khi đó đi mể
ể
= w
bi u di n c a s ph c A. đi m ể Q . C. đi m ể N .
B. đi m ể M . D. đi m ể P .
(THPT CHUYÊN ĐH VINH L N 1)Ầ
2
2
1 iz ễ ủ ố ứ w là
)
( yi x y
Đ t ặ
, khi đó
và x
Ta có
) (
(
)
> = + = (cid:219) z = + x , 0 y> (hình v )ẽ z x + 2 x = 2 y 2 2 1 2 - y ) = - w y 2 x i 2 . i + - 1 iz i = - = - z yi x x = - yi xi 2 y
ể
ể
ề
ộ
ộ
Vì
đ u có hoành đ , tung đ âm.
2
2
- - + y = - + 2 x ) x 0 y 2 ; 2
ờ
ồ
Đ ng th i
và
( i x = - + yi x yi ễ ố ứ w là ( x y > nên đi m bi u di n s ph c , < > - x 2 w
w
ự
ầ
ỏ
- (cid:222) = + = = > (cid:219) y y x y < x 2 0 w x y z 2 2 2
ộ
ể N tuy th a mãn
ể ể P chính là đi m c n tìm vì đi m
w
ẽ ỉ ằ
ấ
y< 0 < nh ng đ ư x w
ọ
D a vào hình v , đi m ộ dài ON x p x b ng đ dài
OA . Ch n D.
)
́
́
́
ỏ
( yi x y
thoa mãn
và có môđun nh nhât. Tinh
- + ˛ ¡ ̉ = + x z z , = i 6 8 5
.
́ư Câu 20. Cho sô ph c y+ x . t ng ổ y+ = - x A.
B.
C.
y+ = - x x x 3. 1 y+ = . 1
D. Ở
y+ = . 2 Ả (S GD&ĐT QU NG NAM)
ờ ả i
ự ư ụ ể
(
(
(
ườ
ể
ề
ỏ
ậ
+ a bi
R
z
L i gi ạ )M z th a mãn đi u ki n ệ
là đ
(
ng tròn
)C có
T p h p các đi m )
;
tâm
ợ ( I a b và bán kính R .
)
- ố ứ – Max s ph c nh sau D a vào ví d , ta phát tri n d ng toán Min )0R > ) =
¡
yi
ứ
.
,x y ˛
Ch ng minh.
G i ọ z (
(
)
(
ả
ế
z
+ a bi
, ( R
+ x a
R
Theo gi
thi
t
2
2
2
2
2
=
- (cid:219) - - = + x ) =
(
) = y b i ( )
. )
( +
)
(
)
R
x a
y b
R
)
(
ườ
ậ ậ
ể
ng tròn
ợ V y t p h p các đi m
(cid:219) - - (cid:219) - -
ệ
ề
. Tìm max z .
+ = y b x a ( )C có tâm ( I a b và bán kính R . z
Ví d 21.ụ
.
.
.
)M z là đ ố ứ z th a mãn đi u ki n ỏ z = . 5
; = i 2 4 z =
- - 5
B. max
C. max
D. max
z = 5 13
Trong các s ph c z = ẫ
3 5 ả
A. max ướ
i.
(
(
(
ườ
H ng d n gi ợ
ể
ậ
I
)2; 4
ng tròn
và bán kính
.
T p h p các đi m
2
2
+
)C có tâm = +
=
V y ậ
R = 5
ọ . Ch n A.
)M z là đ + = = z OM OI R
2
4
3 5
5
max
ỏ
* H i thêm: a) Tìm min z .
2
=
+ 2
.
- = = z ON OI R
2
4
= 5
5
ớ
ng th ng
ỏ ấ x= y 2 . ủ ệ ươ
-
ng trình =
=
ố ứ z có môđun l n nh t, nh nh t. ấ ẳ OI là ể M , N là nghi m c a h ph ệ = y
x
2
x
x
1
3
;
.
2
=
2 +
min b) Tìm s ph c ườ ng trình đ Ph T a đ hai đi m x )
ươ ọ ộ = y 2 (
(
y
y
2
x
+ x
5
20
= 15 0
y
x
2
) 2 = 4
5
= +
ấ
ớ
ươ ứ
ể
ố ứ z có môđun l n nh t là S ph c
t
ớ ng ng v i đi m
.
z
i 3 6
= +
ấ
ỏ
ươ ứ
ể
S ph c
ố ứ z có môđun nh nh t là
t
ớ ng ng v i đi m
.
z
i 1 2
(cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) - - - (cid:238) (cid:238) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
ề
ệ
ỏ
ỏ
z
i 5
3
ố ứ z th a mãn đi u ki n
Trong các s ph c
= 6 ( )3;6M )1; 2N ( ế ố ứ z có môđun nh nh t ấ . N u s ph c
C. 2.
D. 4.
B. 3.
- £
ẫ
ả
i.
(
(
Ví d 22.ụ ằ ầ ả thì ph n o b ng bao nhiêu? A. 0. ướ H ng d n gi ợ
ậ
I
)0;5
)M z là hình tròn (
)C tâm
ể T p h p các đi m 3R = .
(
ấ
ỏ
ể
N
)0;2
và bán kính ố ứ z có môđun nh nh t là S ph c
ớ ứ ng v i đi m
.
z
i= 2
ọ Ch n C.
)
-
ổ
ố
r >
Trong các s ph c
(
. Tìm
0
T ng quát.
= z 1
r 1
1
z ứ z th a mãn ỏ = - z
P
z
.
giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a )
)
(
z
và
G i ọ
;
.
ị ớ ( I z 1
2 = 2
r 2
=
-
= IN z 1 = min P NM
Khi đó,
.
ấ ( 2N z = max P NM r 1
ị ỏ ấ ủ )M z . Tính = + và r 2
1
r 1
2
r 2
-
ố
ề
ỏ
Trong các s
ứ ph c
z th a mãn đi u ki n ệ
Áp d ng.ụ Câu 1.
+ -
+
) i z
(THPT CHUYÊN KHTN – L N 1) ( 2
1
Ầ . Tìm max z .
z = . 7
z = . 6
= i 1 7 z = . 4
A. max
B. max
C. max
D. max
ả
ẫ
i.
+
+ -
+
)
) i z
+ i z
z
1
= i 1 7
(cid:219) + 2
1
2
( = i 3 4
1
Ta có (
.
)
- (cid:219) -
ọ
i+ 3 4
- = 0
5
z
max
Vì (
nên
z = . 3 ướ H ng d n gi i 1 7 = + i 1 = + = . Ch n D. 1 5 6
= + r 1
r 2
+ =
ị ớ
ế ằ
ề
ệ
ỏ
z
1 1
ấ ủ z bi
t r ng
z th a mãn đi u ki n
.
Câu 2. Tìm giá tr l n nh t c a
- -
i 2 3 i 3 2
.
z = . 1
z = . 3
-
A. max
C. max
D. max
B. max
z = 2
z = . 2 ướ
ẫ
ả
H ng d n gi
i.
+
(
)
z
- + = (cid:219) iz
i
i
z
+ = (cid:219) 1 1
1 1
= (cid:219) z .
= 1
1
Ta có
.
1 i
- - - - - - -
-
ọ
i
i 2 3 i 3 2 ) 0 - =
1
z
max
Vì (
nên
= + = . Ch n B. 1 1 2
= + r 1
r 2
ệ
ề
ỏ
ế ằ
ố
z
z
i 2
ứ z th a mãn đi u ki n
. Bi
ứ t r ng s ph c
Câu 3. Trong các s ph c
2
2
)
- -
¡
ấ
ỏ có môđun nh nh t. Tính
.
ố , ( ,x y ˛ .
.
A.
B.
D.
z yi
= - i 2 4 + = P x P = C.
P =
10
8P = .
26
= + x P = y 16 .
ẫ
ả
i. ( +
)
)
(
)
)
¡
z
H ng d n gi z
x
( = + y
i
y
i
x
i 2
2
4
2
,x y ˛
2
2
2
2
2
2
2
- - (cid:219) - - - = + x yi
+
)
. Ta có (
+ + (cid:219) - - - (cid:219) - - -
ướ = - i 2 4 )
x
x
y
+ 2
2
x y = y x y + 2 y + + x 4 4 8 16 4 4
y
y
x
G i ọ z ( + x 4
4
, ( ) ( = y 4 = (cid:219) = - 16 0
4
.
2
2
2
2
+
=
=
+
2 =
(cid:219) -
(
)
(
Do đó
.
x
x
x
x
4
8
2 2
2
2
+ x 8 +
- - -
ọ
y (cid:219) = (cid:222) = x
y
2
2
. V y ậ
) 2 + ‡ = 16 2 2 = . Ch n B.
D u ấ "
z "= x y ra ả
x 2 P =
8
2
2
Ầ
Ề
ỏ
z
- + + = z 4
4
10.
ố ứ z th a mãn
ấ ị ớ Giá tr l n nh t
Câu 4.
(Đ THTT L N 5
– 2017) Cho s ph c
ị
ầ ượ
ấ ủ z l n l
t là
D. 5 và 3 .
ỏ và giá tr nh nh t c a A. 10 và 4
B. 5 và 4
C. 4 và 3 .
ướ
)
¡
ả
H ng d n gi 4 ế
= + x yi
ẫ ả i. - + + = z z 4
10.
,x y ˛
G i ọ z
, (
. Theo gi
thi
t, ta có
)
)
)
(
( F -
4;0
G i ọ
;M x y ,
và
.
1
( F 2 4;0
ậ
ợ
nên t p h p các
1
(
Khi đó ( đi m ể
2
2
* (cid:219)
Ta có
.
ng elip (cid:219) = a
) + = MF MF 2 )M z là đ ( ườ = c = ; 2 a 4
10
c 2
ươ
10 )E . 5 và b ắ ủ ( ng trình chính t c c a
Do đó, ph
= a )E là
-
= 2 9 2 y+ 9
=
=
=
=
= . 1
z OA OA
V y ậ max
= và min ' 5
x 25 z OB OB
= . Ch n D. ' 3 ọ
(
) =
)
¡
ế ố
ứ z
ề
ệ
ồ
ỏ
ờ
z
+ i 3 4
5
t s ph c
, (
th a mãn đ ng th i đi u ki n
và
,x y ˛
Câu 5. Bi
2
2
- = + x yi
ể
ạ
ị ớ
ấ
z .
P
= + z
z
2
i z =
.
.
.
.
50
ứ bi u th c z =
đ t giá tr l n nh t. Tính z =
- -
A.
C.
B.
D.
(
ợ
ậ
ể
I
và bán kính
.
z = 33 10 5 2
2
2
2
2
R = 5
=
+
Ø ø
ả i. )3; 4 +
T p h p các đi m )
(
ườ (
(
P
x
)M z là đ - + + x
yi
y
2 = i
y
x
y
2
ng tròn ) 1
- - -
ướ ẫ H ng d n gi )C có tâm ( ( ) ( 2 + + x 2
Ta có
.
=
+
º ß
) 1 (
)
x
y
P
4
2
+ (cid:219) 3
+ x 4
0
3
.
ườ
ể
ẳ ng th ng
và đ
ng tròn
có đi m chung
D
)
( d I
+ - = y 2 )C (
;
R .
Ta tìm P sao cho đ
P
ườ + + - 12 8 3
(cid:219) D £ D
.
P
5
23
10
P
P
10 23
10
13
33
20
(cid:219) £ (cid:219) - £ (cid:219) - £ - £ (cid:219) £ £
.
P =
Do đó max
33
. D u ấ "
"= x y ra ả
2
2
+
=
V y ậ
+ - (cid:236) = (cid:236) x (cid:239) x (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) 5 = - y 2 + - - 4 ( 2 ) (cid:238) y (cid:239) 5 x y 3 = 30 0 ) ( 2 = 4 5 (cid:238)
ọ . Ch n D.
z =
5
5
5 2
=
=
ố ứ
ề
ệ
ả
z
z
.
1
Câu 23. Cho hai s ph c
2z tho mãn đi u ki n
1z ,
z 1
2
z 1
= 2
2
2
-
ứ
ể
ị ủ Tính giá tr c a bi u th c
.
2
= -
.
.
.
A.
B.
C.
D.
i
P
i
= - 1P
1
1P
P = -
1
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) = + (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) P Ł ł Ł ł z 1 z z 2 z 1 -
Ở
Ả
= + . i (S GD&ĐT QU NG NINH)
ờ ả i
ừ ả
ế
T gi
thi
t, ta có
.
2
L i gi z = 1 z
2
2
= = - z z 1 1 z 1 z 1 = (cid:219) 1 2 z - = 1 z
2
2
2
2
)
( yi x y
Đ t ặ
, khi đó
2
2
2
2 +
2
(cid:236) = (cid:236) x (cid:239) + = (cid:236) + = 1 (cid:239) (cid:239) (cid:239) x y 1 1 2 = ˛ (cid:219) (cid:219) ¡ (cid:237) (cid:237) (cid:237) w = + x , + = z 1 z (cid:239) = 2 - (cid:238) (cid:239) (cid:239) x y x 2 x ( x y y ) 1 1 = – (cid:238) y (cid:239) (cid:238) 3 2
2
2 = -
Khi đó
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) i i + = + + - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) = P w
ọ Ch n C.
ủ ấ ả
ố
ồ
1. (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) 1 2 w 1 2 3 2 1 2 3 2 Ł ł Ł ł
t c các s ph c
ể ờ đ ng th i đi m
Câu 24. Tính tích môđun c a t
(
ọ ộ
ộ ườ
ể
ặ
I
ứ z th a mãn ỏ )1;1
bi u di n
ễ z trên m t ph ng t a đ thu c đ ẳ
, bán kính
ng tròn tâm
z i 2 - = + + z 1 1 ,
.
C.
B. 3 .
.5
A. 5 .
(cid:0)R D. 1. 53
Ở
(S GD&ĐT THANH HÓA)
ờ ả i
)
(
L i gi - = + + (cid:219) i z
Đ t ặ
2
2
2
2
2
2 +
˛ - ¡ z = + x z x y , 1 2 - + x 2 = + - y i 1 2 . 1
( yi x y (
(
) + 1
) + 1
2
2
2
(cid:219) - - (cid:219) - x x y x y y 2 1 ) 1 3 + 3 - = x 6 2 1 0
, khi đó ( + )
(
(
) i 1 . ( (
) 1 . )
ễ
.
) + 1
) 2 = (cid:219) 1
)
zM (
2
2
2
˛ - - - - = y 4 ( C x y x y y : + 5 - = x 2 2 3 0 2
)
ể ( 3. 2
, ta đ
c ượ
ươ
ể ) 1 y = -
- + + 2 - - - - x y x y y y 3 2 1 3 3 + = (cid:219) = - x 9 0 6 6 1
Mà đi m bi u di n L y ấ ( Th ế
vào ph
ng trình
1
2
= - Ø Ø x - (cid:222) (cid:222) x i i Œ = (cid:219) x 0 2 . . 2 5. Œ
ọ Ch n C.
2
= - z 1 - = z 2 = º º + + y x 3 6 )2 , ta có ( = z 0 1 z x i 2 i = - 2
ứ
ố
ấ ủ
ỏ
ị
ể . Giá tr nh nh t c a bi u
Câu 25. Cho các s ph c
th c ứ w là
.
.
A.
D.
C. 2 .
B. 2 2 .
+ - z = - i z 2 2 = + i w iz 4 , 1 ,z w th a mãn ỏ
2 2 3 2 2 (THPT CHUYÊN ĐH VINH L N 2)Ầ
)
)
(
)
( a bi a b
và
.
2
˛ - - - ¡ z b i z b i , 2 = + a i 4 4
2 =
)
(
, khi đó )
+ + + 2 - - + - ( = + z Đ t ặ Nên ta có ( a a b b b a 2
ờ ả L i gi i ( = + + a i 2 2 2 ) 2 (cid:219) + = (cid:219) = - a b 2 4
2
2
2
2
2
(
(
(
Khi đó
.
) 1
) 1
= + = = = + + (cid:222) - - w iz b ai w + a b a a 2 ) a bi i 1 + = - + 1 1
2
2 =
2 + ‡
(
ễ ấ D th y
(cid:230) (cid:246) + - - (cid:222) ‡ (cid:222)
ọ Ch n A.
) 1
w
2
ệ
ươ
ng trình
z
z+ + = . 1 0
2017
ủ +
ứ
.
z
2
.
Câu 26. G i ọ 1z , ị ủ Tính giá tr c a bi u th c A.
C.
0P = .
2z là hai nghi m c a ph = 2017 P z ể 1 P = - B.
1P = .
1
2P = .
(cid:231) (cid:247) a a a w 2 min . Ł ł 1 2 1 2 1 2 2 = 2 2 2
D. Ọ Ự
Ầ
(THPT CHUYÊN KHOA H C T NHIÊN L N 4) L i gi
ờ ả i
2017
2
3
2017 =
(
)
(
)
Ta có
i = – (cid:222)
ọ Ch n D.
2
z z z z + P z + + = (cid:219) = - z 1 0 1 1 2. z 1 1 2 3 = (cid:222) = (cid:222) 2
(
ỏ
. Tìm môđun c a ủ z .
) i z
) i z
i
+ 2 3
+ 1 2
Câu 27. Cho s ph c
.
.
( ố ứ z th a mãn z = . 1
z = . 2
-
= - 7 z =
A.
B.
C.
z = 5 3
D. Ọ Ự
Ầ
( a bi a b
Cách 1. Đ t ặ
= + ˛ ¡ z ,
(THPT CHUYÊN KHOA H C T NHIÊN L N 4) L i gi ả thi ) - +
)
, khi đó gi ) ( + i a bi
) ( = - i a bi
) ( + 2 3
(cid:219) - ờ ả i ế ở t tr thành ( Gt i 1 2
( +
) = - b i 3
- (cid:236) a (cid:219) - (cid:219) (cid:237) a a i + b 5 7 7 = - + (cid:238) a 7 = b 5 b 3 1
= (cid:236) a = (cid:222) (cid:222) (cid:237) i z 2 5. = - (cid:238) b 2 (cid:222) = - z 1
(
ử
ố ứ
ự
Cho s ph c
ầ . Tích ph n th c và
) i z
Cách 2. X lý b ng casio gi ng bài toán sau: ph n o c a s ph c
ố ằ ầ ả ủ ố ứ z b ngằ
= - - z + 2 3 i 1 9
B. 1.
- -
) - +
)
) ( i X Yi
C. 1. ( + 2 3
D. 2. ( = i 1 9 0
.
. Khi đó
A. 2. = Đ t ặ z X Yi
+ = - - * + fi = - w X Yi
ị Màn hình hi n thể
w
Đ a v tính s ph c.
nẤ
ế
ậ
Nh p v trái c a ph
(
-
Y i
X
Y i
2
1
ủ ( + - +
ố ứ )* . ) - + . i 9 =
Y
X
ươ ng trình ) ( i X 3 = 100,
0, 01
.
0
Sau đó, gán giá tr ị ®r n Ấ ® ® q
1 0 0 ® 0 . 0 1
®r ® . =
Khi đó = -
= -
-
-
w
i
101, 03
i 290, 97 .
+
29097 100 =
= + X
101, 03
+ + 1
0, 03
Y 3
1
100
.
ặ
M t khác, ta có
=
-
-
=
-
-
290, 97
300
9
0, 03
X 3
Y 3
9
10103 100 ìï ïïí ï ïïî
= -
+
=
X
X
1
= -
+
-
-
=
Þ
Û
Û
w
X
i
Y 3
X 3
Y 3
0
9
.
(
) + - 1
(
)
-
=
2 = -
X
Y 3 Y
Y
3
1
ì ï ï ï í ï ï ï î
ì ï ï ï í ï ï ï î
ề
ệ
ỏ
ờ
ồ
z X Yi Thao tác trên máy tính 2 ® ® ư ề
ố ứ z th a mãn đ ng th i đi u ki n
Câu 28. Có bao nhiêu s ph c
A. 2.
B. 4.
z z . z+ = và 2 z = ? 2
D. 1. Ơ
C. 3. (THPT CHUYÊN LAM S N THANH HÓA)
2
2
)
( a bi a b
) (cid:222) = - z
= + + ˛ (cid:222) - ¡ z = a bi
ờ ả L i gi i ) ( ( = + a bi a bi
Đ t ặ
2
2
2
2
2
2
a b ; z z . .
ả
ế
Khi đó, gi
thi
t
2
2
)
2
2
2
2
(cid:236) (cid:236) + = + + + = (cid:236) + = b (cid:239) (cid:239) (cid:239) a b a bi 2 a (cid:219) (cid:219) (cid:222) (cid:237) (cid:237) (cid:237) . 4 = + 4 + = = a ( (cid:239) a bi b + + 4 2 (cid:239) (cid:239) (cid:238) a b 4 4 + a bi 2 (cid:238) (cid:238)
(cid:236) = + (cid:236) + = (cid:236) b 4 (cid:239) 2 b a 4 (cid:222) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) z 2.
ọ Ch n D.
2
)
= - + = 2 - a ( (cid:238) = - a (cid:222) = - = b 0 (cid:238) a (cid:239) 2 a a 4 0 (cid:238)
ệ
và
ứ là hai nghi m ph c
2
2
= + - w z i 2 w= 2 3
Câu 29. Cho s ph c +
ươ
ố ự a , b . Bi z t ế 1 + z T
ng trình
ủ c a ph
.
2
ố ứ w và hai s th c + = . Tính 0
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
= z 1 az b z
T = T = T = T = 2 13 4 13 2 97 3 2 85 3
Ả
Ị (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QU NG TR )
)
(
)
Đ t ặ
(cid:239) i 2 = ˛ (cid:222) (cid:237) ¡ + w m ni m n ; . (cid:239) (cid:238)
ờ ả L i gi i ( + + = i m n 2 - + - = m
2
ni (cid:236) = + z w 1 = z w 3 2 3 2 2
(
)
Ta có
ố ự là s th c
2
(cid:236) + = = - (cid:236) (cid:239) n + = (cid:222) (cid:222) (cid:237) (cid:237) z = - i a m 3 - + 3 + n 3 2 2 .3 z 1 - „ (cid:238) n 3 m 3 2 0 3 0 (cid:239) „ (cid:238) m 1
)
ạ
L i có
ố ự là s th c
( . 2
2
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) = + = (cid:222) - - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) m m b i i 2 - + 3 m m 3 = 0 3. z z . 1 Ł ł Ł ł 4 3 4 3 4 3 4 = (cid:222) m 3
ọ Ch n B.
Do đó 1 z
2
2
(cid:222) = i T = z = + 3 i z ; = - 3 . + z 1 4 3 4 3 2 97 3
+
(
ỏ
ộ ố
ầ ả
ể
ể
ậ
ợ
z
z
i 2
ố ứ z th a mãn ộ ườ
) là m t s thu n o. T p h p đi m bi u ằ
Câu 30. Cho s ph c di n s ph c
ễ ố ứ z là m t đ
.
.
.
C.
B.
A. 5p
D. 25p .
) ( 1 ệ ng tròn có di n tích b ng p 5 4
p 5 2
-
Ả
Ễ
Ỉ (THPT CHUYÊN NGUY N B NH KHIÊM QU NG NAM)
)
) +
= ˛ (cid:222) - - ¡ z = + x z z
ờ ả L i gi i + + 2 2 y x
) ( 1
( + + y 2
) i 2 .
Đ t ặ
x x y i 2 2
( + )
ả
ố
Theo gi
thi
ầ ả là s thu n o, suy ra
2
- z i 2
2
(
) 1
( yi x y ; ) ( ế ( + z 1 t + + „ y x 2 2
(cid:236) (cid:230) (cid:246) 2 + + = (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:231) (cid:247) + 2 y x y + = y 2 1 . + = Ł ł (cid:238) 1 + + + 2 x x 4 5 4 1 + 2 5 4 2 0 + + x y x y 2 0
ộ ườ
ể
ậ
ợ
ằ
ể t p h p đi m bi u di n s ph c
ễ ố ứ z là m t đ
ệ ng tròn có di n tích b ng
(cid:222) .
ọ Ch n B.
p 5 4
ễ ố ứ
ể
ỏ
Câu 31. G i ọ M là đi m bi u di n s ph c ể (
z 1 = w - + z 2 z -
(
ể
ặ
ẳ
i
z
+ z
3
1
, trong đó
. G i ọ N là đi m trong m t ph ng sao cho
j= 2
i (
ượ
ạ
ớ ị
) ( ) = - + i 2 2 uur uuuur ) ,Ox OM
là góc l
ng giác t o thành khi quay tia
i v trí tia
Ox t
. Đi m ể N
, trong đó z là s ph c th a mãn ố ứ uuuruuur ) Ox ON , uuuur OM
B. Góc ph n t
. )
ầ ư ằ nào? n m trong góc ph n t )I ầ ư ứ ( A. Góc ph n t th ầ ư ứ ( III th
.
.
C. Góc ph n t
D. Góc ph n t
j =
ầ ư ứ ( th ầ ư ứ ( th Ễ
Ồ
Ệ
) IV . )II (THPT CHUYÊN NGUY N QUANG DI U Đ NG THÁP)
(
) (
ừ ả
ế
) = - + 2
- i + z i i z 1 i 2
ờ ả i L i gi - + = - + z i 2
T gi
thi
t, ta có
(cid:219) + z 3 2 2 3
casio
( (cid:219) +
) = z
z 1 = = (cid:222) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi - i w w i i . 2 (cid:219) = + z i 3 iz - + z 2 z 3 5 6 5 33 56 45 45
)
( P x y ;
j fi fi ề ươ ạ ở ế ế ử ụ = + x yi = tan v i ớ j là góc t o b i chi u d ng S d ng lý thuy t n u y x ớ ụ .
Khi đó
ậ
= - (cid:222) (cid:222) w i z uuuur ơ OM = - j tan = - j ; cos 2 . 3696 4225 2047 4225
ọ
V y đi m
= - j sin 2 ) . 56 33 ầ ư ứ ( th tr c hoành v i vect 33 56 45 45 ộ ể N thu c góc ph n t IV Ch n B.
ỏ
ấ ủ
ị ớ
ố ứ z th a mãn
. Giá tr l n nh t c a
C. 6 .
B. 4 .
Câu 32. Cho s ph c A. 13 2+ .
- - z z = i 2 3 1 1+ +
i là D. 13 1+ .
Ộ
Ệ
= +
)
)
)
¡
( = b
z
( a bi a b
˛ - - - - z i
(THPT CHUYÊN PHAN B I CHÂU NGH AN) ờ ả L i gi i ( + a 1
,
Đ t ặ
2
2
2
2 =
1. 2 3
(
, ta có )
(
( +
)
(
)
(
)
- =
(cid:219) - - - - * a b a b + 2 = (cid:219) i 2 3 ) = (cid:219) 3 2 3 1 1
2 sin
2
)
(
(
) b i
) + + - 1 1
Đ t ặ
(vì (
). Khi đó
- =
t t
a b
3 cos
2
2
2
2
(cid:236) * (cid:219) (cid:237) t t z + + = i a + sin = 2 cos 1 1 . (cid:238)
(
)
(
)
ứ
ể xét bi u th c
) 1
( + - 1
) 1
( + - 1
= + = + fi P a b . a b
2
2
2
+
2 =
2 +
2 =
)
(
)
(
)
Ta có (
a
b
+ t
+ t
+ t
+ t
+ t
) 1
( + - 1
sin
3
cos
2
4
2
2
6sin +
4 cos +
sin ( =
+ + t 9 cos ) + + 13 6sin
t t t t 4 cos
2
2
2
2
cos + = t = t P sin + 14 6sin 4 cos
)
(
) (
)
ấ ẳ
ứ
Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki, ta đ
+ + 2 £ t t + t t 6sin 4 cos 6 4 sin cos
(
) 2
ượ ( c + 6sin
2
2
(cid:219) £ (cid:219) £ (cid:222) £ t t P + t 6sin 4 cos 52 4 cos 52 14 2 13.
(
)
V y ậ
+ £ = t (
ọ Ch n A.
) 1
( + - 1
ỏ
ầ ả
ố
ố ứ z th a mãn
và
+ + = i z a b + 2 13 ) 2 = + 13 1 + 13 1. 1 = + 14 2 13
Câu 33. Có bao nhiêu s ph c
2z là s thu n o.
A. 3.
B. 1.
C. 4.
D. 2.
- = i z 2
Ộ
Ệ
2
2
)
( =
)
(
( yi x y
Đ t ặ
, khi đó
˛ = - (cid:219) - * ¡ z = + x , - = i z x y x i
(THPT CHUYÊN PHAN B I CHÂU NGH AN) ờ ả L i gi i ( (cid:219) + 2
) 1
2
+ 2 2
) y 1 = „ y
2
2
(
) 2
ầ ả
ố
Ta có
là s thu n o nên
(cid:236) = 2 - Ø x 0 x y 0 (cid:219) = + = + 2 - (cid:237) Œ z x yi x y xyi 2 = - „ „ º x y 0 (cid:238) xy 2 0
2
2
(
)
(
, ta đ
c ượ
TH1. V i ớ x
) 2 = (cid:219) 2 1
– 1 3 * + - - y= , th vào ế x x x - = (cid:219) = x x 2 1 0 2 .
2
(
)
(
ế , th vào
, ta đ
c ượ
TH2. V i ớ x
) 2 1
ậ
ố ứ
ầ
ỏ
V y có
- – 2 1 3 * y= - + + x x + 2 x x = (cid:219) 2 2 - = (cid:219) = x 2 1 0 . 2
ọ Ch n C.
4 s ph c th a mãn yêu c u bài toán.
ố ứ
và
. Tính
Câu 34. Cho hai s ph c
1z ,
2z th a mãn ỏ
2
1
2
2
2
ị ủ
ứ
ể
giá tr c a bi u th c
.
= + „ z+ z z „ , 0 0 z ; 1 1 + z 2 z z 1 1 z 1
2
.
.
.
A.
B.
D.
C. 2 3 .
z 1 z
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG)
2 3 2 2 3 2
2
( +
)
ừ ả
ế
T gi
thi
t, ta có
) ( + 2
2
2
2 + z z 1 2
2 2
z = + (cid:219) (cid:219) z z 2 = z z 1 2 z 1 z 1 1 + 1 + 2 z = z z 1 = (cid:219) (cid:219) z 1 z z 2 + 2 0. z 2 + 2 z 1 = z z 1 2 1 z 1 + z z 1 2
ờ ả i L i gi + z 2 1 z z 1 2 + z z 2 1 2
2 z 1
2 2
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 2 2 + = - (cid:219) – (cid:222) – (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
ọ Ch n A.
2
2
2
2
2 2 1 0 . Ł ł Ł ł z 1 z z + = (cid:219) 1 z z 1 z z = 1 z 1 2 i = - 2 1 2 i 2 2 2
(
ỏ
ế ậ
ể
ể
ợ
. Bi
t t p h p các đi m bi u
Câu 35. Cho th a mãn
) i z
+ + - = z ˛ £ th a mãn ỏ 2 i 1 3
(
ễ
ườ
di n cho s ph c
là đ
= - w 3 4 10 z ng tròn
(
(
) i z (
)1; 2 ,
) 1; 2 ,
ố ứ ) = R ,
A.
B.
C.
D.
(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG)
L i gi
- - - - I I , bán kính R . Khi đó ( = R I = R 5. 5. I I i 1 2 R = 1; 2 5 . - + )1; 2 , .5
ờ ả i
(
(
)
ừ ả
ế
(
)
(
T gi
thi
t, ta có
) i z
) 1
2 +
2 =
+ - + + = (cid:219) * i z 2 = i 1 3 - + z 2 3 10 z 10 z
)
(
)
(
ấ
) 1
ế ( L y môđun hai v
, ta đ
c ượ
.
= * - (cid:222) z + z z 2 3 1 10 z
(
(
(
ạ
) i z
) + - i z
) i z
= - + = - - (cid:219) - w w w 3 4 = i 1 2 3 4 i 1 2 3 4
ậ
ể
ễ
L i có + - w
ể t p h p các đi m bi u di n cho s ph c
ố ứ w là đ
ngườ
(cid:219) z = i 3 4 . 5
ọ
tròn tâm
và bán kính
= - i 1 2 )1; 2 ( I - (cid:219) + - i 1 2 = (cid:222) z 5 ợ 5R = . Ch n C.
- +
(
(
)
ỏ
z
) i z
+ 3 4
i 4 3
= 5 2
0
. Giá tr c a
ị ủ z là
Câu 36. Cho s phố ức z th a mãn
D. 1.
A. 2 .
B. 2 .
C. 2 2 .
(THPT HÀ HUY T P)Ậ
Ø ø - º ß
ả
ế
ệ
( yi x y
) (cid:222) = - z
˛ ,x y ¡ = + x z x ,
ờ ả L i gi i yi ự , d a vào gi
thi
t tìm nghi m
Cách 1. Đ t ặ
ả
ế
(
) +
(
)
thi
t
Cách 2. Ta có, gi
) i z
( + 3 4
2 +
2 =
- + (cid:219) (cid:219) - z = z i = i 4 3 + 3 4 4 3 5 2 z
(
)
(
ế
ấ
ượ
L y môđun hai v , ta đ
c
mà z
, khi đó
2 +
2 =
- 5 2 z ) z + z z= 3 4 4 3 5 2 z
(
)
(
)
ể ả ự ế
ế
đ n đây có th gi
ặ t ằ i tr c ti p b ng cách đ t
ặ ử ụ
ử
ệ
- fi z + z 3 4 4 3 50 2 z= z
ằ Ho c s d ng máy tính casio b ng vi c th các đáp án, đ th y đ
2
z =
c (
(
ể ấ ượ ) i z
ế
ổ ( Cách 3. Ta có bi n đ i
) i z
ử ầ ượ ớ
Th l n l
+ - 1. ) z + 3 4 i 3 4 - + (cid:219) = z z + 3 4 = i 4 3 . 5 2 = z 5 2 z 5 2
ấ ( +
(
t v i các đáp án, ta th y + i 3
) i 3 4 .4
) 4 .2 =
(lo i).ạ
- = (cid:222) (cid:0) z i z = fi = z 2 10 2 2 + 5 11 2 5
(
(
) 4 . 2 =
(lo i).ạ
+ - - + 5 2 ) + i 3 4 .2 i 3 = = (cid:222) (cid:0) z fi = z i z 2 3 4 3 2 + 5 + 3 4 2 5
(
) i 3 4 .8
) 4 .2 2
(lo i).ạ
+ - 5 2 ( + i 3 = = (cid:222) (cid:0) z z fi = z 6 2 2
5 2 + i 3 4 4 + (cid:222) (cid:0)
ọ
(ch n). ọ Ch n D.
z = fi = z z z i = (cid:222) 1 2 1 2 10 7 2 = 10 + - i 3 = - 5 2
ề
ệ
ậ
ặ Trong m t ph ng
ẳ Oxy t p h p ợ
ằ
- + £ z i 3 4 2.
i .
.
.
Câu 37. Cho s ph c ể đi m bi u di n s ph c . A.
C.
ố ứ z th a mãn đi u ki n ỏ + - = ễ ố ứ w z 2 1 p= S 12 B.
ể p= 9
ệ p= 16
= S S p 25
D. Ạ
Ư
Ầ
là hình tròn có di n tích b ng S (THPT TR N H NG Đ O NINH BÌNH)
)
(
(
( yi x y
) 1
, ta có
Cách 1. Đ t ặ
= + + ˛ (cid:219) w x x y i , = - + x z 2 + 1
(
) 1 . ) 2 .
t, ta th y r ng
¡ - + £ (cid:219) £ (cid:219) £ z 2 2 i 6 8 4
thi (
(
)
ấ ằ - + 1
i 3 4 + £ (cid:219) £ i - + 4 ( x z + y x y i i 3 4 ) - + i 1 i 6 8
ờ ả i L i gi + - = yi z 1 2 - + z 2 . - + 4
ế ừ ả T gi ) ) T ừ ( 1 , 2 suy ra
7 9 4
2
2
2
2
(
)
( +
)
( +
)
(
)
ợ
ể
ể
ậ ậ
ễ ố ứ w là hình tròn bán kính
(cid:219) - £ (cid:219) - £ x y x y + 7 9 + 7 9 4
Cách 2. Ta có
= Rp 2 16 = (cid:222) = S R p 16 . 4 i w = (cid:219) z z w i z = - + i 3 4 i 3 4 2 + - 1 - + w 1 - + 2 - + - + w - + w w i 7 9 - + (cid:219) (cid:219) (cid:219) £ (cid:219) £ z w i 3 4 i 3 4 2 i 7 9 4.
ể
ậ
V y t p h p đi m bi u di n s ph c - + i 1 = (cid:219) 2 i 7 9 = - + 2 ể t p h p đi m bi u di n s ph c
ễ ố ứ w là hình tròn bán kính
(cid:222) i 7 9 = - + z 2 ợ
ọ Ch n C.
= (cid:222) = S
4
p 16 .
2 R
)
ế ố ứ
ệ
ỏ
( yi a b
t s ph c
th a mãn đi u ki n
đ ngồ
Câu 38. Bi
2
ề +
ị ể
ỏ
˛ - - ¡ = + x z z z , , = - i 2 4 i 2
2.
.
.
.
B.
M =
ấ ờ ứ th i có môđun nh nh t. Tính giá tr bi u th c 10M = C. A.
8M = .
y
26
= M x 16M =
Ả
D. (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP QU NG BÌNH)
ễ ậ
ợ
ặ
ẳ
ố ứ z trong m t ph ng t a đ
ọ ộ Oxy sao
ể Câu 39. G i ọ H là hình bi u di n t p h p các s ph c
ầ ả
ệ
cho 2
, và s ph c
ố ứ z có ph n o không âm. Tính di n tích hình
£ z z- 3 H .
B.
C.
A. 3 .p
D. 6 .p
. . p 3 4 p 3 2
Ả
(THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP QU NG BÌNH)
(
) =
ỏ
ố ứ
ố ứ z th a mãn
Câu 40. Trong các s ph c
2z là s ph c có môđun
ấ
ầ ả ủ
ố ứ
ấ
ổ
ỏ
, g i ọ 1z và 2z b ngằ
1z và
- z + i 2 4 2
C. 8.
ớ l n nh t và nh nh t. T ng ph n o c a hai s ph c A. 8 .i B. 4.
-
D. 8. Ở
(S GD&ĐT HÀ TĨNH)
ố ứ
ự ủ ố ứ
ầ
Ph n th c c a s ph c
Câu 41. Cho s ph c
- = = z w = z w 2 . ;z w khác 0 sao cho u . z w
A.
B.
C.
D.
a =
1.
(THPT CHUYÊN ĐH VINH – L N 3)Ầ
a = - a = a = . . . 1 8 1 4 1 8
(
) i z
ố
ặ
ả
ẳ
ộ
ứ z th a mãn ỏ
ọ . Trên m t ph ng t a đ , kho ng cách t
ừ ố g c
Câu 42. Cho s ph c
ể
ể
ộ ậ
ễ ố ứ z thu c t p nào?
- - 8 3 4 4 = z
A.
B.
C.
D.
ọ ộ ế t a đ đ n đi m bi u di n s ph c 9 4
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) +¥ (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ; . . 0; . . Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł 1 5 ; 4 4 1 4 1 9 ; 2 4
Ở
Ắ
(S GD&ĐT B C NINH)
ấ ủ
ị ớ
ể
ố ứ z có môđun
Câu 43. Cho s ph c
C. 6.
A. 3 10.
B. 2 10.
= + + - P z z 1. 1 3 1 . z = Giá tr l n nh t c a bi u th c ứ
Ở
Ắ
D. 4 2. (S GD&ĐT B C NINH)
ứ
ế
ố
ứ
có
và
Câu 44. N u hai s ph c
1 2
2
ằ
+ = w z z „ z= 1 1 = thì s ph c ố ,z 1 z th a mãn ỏ 2 z 1 z 1 + 1 z 2 z z 1 2
C. 1.
ầ ả ph n o b ng A. 0.
B. 1.
D. 2.
-
ệ
ề
ầ ượ
ấ ủ
ị ớ
ố ứ z th a mãn đi u ki n
ể t là giá tr l n nh t c a bi u
2
ầ
ấ
ớ
ị
Câu 45. Cho s ph c = + + - + z z
,M m l n l
th c ứ
A. 3.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
P z 1 1 z = . G i ọ 1 ỏ . T ng ổ M m+ g n v i giá tr nào sau đây nh t?
