Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

(cid:0)

+ NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b<0 + V« nghiÖm nÕu b 0(cid:0)

ba ba * NÕu a=b th× 0x> 2b

C©u 5:

A

B

a. AEB

vµ KEB

®ång d¹ng (g.g)

=

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

E

F

=

AFB

Vµ CFI

®ång d¹ng (g.g)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) AE EK AF FC AB KD AB CI

Mµ KD = CI = CD – AB

=

// KC

K

I

C

D

VËy AF// AB

(cid:0) (cid:0) EF A£ EK AF FC

b. AEB

Vµ KED

®ång d¹ng, suy ra

(cid:0) (cid:0)

(1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) KD AB DE EB DK KC (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AB EB OK (cid:0) AB DC AB DE EB DB EB BD EB

Do EF// DI

(2)

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AB DI EF DB EB DB EB AB EF

Tõ (1) vµ (2)

B

C

O

(cid:0) (cid:0) (cid:0) AB DC EF . DC AB AB EF

C©u 6: Theo ®Ò bµi ta ph¶i tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2 SAOD = 196 cm2

D

Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× cã chung ®¸y AD A vµ ®êng cao t¬ng øng b»ng nhau) Suy ra SABO = SCOD Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch hai tam gi¸c cã chung ®êng cao b»ng tû sè hai ®¸y t¬ng øng.

ABO

AOD

Do ®ã:

=> SABO.SCOD = SBOC.SAOD

S S

AO OC

S S COD BOC ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142 Mµ SABO = SCOD nªn: S2 => SABO = 13.14 = 182 (cm2)

================

(cid:0) (cid:0)

ễ

ườ

ỹ

32

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

®Ò 16

C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn. 2x3 + x2 + 2x + 5

A=

2x + 1 C©u 2(2®): Gi¶i ph¬ng tr×nh

x2 - 3|x| - 4 = 0

C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t¬ng øng c¸c ®iÓm P, Q, R. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ:

PB QC RA . . = 1 PC QA RB

C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2

C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A = 3x2 + y2

§¸p ¸n

C©u 1 A nguyªn (cid:0)

2x+ 1 lµ íc cña 4

¦(4) = (cid:0)

(cid:0) 1; (cid:0) 2; (cid:0) 4(cid:0) Gi¶i ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn. C©u 2:

x2 - 3|x| - 4 = 0

(cid:0)

(x2 - 4)

(cid:0)

A ≥ ¼

(cid:0)

3|x| = x2 - 4 3x = (cid:0) x2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x2 + 3x - 4 = 0 Gi¶i 2 ph¬ng t×nh nµy ®îc S = (cid:0) -4; 4(cid:0) C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8) C©u 4: M = 18 khi a = b = … C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc... Ta cã: A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 1/4)2 + 1/4 (cid:0) VËy Amin = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4.

========================= ®Ò 17

Bµi 1. Cho biÓu thøc:

ễ

ườ

ỹ

33

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

2

A =

2

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  x 1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 4 (cid:0) (cid:0) ). ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2006 x

ể ậ ề x 1 x 1

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh. b) Rót gän biÓu thøc A. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

x 1

Bµi 2:

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 2 2004 x 1 2005 x 2006

Bµi 3. Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®- êng th¼ng song song víi hai ®êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J. a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF. b) Trong trêng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF. Bµi 4. Cho a (cid:0)

12. Chøng minh r»ng C = a + b (cid:0)

4; ab (cid:0)

7

§¸p ¸n

Bµi 1:

a) §iÒu kiÖn:

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0

b) A =

=

c) Ta cã: A nguyªn (cid:0)

(x + 2006)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x ( )1 ( 4 1 (cid:0) ( )1 2 (cid:0) x 2006 x x 2006 x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0)  x  x 2006 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2006

Do x = 1(cid:0)

kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x = 2006

Bµi 2.

(cid:0)

a) Ta cã:

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 1 2005 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 1 x 2 2004 x 2 2004 x 2 2004 2004 2004 2006 2006 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2005 x x 2006 x 2006 x x 2006 2006 2006 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x ( 2006 )( 0 2004 2005 2006 x 1 2005 1 2004 2005 2005 1 2005 x 2006 1 2006

(cid:0) (2006 - x) = 0 (cid:0) x = 2006 b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi

D C

tõ ®ã ta t×m ®îc:

(cid:0) (cid:0) a E (cid:0) (cid:0) I J (cid:0) b 2 1 F Q

ễ

ườ

ỹ

34

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

P A M B

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Bµi 3.

(1)

a) Ta cã:

(cid:0) (cid:0) FP PM DO OB

(2)

(3)

(cid:0) (cid:0) EJ FJ EQ QM FI IE CO OA

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra

hay FI.FJ = EI.EJ (4)

DO (cid:0) OB CO OA

NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:

FI (cid:0) IE EJ FJ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) FH FH EH EH FH EH ( )( ( )( ) ) IJ 2 IJ 2

b) NÕu AB = 2CD th×

nªn theo (1) ta cã

suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T¬ng tù tõ (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ.

Do ®ã: FI = EJ = IJ =

kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M. VËy M tuú ý

(cid:0) FI IE CO OA IJ 2 DO OB 1(cid:0) 2 IJ 2 1(cid:0) 2

trªn AB

EF 3

Bµi 4. Ta cã: C = a + b = (

(§PCM)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a ba a 4 7 ) 2 2 3 4 1 4 ab 3 4 123 4 1 4

1 4 ============================ ®Ò 18

C©u 1:

a. T×m sè m, n ®Ó:

m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x n x 1 xx ( )1 1

M =

2

2

2

2

b. Rót gän biÓu thøc: 1 1 a 5 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a a a 6 12 20 1 a 9 1 a 11 30

C©u 2:

a. T×m sè nguyªn d¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1. b. Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn.

C©u 3:

Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®êng trung trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF. C©u 4:

Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n:

; b =

a =

1969 (cid:0) 1971 2 1970

ễ

ườ

ỹ

§¸p ¸n 35

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  C©u 1:

(3®)

a. m =1 (0.75®); n = -1 (0.75®) b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc

(¸p dông c©u a)

(0.25®)

2

1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a 6

(0.25®)

2

3 1 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a 4 3 a 12

(0.25®)

2

1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a 20

(0.25®)

2

5 1 4 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a 5 6 a 1 a 5 1 a 7 1 a 9 1 a 11

30 §æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®îc :

M =

(0.5®)

1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a 2 ( 4 ).(2 )6

n5 + 1 n3 + 1 (cid:0) n2(n3 + 1) – (n2 –1)  n3 + 1

a 6 (2.5®) C©u 2: a. (1.5®) BiÕn ®æi:

(n + 1) (n – 1)  (n + 1)(n2 - n + 1) 0 )

(0.5®) (0.25®) (0.25®) (0.25®)

(cid:0)

(0.25®)

b.

(cid:0) n – 1  n2 – n + 1 (v× n + 1 (cid:0) NÕu n = 1 th× ta ®îc 0 chia hÕt cho 1 NÕu n > 1 th× n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n +1

(cid:0)

(cid:0)

Do ®ã kh«ng thÓ x¶y ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n 2 – n +1 trªn tËp hîp sè nguyªn d¬ng VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®îc lµ 1 n – 1  n2 – n +1 (cid:0) n(n – 1)  n2 – n + 1 n2 – n  n2 – n + 1 ( n2 – n + 1) – 1  n2 – n + 1 1  n2 – n + 1

(0.5®)

Cã hai trêng hîp:

n2 – n + 1 = 1 (cid:0) n(n – 1) = 0 (cid:0) n = 0 hoÆc n = 1

C¸c gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ®Ò bµi

(0.25®)

n2 – n + 1 = - 1 (cid:0)

n2 – n + 2 = 0 v« nghiÖm

(0.25®)

(cid:0)

VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè ph¶i t×m (3®) (H×nh *) C©u 3:

LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®êng trung b×nh

cña (cid:0) ACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA (1)

(0.25®)

ễ

ườ

ỹ

36

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

AG//IB (4)

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  T¬ng tù trong (cid:0) CBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB (2) Tõ BG(cid:0) AC vµ HE(cid:0) AC (cid:0) BG//IA (3) T¬ng tù AK(cid:0) BC vµ HF(cid:0) BC (cid:0) Tõ (3) vµ (4) (cid:0) BIAG lµ h×nh b×nh hµnh Do ®ã BG = IA vµ AG = IB KÕt hîp víi kÕt qu¶ (1) vµ (2) (cid:0)

BG = 2HE vµ AG = 2HF

(0.25®) (0.25®) (0.25®) (0.25®) (0.5®) (0.5®)

A

D

C©u 4: Ta cã:

I

E

(cid:0)

(1.5®) 19702 – 1 < 19702 1969.1971 < 19702

(*)

H

G

(0.25®)

B

K

C

F

Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*) ta cã:

H×nh *

(cid:0) (cid:0) 1971 1970 1969 .2 2 .

(0.25®)

2

2

(cid:0) (cid:0) .2 1970 2 1969 . 1971 .4 1970

(0.25®)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ( 1969 1971 ) 2( 1970 )

(0.25®)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 1969 1971 2 1970

VËy:

(0.25®)

(cid:0) (cid:0) 1969 1971 2 1970

=============================== ®Ò 19

Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc

2

2

A =

3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x : 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 10 x 6 36 2 x 2 x x 4

a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A? b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2 c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0 d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn bµi 2 (2,5®)

4

3

a. Cho P =

4

3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x x x x 2

1 Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x b. Gi¶i ph¬ng tr×nh

2

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 8 x x x x x 1 5 1 x 7 6 12 20 1 x 9 1 x 11 30

Bµi 3 (1®)

ễ

ườ

ỹ

37

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =

2 (cid:0)

(cid:0)

27 x x 12 9

vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn lît lµ

(cid:0)

Bµi 4 (3®) Cho ABC ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC a. CMR: E, A, H th¼ng hµng b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®îc kh«ng. c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt? Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) 8(cid:0)

§¸p ¸n

Bµi 1 (2,5®) sau khi biÕn ®æi ta ®îc;

(cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 x 2 6

0,5® (cid:0)0

A = (cid:0) x 2 a. TX§ = (cid:0)

0,25®

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x xx : ;2

Rót gän: A =

0,25®

(tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®

(cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 2 (cid:0) x 5,1(cid:0) x b. §Ó A = 2

c. §Ó A < 0 th×

(Tho· m·n ®k cña x) 0,5®

d. §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) ph¶i lµ íc cña 2. Mµ ¦ (2) =

1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 0 2 0 2 (cid:0) x 2

(cid:0)2;1;2;1 (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nhng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x 0,25® VËy x = 1; x =3.; x=4 0,25® Bµi 2 (2,5®)

4

3

1®

a. P =

4

3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 1

2

2

2

1 x Tö: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1) 0,25® MÉu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1) 0,25® Nªn mÉu sè (x2 + 1)(x2 -x + 1) kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn cña x 0,25®

v× tö = (cid:0)

vµ mÉu x2 + 1 >0

VËy P =

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 x `1 x x 1 1

x(cid:0) x víi mäi x 0,25® (cid:0) 0 Nªn P

ễ

ườ

ỹ

38

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

b. Gi¶i PT:

2

2

2

2

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  1 x 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 8 x x x x x 1 5 1 x 9 20 1 x 11 3

2

(cid:0) ...

1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 3 3 x 6

Trong ®ã TX§ = (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xx ;

- - - - 6 12 x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6) 1 2 x 5 (cid:0)6;5;4;3;2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + x x x = x x x x 2 ph¬ng tr×nh trë thµnh: 1 1 1 + + + + + x 4 4 5 5 6 1 8

2

= - 2 1 + + 3 1 + x 3 1 8 = - x x 8( + x ( + x 2)( 6)

2 + - 6 = x + = 6 = 2) + � x 12 32 2 + - � � x x = x = - x 8 x 8 = 20 0 2; 10

VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10 Bµi 3 (1®) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc

2

2

2

- x = A x 27 12 + 2 9

(

)

(

2

) 9

- - - - x + x + 2 x x 12 9 x = = = - (cid:0) - A 1 1 36 + 2 6 + x x x 27 12 + 2 9 9

(

) 2

A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1

hay x = A =

2

= � x - 6 0

(

)

(

)

(

) 2

.

A ®¹t

GTLN

lµ 4

2

+ + 2 - + - x + x 4 36 12 9 3 2 x = (cid:0) = - 4 4 x 2 x 4 + + x x x 27 12 + 2 9 9 9

(

) 2

+ = x = -� x 3 2 0 3 2

Bµi 4 (3®) a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®êng trung trùc cña ®oanh th¼ng EH vËy gãc EAH = gãcIAH (1) gãc FAD = gãcDAH (2) céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH + gãc FAD = gãcDAH + gãcIAH = 90 0 theo gi¶ thuyÕt hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 900 + 900 = 1800. Do ®ã 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng

ễ

ườ

ỹ

39

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

090

=

045

=

Y

AIDH

EHF

dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD

= D S S 2

Y

ABMQ

HBIS

HMB

EHF

ABC

ABCS(cid:0)

. T¹i vÞ trÝ h lµ trung ®iÓm

= < = � D D D D S S S S S

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 90 0 (hai gãc nhän tam gi¸c vu«ng) Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng) gãcCA = gãcHCA (tÝnh chÊt ®èi xøng) suy ra gãc EBA + gãc FCA = 900 haygãc EBA + gãc FCA + gãc ABC + gãc ACB = 1800 suy ra gãc EBC + gãc FBC = 1800 (hai gãc trong cïng phÝa bï nhau) do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang 0,75® Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× ph¶i cã gãc AHC = 90 0 ( ) ) E F= ) vËy H ph¶i lµ ch©n ®êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam gi¸c ABC Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM = HC. VËy H ph¶i lµ trung ®iÓm cña BC………….. 0,25® Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC ph¶i cã mét gãc vu«ng suy ra ) ) B C= ( ) ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× tam gi¸c ABC kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng c©n…..0,25® c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã: vËy Stam gi¸c EHF = Stø gi¸c ¶IPQ. Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB (g.c.g) suy ra víi H gÇn C h¬n ta còng cã:Stø gi¸c ABMQ < Stam gi¸c ABC khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã SEHF cña BC th× ta cã SEHF = SABC. Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× SEHF lµ lín nhÊt. Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8(cid:0) Do a, b, c lµ c¸c sè d¬ng nªn ta cã;

(

) 2 1

(a – 1)2

0,25® T¬ng tù (b + 1)2 (cid:0) 4b (2)………………0,25® (c + 1)2 (cid:0) 4c (3) …………0,25® Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã:

(b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 (cid:0) 64abc (v× abc = 1) ((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 (cid:0) 64 (b + 1)(a – 1)(c + 1) (cid:0) 8…..0,25®

=======================================

� � + 2 a � � a + 2 a + 2 a a " > � a 0 0 1 2 + a 2 1 4 � (1) …………

ễ

ườ

ỹ

40

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

®Ò 20

C©u I :(3®)

a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

A = x3 +8x2 + 19x +12 . B = x3 +6x2 +11x +6 .

b) Rót gän ph©n thøc :

3

2

.

3

2

C©u II : (3®) . 1 ) Cho ph¬ng tr×nh Èn x.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B x x x 8 x 6 x 19 x 11 12 6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .2 (cid:0) (cid:0) ax x 2

2 ) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau : 2x2 + 10x +19 > 0. C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ngêi ta lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.

a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña

K trªn IB.

b) Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I.

C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau : yx2 +yx +y =1.

x 2 ax a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi a = 4. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho ph¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm.

§¸p ¸n

Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1®) B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1®)

2)

(1®)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B x x x x x x x x ( ( )(1 )(1 )(3 )(2 )4 )3 4 2

Bµi II :1) . Ph¬ng tr×nh

(1)

§iÒu kiÖn: x (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) ( ( ( ( x )2 ax )

(1)

x2 – a2+ x2 – 4 = 2x2 + 2(2- a)x – 4a

- (a - 2)2 = 2(a - 2)x (*)

(cid:0) – a2 - 4 + 4a = 2(2- a)x (cid:0) a) víi a =4 thay vµo (*) ta cã :

4 =4x (cid:0)

x=1 (1®)

b) . Thay x= -1 vµo (*) ta ®îc. (a – 2 )2 + (a - 2)= 0

ax ) x )2 -2 vµ x (cid:0) a. (cid:0)

ễ

ườ

ỹ

41

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  (a - 2) (a – 2 + 2) = 0

a = 2

(cid:0)

a = 0 (1®)

2) . Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : 2x2 + 10x + 19 > 0 (1) BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®îc.

x . (1®)

2x2 + 10x + 19 = 2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7 =2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7 = 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7 = (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6 lu«n lín h¬n 0 víi mäi x Nªn bÊt ph¬ng tr×nh (1) NghiÖm ®óng víi (cid:0) Bµi III . AP // DQ

XÐt tam gi¸c IDQ cã . AP =

DQ

(cid:0)

Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã : (0,75® )

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AD ID AI IA 2 AP AQ IA ID

DB vµ AO lµ ®êng trung

b×nh cña (cid:0)

BID

§iÓm K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®êng trung tuyÕn cña (cid:0) BID ) . (0,75®) b). Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung ®iÓm O cè ®Þnh. MÆt kh¸c AC BD , BI DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh nhau . Nªn quü tÝch cña A lµ ®êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®êng th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B. (1®)

§¶o: Víi A vµ I ch¹y trªn c¸c ®êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP =

AB vµ CQ =

1 2 Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v× AO (cid:0)

CD.

1 2 1 3

ThËt vËy : Do AP // DQ suy ra

mµ AB = CD (cid:0)

§PCM. (0,5®)

Bµi IV: y x2 + y x + y = 1 . (1) NÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0.

(1)

y(x2 + x +1) = 1

(cid:0)

y= 1 (cid:0)

y = 1 ,x= 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AP DQ 2 IA ID AP AQ 1 2

ễ

ườ

ỹ

42

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

x2 + x +1 =1

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1). (1®)

===================================

®Ò 21

I. §Ò bµi:

+

+

Bµi 1:(2 ®iÓm)

Cho A =

2

2

2

2

2

2

+

+

+

b

1 2  c  ­ a

1 2  a  ­ b

1 2  b  ­ c

a

c Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

(x+1)4 + (x+3)4 = 16

1)

2)

- - - - x x x x 1001 1003 1005 1007 + + + = 4 1006 1004 1002 1000

Bµi 3:(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè:

+

+ + ...

,  n

Z

a =

kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn.

+

1 1.2

1 1 + 2.3 3.4

1 n.(n+1)

(cid:0)

Bµi 4:(3 ®iÓm)

Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ

DA.

a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao? b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng? c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ

MNPQ.

§¸p ¸n

Ta cã: a + b + c = 0 (cid:0) b + c = - a.

0.25

Bµi 1:(2 ®iÓm) ®iÓm

B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2

b2 + 2bc + c2 = a2 (cid:0)

b2 + c2 - a2 = -2bc

0.5

®iÓm

T¬ng tù, ta cã:

c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab

0.5

®iÓm

(cid:0)

­

­

­

=

=0

A =

(v× a + b + c = 0)

0.5

1 1 1 2bc 2ca 2ab

­(a+b+c) 2abc

®iÓm

(cid:0)

ễ

ườ

ỹ

43

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

VËy A= 0.

0.25

®iÓm

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

1) §Æt y = x + 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh:

2y4 + 12y2 + 2 = 16

0.5

(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 (cid:0) y4 + 6y2 -7 = 0 ®iÓm

0.5

§Æt z = y2 ta ®îc ph¬ng tr×nh: z2 + 6z – 7 = 0 cã hai nghiÖm lµ z1 = 1 vµ z2 = -7.

®iÓm

(cid:0)

(cid:0)

0.5

y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3. y2 = -7 kh«ng cã nghiÖm. ®iÓm

(cid:0)

2)

0.5

®iÓm

1

1

1

1

+

+

+

- - - - x x x x 1001 1003 1005 1007 + + + = 4 1004 - - - - x x 1002 x 1000 x 1006 1001 1003 1005 - + 1007 - = � - + 1 - + 1 1 1 0 1006 1000 - - - - x x x 1002 x 2007 1004 2007 2007 2007 + + + = � 0 1006 1004 1002 1000

�

x

(

2007)

0

= 0

0.5

� � 1006 1004 1002 1000 �

� = � �

®iÓm

1

1

1

1

+

+

- (cid:0) x - ( 2007)

0

x =

2007

0.5

V×

� � �

� + � 1006 1004 1002 1000 � ®iÓm

(cid:0) (cid:0)

Bµi 3:(1,5 ®iÓm) Ta cã:

+

...

a =

1 1 + 2 3

1 + + 4

1 3

1 2

1 n+1

1 � � � � � � � 1 � � � � � � � n � � � � � � �

� � �

0,5®iÓm

- - - -

=

;

0.5

®iÓm

MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn

0.5

®iÓm

n - 1 1 1 < = n+1 n+1

ễ

ườ

ỹ

44

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Bµi 4:(3,5 ®iÓm) VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt - kÕt luËn ®óng

0.5 ®iÓm

b

n

m

c

a

p

q

d

a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh

1 ®iÓm

b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, AC ^ BD 1

®iÓm

c)

;

0.5

SABCD =

; SMNPQ =

2a 2

2a 4

®iÓm

ABCD

0.5

MNPQ

®iÓm

= � 2 S S

========================= ®Ò 22

Bµi 1 (3 ®iÓm) a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24 Bµi 2 ( 3 ®iÓm)

2

2

a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph¬ng tr×nh:

2

b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B =

víi x # 0

4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x 1 2 2 3 7 6 x 2 x 2

(cid:0)

x 1 x 2 (cid:0) (cid:0) x x

Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P =

3

5 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 x x x 3 2 3

Bµi 4 ( 3 ®iÓm )

Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME

vu«ng gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E (cid:0)

AB ; F (cid:0)

AC )

ễ

ườ

ỹ

45

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB 2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M. b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt. c. Chøng tá ®êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh

( 2®iÓm )

§¸p ¸n Bµi 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120 KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)

(1 ®iÓm )

=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2) Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A  24 2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi 2: a.

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 x x x x x 1 2 2 3

2

B=

víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®îc B max = 1/2 th× x = 1(cid:0)

( 1, 5 ®iÓm )

4

7 6 T×m ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

(cid:0) x 1 x

Bµi 3 Rót gän biÓu thøc:

2

P =

( 1®iÓm )

3

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P . 5 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 6 x .2 2 x x x x 3 x 3 3 2 2 1 1

Bµi 4: Gi¶i a. chøng minh ®îc

(0,5 ®iÓm )

F C . BA + CA. BE = AB2 + Chøng minh ®îc chu vi tø gi¸c

MEAF = 2 AB

( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm ) b. Chøng tá ®îc M lµ trung ®iÓm BC Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm ) c. Chøng tá ®îc ®êng th¼ng MH (cid:0)

EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )

ễ

ườ

ỹ

46

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ề

Đ  23

Câu 1: (4đ)

ử

ứ a, Phân tích đa th c sau thành nhân t A = ( x2 ­2x)(x2­2x­1) ­ 6

ứ

ằ

b, Cho x (cid:0)

Z  ch ng minh r ng  x

200 + x100 +1 x4 + x2 + 1

Câu 2: (2đ)

ả

Cho x,y,z  (cid:0) 0 tho  mãn  x+ y +z = xyz  và

+

+

=  3

1 y

1 z

ị ủ

ứ

ể

Tính giá tr  c a bi u th c  P =

2

2

2

1 x 1 z

1 x

1 y

a,

(cid:0) (cid:0)

Câu 3: (3đ)  Tìm x bi 3 (cid:0)x (cid:0)x

x

x

tế 2 43

< 5x ­4 (cid:0)x 46

49

52

b,

+

=

57

54

51

48

Câu 4: (3đ)

ứ

ằ

ọ

(cid:0) N*

ấ ủ

ể

ỏ

3 + (n+1)3 +( n+2)3  9  v i m i n  ớ a, Ch ng minh r ng A = n ứ ị b, Cho x,y,z > 0  Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c

x

y

z

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

P =

y

z

z

x

x

y

Bài 5: (6đ)

ạ

Cho tam giác ABC vuông t

i A (AC > AB), đ

ườ

ể

ạ

ấ l y đi m D sao cho HD = HA. Đ ng vuông góc v i BC t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ạ

ộ

ồ

ứ

1. Ch ng minh r ng hai tam giác BEC và ADC đ ng d ng. Tính đ  dài đo n ạ

ằ BE theo  m AB= .

ứ

ể

ằ

ọ

2. G i M là trung đi m c a đo n BE. Ch ng minh r ng hai tam giác BHM và

ạ

ồ

ủ ố

ạ ủ

BEC đ ng d ng. Tính s  đo c a góc AHM

(cid:0) BC). Trên tia HC  ườ ng cao AH (H ắ ạ ớ i D c t AC t i E.

ắ

ạ

3. Tia AM c t BC t

ứ i G. Ch ng minh:

.

ằ

ố

ố

ỉ  , ch

ươ

ộ ố ự

ố

Bài 6: (2 đ)  ố ự ứ    Ch ng minh r ng các s  t ủ ậ ộ ố có m t s  là l p ph

ạ  nhiên có d ng 2p+1 trong đó p là s  nguyên t  nhiên khác.Tìm s  đó.

ng c a m t s  t

= HD + GB BC AH HC

Đ  23ề

ễ

ườ

ỹ

47

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Câu1(4đ)

ặ

2 ­2x  thì x2 ­2x ­1 = a­1

.1đ 1đ

1đ

6­1 =( x3­1)(x3+1)= (x+1)(x­1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1

ế

a,đ t a = x (cid:0) A = (x+1)(x­3)(x2­2x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200­x2) + (x100­x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x198­1)+x4(x96­1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33­1)+x4((x6)16­1) + (x4+x2=1)= x2(x6­1).B(x) +x4(x6­1).C(x) +(x4 +x2+1)  ễ ấ d  th y x (cid:0) A chia h t cho x

4 + x2 + 1

1đ

Cau 2 : (2đ

2)

Có (

+ 2(

=

2

2

2

0.75đ

1 y

1 z

1 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ) 1 x 1 y 1 xy 1 xz 1 yz 1 z

ậ

(

2)3 = p + 2

v yP+2=3

0,75đ

(cid:0) (cid:0) z x

suy ra P = 1

0.5đ

ả

i  4­5x < 3x +2< 5x ­ 4

ượ

Câu 3:  (3đ)

c x> 3  ỗ

ứ ồ ặ

chung

1đ 0.5đ 1đ

y xyz

gi làm đúng đ ử ộ b, C ng 1 vào m i phân th c r i đ t nhân t (cid:0)100

) = 0  (cid:0)

(x+100)(

S = (cid:0)

0.5đ

Câu 4:  3đ

0.5đ

ặ

3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3

0,5đ

ủ

ố ự

nhiên

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 54 1 51 1 48 1 57

ế

ế  B  chia h t cho 3

A =3B  chia

0,5đ

a,  = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đ t B= n =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) ế ấ Ta th y n(n+1)(n+2) chia h t cho 3 ( vì tích c a 3 s  t liên ti p )ế 3(n+1) chia h t cho3   ế h t cho 9

(cid:0) (cid:0)

ặ

b, Đ t y+z =a ; z+x =b ; x+y = c

x+y+z =

; y =

; z=

x =

0.5đ

P =

=

(cid:0) (cid:0) (cid:0) cba 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba 2 cba 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba 2 cba a

=

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1( 1 ) 1 cba c 2 b c a c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (3( ) ( ( )) ) 2 b a b a cba b 2 c b a c a b c a b c c b c a a b 1 2 1 2 3 2

ễ

ườ

ỹ

48

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

1đ

Min P =

ỉ  ( Khi và ch  khi a=b=c

x=y=z

Câu 5:  (2đ)

+   Hai   tam   giác  ADC và BEC có:    Góc C chung.

0,25 đ 0,25 đ

(Hai tam

CD CA = CE CB

giác vuông CDE và

ạ

ồ CAB  đ ng d ng)

ạ

0

(cid:0) 3 2

(vì tam giác AHD vuông cân t

iạ

0,25 đ 0,5 đ

thi

(cid:0) 135

ạ

i  A.

=

ồ   Do đó, chúng d ng d ng (c.g.c).  Suy ra: (cid:0) BEC= (cid:0) ADC ế ả t). H theo gi (cid:0) AEB Nên  do đó  tam giác ABE vuông cân t 045 =  Suy ra:  BE AB

m

2

2

0,25 đ 0,5 đ

0,5đ

=

(cid:0)

)

Ta có:

~ ADC

AD �  (do BEC AC

1 2

b) 2đ

ạ

mà

i H)

(cid:0) (cid:0)

nên

(do ABH   Đ ngồ

BE 1 =� BC 2  (tam giác AHD vuông vân t 2 AD AC

1đ

ạ

ồ

BM BC AD AH= BM BC ạ d ng      CBA) Do đó        BHM đ ng d ng       BEC (c.g.c)

0

AH 2 = = = = � � BH BE AC 1 2 1 2 BH AB 2

045

0,5đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AHM BEC

i A, nên tia AM còn là phân giác

C) 2đ

Suyra:

,

suy ra: BHM Tam giác ABE vuông cân t góc BAC. GB AB = GC AC

135 ạ

1đ

vì ABC

~ DEC

nên

(DE//AH)

=

�

�

1đ

Do đó:

GB +

HD +

HD +

GB HD = GC HC

GB BC AH HC

ặ

Câu 6

= GB GC HD HC 3  (a >1) Ta có 2p=(a­1)(a2+a+1)

1đ

nên:

ả

0,5đ

ả

2+a+1 =2 đi u này không x y ra vì a >1

ố

ộ ố ự

ở ỉ

ủ

ậ

Đ t: 2p+1=a ố ố Vì p là s  nguyên t ặ Ho c : a­1=2  suy ra p=13 ( tho  mãn) ề Ho c: aặ ố   ố ự  nhiên  có dang 2p+1 (p là s  nguyên t ) V y trong các s  t ươ ố ch  có 1 s  là l p ph

ng c a m t s  t

nhiên khác.

0,5đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AB AC ED DC AH HC HD HC

ễ

ườ

ỹ

49

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ề

Đ  24

Câu

1   :  (4đi m)ể

ị ể

ứ

a. Cho: 3y­x=6 Tính giá tr  bi u th c: A=

x 2y

x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ứ

b. Cho  (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c (cid:0) 0.  Ch ng minh :

y3x2 6 1 3 a

1 3 b

1 3 c

3 abc

Câu 2: (3đi m) ể

2

2

2

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

z

a. Tìm x,y,x bi

t : ế

x 2

y 3

z 4

y 5

ả

ươ

b.Gi

i ph

ng trình : 2x(8x­1)

2(4x­1)=9

Câu 3: (3đi m)ể

ứ

ế

a. Ch ng minh : a

5 ­ a chia h t cho 30 v i a

ớ (cid:0) Z

ứ

ằ

ố

ươ

ớ

b. Ch ng minh r ng :  x

5 – x + 2 không là s  chính ph

ng v i m i x

ọ (cid:0) Z+

Câu 4: (2đi m)ể

ấ ẳ

ứ

ứ

Cho a,b,c>0 Ch ng minh b t đ ng th c :

Câu 5: (6 đi m)ể

ọ

ườ

ự

cho tam giác ABC nh n có các đ

ng cao AA’ ;BB’;CC’ Có tr c tâm H

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ổ

a)tính t ng :

ọ

ứ ự

ủ

ủ  là phân giác c a các góc  AIC;

ứ

G i AI là phân giác c a tam giác ABC IM; IN th  t AIB(M(cid:0) AC;N(cid:0) AB ch ng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM

2

(cid:0) (cid:0) CH CC AH ' A  A' BH BB ' '

ứ

ệ

ể

ề

ỏ

c)Tam Giác ABC th a mãn Đi u ki n gì thì bi u th c :

2

(cid:0) (cid:0)

ỏ

ấ ị ạ đ t giá tr  nh  nh t

Câu 6(2đi m)ể

ố ữ ỷ

ứ

ằ

ế  Ch ng minh r ng n u a,b,c là các s  h u t

và ab+bc+ac=1 thì

ằ

ươ

(1+a2)(1+b2)(1+c2) b ng bình ph

ủ ố ữ ỉ ng c a s  h u t .

ế

……………..H t…………………….

Đ  24ề

(cid:0) (cid:0) AB ( 2 A A' BC 2 BB ' CA ) CC '

ễ

ườ

ỹ

50

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

ộ

N i dung

đi mể 0,5đ

3y­x=6 (cid:0)

x=3y­6

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Bài Bài1 a) 2đ

1,5đ

Thay vào ta có A=4

Vì:   (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c (cid:0) 0.

ab

ac

bc

0

b) 2đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ab

bc

0

ac abc

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

0

1 a

1 b

1 c

1đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

;x

;y

z

Đ t :ặ

1 a

1 b

1 c

ứ

ế

1đ

ch ng minh bài toánN u   x+y+z=0 thì:  x3+y3+z3=3xyz (cid:0)

đpcm

2

2

2

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

z

.

:

x 2

y 3

z 4

y 5

1đ

2

2

2

2

2

2

Bài  2: a) 1,5đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

=0

x 2

x 5

y 3

y 5

z 4

z 5

0,5đ

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0

x

zy

x3 10

y2 15

z 20

ươ

.ph

ngtrình:

2

2

b) 1,5đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x64(

x8)(1x16

9)x2

2x(8x­1)2(4x­1)=9

0,25đ

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x64(

x64)(1x16

)x16

72

ặ đ t :64x

2­16x+0,5=k

0,5đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

k 2

25,72

k

5,8

Ta có pt :  (k+0,5)(k­0,5)=72

0,25đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ớ

V i k=8,5    Ta có x=

x;

1 4

1 2

(cid:0) (cid:0)

ễ

ườ

ỹ

51

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ớ

ươ

ệ

V i k=­8,5 ph

ng trình vô nghi m

0,25đ

ậ

ươ

V y ph

ệ ng trình có 2nghi m x=­1/4và x=1/2

0,25đ

,    có: a5­a=a(a4­1)=a(a2­1)(a2+1)=a(a­1)(a+1)(a2­4+5)

0, 75đ

= a(a­1)(a+1)(a+2)(a­2)+5a(a­1)(a+1)

Bài 3 a) 1.5đ

ố

vì a nguyên nên a(a­1)(a+1)(a+2)(a­2) là tích 5 s  nguyên liên

0,25đ

ế

ti p nên

30 (2)

ủ

ế

ố

ớ

5a(a­1)(a+1)là tích c a 3s  nguyên liên ti p v i 5 nên chia

0,25đ

ế h t cho 30

ừ

T  (1); (2) suy rađpcm

0,25đ

ừ

b) 1.5đ

b,T  bài toán trên ta có:  x

x5­x+2 chia 5 d  2ư

0,75đ

5­x 5 (cid:0)

ậ

ạ

ố

x5­x+2   có   t n   cùng   là   2   ho c   7   (không   có   s   chính

ươ

ậ

ặ

ậ

ph

ng nào có t n cùng là 2ho c 7)           V y:

0,5đ

(cid:0)

(cid:0) Z

ố

ươ

ọ

ớ

x5­x+2 không th  là s  chính ph ế

ng v i m i x

0,25đ

(cid:0)

a

b

c

ặ đ t

A=

=

Câu4 2đ

b ac

c ba

a bc

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1đ

c

ab

=

b ac

1 2 a

a bc

c b

2

2

2

0,5đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

abc

=

c b

a 2 b

b a

b 2 c

c 2 a

1 abc

a c

0,5đ

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

abc

a c

c 2 a

c b

b 2 c

b a

a 2 b

1 abc

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ứ ả

ẳ

tacó x+

>0 Nên A (cid:0) 8 đ ng th c x y ra khi a=b=c=1

(cid:0) x (cid:0) 2 1 x

ễ

ườ

ỹ

52

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

A A

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  câu 5 a)

C’ C’

x x

B’ B’

H H

N N

M M

I I

A’ A’

C C

B B

D D

AHC

Ta có :

(1)

AHBS S

ABC

BHC

1 đ

ươ

ự

T

ng T :

(2)

AHBS S

ABC

(cid:0) ( BA ' AHCA ). ' (cid:0) S 1 2 (cid:0) (cid:0) AH AA ' AH BC . 1 2 (cid:0) S (cid:0)

AHC

(3)

CHBS S

ABC

0,25 đ

AHB

BHC

CHA

ừ

T  (1); (2); (3) ta có:

=

ABC

0,25 đ

b.

ấ ườ

ng phân giác  vào các tam giácABC,

0,5 đ

(cid:0) BH BB ' S (cid:0) (cid:0) CH CC (cid:0) (cid:0) S S (2 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 S S CH CC AH ' A  A' BH BB ' '

;

;

suy ra

ụ     b) áp d  ng tính ch t đ ABI, AIC: BI IC

AN NB

AB AC

AI BI

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

.

.

.

.

.

1

0,75 đ

IC AI AB AC

IC BI

BI IC

AC AB . AC AB .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

c)

BI

.

.

0,75 đ

CM MA AB AI IC AC BI AI AMICBN ọ ể ượ

0,5 đ

(cid:0) (cid:0)

ể

i A nên: AB

0,5 đ

ươ

ng t

0,25 đ

ứ

CM MA CMAN . (cid:0) CC’. G i D là đi m đ i x ng c a A qua Cx                ủ ố ứ     c góc  BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’     BC + CD                                 2+AD2 = BD2                                  (BC+CD)2                                                     (BC+AC)2  (BC+AC)2 – AB2                                                         (AB+AC)2 – BC2  (AB+BC)2 – AC2                                           (AB+BC+AC)2

2 + BB’2 + CC’2)  (cid:0)

2

(cid:0)

4

AB( 2

c : 4(AA’ )CA 2 'CC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

BC = AC, AC = AB, AB=BC

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

ẳ ứ

ề

AN NB . c)V  Cx  ẽ ứ ­Ch ng minh đ ­ Xét 3 đi m B, C, D ta có: BD ­ (cid:0) BAD vuông t ạ     (cid:0)   AB2 + AD2    (cid:0)         AB2 + 4CC’2  (cid:0)                   4CC’2  (cid:0) 2  (cid:0) ự :  4AA’ T                   4BB’2   (cid:0) ượ ­Ch ng minh đ BC 2 'AA 'BB ứ ả (Đ ng th c x y ra   T c tam giác ABCđ u

Câu6  có                          1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b)

0,25 đ 1đ

(cid:0)

ễ

ườ

ỹ

53

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

ươ

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  2đ

1+b

2  =(a+b)(b+c)

ng t

ự                  T                                         1+c2=(b+c)(a+c)

2

2

(cid:0) 2

0,5đ 0,5đ

2 )c1)(b1)(a1(

a

ab

cbc

đpcm

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ề

Đ  25

Bài 1: (5 đi mể )

=

A

1

ứ

ể Cho bi u th c:

2

+

x

1 1 + 2 2x 1 x

x 1 3 x

2 1 � � + + � � ) 3 + � � x x 1

� � ( � �

� - � � + 1 : � � � � � � �

ể

ị

ề

ệ

a/ Thu g n  Aọ ể ị ủ b/ Tìm các giá tr  c a x đ  A<1 ủ ị c/ Tìm các giá tr  nguyên c a x đ  Acó giá tr  nguyên Bài 2: (3đi mể ) Cho a , b , c th a mãn đi u ki n   a

2 + b2 + c2 = 1

ứ

ỏ Ch ng minh

: abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0

ươ

i ph

2

ng trình: 6 2 y

Bài 3 (4 đi m)ể : ả              a) Gi 1 10

ố

y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 9 3

ế ằ

t r ng đa

ề

ế

ầ ượ

ủ

t là trung đi m  c a AB và CD.

ữ ậ ẽ

ể ố ủ

ố

i M.Trên

ớ ố ủ

ắ ọ

ể

ể

ấ

ủ K và

ạ ừ

ườ

ứ

ọ

ố

ố

ể

K xu ng BM. Ch ng minh b n đi m A, I,

ng vuông góc h  t ẳ ộ ườ ng th ng.

ươ

ủ

3 ứ 2 31 2+bx+c, trong đó b và c là các s  nguyên. Bi

ng trình:       x

6+3x2+1=y3

Đ  25ề

N I DUNG

Ộ 2

y 1   b)    Cho đa th c P(x) = x th c ứ       x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đ u chia h t cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (6 đi m)ể : ọ Cho hình ch  nh t có AB= 2AD, g i E, I l n l ạ ớ N i D v i E. V  tia Dx vuông góc v i DE, tia Dx c t tia đ i c a tia CB t tia đ i c a tia CE l y đi m K sao cho DM = EK. G i G là giao đi m c a D EM. ố a/ Tính s  đo góc DBK. b/ G i H là chân đ ằ G, H cùng n m trên m t đ Bài 5: (2 đi m)ể ệ           Tìm nghi m nguyên c a ph

1đ

ĐKXĐX(cid:0) {0;1;­1}

2

3

2

A= (cid:0)

BÀI Bài 1 a)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 x x x ( )1 (cid:0) (cid:0) x x x 2 .1

ễ

ườ

ỹ

54

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

2

3

0,5đ

A=

2

2

(cid:0)

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  x ( )(1

A=

0,5đ

(cid:0) (cid:0) )1 x x x )1 (

Tacó:1­A=

>0 khi x­1<0 suy ra x<1

x x 1(cid:0)x (cid:0)

b)

1đ

(cid:0)

ế ợ

ệ

ị K t h p v i đi u ki n xác đ nh ta có:A<1 khi:x<1 và x≠0;­1

0,5đ

A= 1+

1 1 ề x ớ

c)

ể

ố

ướ

c

1đ

ị ầ

Vì x nguyên nên x­1 nguyên đ  A là s  nguyên  thì x­1là  c a 1ủ ặ Ho c x­1=1 suy ra x=2 ặ Ho c x­1=­1 suy ra x=0 (loai) ở  V y x=2 là giá tr  c n tìm

0,5đ

Bài 2: Đ t A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a

ặ ế

2+b2+c2=1 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1

(1)

0,5đ 0,5đ

ế

ế

0,5đ 0;5đ

1+a)(1+b)(1+c) +(­abc)

1 (cid:0)x 1

nên (1+a)(1+b)(1+c) 0(cid:0)

0(cid:0)

ừ

0,5đ 0,5đ

N u abc >0  ta có:A=abc+a A=(a+b+c+1)2+abc 0(cid:0) N u: abc<0 ta có: A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)­abc ổ ượ c :A=( Bi n đ i đ Vì ì a2+b2+c2=1nên ­1 Và ­abc 0(cid:0)  nên A 0(cid:0)  (2) T  1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)

(cid:0) (cid:0) cba ; ; 1

0,75đ

ế

ổ

ươ

Bi n đ i ph

Bài 3: a)

0,25đ

Đkxđ: y(cid:0)

{3;

}

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y y y 1 )(1 3( )3 3( 2 3)(1 )1

ậ

ươ

ệ ng trình có nghi m duy nh t y=1

b)

ề ng trình v : 1 (cid:0) ; 3 3y+1=­2y+6 y=1(tho  mãn) v yph ỉ

ừ ả

ả ế t ch  ra: 14x

thi

(cid:0) T  gi

2­28x +70 chia h t cho x

ấ 2+bx+c

1 3 (cid:0)

ế ố

(x2­2x+5 )(x2+bx+c) mà b; c là các s  nguyên nên b=­2; c=5

Khi đó P(1) =12­2.1+5 =4

0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ

(cid:0)

ễ

ườ

ỹ

55

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

ạ

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Bài 4:

0,5đ

E

B

A

0,5đ

ỉ ồ ứ Ch ng minh Tam Giác BEC đ ng d ngTam giác DCM theo t   s  1/2ố ứ   ừ T  đó ch ng minh:CK=ED (1) EB=BC (2)    BCK

C

D

t

I

(cid:0) (cid:0)

BED (cid:0) =1350 (3) ừ : (1);(2);(3)suy ra:         BED BCK

1đ

G

K

H

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ccg ). (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( CBK EBD

0,5đ

090

b)

M

ứ

ữ

giác DEKM là hinhch

0,5đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) DBK

ạ

i M

ủ

0,5đ

ườ

ớ

ng trung

ẳ

ạ

i Cvà H nên    KH= CI

ứ

giác DIKH là hình bình hành

ạ

ể

ủ

ạ

ồ

ữ ậ  giác DEKM là hình ch  nh t i G là trung đi m c a DK

(cid:0)

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ 0,25đ 0,5đ

IH (2)

ẳ

ứ Ch ng minh t nh t ậ Suy ra tam giác CKM vuông cân t ể H là trung đi m c aCM AI//DM (cùng vuông góc v i DE) HI//DM (T/c đ bình) nên A; ;I;H th ng hàng (1) Các tam giác CIH; CHK vuông cân t =DI Mà DI//KH nên t ứ L i có t Do đó EM; DK; IH đ ng qui t v y: Gậ ử T  (1); (2) ta có  A;I;G;H th ng hàng ớ

Bài 5: V i x≠ 0 ta có 3x

4>0; 3x2>0  ta có ươ

ệ

ng trình vô nghi m

3=1 suy ra y=1 ệ

ấ

(x2)3 

ng trình có nghi m nguyên duy nh t(x;y)=(0;1)

0,5đ 1,0đ 0,25đ 0, 25đ

(cid:0)

Ố

Ề

Đ  THI S  26

Câu 1: (4,0 đi m)ể

ử

ứ Phân tích các đa th c sau thành nhân t

:

a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 đi m)ể

ứ

ể  Cho bi u th c :

2

2

+

x

=

A

(

) : (

)

4 2

2

+

x x

x

x x

x 3 3 x

2 2

2 2

4

x x 2

- - - - - - -

ễ

ườ

ỹ

56

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ứ

ể

ọ

ồ

ể ậ ề a) Tìm ĐKXĐ r i rút g n bi u th c A ?

ể

ị ủ b) Tìm giá tr  c a x đ  A > 0?

ườ

ợ

ị ủ c) Tính giá tr  c a A trong tr

ng h p : |x ­ 7| = 4.

Câu 3: (5,0  đi m)ể

ỏ

ươ

a) Tìm x,y,z th a mãn ph

ng trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z ­ 6y + 20 = 0.

2

2

2

ằ

b) Cho

2

2

2

Câu 4: (6,0 đi m)ể

ườ

ơ ườ

ớ

ọ

Cho hình bình hành ABCD có đ

ng chéo AC l n h n đ

ng chéo BD. G i E,

ầ ượ

ế ủ

ố

ườ

ầ ượ

ẳ

F l n l

t là hình chi u c a B và D xu ng đ

ọ ng th ng AC. G i H và K l n l

t

ố

ườ

ẳ

ế ủ là hình chi u c a C xu ng đ

ng th ng AB và AD.

ứ

ứ

ề

a) T  giác BEDF là hình gì ? Hãy ch ng minh đi u đó ?

ứ

ằ

b) Ch ng minh r ng : CH.CD = CB.CK

ứ

ằ

c) Ch ng minh r ng : AB.AH + AD.AK = AC

2.

+ + 0 1 + + = . Ch ng minh r ng :  ứ = . 1 a x b y c z x a z + + =  và  c y b x a y b z c

ƯỚ

Ẫ

Ấ

H

NG D N CH M THI

ộ

N i dung đáp án

Đi mể

Bài 1 a

3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = = 3x(x ­2) – (x ­ 2) = (x ­ 2)(3x ­ 1).

b

a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x ­ a) – (x ­ a) = = (x ­ a)(ax ­ 1).

Bài 2: a

2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0

ễ

ườ

ỹ

57

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ể ậ ề ĐKXĐ :

2

1,0

(cid:0) - (cid:0) x 2 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0)

2

4 0 + �۹� x 0 2

2

3

2

2

2

2

2

- (cid:0) (cid:0) x � x � � (cid:0) x 3 x � 2 � � x x 3 0 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 2

1,0

2

+ - - - - - x x ) x + (2 = - - A ( ) : ( . - - - - - x x 4 2 x x x 2 2 4 2 + 2 x x 2 x 4 + x )(2 (2 x ) x (2 x x ( x ) = 3) 0 + 2 x ) (2

0,5

2

- x x ) = . - - x 3 = ) 3 x 24 x x (2 x x (2 ) x 3

0,25

+ 8 + )(2 + - x x = = - - - 4 x x x 4 ( x (2 ) 3) 3

ậ

ớ

0,25

V y v i

thì

.

b

1,0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = x x x 0, 2, 3 A - x 2) (2 + x x )(2 )( 24x x 3

0,25

V i ớ

24 x x 3

> > � x x x A � � �� 2 : 3, 0, 0 0 -

3 0 TMDKXD )

ậ

V y v i x > 3 thì A > 0.

c

0,25 0,25 0,25 1,0

x - >� >� x 3( ớ

0,5

(cid:0) x 4 x - = (cid:0) 7 4 (cid:0) (cid:0) x - = 7 - = - 7 4

0,25

ớ

0,25

V i x = 11 thì A =

= (cid:0) x TMDKXD 11( (cid:0) (cid:0) = (cid:0) x ) KTMDKXD 3( )

Bài 3 a

5,0 2,5

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z ­ 6y + 20 = 0

121 2

(cid:0)

2

2

2

(cid:0)

(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0  9(x ­ 1)2 + (y ­ 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) Do :  3)

- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) y + z 0;( 1) 0

0;(  x = 1; y = 3; z = ­1

V y (x,y,z) = (1,3,­1).

b

1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5

x 1) ( Nên : (*) (cid:0) ậ

ừ

0,5

T  :

2

0,25 0,5

+ + = = � 0 0 a x c z (cid:0)

Ta có :

= + + = � 1 1 ( ) b ayz+bxz+cxy xyz y ayz + bxz + cxy = 0 x z a c y + + b z c y b x a

ễ

ườ

ỹ

58

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

2

2

2

0,5

2

2

2

+ + + + + � 2( = ) 1

0,5

2

2

2

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  x a 2 x a

2

2

2

+ + + + + = � 2 1 z c 2 z c xy xz yz bc ac ab cxy bxz ayz abc

0,25

2

2

2

Bài 4

6,0

+ + = � dfcm 1( ) y b 2 y b x a y b z c

H

C

B

0,25

F

O

E

A

K

D

a

ứ

Ta có : BE ^ AC (gt); DF ^ AC (gt) => BE // DF Ch ng minh :  => BE = DF ứ Suy ra : T  giác : BEDF là hình bình hành.

b

D - - DFO g c g = D BEO ( )

2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0

Ta có:  ﾵ ứ Ch ng minh :

ﾵ ﾵ = ABC ADC D D - ﾵ = HBC KDC : � CBH CDK g g (

0,5

b,

� � = CH CD CK CB . . ) CH CK = CB CD

1,75 0,25

Ch ng minh :

D D - : D AF AKC g g ( )

0,25

= � � F AC AD AK . A .

0,25

0,25

ứ AK AF = AD AC ứ Ch ng minh :  CF AH =� CD AC

D D - : CFD AHC g g ( )

0,5

Mà : CD = AB

0,25

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC  =  (CF + AF)AC = AC2  (đfcm).

= � � = AB AH CF AC . . CF AB AH AC

Ề Ố Đ  S  27

ễ

ườ

ỹ

59

Câu1.  Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  ứ

ừ ố a. Phân tích các đa th c sau ra th a s :

4+ +

+

+

+

4x ) ( ( x 2 x

) ( 3 x

) 5

4

-

ả

b. Gi

) ( 4 x + 2 30x

31x

24 = 30

0

+

=

+

=

1

ứ

ằ

c. Cho

. Ch ng minh r ng:

0

ng trình:    b +

x c +

2 c +

ươ i ph a + b c

+ c a a b

2 a + b c

2 b + + c a a b

2

x

2

+

A

ể

ứ

2

- -

4 2 x

1 + + x 2

10 x + x 2

� � - +� : x 2 � ��

�- � �

ọ

ứ

ể

a. Rút g n bi u th c A.

ị ủ

� = � x �   ế (cid:0) x(cid:0)  = b. Tính giá tr  c a A , Bi t

1 2 .

ể

ị ủ c. Tìm giá tr  c a x đ  A < 0.

ủ

ể

ị

ị

Câu2.  Cho bi u th c:                           d. Tìm các giá tr  nguyên c a x đ  A có giá tr  nguyên.

ể

ộ

ỳ

ườ

ẻ

ng chéo BD. K  ME

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là m t đi m tu  ý trên đ ^ AB, MF ^ AD.

ứ ứ

ẳ

ồ

ng th ng: DE, BF, CM đ ng quy. ể

ể ệ

ứ

ị

ị

ấ

ớ

DE CF= a. Ch ng minh:  ườ b. Ch ng minh ba đ ủ c. Xác đ nh v  trí c a đi m M đ  di n tích t

giác AEMF l n nh t.

Câu 4.

9

ố ươ

ứ

ằ

ằ

ổ

ng a, b, c có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng:

a. Cho 3 s  d

1 1 1 + (cid:0) + a b c

b. Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002

- -

Tinh: a2011 + b2011 Ẫ ƯỚ

Ọ

Ấ

Ỏ Ớ

H

NG D N CH M THI H C SINH GI

I L P 8

Đáp án

Đi mể

Câu Câu 1 (6 đi m)ể

a. x4  + 4 = x4  + 4x2  + 4 ­ 4x2         = (x4 + 4x2  + 4) ­  (2x)2

= (x2 + 2 + 2x)(x2  + 2 ­ 2x)

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) ­ 24

(2   đi m)ể

4

x

= 30

0

- -

(2   đi m)ể

b.   ( 2x

= (x2  + 7x  + 11 ­ 1)( x2 + 7x + 11 + 1) ­ 24 = [(x2  + 7x  + 11)2 ­ 1] ­ 24 = (x2  + 7x  + 11)2 ­  52 = (x2  + 7x  + 6)( x2  + 7x  + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2  + 7x  + 16) + 2 30x ) ( + 1 x x

31x ) ( + 5 x

<=>  0

) = 6

(*)

- -

ễ

ườ

ỹ

60

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Ẫ

ƯỚ

Ấ

Ọ

Ỏ Ớ

H

I L P 8

Vì x2 ­ x + 1 = (x ­

> 0  x"

)2 +

NG D N CH M THI H C SINH GI 3 4

1 2

 (*)  <=> (x ­ 5)(x + 6) = 0



6

- = x 5 0 � � + = x 6 0 �

= x 5 �(cid:0) � = - x �

=

+

1

ế ủ

c +

b +

+ c a a b

(2   đi m)ể

2

ả c. Nhân c  2 v  c a:  ọ (cid:0) ớ v i a + b + c; rút g n  x

a + b c đpcm 2

=

+

A

ứ

ể

Bi u th c:

2

1 + + x 2

10 x + x 2

� � x �

� � - +� : x 2 � ��

�- � �

- -

=

A

ọ ượ

c kq:

a. Rút g n đ

-

4 2 x 1 x 2

(1.5   đi m)ể

-

=

x

x

=� x

ho c ặ

b.

1 =   2

1 2

1 2

Câu 2 (6 đi m)ể

=

A

=� A

ho c ặ

4 5

<

x 2

4 3 >� c.  A 0

-

A Z

Z ...

x

} 1;3

� �

{ � � �

d.

-

1 x 2

(1.5   đi m)ể (1.5   đi m)ể (1.5   đi m)ể

E

A

B

HV + GT + KL

(1   đi m)ể

F

M

Câu 3 (6 đi m)ể

D

C

ứ

AE FM DF

a. Ch ng minh:

-

đpcm

(cid:0) D

EFC

ườ

ủ

=  (cid:0) DFC ng cao c a

đpcm

= = D AED b. DE, BF, CM là ba đ

(2   đi m)ể (2   đi m)ể (1   đi m)ể

= ME.MF

ữ ậ  không đ iổ ớ

ấ (cid:0) ME MF=

l n nh t

(AEMF là hình

+ ME MF a = AEMFS

ổ c. Có Chu vi hình ch  nh t AEMF = 2a không đ i � � vuông)

D (cid:0)

ễ

ườ

ỹ

61

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Ẫ

Ọ

Ỏ Ớ

NG D N CH M THI H C SINH GI

I L P 8

Ấ ủ

= + +

1

= + +

1

ừ

a. T : a + b + c = 1

= + +

1

b a a b a c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ƯỚ H M(cid:0) ể  là trung đi m c a BD. 1 a 1 b 1 c

c a c b b c

(1  đi m)ể

+

+

+

+

+

+

= + 3

�

1 c

1 b

b a

a c

c a

c b

a � � b �

b � � � � + � � � � c � � � �

� � �

Câu 4: (2 đi m)ể

1 a + + + = 3 2 2 2 9

(cid:0)

ấ

ả

ằ

D u b ng x y ra

a = b = c =

1 3

(cid:0)

b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002

 (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1

(1 điểm)

Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

§Ò thi SỐ 28

3

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=

a) Rót gän P

b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn

(cid:0) (cid:0) (cid:0) a 3 a a a 4 2 a 7 a 14 4 8

C©u 2 : (2 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th×

tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .

C©u 3 : (2 ®iÓm)

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

2

2

2

b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 18 x x x x 20 30 1 x 11 1 13 42 1 x 9

ễ

ườ

ỹ

62

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

A =

(cid:0) (cid:0) 3(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a acb b bca c cba

C©u 4 : (3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy

b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ

AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh :

a) BD.CE=

2BC 4

b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.

c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.

C©u 5 : (1 ®iÓm)

T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng

vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .

®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái

C©u 1 : (2 ®)

a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)

=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )

=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5

Nªu §KX§ : a

0,25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) a a ;1 ;2 4

Rót gän P=

0,25

(cid:0)

(cid:0) a a 1 2

b) (0,5®) P=

; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ íc cña 3,

(cid:0) (cid:0) a 3 (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) a 2

(cid:0)

0,25 (cid:0)5;3;1(cid:0)

0,25

(cid:0) 32 a 2 mµ ¦(3)=(cid:0) (cid:0)3;3;1;1 (cid:0) Tõ ®ã t×m ®îc a (cid:0)

C©u 2 : (2®)

0,25

2

2

(cid:0)ab

=

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ab b a 3) 2 (

(cid:0)ab 3

0,5

a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(cid:0) =(a+b)(cid:0) V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;

(cid:0) ba ) (

ễ

ườ

ỹ

63

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

2 (cid:0)

chia hÕt cho 9

0,25

(cid:0) ba ) (

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  (cid:0)ab Do vËy (a+b)(cid:0) 3 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36

0,5

Ta thÊy (x2+5x)2 (cid:0) 0 nªn P=(x2+5x)2-36 (cid:0)

-36

0,25

Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0

Tõ ®ã ta t×m ®îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36

0,25

C©u 3 : (2®)

a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;

x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;

0,25

§KX§ :

0,25

Ph¬ng tr×nh trë thµnh :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x ;4 ;5 ;6 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x ( )5 ( )6 ( 1 )(4 1 )(5 1 )(6 )7 1 18

1 1 1 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x 4 5 5 6 6 7 1 18

0,25

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

(x+13)(x-2)=0

Tõ ®ã t×m ®îc x=-13; x=2;

0,25

b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4 7 1 18

Tõ ®ã suy ra a=

;

0,5

Thay vµo ta ®îc A=

0,25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) y z x z x y (cid:0) (cid:0) b c ; ; 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z z x 2 y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( ) ( ) ( ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z y x x y x z z x y z z y y 2 2 x 2 2 1 2

Tõ ®ã suy ra A

hay A 3(cid:0)

0,25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) )222( 1 2

C©u 4 : (3 ®)

a) (1®)

0

Trong tam gi¸c BDM ta cã :

1

y

A

0

(cid:0) (cid:0) ˆ M 120 ˆ D 1

V×

3

1

2

x

(cid:0) (cid:0) ˆ M ˆ M 120 ˆM =600 nªn ta cã :

Suy ra

1

3

E

D

2

1

ˆ MD (cid:0) ˆ

ễ

ườ

ỹ

64

ng THCS Thanh M

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr 2

3

1

B

C

M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Chøng minh BMD

(1)

0,5

∾ CEM

Suy ra

, tõ ®ã BD.CE=BM.CM

(cid:0) (cid:0)

V× BM=CM=

, nªn ta cã BD.CE=

0,5

BD (cid:0) BM CM CE

2BC 4

b) (1®) Tõ (1) suy ra

mµ BM=CM nªn ta cã

BC 2

BD (cid:0) CM MD EM

BD (cid:0) BM MD EM

Chøng minh BMD

0,5

∾ MED

(cid:0) (cid:0)

Tõ ®ã suy ra

, do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE

1

2

Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5

c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC

0,5

Chøng minh DH = DI, EI = EK

0,5

TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn.

DD (cid:0) ˆ ˆ

C©u 5 : (1®)

Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z

(x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng )

Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2)

0,25

Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :

z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)

z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)

z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4

(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2

0,25

z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®îc :

xy=2(x+y+x+y-4)

xy-4x-4y=-8

(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4

0,25

Tõ ®ã ta t×m ®îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :

(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;

(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)

0,25

ễ

ườ

ỹ

65

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ÑEÀ THI SOÁ 29

Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû )

) (

) (

(

) ( 1

Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:

+ = + + + + a a a A a 3 5 7 15

(

) ( x a x

)10 +

phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc

heä soá nguyeân

Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) =

4

- - 1

chia heát cho ña

2

- x + ax b + 33 x

thöùc

Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx

cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng

goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.

Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng

Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng

= - x + x B x ( ) 3 4

2

Ñaùp aùn

Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Caâ u

Bieåu ñieåm

+ + < P = + + ... 1 1 2 2 1 2 3 1 4 4 1 100

(

) (

)

) (

) ( 1

2

2

1 2 ñ

+ + + A a a a a 5 7 15 3

2

2

2

= + + + + + ) ( + ) a a a 8 7 a 8 15

(

2

2

0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ

+ + + = + 15 ) + ) a a a 8 120 a 8

2

2

= + + - a a 8 1

2

= + + + + a a 12 a 8 10

+ + = ( ( ( ( ( a a a 10

) (

) x m x n m n Z

2

2

2 2 ñ

- - - - (cid:0) ) ;(

) ) ) + = 1 10 ) + x

( + = a 1

- - 22 ) 11 ) ( a 8 ) ( ) ( = + 2 6 Giaû söû: ( � + a 8 ) ( x a x ( + a , ) ( + + m n x mn x 10 10

10 + 1

+ = + m n a = a m n 10 . Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ

(cid:0) x {

ễ

ườ

ỹ

66

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

= - -

ể ậ ề � mn

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  100 1 10 = 10) 1

{

- = 10 1 - = 10 1

{ - =- m 10 nv - =- 10

1 1

m vì m,n nguyeân ta coù: n suy ra a = 12 hoaëc a =8

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ

3 1 ñ

3

m - - � + n 10 + n 10) 10 m n (

0,5 ñ 0,5 ñ

{

- = + =

= a =- b

a b

3 0 4 0

4

Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 { Ñeå

thì

4 3 ñ

0,25 ñ

= 900

(cid:0) A x B x ( ) ( )

Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng Hx laø phaân giaùc cuûa goùc ﾵAHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc ﾵAHC maø ﾵAHB vaø ﾵAHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc Hay ﾵDHE = 900 maët khaùc ﾵ ﾵ Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)

0

= ADH  AEH

0 45

0

Do

= = = ﾵ AHD ﾵ AHB 2 90 2

0 45

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ

= = = ﾵ AHE 90 2

0,5 ñ

Hay HA laø phaân giaùc ﾵDHE (2) Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng

� ﾵ AHC 2 ﾵ ﾵ = AHD AHE

ễ

ườ

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ỹ

67

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ñ

2

5 2 ñ

0,5 ñ

+ + P = + + ... 1 2 2

0,5 ñ

= + + + + ...

< + + + ... 1 2.2 1 1.2 1 1 4 2 4 3 1 1 4.4 3.3 1 1 + 2.3 3.4

0,5 ñ

0,5 ñ

- 1 1 100 1 100.100 1 99.100 1 1 99 100 1 = - + - + + ... 2

= - 1 1 1 2 1 = 100 1 3 99 < 100

Ố

Ề

Đ  THI S  30

Bài 1: (4 đi m)ể

ử :

ứ Phân tích các đa th c sau thành nhân t a) (x + y + z) 3 –  x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2: (2 đi m)ể

ả

Gi

i ph

ng trình:

+

+

+

=

10

.

ươ x 241 17

x 220 19

x 195 21

x 166 23

Bài 3: (3 đi m)ể

2

2 +

+

- - - -

t:ế 2009 x

x 2010

=

.

2

2

+

- - - -

Tìm x bi ( (

) )

( (

) )

( (

) )

19 49

2009 x

) ( 2009 x x 2010 ) ( 2009 x x 2010

x 2010

Bài 4: (3 đi m)ể

=

ấ ủ

ứ

ể

ỏ

ị

Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c

.

A

+ 2010x 2680 + 2

1

x

Bài 5: (4 đi m)ể

ể

ạ

ọ

ộ

ượ

ầ   i A, D là đi m di đ ng trên c nh BC. G i E, F l n ủ

l

giác AEDF là hình vuông.

ủ ủ

ể ể

ạ

ấ

ị ị

ỏ

ị

ạ Cho tam giác ABC vuông t ể ế t là hình chi u vuông góc c a đi m D lên AB, AC. a) Xác đ nh v  trí c a đi m D đ  t ị ể ứ ị b) Xác đ nh v  trí c a đi m D sao cho 3AD + 4EF đ t giá tr  nh  nh t.

- - - - -

ễ

ườ

ỹ

68

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Bài 6: (4 đi m)ể

ể

ươ

ằ

ạ

ng  ng n m trên các c nh BC, CA,

Trong tam giác ABC, các đi m A, E, F t ﾵ

ﾵ

ﾵ

ﾵ

ứ ﾵ

=

=

AB sao cho:  ﾵ

.

= AFE BFD, BDF CDE, CED AEF ﾵ

ứ

ằ

.

ạ

ộ

.

ﾵ = a) Ch ng minh r ng:  BDF BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính đ  dài đo n BD

ộ ờ ả

M t l

i gi

i:

Bài 1:

3

3

+ +

) 3

y z

x

z

a)

(x + y + z) 3 –  x3 – y3 – z3 =

� �

( � x �

2

2

2

2

+ +

+

+ +

+

- -

)

(

(

)

)

y z

) y z x x

x

+ � � 3 y � � ) ( + y z y

+ yz

z

+ y z

= (

2

+

+

+

+

+

+

+

+

(

)

)

)

3xy 3yz 3zx

( � x � ) ( y z 3x

� � ) y z x x

y

( z x

y

= 3(

� �

� �

+

+

)

x

) ( ) ( y y z z x

= ( = 3(

.

4

+ 2

- -

) +

)

x

x

+ 2010x 2010

2

2

+ + 2

+ +

- +

-

)

+ b)  x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( ( 2010 x

x

) x 1

) ( x 1 x

x 2010

=

( 2010x  = (

.

-

+

+

+

=

10

Bài 2:

) + + + 2 x 1 x 195 21

x 166 23

- - - -

�

- + 2

- + 1

3

4 0

) ( ( x x 1 x x 220 19 x 220 19

x 241 17 x 241 17

x 195 - + 21

x 166 - = 23

- - - -

+

+

+

=

�

0

x 258 17

x 258 19

x 258 21

x 258 23

- - - -

(

�

x 258

0

1 + 21

1 23

) 1 1 � + + � 17 19 �

� = � �

=� x

258

2

2 +

+

-

2009 x

x 2010

=

.

2

2

+

- - - -

Bài 3:  ( (

) )

( (

) )

( (

) )

19 49

2009 x

) ( 2009 x x 2010 ) ( 2009 x x 2010

x 2010

- - - - -

.

2009; x

2010

0), ta có h  th c:

2

2

2

(cid:0) (cid:0)

(a  (cid:0) a

=

=

�

2

2

2

+

+

ặ ) + a 1 ) + a 1

2

2

ĐKXĐ:  x Đ t a = x – 2010  ) ( ( + + a 1 a ) ( ( + a 1 a + +

a =

19 49 +

19 49 +

=

-

�

�

49a

49a 49 57a

a 3a + 57a 19

ệ ứ + + a 1 + + 3a 1 28a

8a 30 0

-

ễ

ườ

ỹ

69

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

=

a

2

3 2

= 2

+

(

(

)

�

�

ả   (tho  ĐK)

) + 2a 1

4

0

) ( = 2a 3 2a 5

0

= -

a

5 2

ặ

Suy ra x =

ho c x =

ả  (tho  ĐK)

4015 2

ậ

V y x =

và x =

ị ầ  là giá tr  c n tìm.

4023 2 4023 2

4015 2

Bài 4:

=

A

+ 2010x 2680 + 2

x 2

2

+

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

335x

2010x 3015

= -

=

+ 335

335

2

+ 335(x 3) 2

+

x

1

ậ

ỏ

ị

1 + + 2 335 335x + 1 x ấ ủ V y giá tr  nh  nh t c a A là – 335 khi x = – 3.

C

Bài 5:

o

ﾵ

$ = =

=

a) T  giác AEDF là hình ch  nh t (vì

)

ﾵ ữ ậ E A F 90  giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân

D

F

ữ ậ

ứ ể ứ Đ  t giác c a ủ ﾵBAC . ứ b) Do t

giác AEDF là hình ch  nh t nên AD = EF

ỏ

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD ấ (cid:0) 3AD + 4EF nh  nh t

- - (cid:0) -

A

E

B

ế

ấ ỏ  AD nh  nh t ủ

D là hình chi u vuông góc c a A lên BC.

Bài 6:

ﾵ

ﾵ

ﾵ

ﾵ

ﾵ

= w

=

.

= b , CED AEF

0

= AFE BFD + b + w =

= a = , BDF CDE (*)

ẳ

ắ

ạ

ườ ườ

t

ớ ng th ng vuông góc v i BC, AC, AB c t nhau ủ ng phân giác c a tam giác DEF.

(cid:0)

o

ﾵ

+

+

o

(2)

ﾵ ﾵ OED

270

A (cid:0) E w F b

+ w + a + b + w =

a) Đ t ặ ﾵ Ta có  ﾵ 180 BAC ầ ượ ẻ Qua D, E, F l n l t k  các đ ể i O. Suy ra O là giao đi m ba đ = (1) ﾵ + a = + b + ODF o  (**) .

ﾵ BAC ươ

= a = ự

ﾵ OFD OED ODF 90 Ta có  ﾵ OFD (1) & (2) (cid:0) (*) & (**) (cid:0) b) Ch ng minh t

180 ﾵ BDF  câu a) ta có:

ng t

ứ ﾵB = b

w b O

s

s

s

DEC

ABC

,  ﾵC = w AEF

DBF

a a (cid:0) D D D D B D C

ễ

ườ

ỹ

70

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

=

=

=

=

=

BD

BD

BD

=

=

=

=

=

�

�

�

CD

CD

CD

5BF 8 7CE 8

5BF 8 7CE 8

(cid:0)

= 7AE 5AF

= 7(7 CE) 5(5 BF)

5BF 8 7CE 8 = 7CE 5BF 24

=

=

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

- - -

� � � � � � � � �  (3)

CD BD 3 ạ

i có CD + BD = 8 (4)

BD BA 5 BF BC 8 CD CA 7 CE CB 8 AE AB 5 AF AC 7 = � Ta l (3) & (4) (cid:0) BD = 2,5

-

Ề Ố Đ  S  31

t:ế

Bài 1(3 đi m)ể : Tìm x bi

a)  x2 – 4x + 4 = 25

4

b)

x 17 1990

1x 1004

x 21 1986 c)  4x – 12.2x  + 32 = 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0

ộ

.

Bài 2 (1,5 đi m)ể : Cho x, y, z đôi m t khác nhau và

1 x

1 z

yz

xz

1 y xy

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

A

ị ủ

ứ

ể

Tính giá tr  c a bi u th c:

2

2

2

x

yz2

y

xz2

z

xy2

ấ ả

ữ ố ế ằ

ồ

ố t c  các s  chính ph

ng g m 4 ch  s  bi

ươ ơ

ữ ố

ơ

ữ ố ơ

ị ữ ố

ụ

ẫ

ị

ị

ị ữ ố ươ

Bài 3 (1,5 đi m)ể : Tìm t   t r ng khi ta thêm  1 đ n v  vào ch  s  hàng nghìn , thêm 3 đ n v  vào ch  s  hàng  trăm, thêm 5   ơ ượ   ơ ị đ n v  vào ch  s  hàng ch c, thêm 3 đ n v  vào ch  s  hàng đ n v  , ta v n đ c ộ ố m t s  chính ph

ng.

ọ

ườ

ự   ng cao AA’, BB’, CC’, H là tr c

Bài 4 (4 đi m)ể : Cho tam giác ABC nh n, các đ tâm.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a) Tính t ng ổ

'HA 'AA

'HB 'BB

'HC 'CC

ủ

IM, IN th  t

là phân giác c a góc AIC

ủ I là phân giác c a tam giác ABC;  ằ

ứ

ứ ự b) G i Aọ và góc AIB. Ch ng minh r ng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.

2

(cid:0) (cid:0)

ứ

ể

ị

ư ế c) Tam giác ABC nh  th  nào thì bi u th c

ạ đ t giá tr  nh

ỏ

AB( 2

(cid:0) (cid:0)

'AA

BC 2 'BB

)CA 2 'CC

nh t?ấ

ĐÁP ÁN

(cid:0) Bài 1  (3 đi m):ể

a) Tính đúng x = 7; x = ­3                                                               ( 1 đi m )ể

(cid:0) (cid:0)

ễ

ườ

ỹ

71

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ể ậ ề   b) Tính đúng  x = 2007                                                                 ( 1 đi m )ể

ể

2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (cid:0) (2x – 23)(2x –22) = 0  (cid:0)  2x = 23 ho c 2ặ x = 22  (cid:0)

2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0                   ( 0,25đi m )ể (2x – 8)(2x – 4) = 0                  ( 0,25đi m )ể 2x –23 = 0 ho c 2ặ x –22 = 0               ( 0,25đi m )ể  x = 3; x = 2                                   ( 0,25đi m )

c) 4x – 12.2x +32 = 0   (cid:0)             (cid:0)             (cid:0)             (cid:0)

xz

yz = –xy–xz ( 0,25đi m )ể

0

xy

yz

xz

0

0

yz xyz

(cid:0) Bài 2  (1,5 đi m):ể       xy 1 1 1 x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)             ( 0,25đi m )ể

ươ

T

ng t

ự 2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)            ( 0,25đi m )ể

: y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

A

Do đó:

( 0,25đi m )ể

yz )zx)(y

xz )zy)(xy(

xy )yz)(xz(

x(

Tính đúng A = 1                                                                        ( 0,5 đi m )ể

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0

9

0

d,c,b,a

a,

(0,25đi m)ể

(cid:0) Bài 3  (1,5 đi m):ể                                                                     G i ọ abcd  là s  ph i tìm a, b, c, d  ả ố  N,                   Ta có:

2k

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

100

31

với k, m(cid:0) N, mk (0,25điểm)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

abcd (cid:0) 2m)3d)(5c)(3b)(1a( abcd (cid:0) abcd

2k 1353

2m

(m+k)(m–k) =  123.11= 41. 33    ( k+m < 200 )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

hoặc

(cid:0)

hoặc

ậ

lu n   đúng

ế   K t

abcd

A A

(0,25đi m)ể        Do đó: m2–k2 =  1353             (cid:0) (0,25đi m)ể                    m+k = 123             m+k = 41                    m–k = 11               m–k =  33                                                                            m = 67                   m = 37                       k = 56                    k =   4                                                          (0,25đi m)ể     =   3136    ể (0,25đi m)                    (4 đi m)ể  Bài 4   :       ẽ      V  hình đúng                                                (0,25đi m)ể

C’ C’

x x

B’ B’

H H

N N

I I

(cid:0)

ễ

ỹ

M M ườ A’ A’

72

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

C C

B B

D D

ể ậ ề

BC'.HA.

HBC

a)

;

'HA 'AA

S S

ABC

BC'.AA.

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  1 2 1 2

(0,25đi m)ể

HAB (cid:0)

HAC (cid:0)

ươ

ự

T

ng t

:

;

S S

'HB 'BB

S S

'HC 'CC

ABC

ABC

HBC

HAC

HAB

(cid:0) (cid:0)

1

(0,25đi m)ể 'HA 'AA

'HB 'BB

'HC 'CC

S S

S S

S S

ABC

ABC

ABC

ể

(0,25đi m)                 b) Áp d ng tính ch t phân giác vào các tam giác ABC,

ABI, AIC:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

;

;

BI IC

AN NB

ấ AI BI

CM MA

IC AI

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

.

.

.

1

.

.

BI IC

AB AC

IC BI

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ụ AB AC ể (0,5đi m )             AN CM NB MA CM.AN.BI

(0,5điểm ) (0,5điểm )

ẽ

AB AI IC AC BI AI AM.IC.BN ọ

ố ứ

ủ

ể

(cid:0) (cid:0)

c)V  Cx  (0,25đi m)ể

ượ

c góc  BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’

(cid:0) CC’. G i D là đi m đ i x ng c a A qua Cx

BC + CD

i A nên: AB

2+AD2 = BD2

ươ

ng t

(BC+CD)2  (BC+AC)2  (BC+AC)2 – AB2      (0,25đi m)ể  (AB+AC)2 – BC2  (AB+BC)2 – AC2

ứ

2 + BB’2 + CC’2)  (cid:0)

(AB+BC+AC)2

2

(cid:0)

4

(0,25đi m)ể

AB( 2

ứ ­Ch ng minh đ (0,25đi m)ể ể ­ Xét 3 đi m B, C, D ta có: BD (0,25đi m)ể ­ (cid:0) BAD vuông t ạ     (cid:0)   AB2 + AD2    (cid:0)         AB2 + 4CC’2  (cid:0)                    4CC’2  (cid:0) 2  (cid:0) ự T :  4AA’                   4BB’2   (cid:0) ượ ­Ch ng minh đ BC 2 'BB

c : 4(AA’ )CA 2 'CC

'AA

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ẳ

Đ ng th c x y ra

BC = AC, AC = AB, AB = BC

(cid:0)

ế

ứ ả AB = AC =BC (cid:0) ậ ọ

K t lu n đúng       (0,25đi m)                           ể ả

ế

ưở

(cid:0)

ọ ố ể ng tr n s  đi m câu

*Chú ý :H c sinh có th  gi đó

(cid:0) ABC đ uề ể i cách khác, n u chính xác thì h

Ề Ố Đ  S  32

ễ

ườ

ỹ

73

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Bài 1 (4 đi mể )

2

3

x

:

ứ

ể

ớ

Cho bi u th c  A =

v i x khác ­1 và 1.

3

1 x

x 2 x

x

1

1 1

x x ể

ứ

ọ

a, Rút g n bi u th c A.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ứ

ể

ạ

ị ủ b, Tính giá tr  c a bi u th c A t

i x

.

ể

ị ủ c, Tìm giá tr  c a x đ  A < 0.

2

2

2

2

+ 2

(cid:0) 1(cid:0) 2 3

)

(

) + 2

(

)

)

Bài 2 (3 đi mể ) Cho (

.

a b

b c

c

= a

+ b

c

ab ac bc

- - - - - -

ứ

ằ

.

Ch ng minh r ng

( + 4. a c

a

b

ậ

ng trình.

Bài 3 (3 đi mể ) Gi ộ

ơ

ơ

ị

ố ị

ươ ẫ ố ố

ế ả ủ

ị

ớ ử ố  s  đi 7 đ n v  và tăng  ố ố c phân s  ngh ch đ o c a phân s  đã cho. Tìm phân s

3

4

2

(cid:0) (cid:0)

ằ ả i bài toán b ng cách l p ph ử ố        M t phân s  có t  s  bé h n m u s  là 11. N u b t t ẽ ượ ơ ẫ m u lên 4 đ n v  thì s  đ đó. Bài 4 (2 đi mể )   ị

ứ

ể

ỏ

ấ ủ Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c A =

.

a

a

a

2

a 3

4

5

Bài 5 (3 đi mể )

ằ

Cho tam giác ABC vuông t

0, phân giác BD. G i ọ

ể

ứ ự

ạ i A có góc ABC b ng 60 ủ  là trung đi m c a BD, BC, CD.

M,N,I theo th  t

ứ

ứ

ủ ứ

ạ

a, T  giác AMNI là hình gì? Ch ng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các c nh c a t

giác AMNI.

ườ

ắ ng chéo c t nhau t

ẳ   ườ ạ i O. Đ ng th ng ứ ự ở  M và N.

ứ

ằ

Bài 6 (5 đi mể )         Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đ ạ ắ ớ qua O và song song v i đáy AB c t các c nh bên AD, BC theo th  t a, Ch ng minh r ng OM = ON.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ứ

ằ

b, Ch ng minh r ng

.

(cid:0) (cid:0) 2 MN

ị ệ

ơ

c, Bi

COD= 20092 (đ n v  di n tích). Tính S

ABCD.

Đáp án

Bài 1( 4 đi mể  )

ớ

0,5đ

3

2

1 CD ị ệ 1 AB t Sế AOB= 20082 (đ n v  di n tích); S ơ

A=

a, ( 2 đi m )ể V i x khác ­1 và 1 thì : x x

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x ) 1 : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 1)( 2 x x x x 1( 1)( ) 1( ) 1(

0,5đ

=

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x ) 1( : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1)( 1 1( x x ) x x 1)( 21)( ) 1(

2

0,5đ

=

2

0,5đ

=

x 1 (cid:0) x 1( :) (cid:0) 1( ) (cid:0) (cid:0) x x x ) 1( 1)(

ễ

ườ

ỹ

74

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

2

0,25đ

ạ

thì A =

T i x =

=

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  b, (1 đi m)ể 2 3

0,25đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1 ) (1 ) 1(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 3 5 3 5(cid:0) 3

=

0,5đ

(cid:0) (cid:0) ) 1( 1)( 5 3

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) . 10 34 9 2 27

ỉ

2 (cid:0)

x

(1) 0

1(cid:0)

ọ

ớ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1( (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) x 1)( ỉ (cid:0) x 0 x ) ả  v i m i x nên (1) x y ra khi và ch  khi  1

0,25đ 0,5đ 0,25đ

ế

0,5đ

2

2

2

2

2

2

2

2

25 9 8 272 3 27 c, (1đi m)ể ớ V i x khác ­1 và 1 thì A<0 khi và ch  khi  Vì  1 KL

2

2

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b b 2 bc 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b c 4 2 c a ( a 4 bc )2 ab 4 ac )2 ac 4 0 ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( ( ) b 4 a (   (*)

;

2 (cid:0)

2 (cid:0)

2 (cid:0) ) (cid:0) ba

( (cid:0) cb (cid:0) ba ) (

và

;

ừ

Bài 2 (3 đi m)ể ổ ẳ ứ ể ượ   Bi n đ i đ ng th c đ  đ c 2 c ab a bc 2 2 2 ổ ể ế Bi n đ i đ  có   a b 2 ổ ể ế Bi n đ i đ  có   ba 2 (cid:0) 2 (cid:0) Vì  ; ) ( ( 0 ả nên (*) x y ra khi và ch  khi  T  đó suy ra  a = b = c

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 3 (3 đi m)ể

0,5đ

ọ ử ố ủ

ẫ ố ủ

ố ầ

G i t

s  c a phân s  c n tìm là x thì m u s  c a phân s  c n tìm là x+11.

ố

ố ầ Phân s  c n tìm là

(x là s  nguyên khác ­11)

(cid:0) ca ) 0 ) ( ) ( 0 c ac )2 cb ) (cid:0) ca ( 0 ỉ ac 2 c ca 0 ) ớ ọ ; v i m i a, b, c 0 (cid:0) cb 2 (cid:0) ; 0

ố ầ x 11

0,5đ

ớ ử ố

ẫ ố

ơ

ơ

ị

ị

ượ

Khi b t t

s  đi 7 đ n v  và tăng m u s  4 đ n v  ta đ

ố c phân s

(cid:0)x (cid:0)

(x khác ­15)

(cid:0) x x 7 15

0,5đ

ươ

Theo bài ra ta có ph

ng trình

=

(cid:0)

ả

ươ

ượ

(cid:0) (cid:0)x x 11

Gi

i ph

1đ 0,5đ

ừ

ượ

T  đó tìm đ

ố c phân s

ng trình và tìm đ 5(cid:0) 6

Bài 4 (2 đi m)ể

0,5đ

2

2

2

15 7 ả x x c x= ­5 (tho  mãn)

2

2

2

0,5đ 0,5đ

do đó

2

2 aa ( a 3)1 2 a(cid:0)  và  a ( 33

(cid:0)a

a

01 (cid:0)

1(cid:0)

ỉ

0,25đ 0,25đ

ế ổ ể Bi n đ i đ  có A= 2 2 = a a ( )(2 (cid:0)a Vì  2 a ( ấ D u = x y ra khi và ch  khi  KL Bài 5 (3 đi m)ể

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a aa ( 3)2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) )2 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a a ( 2 )1 0 ( )(2 )1 0 (2)2 2 a )(2 )1  nên  a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 0 )1 (cid:0) 2 a )(2 ả

ễ

ườ

ỹ

75

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

B

N

M

A

I

C

D

giác AMNI là hình thang

ứ ứ

ừ

ứ

ượ ứ c t ượ c AN=MI, t

đó suy ra t

giác AMNI là hình thang cân

0,5đ 0,5đ

a,(1 đi m)ể Ch ng minh đ Ch ng minh đ b,(2đi m)ể

0,5đ

ượ

Tính đ

c AD =

; BD = 2AD =

cm cm 34 3 38 3

AM =

0,5đ

ượ

(cid:0)BD cm 1 2 34 3

Tính đ

c NI = AM =

0,5đ

cm 34 3

DC = BC =

,  MN =

0,5đ

ượ

(cid:0)DC cm cm 1 2 38 3 34 3

Tính đ

c AI =

B

A

Bài 6 (5 đi m)ể

O

N

M

C

D

a, (1,5 đi m)ể

0,5đ

ể

ậ

ậ L p lu n đ  có

,

cm 38 3

0,5đ

ể

ậ

ậ L p lu n đ  có

ON (cid:0) AB OC AC

0,5đ

OM (cid:0) AB OD (cid:0) DB OD BD OC AC

(cid:0)

OM = ON

(cid:0)

0,5đ

OM (cid:0) ON AB AB b, (1,5 đi m)ể

Xét   ABD

đ  có ể

(1), xét   ADC

đ  có ể

(2)

ừ

T  (1) và (2)

OM.(

)

(cid:0) (cid:0) OM (cid:0) AB AM AD (cid:0) DM AM (cid:0) (cid:0) (cid:0) OM (cid:0) DC 1(cid:0) DM AD 1 (cid:0) AB AD AD AD

ễ

ườ

ỹ

76

ng THCS Thanh M

1 CD Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ể ậ ề

0,5đ

ứ

ươ

ự

Ch ng minh t

ON.

ng t

0,5đ

(cid:0) (cid:0) ( 1)

ừ

đó có (OM + ON).

t

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  1 AB 1 CD

0,5đ

AOB

BOC

AOB (cid:0)

BOC (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( ) 2 1 CD   (cid:0) 1 AB 1 AB 1 CD 2 MN

DOC

AOD

BOC

AOB

(cid:0)

(cid:0)

,

DOC

AOD

BOC

AOD

c

(cid:0) (cid:0) S S S . S . S S (cid:0) S S S

DOC ượ S (

0,5đ 0,5đ

AOB

AOD ứ   S

SAOD = 2008.2009

ơ

0,5đ

b, (2 đi m)ể S S OB OB OD S S OD S Ch ng minh đ 2) S . DOC AOD 2.20092 = (SAOD)2  (cid:0) ố ể Thay s  đ  có 2008 Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đ n v   ị DT)

(cid:0) (cid:0)

Ề Ố Đ  S  33

§Ò thi häc sinh giái líp 8

C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.

4

3

2

Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.

2

b, B = c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n (cid:0) 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n n 3 2 6 2 (cid:0) n 2

a,

biÕt abc=1

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a b b ab bc ac c c 1 1 1

c,

2

2

2

b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 c a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b a a c c b a b

a,

(cid:0) (cid:0) (cid:0) b c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x x x 54 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 132 84 82

214 86 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.

b. Chøng minh:

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.

(cid:0) (cid:0) 1 AB 1 CD 2 EF

ễ

ườ

ỹ

77

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

C©u

Néi dung bµi gi¶i

a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 (cid:0) n=2 khi ®ã A=5

§iÓ m 0,5 0,5

0,5

2 2 (cid:0)

n

2

0,5 0,5 0,5

n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.

C©u 1 (5®iÓ m)

2

(cid:0)5

+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)

0,5 0,5

0,5

0,5

b, (2®iÓm) B=n2+3n- B cã gi¸ trÞ nguyªn (cid:0) 2 n2+2 n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n HoÆc n2+2=2 (cid:0) c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) (cid:0) (n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+15 VËy D chia 5 d 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph¬ng

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)n 4

a, (1®iÓm)

0,5

2

0,5

=

a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 (cid:0)

a2+b2+c2=

0.5

b, (2®iÓm) a+b+c=0 (cid:0) -2(ab+ac+bc) (cid:0) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0

0.5 0.5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ab bc ac b b c c a a 1 1 1 ac (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) abc ac c c c 1 abc ac (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) abc abc ac ac c c ac ac c c abc abc ac ac ac abc 1 1 1 1 1

a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)

(cid:0)

C©u 2 (5®iÓ m)

0.5

MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 (cid:0) 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) (cid:0)

a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2

0,5 0,5 0,5

2

2

2

;

;

2

2

2

2

c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 (cid:0) 2xy DÊu b»ng khi x=y 2 a b b c

2

2

0,5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .2 .2 .2 .2 . . a b a c b c c b c a a b c a

2

2

2

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) . .2 .2 c a b a a b b c b c

(cid:0)

(2)

(2

)

2

2

2

2

2

2

b a

c b

b c

a b

a c

b c

c a

a c

c b

b a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c a Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: 2 2 a c b a

ễ

ườ

ỹ

78

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

a, (2®iÓm)

1,0

(cid:0)

0,5

(cid:0)

0,5

(cid:0)300

(x-300)

(cid:0)

x=300 VËy S =(cid:0)

b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 54 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 214 86 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 82 x 54 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( ( )1 ( )2 )3 0 82 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 214 86 x x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 300 82 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 132 84 132 84 300 300 86 84 x-300=0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 86 1 84 1 82

(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (cid:0)

(64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72

§Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 (cid:0)

k2=72,25

0,5 0,5

(cid:0)

k=± 8,5

Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (cid:0)

(2x-1)(4x+1)=0; (cid:0)

(cid:0)

C©u 3 (5®iÓ m)

0,5

0,5

(8x-1)2+8=0 v«

x= Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (cid:0) nghiÖm.

(cid:0) (cid:0)x ; 1 2 1 4

VËy S =

(x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0

0,5

(x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d-

0,5

x+y+3=7 vµ x-y-1=1 (cid:0) x=3 ; y=1

0,5

c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (cid:0) (cid:0) (x+1)2-(y+2)2=7 (cid:0) ¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 (cid:0) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) a,(1®iÓm) V× AB//CD (cid:0) S DAB=S CBA (cïng ®¸y vµ cïng ®êng cao)

A

B

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) , (cid:0) (cid:0) 1 2 1 4

S DAB –SAOB = S CBA- SAOB

0,5

Hay SAOD = SBOC

O

E

F

K I

M

N

C

0,5

D

1,0

b, (2®iÓm) V× EO//DC (cid:0)

MÆt kh¸c AB//DC

(cid:0)

0,5

EO (cid:0) DC AO AC AB AO AB AB (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AO OC AB BC EO DC AB DC

C©u 4 (5®iÓ m)

1,0

1,0

c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N(cid:0) DF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN

(cid:0) AB (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AO DC DC OC 2 EF AB 1 DC BC 1 AB AB DC AO AC 2 EF AB DC EF DC 2 AB AB .

ễ

ườ

ỹ

79

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) (cid:0) SDEKN=SKFN.

- -

C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A =

Ề Ố Đ  S  34 x +

x x 3 3 - + 2 x x + x + 3 x 1 + 1 4 1

a) Rót gän biÓu thøc A

b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d¬ng víi mäi x ≠ - 1

C©u 2(4.0 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2 3

a)

2

2

- x x + + - = x 1 2 0

(

)

b)

2 � � � x � � � � � �

2 � � x 4 � � � �

2 �� � = �� � �� �

+ + + + 2 - x + x + x 8 4 4 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x

C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1.

(

)

- 2 y + -

Chøng minh r»ng:

= 0

3

x 3 - - y x xy 2 + 2 2 x y 1 1 3

C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x (cid:0)

Q th× gi¸ trÞ cña ®a

) (

) (

) (

)

+ + + + + x x x x 2 4 6 8 16

thøc : M = (

lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tØ.

ễ

ườ

ỹ

80

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H(cid:0) BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.

4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é

dµi ®o¹n BE theo m AB=

.

5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c

BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM

6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh:

=

.

HD + GB BC AH HC

----------------------------------------------HÕt-------------------------------------------------

Híng dÉn chÊm to¸n 8

C©

Néi dung

§iÓm

u

1

2

1®iÓm

( x x

- - x 4 -

- Rót gän: A =

2

) - + - x 1 ( +

( + x ) ( 1

) ) ( + + x 1 3 3 ) - + x 1

a

2

3

2

2

x + x x 3 3 - + 2 x x 1 + 1 + x 4 + = 3 x 1 x x

2

2

= (

( (

1®iÓm

) ( 1 ) ( 1

) 1 ) 1

2

2

+ + x = = + + x x + + x - + x 1 1 x x + x 2 - + x x + x + + x - + 2 x x x 2 ) ( x 1 1 ) 1

1®iÓm

=

3 4

Víi mäi x ≠ - 1 th× A =

2

b

x x + + x - + x 1 1

3 4 1 � �+ + x � � 2 � � 2 1 � �- + x � � 2 � �

- - - � x x > " A x x 0; � � 1 0, 1

V×

1®iÓm

2 1 � � + � � 2 � �

2 1 3 � � + > " 0, � � 2 4 � �

2 a

3 + > 4

x - = - x 1 1

* Víi x(cid:0)

1 (*) (cid:0)

x - 1 (cid:0)

0 (cid:0)

ta cã ph¬ng tr×nh

1®iÓm

(

2 2

) 2 = 1

- - � � x + = x x = � x 1 0 0 1

x2 -3x + 2 + x-1 = 0

( Tho¶

m·n ®iÒu kiÖn *)

ễ

ườ

ỹ

81

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

x x - = - 1 1

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  0 (cid:0) * Víi x< 1 (**) (cid:0)

x - 1 (cid:0)

ta cã ph¬ng tr×nh

(

)

2 4

) ( 1

= - - - � � x + = x x x 3 0 3 0

x2 -3x + 2 + 1 - x = 0

1x =�

+ x - 1 = 0

( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)

1®iÓm

3x =�

+ x - 3 = 0

( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)

0.5®iÓ

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 1 * §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1)

m

2

2

2

(

)

+ + + + - x + x 8 4 4

* pt (cid:0)

2 � � � x � � � � � �

2 � � � � = + x � � � � � � � � �

2

2

2

2

1 x 1 2 x 1 2 x 1 x � �� x � �� �� � �

(

)

(cid:0)

b

1®iÓm

2 � � � � = + x � � � � � � � � �

2

+ + + + + - + x 8 2 4 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x � x � � � � x 4 � � � � � �� x � �� �� � �

(

)

)

( x x

(cid:0)

= + + = = � � x x 4 16 8 0 0

hoÆc x = -8

So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x =

0.5®iÓ

- 8

3

(

m

( + + 2 x y

) ( 1

) = - 1

) 1

- y y + + 2 y y y - = 1

Ta cã

v× xy (cid:0)

0 (cid:0)

x, y (cid:0)

0 (cid:0)

x, y

1®iÓm

(cid:0)

0 (cid:0)

y-1(cid:0)

0 vµ x-1 (cid:0)

0

3

2

( - + y x

) = - 1

) 1

3

- = � x 3 - y y 1 - y - 1 ( x x - + 2 x x x - = 1 1 + + 2 y ) ( 1 - =� x 1 + + 2 x x 1 1

3

3

1®iÓm

2

2

2

- - y + = + � x 3 - - y x 1 + + 2 y y 1 + + 2 x x 1 1 1 1

(

)

) +

2

2

2

2

(

(

) +

( + xy ( + xy x

2 x y

1®iÓm

3

2

2

+ - y + x 2 = - + - x ) y ) + y y + + y + + y + + + x 1 ) ( + + x 1 1 ) 1 + xy y 2 + xy x y + x y 2 1 � � � � � x � ( � x � - � � = - � � � � � � ( - y = - - x 3 - - y + 1

1®iÓm

1®iÓm

x + xy 2 + 2 2 x y + + ) 2 = 3 + + + 1 ) ( 0 ) x x x x 10 16 10 24 16 xy 4 2 � + 2 2 x y 3 Ta cã: M = (

§Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+

4

1®iÓm

4)2

M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm)

5

ễ

ườ

ỹ

82

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

a

+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung.

(Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB

1.5®iÓ

0

m

CD CA = CE CB ®ång d¹ng)

= Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). ﾵ Suy ra: ﾵ (v× tam gi¸c AHD = BEC ADC 135

045

1®iÓm

vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). Nªn ﾵ do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: AEB =

= = BE AB m 2 2

D:

ADC

1.5®iÓ

m

= D Ta cã: ) AD � (do BEC AC 1 2 mµ BE =� BC (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)

D:

CBA

b

0

0

1®iÓm

1®iÓm

AH BH 2 = = = = D � � nªn ) (do ABH BH BE 2 D ﾵ = = 1 2 2 AD AC D: AC AB (c.g.c), suy ra: ﾵ BM BC AD AH= BM 1 BC 2 Do ®ã BHM 1 2 BEC � = BHM BEC ﾵ AHM 135 45

(

)

(

)

c

D D : = DEC ABC Suy ra: , mµ = ED AH // Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. HD HC

= � � Do ®ã: AB ED = AC DC GB + HD + AH HC HD + GB AB = GC AC GB HD = GC HC = GB GC HD HC GB BC AH HC

Ề Ố Đ  S  35

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0)

Bài 1: Cho biểu thức: M =

:

3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 10 x x x 6 36 2 x 2 4

a. Rút gọn M b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt. Bài 2: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b. Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 3 + y 3 + z 3 = 1. Tính tổng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011 Bµi 3:

a. Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2

2

2

+ + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 x 9 20 1 x 11 30 1 x 13 1 18 42

b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H.

ễ

ườ

ỹ

83

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

a. TÝnh tæng:

b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF. d. Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN. Chøng minh ®êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

+ + HD HE HF AD BE CF

Híng dÉn chÊm m«n to¸n 8

Bµi

§iÓm

Néi dung 2

2

1

a

=

3

0,5

=

=

0,5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 6 x x x x x )2 2 xx ( 6 36 2 4 - - x ( 2) x x )(2 + x + - 2( x ( )2 + 2) x 2)( (3 x 2) -

2

2

+ - 6 x 2)( 2)

=

0,5

=

(cid:0) (cid:0) (cid:0) + - - x x x (10 ) ( 2)( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x ( + 2) + (cid:0) (cid:0) 10 x x 2 x 2

0,5

M =

=

b

0,5

2 – x = 1 (cid:0)

+ NÕu x (cid:0) 2 th× M (cid:0) 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN. + VËy x (cid:0) 2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d¬ng, nªn M muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN, Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d¬ng (cid:0) x = 1. VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1.

2

a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 +

2

2

2

2

(cid:0) (cid:0) 6 2x + x 2 (cid:0) . (cid:0) (cid:0) x )2 6 ( 6 x )(2 1 x(cid:0)2

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

b

2bc) � = ( � = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác) T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0 Vậy A< 0

3

a A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 +

0,5 0,5 0,5 0,5

2010

x – y = 0 và y – 2 = 0 (cid:0)

x = y = 2.

0,5 0,5

2010 Do (x-y)2 (cid:0) 0 ; (y - 2)2 (cid:0) 0 Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 (cid:0) Dấu ''='' x¶y ra (cid:0) Vậy GTNN của A là 2010 t¹i x = y =2

- - - a a b c + b c ) ) � � � ( � � �

ễ

ườ

ỹ

84

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

ể ậ ề b

0,5

z = 1, l¹i

0,5

x = y = 0.

0,5

Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 (cid:0) Một trong các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0 Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k : x + y + z = 1 (cid:0) kết hợp với đ/k : x 2 + y 2 + z 2 = 1 (cid:0) Vậy trong 3 số x,y,z phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1, S = x 2009 + y 2010 + z 2011 = 1 Nên tổng S luôn có giá trị bằng 1.

4

a Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§:

{

} 4; 5; 6; 7

)

0,5

- - - - x (cid:0)

=

0,5

+ + + + + + + + x x x x 5) ( 1 5)( 1 6)( ( 1 18

(

0,5

- - - ( (cid:0) 1 x 4)( 1 + 6) 1 + 7) 1 + x x x 4 5 x 1 + ) + ( 6 6 1 + ) = 7 1 18

(x + 4)(x +7) = 54

0,5

x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m·n

(cid:0) - x 1 + x 4 (cid:0) 1 + ) + ( x x 5 1 1 (cid:0) + = x 18 7 (x + 13)(x – 2) = 0 (cid:0)

} 13; 2

§KX§) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: S = {

b

0,25

-

+ Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chøng minh (x + 1) vµ (x 2 + 1) nguyªn tè cïng nhau ! V× nÕu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)

2

0,25

(cid:0)

2

0,25

2

2

(cid:0) + x  x d + + (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 2 d mµ d lÎ nªn d = 1. -  d 1 + (cid:0) x  d 1  d 1 (cid:0) x  d 1 (cid:0) x + 2 1  d +  d 1 (cid:0)

+ Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph¬ng Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng k

§Æt:

(cid:0)

(k + x)(k – x) = 1 (cid:0)

hoÆc

0,25

(cid:0) = = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x k 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) k 2 = = (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) x + = 1 + = 1

0 0 y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa

} (0;0), (0; 1)

- t + Víi x = 0 th× (2y + 1) 2 = 1 (cid:0) m·n pt) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: (x;y) ={

ễ

ườ

ỹ

85

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

A

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  5

E

F

H

M

K

I

B

N

D

0,5

C

O

a

0,5

Tríc hÕt chøng minh:

=

0,5

S HBC S ABC ( (

T¬ng tù cã:

;

0,5

= = HE BE ( ( ( (

=

Nªn

0,5

S HAB HD AD S HCA ) S ABC ) ( ) ( + + ) ) S HAB HF ) S ABC CF ) + + S HBC S HCA ) ( ) S ABC ) (

= 1

b

+ +

CH.CF = CD.CB.

0,5 0,5 0,5 0,5

D BDH ~ D BEC

c

ﾵ

0,5

mµ EB ^ AC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc

0,5

0,5

d

ﾵ ﾵ = AEF ABC ﾵ = CED CBA ﾵ

0,25

0,25

ﾵ

O,25 0,25

ﾵ = OHC OHB

ườ

ễ

ỹ

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

HD HE HF AD BE CF (cid:0) HD HE HF AD BE CF Tríc hªt chøng minh (cid:0) BH.BE = BD.BC Vµ D CDH ~ D CFB (cid:0) (cid:0) BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (®pcm) Tríc hÕt chøng minh: D AEF ~ D ABC (cid:0) Vµ D CDE ~ D CAB (cid:0) (cid:0) ﾵ = AEF CED DEF. T¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE. VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm) Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ HC, ta cã D OMH = D ONC (c.c.c) (cid:0) ﾵ = .(1) OHM OCN MÆt kh¸c ta còng cã D OCH c©n t¹i O nªn: ﾵ ﾵ = .(2) OHC OCH (cid:0) HO lµ ph©n gi¸c cña gãc Tõ (1) vµ (2) ta cã: ﾵ BHC VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh. Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè 86

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

®Þnh lµ O.

Ề Ố Đ  S  36

) (

ủ

ớ

) +   v i ớ n N� . 6 6

5

( Bài 1: (3,5đ)a, V i giá tr  nào c a n thì  n-

+ n n

ị b, CMR v i ớ n N�  thì:

ố ự

ố

c, Tìm s  t

ố ể  nhiên n đ  phân s

t

ả i gi n.

n n 5  . 30 +

ứ

ử :

2

2

- n n

(

2 2 4a b

+ 2 - - 13 2 Bài 2: (3đ) Phân tích các đa th c sau thành nhân t ) c b

) (

) (

)

+ + + x 1

x ươ x ả

2

2

2

b,  c, (

a a,  b, x5 + x + 1 ) ( c, ( + + x 2 1 3 4 ng trình: i ph Bài 3: (3đ) Gi a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 + + = + + + + x 15 1 x 12 35 1 9 + x 4 + - - 3 ( x x x 1 4 ) 2 + x ) 4 = 3

Bài 4: (3,5đ)a/ Tìm đa th c d  trong phép chia

ả

1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2 ậ ng trình: ầ ộ ố

ườ

ấ

ằ ươ i bài toán b ng cách l p ph ỏ ự  đ ng m t s  táo. Đ u tiên ng

b/ Gi ộ Trong m t cái gi

ộ ử   i ta l y ra m t n a

ỏ ạ

ả

ấ

ạ

ấ

ố

ố s  táo và b  l

i 5 qu , sau đó l y thêm ra

i và l y thêm ra 4

s  táo còn l

ả

ỏ

ầ

ố

ỏ

ạ

1 x 8 1 ứ ư

lúc đ u có bao nhiêu

còn l

ả qu . Cu i cùng trong gi qu ?ả

Bài 5: (4,5đ)

ầ ượ

ọ

Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). G i E, F l n l

ế   t là hình chi u

ườ

ứ

ẳ

ằ

ủ c a C lên các đ

ng th ng AB, AD. Ch ng minh r ng:

a, AB.AE + AD.AF = AC2 b,  D FCE

D ABC. ế

ổ

ự Bài 6: (2,5đ) D ng hình thoi bi

t Â = 30

ằ ng chéo b ng 5cm.

ỉ ầ

0 và t ng hai đ ự

ườ ự

(Ch  c n phân tích, nêu cách d ng và d ng hình).

**************­The end­**************

ộ

Bài

Ph nầ

N i dung

Đi mể

1

Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30

1 3 ỏ i 12 qu . H i trong gi

)  1 3

a

1

( n n

) + + 1

= = - (cid:0) � n 3 k 3 � � � n  30 6 (cid:0) (cid:0) 30 (cid:0) (cid:0)

5

= n(n – 1) + 30 + 12n  6n ( + (cid:0)� n 1 n n � � � n  30 3  n = 1; 3; 6; 10; 15; 30 n

(cid:0)

CMR: v i ớ n N�  thì:

b

1,5

n-  30

ễ

ườ

ỹ

87

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

5

2

(

( n n

( + n n

) 1

) 1

ế

- n - = n n

Ta có 30 = 2.3.5 ) ( ) + - = 4 n 1 1    ố     n   –   1;   n;   n   +   1   là   ba   s   nguyên   liên   ti p   nên   tích ( n

( + n n

)  1 6

) 1

2

5

-

( n n

)  1 5

) ( 1

ứ

- - = n n

ặ

ấ

1 ho c n = 5k

5

5

(cid:0) (cid:0) + 2 n ặ

2

5

(cid:0) -

) =

ố

ả i gi n

t

ta ch ng minh     L y n chia cho 5 thì n = 5k ho c n = 5k  2 1, N u n = 5k thì  2, N u n = 5k  3, N u n = 5k  n n

ế ế ế 13 2

c

1

n – 2   3 và n – 2   5





2

2

2

(cid:0) + n n  5  5 n-  n 5  1 thì  2 n  2 thì  n + � -� n 1 5 -� n 1 5 ( n - 15; 2 1 = + 1 - - 15 n 2 + (cid:0) (cid:0) n 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + (cid:0) (cid:0) n k 3 k 3 5

(

)

2

2

2

2

- - b a c 4

)

)

2

2

2

2

= + 2 - - + 2 ( ab a b 2

2 2 a b ( (

)

a

1

2

2

2

= - - - c ) ( b c 2

= - - - ab a ( + 2 b ) + + 2 ab a 2 ) c

)

2

b

1

= + + c ( + �� a b �� ) ( + - � 2 c a b � ( ) ( a b c a b c � � ) ( - + + - c a b c a b

) ( 2 +

) ( 1 +

+ + + +

2

2

1 + + ) x x x x x ) ( 1 2 3 1

x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1                  = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)                  = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) ) ( ( x x 3 ) ( ( + = (

) 4 + )

c

1

2

+ + = + + + x x x 5 4 6 1

) + 5

2

2

+ = + - x ) ( 4 ) ( ) + x x 1 5 5 5 ( �� x 1 ��

a

3

1

4

+ + = + 2 + � 1 � ) 2 x ( � x � ( + 2 ( + x x x x 5 5 5 - + = 1 1

3

+ - x x x

2

� x 30 0

) 1

) - + = 2 x 1 ( - + 2 x ) - + - x 1

2

( x x ( x x (

= + � - + 2 x x 0

2

30 ) � 5 ) 5 x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 ( � 0 30 ) ) = + - 1 1 ( ) ( 1 - + x + - 2 x x x x ) ( 1 = 30 0

2 1 � � + > � � 2 � �

) =

- � x + - x x = 30 0 - + = 2 x 1 0 3 4 �   � � � - - � x � v x ì � � � = 30 0 + 2 6 5 = - (cid:0) x 6 + - x ( x ) ( � � (cid:0) x x 6 5 0 = (cid:0) x 5

ễ

ườ

ỹ

88

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

{ S = -

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  }6;5

2

2

2

V y ậ 1 4

= + + + + + + + + x x x 1 9 35 1 x 8 1 x 12 15

2

2

2

+ = + � 1 + + + + x 1 + x x x x x x 15 7 5 1 9 3 3 3

(

)

)

(

(

)

= + + � + + + + + + + 1 ) ( x 5 1 ) ( x x x x 5 7 + 35 1 9 5 3 3 - - - - 1; 3; 5; 7

b

- - - 1 + 1 + 1 + 1 + x x x = 7 1 9 5 + 5 3 1 3 � � � � � �

2

- � � + + = ) x 7 1 9 1 9

t: � � � � x � � 6 ) ( x 1 = 20 0

2

2

2

� � x � + x + 7 = - 3 1 + + x x 1 ) ( x x 1 x (cid:0) ĐKXĐ:  ươ ể ế ng trình trên có th  vi Ph � 1 1 1 � � � + � � � � + + x x 2 � � � � 1 1 � = � + 2 � ) ( � x x x x 1 + 1 ) ( 1 27 7

( 2 + 8 )

+ = + + � ( � x x = 16 36 6 4

(TM ĐKXĐ)

2 � � x 8 + = 4 6 + = - 4 6 x � � x �

ậ

ệ V y nghi m c a ph

ng trình đã cho là: x = 2; x = ­10

� = x � � = - x � ủ 10 ươ

Ề Ố Đ  S  37

Bµi 1 (4 ®iÓm)

3

2

Cho biÓu thøc A =

víi x kh¸c -1 vµ 1.

x

:

3

x x

1 x

x 2 x

x

1 1 1 a, Rót gän biÓu thøc A.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x

.

c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0.

2

2

2

2

2

2

(cid:0) 1(cid:0) 2 3

.

cb

a

b

c

ab

ac

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)bc

(cid:0) (cid:0)

Bµi 2 (3 ®iÓm) Cho (cid:0) ba Chøng minh r»ng

ac a

b

.4 c .

Bµi 3 (3 ®iÓm)

Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh.

Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã. Bµi 4 (2 ®iÓm)

4

3

2

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =

.

a

a

a

2

a 3

4

5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ễ

ườ

ỹ

89

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Bµi 5 (3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi

M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD.

a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh. b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI.

Bµi 6 (5 ®iÓm) H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N.

a, Chøng minh r»ng OM = ON.

b, Chøng minh r»ng

.

c, BiÕt SAOB= 20082 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 20092 (®¬n vÞ diÖn

(cid:0) (cid:0) 1 AB 1 CD 2 MN

tÝch). TÝnh SABCD. híng dÉn chÊm thi häc sinh giái

Bµi 1( 4 ®iÓm )

0,5®

2

3

A=

a, ( 2 ®iÓm ) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× : x x

0,5®

=

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x ) 1 : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1)( 2 x x x x x 1( 1)( ) 1( ) 1( 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x ) 1( : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1)( 1 1( x x ) x x 1)( 21)( ) 1(

2

0,5®

=

2

0,5®

x 1 (cid:0) x 1( :) (cid:0) x 1( ) (cid:0) (cid:0) x x 1)( ) 1(

2

T¹i x =

=

th× A =

= KL b, (1 ®iÓm) 2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1 ) (1 ) 1(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 3 5 3 5(cid:0) 3

=

0,25 ® 0,25 ® 0,5®

(cid:0) (cid:0) 1( 1)( ) 25 9 5 3

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) . 10 8 3 2 27 272 27

(1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1( 1)( ) 0 34 9 KL c, (1®iÓm) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi

2 (cid:0)

víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi

V× KL

0,25 ® 0,5® 0,25 ®

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 0 1(cid:0) (cid:0) x 1 0

Bµi 2 (3 ®iÓm) BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®îc

0,5

ễ

ườ

ỹ

90

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c a ab ac bc 4 4 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) bc 2 2 b a 4 2 c c 4 2 a c ( a ac )2 ac 2 2 b ( b 4 bc )2 ( 4 ac )2 0

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  2 a b b ab c 2 BiÕn ®æi ®Ó cã

2

2

2

BiÕn ®æi ®Ó cã

(*)

2 (cid:0)

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ba cb ca ( ) ( ) ( ) 0

;

2 (cid:0)

2 (cid:0)

2 (cid:0) 0 (cid:0) ba

(cid:0) ba (cid:0) cb ( 0 0 ( ) ) )

; víi mäi a, b, c (cid:0) cb 2 (cid:0) 0 )

;

vµ

;

Tõ ®ã suy ra a = b = c

® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ®

(cid:0) ca ( 0 ( ) ) ( 0 (cid:0) ca V× ; ( nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi

Bµi 3 (3 ®iÓm)

0,5®

Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m

lµ x+11. Ph©n sè cÇn t×m lµ

(x lµ sè nguyªn kh¸c -11)

0,5®

(cid:0)x

(cid:0)

(cid:0) 7 15

0,5®

Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh

=

x 11 Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®îc ph©n sè x x (x kh¸c -15) (cid:0)

Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m ®îc x= -5 (tho¶ m·n)

1® 0,5®

Tõ ®ã t×m ®îc ph©n sè

(cid:0) x x (cid:0)x x 11 15 7

5(cid:0) 6

KL Bµi 4 (2 ®iÓm)

0,5®

2

2

2

2

2 aa ( 2

2

2

do ®ã

0,5® 0,5®

vµ 33

(cid:0)a

a

01 (cid:0)

1(cid:0)

BiÕn ®æi ®Ó cã A= 2 = a ( 3)1 V× 2 a ( DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi

KL

0,25 ® 0,25 ®

B

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a )2 ( 3)2 aa (2)2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a )(2 ( )(2 a 2 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 2 a(cid:0) a a a a a )1 0 ( )(2 )1 0 )1 nªn (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 a ( a (cid:0)a )(2 0 2 )1 (cid:0)

Bµi 5 (3 ®iÓm)

N

M

A

I

C

D

ễ

ườ

ỹ

91

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

0,5® 0,5®

a,(1 ®iÓm) Chøng minh ®îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang Chøng minh ®îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n b,(2®iÓm)

0,5®

TÝnh ®îc AD =

; BD = 2AD =

cm cm 34 3 38 3

AM =

0,5®

TÝnh ®îc NI = AM =

(cid:0)BD cm 1 2 34 3

0,5®

cm 34 3

DC = BC =

, MN =

0,5®

TÝnh ®îc AI =

(cid:0)DC cm cm 1 2 38 3 34 3

Bµi 6 (5 ®iÓm)

B

A

O

N

M

C

D

a, (1,5 ®iÓm)

0,5®

,

LËp luËn ®Ó cã

cm 38 3

0,5®

LËp luËn ®Ó cã

ON (cid:0) AB OC AC

0,5®

OM (cid:0) AB OD (cid:0) DB OD BD OC AC

(cid:0)

OM = ON

b, (1,5 ®iÓm)

0,5®

(cid:0) OM (cid:0) AB ON AB

XÐt ABD

®Ó cã

(1), xÐt ADC

®Ó cã

(2)

Tõ (1) vµ (2) (cid:0)

OM.(

)

0,5®

(cid:0) (cid:0) OM (cid:0) AB DM AD OM (cid:0) DC AM AD (cid:0) AM DM (cid:0) (cid:0) 1(cid:0) AD AD AD 1 (cid:0) AB

Chøng minh t¬ng tù ON.

0,5®

(cid:0) (cid:0) ( 1) 1 CD

tõ ®ã cã (OM + ON).

(cid:0)

AOB

BOC

0,5®

AOB (cid:0)

BOC (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( ) 2 1 AB 1 CD 1 AB 1 CD 1 AB 1 CD 2 MN

AOB

DOC

BOC

AOD

,

(cid:0)

(cid:0)

DOC

AOD

DOC

BOC

AOD

(cid:0) (cid:0) S S S . S . S S OB OD S S S S (cid:0) S

b, (2 ®iÓm) S OB S OD Chøng minh ®îc S .

0,5® 0,5®

DOC

AOD

AOB

(cid:0) (cid:0) S S (

SAOD = 2008.2009

S AOD 2) Thay sè ®Ó cã 20082.20092 = (SAOD)2 (cid:0)

ễ

ườ

ỹ

92

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

0,5®

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Do ®ã SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (®¬n vÞ DT)

Ề Ố Đ  S  38

6

6

, nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th×

chia hÕt

a

b-

N(cid:0)

ớ

ọ

ố

thì n5 và n luôn có ch  s  t n cùng gi ng nhau.  ữ ố ậ

Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng: a) Víi mäi a Z(cid:0) cho 9            b) V i m i n Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm)

+

+

=

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2

2

2

+

+

+

+

+

+

1 18

x

x

x

1 x 11

20

30

42

1 x 13

2009

2009

2009

x

y

3(cid:0)

ằ

(cid:0) (cid:0)

1 x 9 b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2010 và z Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Ch ng minh r ng:   ứ

ố ươ

ế

N u a, b, c là các s  d

ả ng  tho  mãn:

+ +   a b c

1 a

1 1 + + (cid:0) c b

ứ

ấ ẳ th× ta có b t đ ng th c

+ + (cid:0) a b c 3

abc Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2

Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung

®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E.

Chøng minh:

a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.

1

b)

NC AN

NB AB

ĐÁP ÁN

)

ầ

5 – n  10

(cid:0) (cid:0)

Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm) Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k Z(cid:0) NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 d 1. NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 d 1. VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d 1.(1) T¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b2 chia 3 d 1.(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b23 (3) (0,5 ®) Ta cã a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m trªn a2-b23 => (a2-b2)2 3 mµ 3a2b2 3 víi mäi a Z(cid:0) nªn (a2-b2)2+ 3a2b2 3 (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]  3.3 hay a6-b6  9 (0,5 ®) b) (1,0 ®iÓm) ứ Ta c n ch ng minh:  n ễ

ườ

ỹ

93

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

5 ­ n  2

N(cid:0)

ố

ế

ta co n(n – 1) là tích c a hai s  nguyên liên ti p)

́ 5 – n  5

N(cid:0)

́

́ơ

̀

ế

ta co n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích c a năm s  nguyên liên  ế

ủ N(cid:0) ́ơ  5 v i moi n

ứ

5 – n  10

ố

(0,25 ®)

̣

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) - x x x 7

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  ứ * Ch ng minh : n     n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)  2              (0,25 ®)  (vì v i ńơ ủ ứ * Ch ng minh: n  n5  ­ n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n ­ 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)                   = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )   5 ̀ ố  ( Vi v i n )  (0,5 ®) ti p nên chia h t cho 5 va 5n( n – 1)( n + 1 )    Vì ( 2 ; 5 ) = 1  nên n5 – n  2.5 t c là n Suy ra n5 và n có ch  s  t n cũng gi ng nhau. ữ ố ậ Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5) x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6) x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7) §KX§ : x 6; 4;

+

+

=

2

2

2

+

+

+

+

+

+

1 18

x

x

x

1 x 9

1 x 13

+

+

=

�

+

+

+

+

+

+

x

x

x

x

x

x

20 1 4)(

1 18

7)

42 1 6)(

30 1 5)(

(

5)

(

6)

(

(0,5 ®)

5; 1 x 11

=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = 0 (0,25 ®)

2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0

(0,25

- � 1 + 1 + x x ( 4) ( = 7) 1 18

=> x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§) VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm lµ x1=-13; x2=2 (0,25 ®) b) 1,0 ®iÓm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx (cid:0) (cid:0) ®)

= =

x y

z

�

� (cid:0)

(cid:0)

x2009 = y2009 = z2009 (1) (0,25 ®)

(cid:0) (cid:0)

- = x y 0 - = y z 0 - = z x 0

2009

2009

2009

2010

(cid:0) (cid:0)

x

y

(cid:0) (cid:0)

(2)

3(cid:0) z2009 = 32009 (cid:0)

z = 3 (0,25 ®) (0,25 ®)

ứ

ằ

Theo bµi ra ta cã z Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010 (cid:0) Vậy x = y = z = 3 Bµi 3. Ch ng minh r ng:

Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: th× ta có bất đẳng thức

+ + a b c 1 a 1 1 + + (cid:0) c b + + (cid:0) a b c abc 3

ễ

ườ

ỹ

94

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

Ta cã

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  bc 1 + + (cid:0) c

+ (cid:0) + + (cid:0) a b c + + a b c

ể ậ ề 1 a

(*)(v× a,b,c > 0 nªn

2

2

2

2

2

1 b + + + � + ca ab abc + ab bc ca a b c abc ) � (

2

2

2

2

2

nªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc nµy + )

(1)

2

2

2

(**)

+ + (cid:0) (cid:0) (cid:0) c b b ac + + + (cid:0) 2 � � + ab bc ca ca c ) c = cb a 2 ; + ab bc + 2 a + + 2( ) ca + (cid:0) + ab bc + ab bc ) ca b (2) ) + + (cid:0) )

2( + b c + + a b c ( ) + + 2 a b c � ) + + a b c 3( abc a b c 3 ( � (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0) abc 3

abc>0) + Mµ 2 a ab c 2 ; + + 2 ta ®îc a b ) 2( + + 2 L¹i cã a a b c ( Tõ (1) vµ (2) ta cã Tõ (*) vµ(**) ta cã ( Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 §Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 =

1

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã:

(3x + y)2 (cid:0)

(x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 (cid:0)

Hay 4a2 + 25b2 (cid:0)

.

DÊu b»ng xÈy ra <=>

<=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b (2)

1 10 1 10

3 (cid:0) x 1 y

Tõ (1) vµ (2) =>

(cid:0) (cid:0) (cid:0) b ; a 1 50 3 20

Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC,

trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:

a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.

(cid:0)

b)

a) (cid:0) ANC vu«ng t¹i N (v× MN =AM =

(cid:0) (cid:0) 1 NC AN NB AB

AC )

F

C M

CNM + MNA = 1v

N

BAN + NAC = 1v

Mµ MNA = NAC => CNM = BAN

A

B

E

MÆt kh¸c CNM = BNE (®®) =>BNE =

BAN

=> (cid:0)

BNE (cid:0)

(cid:0) BAN

b) Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN.

1 2

ễ

ườ

ỹ

95

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t

nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng) => CE // AF => AFB = ENB (®ång vÞ) => (cid:0) BAN (cid:0)

(cid:0) BFA =>

(§pcm)

(cid:0) (cid:0) FN NB AB NB (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 FA AN BF BA NC AN AB NC AN AB NC AN NB AB

= = (1)

C¸ch kh¸c: b) Ta cã: (cid:0) ACN (cid:0)

(cid:0) EAN =>

CN AN AC EA AN EN

BNE (cid:0)

(cid:0) BAN =>

. Tõ (1) vµ (2) => BN = AE

= (cid:0) va (2) (3) AN NE BA BN BE NB = AB BN

(

)

Tõ

= => = = = + 1 = + 1 4 CN AN AC EA CN AN AB AE + AE EB AE EB AE EB BN

Tõ (3) vµ (4) =>

(§pcm)

= + 1 CN AN NB AB

§ Ề S

Ố 39

Bµi 1: (2 ®iÓm)

+

Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: x

6

2

x+ 2 7 + 4

+

+

x

x

x

2008

2007

2008

1. 2.

x

x

-

Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: + + - = x 1

2 3

0

2

1.

2

2

+

+

+

+ 2

(

)

x

+ x

+ x

8

4

4

2.

1 x

1 2 x

1 2 x

1 x

2 � � x 4 � � � �

2 � � � x � � � � � �

-

)

9

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 �� � = �� � �� � Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã: (a+b+c)( 1 a

1 c

thøc

+

+

+

) (

) (

(

+

1 b 3. T×m sè d ) ( + x x

x

x

2008

8

2

6

4

trong phÐp chia cña biÓu ) + x

21

x+ cho ®a thøc 2 10

.

Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H(cid:0) BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.

1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh

®é dµi ®o¹n BE theo m AB=

.

2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam

gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM

=

3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: GB

.

HD +

BC AH HC

ễ

ườ

ỹ

96

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

Néi dung

§iÓm

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  Bµi 1

ể ậ ề C© u

1.

2,0

1.1 (0,75 ®iÓm)

ễ

ườ

ỹ

97

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

2

+

(

0.5

ể ậ ề x

x

( x x

x

+ = 6

7

) + + 1

6

) 1

x =

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  + + + 2 x ( +

+ = 6 ) +

x

x

x 6 ) ( 1

6

0,5

1.2

4

4

2

2

2

+

+

+

+

+

+

x

x

0,25

2007

2

4

2

2

(1,25 ®iÓm) x 2008 + =

+ (

2007 (

+ 2007 1 ) 1

0,25

2

2

=

+ - x x x x 2007

x + 2 x (

)

x

+ + x

x

x

x

x

- + 2 x

+ + 2 x

x

x + + 1 2007 ) ( 1

= x x 2008 ) ( + + = 1 ( ) - + + 1

2007

2007 ) 2 1 ) + + = 2 x 1

2008

x ( + + 2 x x ) ( 1

2.

0,25 2,0

2.1

x

2 3

+ + - = x 1

2

0

(1)

-

(

�

�

= x

x

) 2 = 1

0

1

: (1)

(tháa m·n ®iÒu

x 1x (cid:0) ).

(1)

2

-

x

NÕu 2 � x

1x < : ( � x

x

4

3 0

) ( = 1

0

0,5

x �

x

( ) = x 1 3 = x= 1;

3

) 0 3 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ

0,5

2.2

2

2

+ 2

+

+

+

- - - - - -

(

)

+ x

+ x

x

8

4

4

(2)

1 2 x

1 2 x

1 x

1 x

+ NÕu 1x (cid:0) kiÖn + + = � x h¬n 1, nªn bÞ lo¹i) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ 1x = . 2 � � � x � � � � � �

2 �� � = �� � �� �

2 � � x 4 � � � �

x (cid:0)

0,25

2

2

2

+

+

+

+

-

(

)

�

x

+ x

4

8

4

(2)

§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: 1 x

1 2 x

1 2 x

1 x

2 � � � x � � � � � �

0 2 � � � � = + x � � � � � � � � �

� �� x � �� �� � �

2

0,5

+

+ 2

2 =

-

)

)

(

(

�

�

x

+ x

+ x

8

8

4

4

16

= -

x

2 1 � � � x � � � x � � � = hay x 8

0

0

1 2 x vµ

.

0,25

x = -

8

� = � � x (cid:0) � VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm

-

3

2.0

3.1

Ta cã:

0,5

cba

1)

1

1

(

)(

A=

a b

a c

b a

b c

c a

c b

1 a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

)

)

(3

(

)

=

1 b a c

1 c c a

a b

c b

b c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

b a 2(cid:0)

Mµ:

(B§T C«-Si)

0,5

2223

.9

VËy A 9(cid:0)

(cid:0) x y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x Do ®ã A

ễ

ườ

ỹ

98

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

3.2

) (

) (

)

2

2

= + + + + x x 2 4 6 8 2008

Ta cã: ( x P x ( ) (

) ( x ) (

0,5

= + + + + + + ) x x x 10 24 2008

, biÓu thøc P(x) ®îc

2

=

x = 16 + (cid:0) - (cid:0) - x x t 10 + 2 10 t 21 ( 3; 7)

) (

+ t

t

) + 3

1993

- -

+ t 2 cho t ta cã sè d lµ 1993

t

§Æt t viÕt l¹i: ( = P x t 2008 ( ) 5 + Do ®ã khi chia 2 2 t

1993

-

4

0,5 4,0

4.1

+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung.

(Hai

CD CA = CE CB

tam gi¸c vu«ng

1,0

CDE vµ CAB ®ång d¹ng)

(v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n

0135

do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A.

ﾵ = BEC ADC

0,5

=

Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). Suy ra: ﾵ = t¹i H theo gi¶ thiÕt). Nªn ﾵ Suy ra:

4.2

=

AEB =

D:

ADC

Ta cã:

)

2 AD � (do BEC AC

m 1 2

0,5

mµ

045 = BE AB BM BC AD AH=

D

2 BE =� BC (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) 2

nªn

(do

0,5

CBA

ABH

1 2 2 BM BC )

AH = = = = � � AD AC AC BH BE 1 2 1 2 BH AB 2 D

D:

suy

(c.g.c),

ra:

0

D

BEC =

0,5

BHM ﾵ � AHM

4.3

D: Do ®ã ﾵ = 0 BHM BEC 45 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.

Suy

ra:

,

mµ

GB AB = GC AC

0,5

ﾵ = 135

(

)

(

)

:

ABC

= DEC

= ED AH //

ED AB = AC DC

AH HC

0,5

=

�

�

Do ®ã:

HD +

GB +

HD +

GB HD = GC HC

= GB GC HD HC

HD HC GB BC AH HC

D D

®Ò

S Ố  40

®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:

ễ

ườ

ỹ

99

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

2

8

P =

1

2

8 2

3 + x

x

x

x

3 x

x

- - - - - - - - -

ể ậ ề Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8  x 2 12

+ 5 13

x 2

20

2

x 4

2 x + 3

1

� � 4 �

+ 21 2 � : � + 2 x 4 �

a) Rót gän P

b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi

1 x = 2

c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1

- =

a)

1 12

2

3

-

x 15 + - x 3 x

+ 4 x

� � � x

x

x 148

4 169

� � + x � 186

+

+

=

+

b)

10

21

1 x 3 199 19

c)

25 x - + = 3 2

23 5

- - - -

Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P.

a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh

EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.

c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô

thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.

=

d) Gi¶ sö CP ^

BD vµ CP = 2,4 cm,

. TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh

PD PB

9 16

ch÷ nhËt ABCD.

+

2

2

(cid:0)

Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng: 1 +

2 +

1 +

x

y

xy

1

1

1

иp ¸n vµ biÓu ®iÓm

Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5®

ễ

ườ

ỹ

100

Gv: Nguy n Văn Tú                                                                   Tr

ng THCS Thanh M

ể ậ ề

Tuy n t p đ  thi HSG Toán 8

§iÒu kiÖn:

0,5®

x

x

x

x

x

;

;

4

;

;

3 2

7 4

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a) Rót gän P =

2®

-