11
CHƯƠNGII:
ỨNGDỤNGCỦALƯỢNGGIÁCTRONGHÌNHHỌC
Lượnggiáclàmộtcôngcụmạnhtrongtoánhọc,nóđượcứngdụngtronggiảicácdạngtoán
khác,điểnhìnhnhưhìnhhọc,khảosáthàmsố,chứngminhbấtđẳngthức…..Cácbàitậpởchương
nàychủyếunêuranhữngvídụvềsửdụngcôngcụlượnggiácđểchứngminhnhữngbàitậpkhóvà
giớithiệucho cácbạnmộtsốbàitoánđặcbiệt.
Bài1:(ĐịnhlýStewart)
Cho ABCDlà1điểmtrêncạnhBC.ĐặtAD=d,BD=m,DC=n.Khiđótacócôngthứcsau:
(gọilà hệ thứcStewart):
Giải:
KẻđườngcaoAH xét2tam giácABD vàACDvà theođịnhlýhàmsốcosin,ta có:
Nhântừngvế(1) và(2)theothứtựvớin vàm
rồicộnglại,ta có:
Do nêntừ(3)suyra:
Định lýStewartchứngminhxong.
*Mở rộng:
1.Stewart(17171785)lànhàtoán họcvàthiênvăn họcngườiScotland.
2.Nếutronghệ thứcStewartxétAD làđườngtrungtuyếnthì từhệ thứcStewartcó:
(4)chínhlà hệthức xácđịnhtrungtuyếnquenbiếttrongtam giác
3.NếutronghệthứcStewartxétADlàphângiác.Khiđótheotínhchấtđườngphângiáctrongta
có:
TừhệthứcStewartcó:
12
Chúý rằng:
Từ(5)và(6)suyra:
(7)chínhlà hệthức xácđịnhđườngphângiác .
Vậy,hệthứcStewartlàtổngquáthóacủahệthứcxácđịnhđườngtrungtuyếnvàđườngphângiác
đãquenbiết.
Bài2:Cho ABCgiảsửDvàElà2điểmtrêncạnhBCsaocho .Đườngtrònnộitiếp
các ABD và ACEtiếpxúcvớicạnhBCtươngứng tạiMvà N.Chứngminhrằng:
Giải:
Tacó:
Vậyđẳngthứccầnchứngminhtươngđươngvớiđẳngthứcsau:
(*)
Đặt
Ápdụngđịnh lýhàmsốsintrong các ABDvà ACE,ta có:
Trong ABEtheođịnh lýhàmsố sin,ta có:
Tươngtự:
13
Thay(3)vào(1) có:
Thay(4)vào(2) có:
Do nêntừ(5)và (6)suyra:
Trong ABDta có:
Tươngtự:
Từđósuyra:
(8)
Từ(1)và(2)suyra:
Ápdụngđịnh lýhàmsốcosintrong cáctamgicasABDvà ACEtacó:
Tacó: và theo(8)có
(11)
Tươngtựtacó:
14
(12)
Thay(11),(12)vào(1) có:
( ) (13)
Từ(9)và(13)có (14)
Từ(3)(4) và(14)suyra
Haysaukhithay
Tacó :
(15)
Thay(7)vào(15)có:
Hay (*)
Vậy(*)đúng vàlàđiềucầnchứngminh.
Bài3:(Địnhlíhàmsốcosthứnhấtvớitứgiác)
ChotứgiáclồiABCD,trongđó
·
·
, , , , ,AB a BC b CD c DA d ABC BCD
b g
= = = = = =AB=a,BC=b,CD
=c,DA=d.Chứngminhrằng:
( )
2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cosd a b c ab bc ac
b g b g
= + + - - - +
Giải:
GọiK,LtươngứnglàtrungđiểmACvàBDvàMlàtrungđiểmBC(ChỉxétkhiK ¹L,tứclàkhi
ABCDkhôngphảilàhìnhbìnhhành,vìnếuABCDlàhìnhbìnhhànhthì0
180 ; ,a c b d
b g
+ = = =và
kếtluậntrênlàđiềuhiểnnhiên)
Có2khảnăngxảyra:
1)NếuABkhôngsongsongvớiCD
Giảsử
·
·
AB CD E KML AED Ç = => =
VớitrườnghợpABcắtCDvềphíatrên,tacó:
·
( ) ( )
0 0 0 0
180 180 180 180AED
b g b g
é ù
= - - + - = + -
ë û
KhiABcắtCBvềphíadưới,tacó:
·
( )
0
180AED
b g
= - +
Trongcảhaitrườnghợpđềucó:
( )
cos cosAED
b g
= - +
15
Trong DMKL,theođịnhlíhàmsốsin,tacó:
( )
( )
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 . cos
2 cos
4 4 2 2
cos (1)
4 4 2
KL MK Ml ML MK KML
a c a c
KL
a c ac
KL
b g
b g
= + -
= + + +
=> = + + +
TheocôngthứcEulervớitứgiác,tacó:
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
1 2
4
KL a b c d e f = + + + - -
Với,e AC f BD = =,thay(2)vào(1):
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos (3)a b c d e f a b ac
b g
+ + + - - = + + +
Lạiápdụngđịnhlíhàmsốcos,tacó:
2 2 2
2 2 2
2 cos (4)
2 cos (5)
e a b ab
f c b bc
b
g
= + -
= + -
Thay(4)và(5)vào(3),tacó:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos 2 cos 2 cos
d e f b ac
a b c ab bc ac
b g
b g b g
= + - + +
= + + - - + +
2)NếuAB//CD
Khiđó0
180
b g
+ =
Vậyđẳngthứctươngđươngvới:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 cos 2
2 cos ( ) 2 6
d a b c ab bc ac
d a b c b a c ac
b
b
= + + - - -
<=> = + + - - -
Thậtvậy,kẻAE//BC, theođịnhlíhàmsốcostrong DAEDtacó:
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
2 cos
2 cos 2
d b c a b c a
b c a b c a ac
g
b
= + - - -
= + + - - -
Vậy(6)đúng.Đóchínhlàđpcm.
*Chúý:
1.NhắclạicôngthứcEulersauđây:
ChotứgiáclồiABCD,trongđó, , , , ,AB a BC b CD c DA d AC e BD f = = = = = =.GọiKvàLlà
trungđiểmACvàBD.Khiđótacó:
( )
2 2 2 2 2 2 2
1
4
KL a b c d e f = + + + - -
ChứngminhcôngthứcEulernhưsau:
XéttamgiácALC,theotínhchấttrungtuyến:
( )
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
4
2 2 2 2
2. 2.
4 4
4
1
4
LC LA AC
KL
BC CD BD AB AD BD AC
a b c d e f
+ -
=
+ - + -
+ -
=
= + + + - -
