Luận văn: Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT

TR¦êng ®¹i häc hïng v−¬ng

Khoa khoa häc tù nhiªn

Mét sè øng dông cña ph−¬ng ph¸p to¹ ®é

trong viÖc gi¶I to¸n ë tr−êng thpt

Ng−êi h−íng dÉn: Ths. Nguyễn Chí Thanh

Ng−êi thùc hiÖn : Nguyễn Phương Thảo

Líp K4 §HSP To¸n

Phó Thä, Th¸ng 06 n¨m 2009

MỤC LỤC

Lời nói ñầu………………………………………………………………. .3

Mục lục…………………………………………………………………… 4

Chương I: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ .......................................................... 6

Chư¬ng II: Một số lớp bài to¸n giải bằng phương pháp toạ ñộ

2.1. C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ...................................................................... 15

2.2. C¸c bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh, hÖ ph−¬ng tr×nh.............................. 18

2.3. C¸c bµi to¸n gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh, hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh.................. 20

2.4. C¸c bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ........................................... 22

2.5. C¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ .................................................................... 23

2.6. C¸c bµi to¸n t×m quü tÝch ................................................................. 26

2.7. C¸c bµi to¸n dùng h×nh..................................................................... 28

Chương III: Một số bài toán vận dụng ................................................... 30

Kết luận ...................................................................................................... 51

Tài liệu tham khảo……………………………………………………….52

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn ñề tài

Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán phổ

thông cũng như ở ñại học, nó là cơ sở ñể học tốt các môn toán khác. Chính

vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất cần thiết.

Hình học giải tích ñược sáng lập ra ñồng thời do hai nhà bác học

người Pháp là Descartes(1596- 16500 và Ferma(1601-1655). Đặc trưng của

môn học này là dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải các bài toán hình học.

Phổ biến ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX, phương pháp tọa ñộ ñã

chứng tỏ ưu ñiểm của mình. Phương pháp này không chỉ dùng ñể giải các

bài toán hình trong mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều mà còn giải

ñược các bài toán trong không gian n chiều với hình dạng phức tạp mà việc

vẽ hình ñể giải toán là ñiều không thể. Gần ñây, trong nhiều kì thi tuyển

sinh ñại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài

toán không liên quan tới hình học nhưng ñược giải bằng phương pháp tọa

ñộ. Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

Hoặc ñó là các bài toán chứng minh bất ñẳng thức hay tìm cực trị. Điều ñó

ñã gợi cho chúng tôi ñề xuất ñề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp tọa

ñộ trong việc giải toán ở trường THPT”.

Qua việc nghiên cứu nội dung này, chúng tôi ñã có ñiều kiện củng cố

lại kiến thức ñã học, bổ sung thêm nhiều ñiều bổ ích.

Chương 1: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ

1. Các khái niệm cơ bản.

(cid:1) , j

(cid:1) (cid:1) ) có cơ sở ( ,i j

1.1. Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng

(cid:1) Hệ tọa ñộ afin (O; i

M(x, y)

) gồm hai

vectơ ñơn vị vuông góc với nhau ñược gọi là hệ

tọa ñộ trực chuẩn ( hay còn gọi là hệ tọa ñộ

Descartes vuông gãc). KÝ hiÖu: Oxy (hình 1.1).

(cid:1) Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i

(cid:2)(cid:1) , j

(cid:2)(cid:1) ), nếu vectơ a

1.2. Tọa ñộ vectơ- Tọa ñộ ñiểm

(cid:2)(cid:1) (cid:1) = xi y j+

(cid:2)(cid:1) thì cặp số (x, y) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a

ñược Hình 1.1

(cid:2)(cid:1) viết dưới dạng: a (cid:2)(cid:1) Kí hiệu: a

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) Trong mặt phẳng Oxy, tọa ñộ của vectơ OM

=(x, y).

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1)

(cid:2)(cid:1) y j

(cid:1) M. Kí hiệu: M(x, y) (cid:219) OM xi

ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm

(cid:2)(cid:1) a

b b ( ,

)

(cid:1) b

(

, a a

)

1.3. Phép tính vectơ: Trong mặt phẳng cho các véctơ: ;

vµ c¸c ®iÓm A(xA, yA); B(xB, yB) Ta có:

(cid:2)(cid:1) • a

(cid:1) = b

  

(cid:219)

= (a1+ b1, a2+ b2) )

(

•

b a ,

(cid:1) (cid:2)(cid:1) • a +b (cid:1) (cid:2)(cid:1) - = a b (cid:2)(cid:1) a

• k

(

ka ka ,

)

•

(cid:2)(cid:1) a

2 1

- -

(

) +

(

• AB=

- -

•

= a b

a b

1 2

2 1

(cid:219)

•

(cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:3) a b (cid:1) (cid:2)(cid:1) b a

+ a b

= a b

1 1

2 2

^ (cid:219)

1 1

2 2

(cid:2)(cid:1) • Nếu a

(cid:1) , b

(cid:1) khác 0

(cid:1)(cid:2)(cid:1) thì: cos( ,a b

a b + a

a b b

) =

1.4. Các công thức liên quan

(cid:1) §iÓm M(

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) -1 (cid:219) MA k MB

x y , M M

„ )chia ñoạn AB theo tỉ số k

k x

A 1

k k y

- (cid:219) -

      

A 1

x 1

(cid:1) §iÓm I (x1 , y1) là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB

2 +

y 1

      

(cid:1) §iÓm M là trọng tâm cña ∆ ABC (cid:219)

B 3 y

      

B 3

(cid:1) Phương trình ñường thẳng: Ax + By+ C =0 (1), A2 + B2 „

(cid:2)(cid:1) §ường thẳng cho bởi (1) có vect¬ ph¸p tuyÕn n

= ( A, B); vect¬ chØ

(-B, A).

(cid:2)(cid:1) ph−¬ng u

(cid:1) Đường thẳng ñi qua ñiểm M (

(cid:2)(cid:1) ,x y ) và có vectơ pháp tuyến n

=( A, B)

có phương trình là: A(x- x0 ) + B( y- y0) =0.

,x y ) và có

(cid:1) Phương trình tham số của ñ−êng thẳng ñi qua ñiểm M ( 0

a t

( a, b) là:

(cid:2)(cid:1) vect¬ chØ ph−¬ng u

b t

  

,x y ) và cã

(cid:1) Phương trình chính tắc của ñường thẳng ñi qua ñiểm M ( 0

(cid:219)

( a, b) là:

(cid:2)(cid:1) vectơ chỉ phương u

x x a

(cid:1) Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M (

,x y ) và có hệ số góc k

cho

trước: y = k(x- x0) + y0.

- -

(cid:1) Phương trình ñường thẳng ñi qua A( a, 0) và B(0, b) có phương trình:

+ = . (cßn gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n)

x a

y b

A x B y C

= . 0

(cid:1) Cho chùm ñường thẳng xác ñịnh bởi hai ñường thẳng c¾t nhau: = và ñường thẳng (d2): 1 0

Khi ñó mọi ñường thẳng của chùm có phương trình d¹ng:

+ b

(d1):

(

)

A x B y C

(

A x B y C

= với ) 0

(cid:1) Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm ®Õn mét ®−êng th¼ng

,x y ). Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®−êng

„

Trong hÖ to¹ ®é trùc chuÈn cho ®−êng th¼ng (d1) cã ph−¬ng tr×nh: Ax + By +C = 0 vµ mét ®iÓm M( 0

Ax By C + A B

(cid:1) Gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng

. th¼ng (d1) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: d(M, d1)=

Trong hÖ to¹ ®é trùc chuÈn cho ®−êng th¼ng (a) cã

ph−¬ng tr×nh: Ax + By +C = 0 vµ (a’) cã

ph−¬ng tr×nh: A’x + B’y +C’ = 0. Khi ®ã: gãc a gi÷a hai ®−êng th¼ng (a) vµ (a’) ®−îc

' +

+ ' AA BB + A B

tÝnh theo c«ng thøc: cosa = . Hình 1.2

' 0

= + AA BB '

(cid:1) §−êng trßn cã t©m I( a, b); b¸n kÝnh R > 0 cã ph−¬ng tr×nh lµ:

(cid:219) Nh− vËy: 2 ®−êng th¼ng (a) vµ (a’) vu«ng gãc víi nhau .

+ (y- b)2= R2.

(x- a) 2

Cho 3 trôc täa ®é Ox, Oy, Oz ñôi một vuông góc

(cid:2)(cid:1) , j

(cid:2)(cid:1) , k

(cid:1) víi nhau vµ chung mét ®iÓm gèc O. Gäi i

1.5. Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong không gian

lµ c¸c vect¬ ®¬n vÞ t−¬ng øng trªn c¸c trôc Ox,

Oy, Oz. HÖ 3 trôc nh− vËy gäi lµ hÖ täa ®é

(cid:2)(cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:1) i j k ,

Descartes vu«ng gãc Oxyz, hay (O; ,

1.6. Tọa ñộ vectơ - Tọa ñộ ñiểm Hình 1 .3

(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:1) + Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i , ,j k (cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:1) + = xi y j a

(cid:2)(cid:1) ñược viết dưới dạng: a

(cid:2)(cid:1) zk

thì

(cid:2)(cid:1) cặp số (x, y, z) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a

=(x, y, z).

(cid:2)(cid:1) kí hiệu: a

ñược gọi là tọa ñộ của

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1)

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) + Trong không gian Oxyz, tọa ñộ của vectơ OM (cid:2)(cid:1) zk

(cid:1) ñiểm M. Kí hiệu: M(x, y, z) (cid:219) OM xi

(cid:2)(cid:1) y j

1.7. Phép tính vectơ: Trong không gian cho các véctơ:

),nếu vectơ

(

a a a

)

b b b ( ,

)

x y z ); ,

x y z ). ,

(cid:2)(cid:1) a

(cid:1) b

1M ( 1

2M ( 2

Ta có:

b a ,

+ ). b

; và các ñiểm

= ( 1 a (

)

b a ,

(cid:2)

ka ka k ,

, a )

(cid:2) k

- - -

(

)

(cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:2) a +b (cid:1) (cid:2)(cid:1) - = a b (cid:2)(cid:1) a ( (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) M M

(cid:2)

x y ,

y z ,

(

)

(

)

và

là ñộ dài

(cid:1) Khoảng cách d giữa hai ñiểm

M x y z ,

- - -

(

) +

(

)

(

của vectơ

, ñược xác ñịnh bởi: d =

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) 2M M 1

) + . y z 1 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MM k MM=

(cid:1) Điểm M(x, y, z) chia ñoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k:

- - -

x 1 y 1

- ñược xác ñịnh bởi công thức: -

z 1

kx k ky k kz k

        

• Đặc biệt: Nếu k= -1 thì M là trung ñiểm của ñoạn thẳng M1M2. Khi ñó

tọa ñộ của ñiểm M là:

(

)

(

)

(cid:1) (cid:1) .u v

(cid:1) v

(cid:1) NÕu

(cid:2)(cid:1) u

x x 1 2

y y 1

z z 1 2

th×: .

) ; (cid:1) v

( x y z 2 2 (cid:2)(cid:1) (cid:1) = . u v

x y z , 1 (cid:1) • §Æc biÖt: u

1 2

(cid:219) ^ .

(cid:2)(cid:1) (cid:1) th×: cos( ,u v

) =

(cid:1) =

(cid:1) (cid:2)(cid:1) 0u „

(cid:1) , v

(cid:1) 0„

(cid:2)(cid:1) (cid:1) u v . (cid:2)(cid:1) u v .

x x y

y y .

z z + y

2 1

(

)

và

(cid:1) Tích vevtơ (hay tích có hướng) của hai vectơ

(cid:1) u x y z , 1 1

)

(cid:1) ( v x y z ,

kí hiệu là

là một vectơ xác ñịnh bởi:

(cid:1) (cid:1) ,u v 

 

(cid:2)(cid:1) (cid:1) ,u v   

   

    (cid:2)(cid:1) (cid:1) Các tính chất: u

(cid:1) và v

cộng tuyến (cid:219)

(cid:1) 0

 

2 (cid:2)(cid:1) (cid:1) u v , 

NÕu

(cid:1) u

(cid:1) v

và

 

(cid:2)(cid:1) (cid:1) u v , 

 

(cid:1) (cid:2)(cid:1) u v .

.sin

(cid:2)(cid:1) trong ñó a là góc giữa hai vectơ u

(cid:1) và v

(cid:1) (cid:1) u v ,  (cid:2)(cid:1) (cid:1) , u v

 

= -

  (cid:2)(cid:1) (cid:1) , u v

(cid:1) (cid:2)(cid:1) , v u

 

  (cid:2)(cid:1) (cid:1) ku v ,

    (cid:1) (cid:2)(cid:1) u kv ,

k ˛

 

 

(cid:2)(cid:1) (cid:1)  , k u v  (cid:2)(cid:1) (cid:1) , u t

(cid:2)(cid:1) (cid:1) , u v

 

  (cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:1) + =  u v t , 

 

 

 

^ ^

(cid:2)(cid:1) (cid:1) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó 3 vect¬ u

(cid:1) , v

(cid:1) , t

(cid:2)(cid:1) (cid:1) (cid:1)  u v t , 

 

®ång ph¼ng lµ: .

(cid:1) DiÖn tÝch cña tam gi¸c cã c¸c ®Ønh A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) ®−îc cho bëi c«ng thøc:

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) , AB AC

1.8. C¸c c«ng thøc liªn quan.

 

 

S △

ABC

1 2

z z x x

x x y y

y y z z S △ ABC y y z z

z z x x

- - - - - - hay: - - - - - -

1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) 'AA

x x y y 3 3 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:1) ThÓ tÝch h×nh hép dùng trªn 3 vect¬ AB , AD (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) AB AD AA ; ' .

, lµ:

 

 

Vhép=

(cid:1) ThÓ tÝch h×nh tø diÖn ABCD lµ: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) . ; AB AC AD

 

 

1 6

(cid:1) §iÓm G lµ träng t©m ∆ ABC khi vµ chØ khi: +

x C

z C

z y C A ,

)

. V tø diÖn =

B 3

(cid:1) §iÓm G lµ träng t©m tø diÖn ABCD khi vµ chØ khi:

x C

y C

z C

)

G = ( .

(cid:1) Vect¬

n»m trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mp(P) gäi lµ vect¬

(cid:1) (cid:2)(cid:1) 0n „

G = ( .

x y z ) cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ

(cid:2)(cid:2)(cid:1) n A B C ( ,

)

cã

(cid:1) MÆt ph¼ng (P) qua M( 0

ph¸p tuyÕn cña (P).

(cid:1) Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mp(P) lµ: Ax+By+Cz+D=0 víi

ph−¬ng tr×nh lµ: A(x - x0)+ B(y - y0)+ C(z - z0)= 0.

A B C

> ). 0

(cid:1) Mét sè tr−êng hîp ®Æc biÖt: mp: Ax + By + Cz = 0 qua O(0, 0, 0).

(

mp: Ax+ D = 0 song song víi mp(yOz).

mp: Ax + Cz+D = 0 song song víi Oy.

(cid:1) ∆ ABC cã

(cid:2)(cid:1) n

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) AB AC ,

lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cña mp(ABC).

 

 

(cid:1) Ph−¬ng tr×nh

+ + = ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cña

x a

y b

z c

mp: x= 0 lµ mp(yOz).

mÆt ph¼ng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c „ 0).

(cid:3) VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña 2 mÆt ph¼ng- Chïm mÆt ph¼ng

= A B C A B C

Cho 2 mÆt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0. Khi ®ã: (P) ” (P’) (cid:219) A:B:C:D=A’:B’:C’:D’

A B C D A B C D

   (P) c¾t (P’) (cid:219) A:B:C „ A’:B’:C’

(P) (cid:3) (P’) (cid:219) „

„ NÕu (P) c¾t (P’) theo ®−êng th¼ng (∆) th× mäi mÆt ph¼ng qua (∆) cã ph−¬ng tr×nh: l (Ax+ By+ Cz+D) + m (A’x+ B’y+ C’z+ D’)=0, ( ).

(cid:3) Ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng:

Cho 2 mÆt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0,

+ =

+ Ax By Cz D 0 =

(P) ˙ (P’)= (∆). Khi ®ã ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (∆) lµ:

  

(1) A’x B’y C’z D’ 0 (2)

A B C ( , ,

)

, mp(2) cã vect¬ ph¸p tuyÕn

(cid:2)(cid:1) u

A B C

(

(cid:2)(cid:2)(cid:1) n 1 (cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:1) , n n

 

 

x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( ,

(cid:2)(cid:1) , ) u a b c

(cid:1) §−êng th¼ng (∆) qua ®iÓm M( 0

. Khi ®ã: lµ vect¬ chØ ph−¬ng cña (∆). mp(1) cã vect¬ ph¸p tuyÕn (cid:2)(cid:2)(cid:1) n

= =

+ +

y z

bt ct

    

x 0 y 0 z 0

cã: + Ph−¬ng tr×nh tham sè lµ:

x x a (cid:3) VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña c¸c ®−êng th¼ng

x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng

- - - + Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c lµ: (a.b.c „ 0).

(cid:2)(cid:1) ( , , ) u a b c

' ,

, Cho ®−êng th¼ng (d) qua M0( 0

z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng

(cid:2)(cid:1) u a b c

( ',

®−êng th¼ng (d’) qua M( . Khi

®ã:

(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1)   ' u u MM   (cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1)  ' u u MM 

+ d c¾t d’ (cid:219)

. + d vµ d’ ®ång ph¼ng (cid:219)

      : a b c a b c

„

(

)

( tøc lµ

(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) 'u u ,

) ( :

- - - a: b: c = a’: b’: c’ „ cïng + d (cid:3) d’ (cid:219)

) ( y x ' : 0 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) 0 ' M M

ph−¬ng nh−ng kh«ng cïng ph−¬ng ).

(cid:2)(cid:1) u

(cid:2)(cid:2)(cid:1) 'u

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) M M 0 '

; ; cïng ph−¬ng. + d ” d’ (cid:219)

)

) ( :

- - - (cid:219) a: b: c = a’: b’: c’=( .

' (cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1)  u u MM ' 

 

„ + d vµ d’ chÐo nhau (cid:219) .

(cid:3) VÞ trÝ t−¬ng ®èi gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng =

x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng

= =

+ +

y z

bt ct

    

Cho ®−êng th¼ng (d): qua M( 0

(cid:2)(cid:1) u a b c ( , , )

A B C ( , ,

)

(cid:2)(cid:1) n

vµ mp(P): Ax + By + Cz + D=0 cã vect¬ ph¸p tuyÕn

„ ).

Aa +

Bb +

Cc= 0 + „ Cz D 0

  

( A B C + (d) c¾t (P) khi vµ chØ khi: Aa + Bb + Cc „ 0. + + (d) song song víi (P) khi vµ chØ khi:

Aa +

Bb +

Cc = 0 + Cz D = 0

  

+ (d) n»m trªn (P) khi vµ chØ khi:

x y z ). ,

(cid:3) Kho¶ng c¸ch

Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 vµ ®iÓm M0 ( 0

d M P

(

))

By Cz D + + B C

Khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ M0 tíi (P) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau : + .

(cid:1) Cho ®iÓm M1 vµ ®−êng th¼ng (d) ®i qua M0 vµ cã vect¬ chØ ph−¬ng u ®ã kho¶ng c¸ch tõ M1 tíi (d) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:

;

 

 

. Khi

d M d

,( ))

(

M H

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) M M u (cid:2)(cid:1) u

• Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng chÐo nhau:

= =

+ +

x y

at bt

x y

Trong kh«ng gian cho 2 ®−êng th¼ng chÐo nhau cã ph−¬ng tr×nh tham sè:

= = =

+ + +

x y z

' ' '

a t ' ' b t c t '

    

; (d1): (d2):

Mo'

Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) ®−îc

b b '

c c '

a a

tÝnh theo c«ng thøc:

(

)

(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) '

d d d

(

)

(cid:2)(cid:1) ', u u M M 0 (cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1)  ' u u , 

 

- - - .

(cid:1) Trong hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho 2 ®−êng th¼ng (d) vµ (d’) cã vect¬

(cid:3) Gãc

(cid:2)(cid:2)(cid:1) 'u

(cid:2)(cid:1) (u =

chØ ph−¬ng lÇn l−ît lµ: p, q, r) vµ =(p’, q’, r’).

Gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d) vµ (d’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:

pp qq rr + q .

+ ' p

+ ' r

' q

cos((d), (d’)) = .

(cid:1) Gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng:

(d’) (cid:219) pp’ + qq’+ rr’ = 0. §Æc biÖt: (d) ^

Trong hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho: (P): Ax + By + Cz + D = 0

A B C

A B C ( , ,

)

(

„ vµ (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0

(

+ B C '

(

A B C

(cid:2)(cid:1) n (cid:2)(cid:2)(cid:1) ' n

„

(d)

+ '

Khi ®ã: Gãc a gi÷a (P) vµ (P’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:

AA BB CC +

+ ' +

A B C

+ B C '

(d')

cosa =

(P’) khi vµ chØ khi:

§Æc biÖt (P) ^

(cid:1) Gãc gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng

AA’ + BB’ + CC’ = 0.

+ B C

= =

+ +

„ Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0, ( )

x y

at bt

x y = + z

    

„ vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: , ( ).

j £

Khi ®ã: gãc j gi÷a (d) vµ (P) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:

Aa Bb Cc +

A B C §Æc biÖt: (d) (cid:3)(P) hoÆc (d) (cid:204)

sinj = , 0 £ 900.

(P) khi vµ chØ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0.

Chương 2: Mét sè líp bµi to¸n gi¶I b»ng ph−¬ng ph¸p

to¹ ®é

(cid:1) Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

2.1. Các bài toán tính toán

+ Chän hÖ täa ®é thÝch hîp:

- Trong mÆt ph¼ng, chän hÖ täa ®é cã 2 ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi

nhau, gèc täa ®é lµ giao ®iÓm cña 2 ®−êng th¼ng ®ã.

- Trong kh«ng gian, chän hÖ täa ®é cã ®Ønh vµ c¸c trôc Ox, Oy, Oz lµ

tam diÖn vu«ng hoÆc ta vÏ thªm mét sè ®−êng ®Ó ®−îc mét tam diÖn

vu«ng. G¾n c¸c trôc Ox, Oy, Oz thÝch hîp.

+ BiÓu diÔn c¸c ®iÓm ®9 cho qua hÖ täa ®é võa chän. T×m ph−¬ng tr×nh c¸c

®−êng, mÆt ®9 cho.

+ Sö dông c¸c kiÕn thøc h×nh häc gi¶i tÝch, ph−¬ng tr×nh ®−êng, mÆt, c¸c

c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch, diÖn tÝch, gãc, thÓ tÝch ®Ó lµm s¸ng tá yªu cÇu

bµi to¸n.

Bµi 1. Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã 3 kÝch th−íc lµ a, b, c.

Hmy tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng chéo nhau BD vµ CD’ theo c¸c kÝch

th−íc a, b, c. Giải:

Chän hÖ to¹ ®é Oxyz sao cho c¸c tia Ox, Oy, Oz trïng víi c¸c tia AB, AD,

AA’( Hình 2.1). Theo c¸ch ®Æt ®ã vµ theo bµi ra ta cã:

A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, b, 0); A’(0, 0, c); C(a, b, 0).

V×: CD’ (cid:3) (A’BD) nªn d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)].

x a

z + + = . 1 c

y b

MÆt ph¼ng A’BD cã ph−¬ng tr×nh:

Do ®ã: d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]=

abc + b c

a b

c a

+ + - 1 1 0 1 1 1 1 c b a

= .

abc + c b

a b

a c

VËy kho¶ng c¸ch gi÷a BD vµ CD’ b»ng .

Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i C. Trªn c¸c c¹nh BC, CA, AB lÇn

MB NC PA MC NA PB

l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: .

Chøng minh r»ng: a) CP ^ MN.

b) CP= MN.

Giải:

Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy sao cho: O ” C, tia Ox ” CA, tia

Oy ” CB (hình 2.2). Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm: C(0, 0); A(1, 0); B(0, 1).

= ( k > 0).

MB NC PA MC NA PB

Tõ gi¶ thiÕt ta ®Æt:

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CM

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CB

1 +

⇒

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CN

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CA

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) = BM k MC (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) = CN k NA (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) = AP k PB

    

k + 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CA

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CP

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CB

1 +

k +

        

Hình 2.2

(0,

)

1 +

Do ®ã:

⇒

;

,0)

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CP

)

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MN

k +

1 +

k +

1 k +

1 , ) k k

( 1

)

( 1 1 +

( 1

        

k + 1 k (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MN CP = .

⇒ MN CP

^ a ) Ta thÊy: .

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MN

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CP

k +

1 +

k +

  

  

  

  

1 + k

+ k + (1

1 )

k + (1

+ k

1 )

  

  

  

  

- b) ; .

VËy MN= CP (®pcm).

Bµi 3. Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu cã c¹nh lµ 2a, c¹nh SC

vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng(ABC) vµ cã SC= a. Gäi d1 lµ ®−êng th¼ng ®i qua ®Ønh S vµ trung ®iÓm E cña c¹nh BC, d2 lµ ®−êng th¼ng ®i qua C vµ trung ®iÓm D cña c¹nh AB. TÝnh gãc vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng d1 vµ d2. Giải:

Chän hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz sao cho: O ” C, c¸c ®iÓm D, S

lÇn l−ît n»m trªn c¸c trôc Oy, Oz (Hình 2.3). Khi ®ã: Ox (cid:3) AB. Ta cã:

a 2

C(0, 0, 0); D(0, , 0); B(a, , 0); E( , 0); S(0, 0, a). ,

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CD⇒

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) , 0); SE

a 2

=(0, =( , , -a).

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) vµ CD

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) C¸c ®−êng th¼ng d1 vµ d2 lÇn l−ît cã VTCP lµ SE

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) ⇒ cos( SE

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) ,CD

S(0, 0, a)

6 4

23 a 2 a 3.

) = .

VËy gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng SE vµ CD lµ gãc

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) tho¶ mmn: cos( SE

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) ,CD

6 4

)= .

§Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®−êng th¼ng

SE, CD ta lËp ph−¬ng tr×nh mp(P) chøa CD

vµ song song víi SE.

Hình 2.3 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) vµ CD Mp(P) qua C(0, 0, 0) nhËn SE

lµm cÆp VTCP.

2 3a-

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) n CD SE ,

 

 

2 3 2

a 2

     

     

a 2

Gäi = ( , 0, - ). - -

2 3a-

2 3 2

Do ®ã ph−¬ng tr×nh mp(P) lµ: x- z =0. Tõ ®ã ta cã:

a 3

3 4

. d(d1, d2)= d(S, (P))=

. VËy kho¶ng c¸ch gi÷a SE vµ CD lµ d(d1, d2)=

(cid:1) Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

(cid:2)(cid:1)

2.2. Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình

(cid:2)(cid:1) + u

(cid:1) v

(cid:1) (cid:2)(cid:1) u k v= .

(cid:2)(cid:1)

dÊu “ = ” x¶y ra (cid:219) (cid:1) + £ + Sö dông bÊt ®¼ng thøc vect¬: u v

(cid:1) (k >0), u v

(cid:2)(cid:1) u

(cid:1) v

dÊu “=” x¶y ra (cid:219)

(cid:1) (cid:2)(cid:1) u k v= .

- ‡ - (k > 0)

+ Sö dông sù t−¬ng giao cña c¸c ®−êng trong mÆt ph¼ng: Trong mÆt ph¼ng

cho ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng y= f(x), y= ax+ b. Khi ®ã: nghiÖm cña f(x) =

ax+ b lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña 2 ®−êng y= f(x) vµ y= ax+ b.

+ x

= 13

.(1)

- Bµi 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

Gi¶i:

+ ( x

+ + 1) 9

(

+ = 3)

(cid:219) - Ta cã: (1) .

+ ⇒ =

(cid:1) ⇒ = v

= - + ( x

3,2)

1,3)

(cid:2)(cid:1) u

(cid:1) v

(

+ 3)

- ; . Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: (cid:2)(cid:1) u

⇒ + =

(cid:2)(cid:1) u

(cid:1) v

(

+ + 9

(

(cid:1)

- . MÆt kh¸c:

(cid:1) (cid:2)(cid:1) + = u v

(

+ + - 1 3

= + ,3 2) x

(4,5)

(cid:2)(cid:1) u v⇒ + =

(cid:2)(cid:1) Mµ: u

(cid:1) (cid:2)(cid:1) + ‡ + u v

(cid:1) v

+ x

+ = - 2 x

2 9 3

- ‡ nªn: .

(cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:219) = u kv

x 3

1 x

3 = (cid:219) 2

DÊu “=” x¶y ra víi k > 0 nªn : -

= ⇒ = . 5 x

7 5

(cid:219)

7 x = . 5

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®m cho lµ:

Bµi 5. T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã 1 nghiÖm duy nhÊt:

8 0 (1)

+ = 6 y - =

+ - y + - y

mx 2

1 0

(2)

  

Gi¶i:

1 2

, 3); b¸n kÝnh Ph−¬ng tr×nh (1) lµ ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn(C), t©m I1(

5 2

R1= . Ph−¬ng tr×nh (2) lµ ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C’), t©m I2(m, 0); b¸n

1 m+

. kÝnh R2 =

HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi (C) tiÕp xóc (C’).

+ Tr−êng hîp 1: (C) vµ (C’) tiÕp xóc ngoµi nhau: ThÕ th×: I1I2 = R1+ R2.

1 m+

5 2

1 2

  

 +  

- + , nªn ta cã: Nh−ng: I1I2 = , R1+ R2 =

- + m m

1 m+

+ + 1 m

+ = 1) m

  

 +  

1 2

5 2

5 (cid:219) + 4

37 4

= -

- = +

+ = m

+ 1) 49 14

m m

m +

7 m

(cid:219) (cid:219) - ( m £ 7).

⇒

+ 22 m

= 22 0

= -

   

11 2

(cid:219) - 7

11 2

VËy cã hai gi¸ trÞ m = 2, m = - ®Ó hai ®−êng trßn ®m cho tiÕp xóc ngoµi

nhau.

R R-

hay: + Tr−êng hîp 2: (C) vµ (C’) tiÕp xóc trong: Tøc lµ: I1I2 =

- + + = m m

+ - m

+ + 5( m

+ m-

  

 +  

1 4

5 4

1 2

5 2

- (cid:219) =

⇒

+ 22 m

= 22 0

= -

   

11 2

(cid:219) -

VËy cã hai gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ®m cho cã nghiÖm duy nhÊt.

= 2

+ - 2

- Bµi 6. BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau theo m:

Gi¶i:

4 x-

2,2

 

 

˛ - Ta xÐt ®−êng cong y= (1) ( ) vµ

+ - 2mx

-2

®−êng y= .(2)

= y 4

y +

0 =

  

Hình 2.4 ⇒ (I) lµ nöa phÝa trªn trôc Ox cña ®−êng trßn t©m O(0, 0) b¸n kÝnh R= 2 cã

‡ - (cid:219) (I) XÐt ®−êng cong:

= . 4

+ - 2mx

ph−¬ng tr×nh:

+ - 2mx

(2) lµ ®−êng th¼ng (∆) cã hÖ sè gãc k= m vµ víi mäi gi¸

XÐt: y= trÞ cña m ®−êng th¼ng (∆) lu«n ®i qua ®iÓm A(1, 2). VËy ph−¬ng tr×nh ®m cho cã nghiÖm khi ®−êng th¼ng (∆): y= c¾t

nöa ®−êng trßn t©m O(0, 0), b¸n kÝnh R= 2 víi y > 0.

= -

XÐt (d) lµ tiÕp tuyÕn ®i qua A(1, 2), khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (d) b»ng 2

m = (cid:219) + 1

2 m

4 3 0

   

, hệ

Gọi 2 ñiểm B(-2, 0) và C(2, 0), hệ số góc của ñường thẳng AB: kAB =

2 3

số góc của ñường thẳng AC: kAC= -2.

- (cid:219)

Vậy: Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm khi 0 < m <

; -2 < m <

2 3

4 3

Phương trình có 1 nghiệm khi

< m; m< -2.

2 3

- .

(cid:1) Sö dông bÊt ®¼ng thøc vect¬:

(cid:1) (cid:2)(cid:1) ; u v

(cid:2)(cid:1) (cid:1) u v

(cid:2)(cid:1) (cid:1) .u v

(cid:1) v

(cid:1) + +

£ £ - ‡ - ; ; 2.3. Các bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình (cid:2)(cid:1) u

(cid:2)(cid:1) w

(cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) + + v u v w u

(cid:1) Sö dông sù t−¬ng giao cña c¸c ®−êng trong mÆt ph¼ng.

£ ;

+ + 1

- + 3

50 3

- £ Bµi 7 . Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: .

Gi¶i:

3 50 , 2 3

  

  

˛ TËp x¸c ®Þnh: x .

1x + , 2

(cid:2)(cid:1) Trong không gian Oxyz chän: u

+ +

- +

- = ( , 50 3x

1, 1, 1)

1 2

= 48 4 3

= x 3 50 3

(cid:2)(cid:1) u⇒ =

(

3x - (cid:1) v =

- ; 3 . ). (cid:1) v⇒ =

(cid:2)(cid:1) (cid:1) .u v =

+ + 1

- + 3

50 3

- Ta cã: 12 vµ .

(cid:2)(cid:1) (cid:1) .u v £

(cid:1) (cid:2)(cid:1) .u v = (cid:1) (cid:2)(cid:1) .u v

+ + 1

- + 3

50 3

- £ Mµ hay .

  

  

3 50 , 2 3

˛ VËy bÊt ph−¬ng tr×nh ®óng víi .

B D

x= m

- < 2

Bµi 8. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:

2 x

- -

+ 2 1) m x m m = + 2 2 x m

-2

  

(I)

x+ m- 2= 0

1. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm.

-2

2. T×m m ®Ó hÖ cã ®óng mét nghiÖm.

3. T×m m ®Ó hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

Gi¶i: Hình 2.5

(

- + 2

) 0

(1)

x m x )( + x m

(2)

  

- £ (I) (cid:219) £

XÐt hÖ to¹ ®é Oxm, ta cã:

+ C¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ mmn (1) thuéc phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi 2

®−êng th¼ng x- m = 0 vµ x- 2+ m= 0.

+ C¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ mmn (2) thuéc phÇn trong h×nh trßn t©m O(0, 0)

b¸n kÝnh R= 2 (kÓ c¶ ®−êng viÒn).

+ C¸c ®iÓm tho¶ mmn hÖ thuéc miÒn g¹ch trong h×nh vÏ 2.5, víi to¹ ®é A, D

⇒

0 =

- = x m + x m

   

2, ( 2, 2)

A ( D

    

⇒

- - lµ nghiÖm cña hÖ:

- + = m =

0 4

(0,2) (2,0)

x 2 + x m

   

B    C  

To¹ ®é cña B, C lµ nghiÖm cña hÖ:

2,2

= -  

 

. ChiÕu 2 cung AB vµ CD lªn Om ta ®−îc: Im

2,2

 

 

- VËy: a) HÖ cã nghiÖm khi m˛ .

< 2

< ¨ 0 m

£ < 2

m< <

- b) HÖ cã ®óng mét nghiÖm khi: .

c) HÖ cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi: 0 2 .

(cid:1) Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

2.4. Các bài toán chứng minh bất ñẳng thức

(cid:2)(cid:1) (cid:1) . u v

(cid:1) (cid:2)(cid:1) u v .

(cid:1) (cid:2)(cid:1) + £ ; u v

(cid:2)(cid:1) + u

(cid:1) v

(cid:1) (cid:2)(cid:1) ; u v

(cid:2)(cid:1) u

(cid:1) v

+ Chän hÖ täa ®é thÝch hîp biÓu diÔn c¸c ®iÓm qua hÖ täa ®é, sö

£ - ‡ - + Sö dông c¸c c«ng thøc: .

dông c¸c kiÕn thøc h×nh häc ®Ó gi¶i bµi to¸n.

Bµi 9. Cho ba sè thùc a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng:

b (

+ - (

c a

)

b (

+ - 1)

(

c a

)

- ‡

Gi¶i:

a c

= - (

b (

)

(

)

- - -

(cid:2)(cid:1) ⇒ = u (cid:1) ⇒ = v

+ - (

c a

b (

;

)

- - - Trong mÆt ph¼ng Oxy chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: (cid:2)(cid:1) u (cid:1) v

(cid:1) (cid:2)(cid:1) + = - u v

( 2,0)

(cid:1) (cid:2)(cid:1) ⇒ + = u v

+ 2

Ta cã: ;

(cid:1) u

(cid:1) v

b (

+ - (

c a

)

b (

+ - 2 1)

(

c a

)

- ;

b (

+ - (

c a

)

b (

+ - 1)

(

c a

)

(cid:1) (cid:2)(cid:1) + £ Mµ: u v

(cid:2)(cid:1) + u

(cid:1) v

- ‡ nªn: (®pcm).

+ b a + = c d

= 2 1 3

Bµi 10. Cho bèn sè thùc a, b, c, d tho¶ mmn: { 2

9 6 2 4

£ Chøng minh r»ng: ac+ bd+ cd .

Gi¶i:

= ⇒ Gäi M(a, b) th× M˛ 2 1

= . 2 1

Do (C):

(d): x+ y- 3 = 0. V× c+ d= 3, gäi N(c, d) th× N˛

⇒

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MN c a d b

(

)

- -

⇒

(

d b

)

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MN

c a (

+ )

- - 3

2 2 d b+

ac 2 = ; 2 1 = -

- - =

(

cd 2

)

9 2

-1

(d)

= + -

- Mµ ta l¹i cã: + c d .

⇒

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MN

1 9 2

bd 2

- -

+ cd ac db )

- 10 2( . Hình 2.6

⇒

- . ac bd cd MN 2

®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi vµ chØ khi MN ®¹t gi¸ trÞ nhá Do ñó: ac bd cd

nhÊt.

VËy MN lµ ®o¹n IJ vu«ng gãc víi (d), ®−êng IJ lµ ph©n gi¸c cña gãc phÇn

3 2

(

)

11 2

2 2

3 3 , 2 2

3 2

2 2

   

   

- - t− thø nhÊt nªn I ; J( )⇒ = .

+ ⇒ ac bd cd

IJ 2

+ 9 6 2 4

- £ .

(cid:219) = = a b

= = c d ;

2 2

3 2

. DÊu “=” x¶y ra

(cid:1) Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

2.5. Các bài toán tìm cực trị

B−íc 1: Chän hÖ täa ®é thÝch hîp biÓu diÔn c¸c ®iÓm cÇn thiÕt qua hÖ

täa ®é.

B−íc 2: ThiÕt lËp biÓu thøc gi¶i tÝch cho ®èi t−îng cÇn t×m cùc trÞ.

B−íc 3: Lùa chän ph−¬ng ph¸p t×m cùc trÞ: Ph−¬ng ph¸p tam thøc bËc

hai, sö dông bÊt ®¼ng thøc hoÆc sö dông ®¹o hµm.

Bµi 11. Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ mmn: x+ 2y+ z = 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt

(

+ 1)

(

+ 1)

+ x

(

+ ( y

(

- - - - - - cña biÓu thøc: P=

Gi¶i:

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz lÊy ®iÓm A(1, 1, 1); B(2, 2, 2).

Bài toán quy về tìm ñiểm M(x, y, z) nằm trong mp: x+ 2y+ z = 0 ñể:

AM+ BM ñạt giá trị nhỏ nhất với A(1, 1, 1); B(2, 2, 2).

Ta xét vị trí tương ñối của A, B với mp (P): x+ 2y+ z = 0.

Ta có: (1+ 2.1+1).(2+ 2.2+ 2) = 32 > 0

VËy A, B cùng phía với mp(P).

Gọi A’ là ñiểm ñối xứng của A qua (P) thì ñiểm M

cần tìm là giao ñiểm của A’B và mp(P).

⇒ M’A + M’B = M’A’+ M’B > A’B= MA + M

Thật vậy: MA’= MA ⇒ MA+ MB = MA’ + MB= A’B. Với mọi ñiểm M’˛ ( P) ta có: M’A= M’A’.

⇒ M =M’.

(cid:1) (P) có vect¬ ph¸p tuyÕn n

A' (1, 2, 1). VËy ph−¬ng tr×nh

(cid:1) vuông góc với (P) cã vect¬ chØ ph−¬ng là n

(1, 2, 1). Đường thẳng (d) qua A(1, 1, 1)

= + x 1 = + t 1 2 = + t 1

y z

    

= + 1 x = +

®−êng th¼ng (d) lµ:

1 2 t = + 1 t + = z

      

Gäi I= (d) ˙ (P) ⇒ Täa ®é cña I lµ nghiÖm cña hÖ:

⇒ I(

1 1 1 , 3 3 3

- ).

⇒ Täa ®é ®iÓm A’ lµ: A’(

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) ) ⇒ 'AB

1 3

5 3

1 3

7 11 7 3 3 3

- - - ( ).

(cid:2)(cid:1) ⇒ §−êng th¼ng A’B ®i qua B(2, 2, 2) nhËn u

= +

t 2 7

(7 ,11, 7) lµm vect¬ chØ

= + = +

y z

t 2 11 t 2 7

    

ph−¬ng cã ph−¬ng tr×nh lµ:

= +

t 2 7

= +

VËy ®iÓm M cÇn t×m lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng A’B víi mp(P). Täa ®é

t 2 11

= +

  

  

4 4 4 , 9 9 9

z +

2 7 t + = z

      

- ⇒ M cña M lµ nghiÖm cña hÖ: .

  

  

219 3

- VËy ®iÓm M lµ ®iÓm cÇn t×m. Khi ®ã: A’B= , 4 4 4 , 9 9 9

⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ:

4 9

219 3

- khi x= z= , y= .

Bµi 12. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:

cos

sin

x R a

víi

;

˛ ‡ A=

Gi¶i:

Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é:

(cid:2)(cid:1) u

(cid:2)(cid:1) u⇒ =

(cid:1) v

x a

(cid:1) ⇒ = v

(1,1)

(

cos ,

sin ) x

2 sin(

)

p 4

; .

(cid:2)(cid:1) (cid:1) .u v

cos

sin

2 sin(

))

(cid:1) (cid:2)(cid:1) .u v

p 4

£ = A= . = 2(2

⇒ £ A

+ a

2 2

sinx

1 + cos

sin(

= ) 1

1 + sin

    

cos p 4

⇒ = +

(cid:219) DÊu “=”x¶y ra khi vµ chØ khi:

p 2

p 4

a +

2 2

p 2

p = + 4

khi (k˛ Z). VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A lµ: 4

Bµi 13. Cho h×nh l¨ng trô tø gi¸c ®Òu ABCD.A’B’C’D’ c¹nh ®¸y dµi gÊp ®«i chiÒu cao. §iÓm M trªn c¹nh AB, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña gãcj

A MC .

=(cid:5)' '

Gi¶i:

Gi¶ sö ®é dµi cña c¹nh lµ 2a, ®é dµi cña ®−êng cao lµ a.

Chän hÖ to¹ ®é Axyz nh− sau: A(0, 0, 0), c¸c tia AB, AD, AA’ lÇn l−ît

trïng víi c¸c tia Ax, Ay, Az.

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) 'MC

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) 'MA⇒

§Æt AM =x0 khi ®ã: A’(0, 0, a) ; C’(2a, 2a, a); M(x0, 0, 0).

=(2a-x0, 2a, a).

x 0(

⇒ cosj =

- ‡

= (-x0, 0, a); (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) ) '. MA MC ' = MA MC MA MC ' '. VËy maxj =900 (cid:219) x0 = a.

(cid:219) M lµ trung ®iÓm cña AB.

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña gãc j lµ: j =900.

(cid:1) Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

2.6. Các bài toán tìm quỹ tích

B−íc 1: ThiÕt lËp hÖ trôc to¹ ®é thÝch hîp, tõ ®ã suy ra to¹ ®é cña c¸c

®iÓm cÇn thiÕt.

B−íc 2: ThiÕt lËp biÓu thøc gi¶i tÝch cho ®iÓm cÇn t×m quü tÝch, tõ ®ã suy

ra quü tÝch cña nã.

Bµi 14. Cho 2 ®iÓm A, B cè ®Þnh. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho:

MA= 2MB.

Gi¶i:

M(x, y)

Chän hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho:

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) AB

(cid:2)(cid:2)(cid:1) e 1

” A và . Trôc Ox chøa A, B, trôc O ”

B(1, 0)

Oy vu«ng gãc víi AB t¹i A.Ta cã: A(0, 0);

B(1, 0). Theo gi¶ thiÕt MA= 2MB, ta cã:

⇒ + x

4 (1 2

+ x

2 (1

+ )

 

 

- -

+ 8

4) 3

= (cid:219) y

 + x  

  

  

4  =  3 

2 3

⇒ TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ ®−êng trßn t©m H(

(cid:219) - - .

2 3

4 3

), b¸n kÝnh R= .

2 3

, VËy quü tÝch c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ ®−êng trßn t©m H, b¸n kÝnh R=

®iÓm H tho¶ mmn: n»m trªn ®−êng th¼ng AB, cïng phÝa víi 2 ®iÓm A, B. Bµi 15. Cho 2 ®iÓm A, B cè ®Þnh vµ mét ®−êng th¼ng ∆ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng AB nh−ng kh«ng ®i qua A, B. Mét ®iÓm M ch¹y trªn ∆. T×m

tËp hîp c¸c giao ®iÓm N cña c¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi MA, MB t¹i A

vµ B.

Gi¶i:

M(0, m)

N(x, y)

Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy sao cho:

trôc Ox lµ ®−êng th¼ng chøa A, B, trôc Oy lµ ®−êng th¼ng ∆. Theo c¸ch chän ®ã ta cã:

A(a, 0) B(b, 0) H

A(a, 0), B(b, 0), M(0, m), N(x, y).

;

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MA a m- ( , ) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) NA

b m ( , )

(

a x

)

b x (

)

- - - - - ; . Khi ®ã: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MB

(

= =

(

= + ) a a x my = + ) b b x my

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) ; NB (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MA NA . (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) MB NB .

0 0

    

= + x a b

(1)

- (cid:219) §Ó NA ^ MA, NB ^ MB th×: -

+ +

a b

= ax my = bx my

0 0

(2)

   

    

ab m

- (cid:219) (cid:219) -

Khö m tõ (2) thay vµo (1) ta cã ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m: x= a+ b. ⇒ TËp hîp c¸c giao ®iÓm N lµ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi Ox t¹i H cã

hoµnh ®é OH = a+ b .

VËy: TËp hîp c¸c giao ®iÓm N lµ ®−êng th¼ng song song víi ∆ , c¸ch ∆ mét

kho¶ng b»ng a+ b .

(cid:1) Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

2.7. Các bài toán dựng hình

+ Ta chän hÖ to¹ ®é thÝch hîp.

+ Dïng c¸c sè ®¹i sè ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ vµ kÝch th−íc cña c¸c h×nh.

+ Dùa vµo ®ã ta dùng h×nh vµ biÖn luËn c¸c tr−êng hîp cã thÓ x¶y ra.

2 5

Bµi 16. Dùng gãc a , biÕt tga = .

Gi¶i:

+ C¸ch dùng:

- Trong hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng Oxy ta lÊy ®iÓm

A(2, 0); ®iÓm B(0, 5).

- VÏ tam gi¸c OAB. Khi ®ã: (cid:5)OBA lµ gãc cÇn dùng.

+ Chøng minh: Theo c¸ch dùng ë trªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

+ BiÖn luËn: Bµi to¸n lu«n cã nghiÖm h×nh.

Bµi 17. Dùng 1 h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 2p cho tr−íc néi tiÕp trong mét

vßng trßn cã b¸n kÝnh R cho tr−íc.

Gi¶i:

+ C¸ch dùng:

Chän hÖ to¹ ®é nh− sau:

Gèc to¹ ®é trïng víi t©m cña ®−êng trßn.

Trôc hoµnh, trôc tung lÇn l−ît lµ 2 ®−êng

kÝnh vu«ng gãc cña ®−êng trßn.

Gi¶ sö h×nh ch÷ nhËt cÇn dùng cã c¸c c¹nh cã

®é dµi lÇn l−ît lµ: a, b tho¶ mmn: a+ b= p (a> b >0).

R 24

R 8 2

⇒

b + = > >

a b a b

p 0

    

      

R 8 2

Ta sÏ cã: - -

b 2

a 2

- Ta dùng ®iÓm B( , ).

- Dùng D ®èi xøng víi A qua Ox, C ®èi xøng víi B qua Ox.

⇒ ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cÇn dùng.

- LÊy ®iÓm A ®èi xøng víi B qua Oy.

+ Chøng minh: Theo c¸ch dùng ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

+ BiÖn luËn: Bài to¸n cã nghiÖm h×nh khi p > hay p > 2R.

Chương 3: Mét sè bµi to¸n vËn dông

Bài 1. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y ta ®Òu cã:

x 4cos cos

sin (

+ )

x 4sin sin

+ y

sin (

) 2

- - ‡ .

Gi¶i:

(

)

(

(cid:2)(cid:1) u

(cid:2)(cid:1) ⇒ = u

4cos xcos y sin (x y)

- - Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy chän: ) 2cosxcosy, sin x y

(

)

) (2sinxsiny,sin x y )

(cid:1) ⇒ = v

4sin xsin y+sin x y

(cid:1) v

- - .

)

(

) (2cosxcosy+2sinxsiny, sin x y +sin x y )

- - Ta cã: (cid:1) (cid:2)(cid:1) u v+ =

(

) ) (2cos x y , 2sin x y )

(cid:1)

- - .

)

) ( + 4cos x y

( = 4sin x y

- - .

(cid:2)(cid:1) u v⇒ + = (cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:1) + ‡ + = u v v

(cid:2)(cid:1) u

. Theo tÝnh chÊt:

⇒

+ y

4cos cos x

sin (

+ )

4sin sin x

sin (

) 2

- - ‡ .

cotgx.cotgy 1

= (cid:219) + = x

p 2

(cid:219) (®pcm). DÊu “=” x¶y ra

Bµi 2. Cho tø diÖn ABCD vu«ng t¹i A. Gäi M lµ 1 ®iÓm bÊt k× trong ∆BCD

vµ α, β, γ lÇn l−ît lµ gãc gi÷a AM vµ c¸c mÆt ph¼ng (ABC), (CAD),

(DAB). Chøng minh: sin2α + sin2β + sin2γ = 1.

Gi¶i:

Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz nh− sau: O ” A, c¸c tia Ox, Oy, Oz

lÇn l−ît trïng víi c¸c tia: AB, AC, AD.

⇒

vµ M(x, y, z). Gi¶ sö M lµ ®iÓm bÊt k× trong BCD△

lµ vect¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) AM x y z , ) ( , (cid:2)(cid:2)(cid:1) e 3(0,0,1)

a =

th¼ng AM, lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cña

z y

mp(ABC). Khi ®ã: sin .

b =

g =

sin

x y

y y

T−¬ng tù nh− vËy ta cã: ; .

sin

b sin

g sin

+ +

x x

y y

z z

VËy =1 (®pcm).

sinx

2 sin

+ x

sinx 2 sin

= x

- - Bµi 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: .

+ +

Gi¶i:

= 2)

(sin ,1, 2 sin

(cid:2)(cid:1) ⇒ = u

1 ( 2 sin

sin

)

- - . Trong kh«ng gian Oxyz chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: (cid:2)(cid:1) u

- - .

)

(cid:1) v

( 1, 2 sin

,sin

(cid:1) ⇒ = v

1 ( 2 sin

)

sin

= x

(cid:1) (cid:2)(cid:1) u v = .

(cid:2)(cid:1) (cid:1) . u v

sin

2 sin

+ x

sin

2 sin

= x

- - Ta cã: , .

(cid:2)(cid:1) (cid:1) u v

(cid:2)(cid:1) (cid:1) . u v

sin 1

2 sin x sin

1 2 sin

- ‡ . VËy dÊu “=” x¶y ra khi: Mµ: -

0k= > .

k Z

p (cid:219) = + x 2

x x

 sin  sin 

˛ (cid:219) (cid:219) 2 ( ) sin 1 . ‡ 1 = 0

Z).

p = + 2

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: (víi k ˛

log

)]

log

x (2 )

Bµi 4. T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:

- + x m

+ x x m [ ( 1

- + x m

.(1)

x- m =0

Gi¶i:

Ta xÐt 2 tr−êng hîp:

m=1

+ Tr−êng hîp 1:

1 >

- + > x m 1 > + ( ) 2 x x m

    

x - > x m + - >

x m

0 2 0

    

x+ m- 2 =0

(cid:219) (I)

XÐt hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxm, c¸c ®iÓm

M(x, m) tho¶ mmn (I) ®−îc biÓu diÔn b»ng miÒn g¹ch trong h×nh vÏ.

VËy hÖ (I) cã nghiÖm khi vµ chØ khi m ‡ 1.

- + 0

< ) 2

    

> 0 x - < x m 0 < + < x m - + >

x m

1 0

      

(cid:219) + Tr−êng hîp 2: (II)

XÐt hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxm, c¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ mmn (II) lµ mét tËp

= . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

rçng. VËy (II) v« nghiÖm. VËy (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi m ‡ + Bµi 5. Cho

A= y - 2x + 5.

= (cid:219) 9

Gi¶i:

Ta cã: x +5. (6x)2 + (4y)2= 9, y - 2x + 5 = 1 4 4y - 6 3

(cid:2)(cid:1) u

(cid:2)(cid:1) Trong mÆt ph¼ng Oxy ta chän: u

=(6x, 4y) ⇒ = 3.

(cid:1) v

(cid:1) )⇒ v =

1 3

1 4

5 12

1 1 + 9 16

- , =(

+ hay 2x

+ £ x 2

(cid:2)(cid:1) (cid:1) .u v

+ = 2x

5 4

5 12

- - £ - £ £ - . (cid:219) .

+ £ 5

+ + £ 2 y

+ + £ + y 2

15 4

25 4

5 4

- - £ - (cid:219) . VËy:

x 1 3

5 4 y= 4 1 4

(cid:219) DÊu “=” x¶y ra khi: -9x= 8y . -

2 5

25 4

9 20

- VËy: MaxA= khi x= ; y= .

2 5

15 4

9 20

- MinA= khi x= ; y= .

w ), (

w )t¹i P, c¾t (

Bµi 6. Qua giao ®iÓm A cña 2 vßng trßn ( ) hmy dùng mét c¸t tuyÕn

) t¹i Q sao cho: AQ- AP = m cho tr−íc. c¾t (

Gi¶i:

+ C¸ch dùng:

- Chän hÖ to¹ ®é vu«ng gãc nh− sau:

Gèc to¹ ®é ë A, trôc hoµnh Ax (cid:3) O’O”, trôc tung lµ c¸t tuyÕn chung AB

cña hai vßng trßn.

Gäi to¹ ®é cña t©m O’ lµ (a, b), to¹ ®é cña t©m O” lµ (c, b).

2 2

= by 2

w lµ:

- - . Theo ®ã ta cã: Ph−¬ng tr×nh cña vßng trßn

2 2

= by 2

(w2)

- - Ph−¬ng tr×nh cña vßng trßn lµ: .

O"(c, d)

O'(a, b)

(w1)

Quay c¸c trôc to¹ ®é mét gãc j . Ta cã: x= x’cosj - y’sinj . y= x’sinj + y’cosj .

Ph−¬ng tr×nh cña 2 vßng trßn w ), ( ) lÇn l−ît lµ: (

- 2x’(acosj + bsinj )- 2y’(bcosj - asinj )= 0.

- 2x’(ccosj + bsinj )- 2y’(bcosj - csinj )= 0.

C¾t 2 vßng trßn bëi c¸t tuyÕn APQ cã ph−¬ng tr×nh y’= 0 th× ta cã:

= 2(acosj + bsinj ); = 2(ccosj + bsinj ).

Theo bµi ra ta cã: - = m hay: 2( ccosj - acosj ) = m

j⇒ cos

m c a

)

. -

j =

VËy muèn cã c¸t tuyÕn APQ cÇn dùng ta chØ viÖc quay trôc Ax mét gãc j

cos

arccos

m c a

)

m c a

)

mµ hay j . - -

+ BiÖn luËn: §Ó dùng ®−îc c¸t tuyÕn APQ tháa mmn yªu cÇu bµi to¸n ta cÇn

c a

O O 2 '

£ - £ cã: tøc lµ: .

Bµi 7. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh b»ng a. Chøng minh

r»ng: kho¶ng c¸ch tõ 1 ®iÓm bÊt k× trong kh«ng gian ®Õn mét trong c¸c

a 2

®−êng th¼ng AA’ , B’C’, CD kh«ng thÓ ®ång thêi nhá h¬n .

Gi¶i:

Chän hÖ to¹ ®é Axyz: B˛ Ax; D˛ Ay; A’˛ Az

Khi ®ã: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, a, 0); A’(0, 0, a); C(a, a, 0); B’(a, 0, a);

C’(a, a, a); D’(0, a, a). Ta cã ph−¬ng tr×nh cña c¸c ®−êng th¼ng AA’, B’C’,

= =

y z

0 t

= x a = t y = z a

= y a = z 0

    

CD lÇn l−ît lµ: AA’: ; B’C’ : ; CD :

Gäi M(x,y,z) lµ mét ®iÓm bÊt k× trong kh«ng gian.

 

 

Ta cã:

+ 1

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) , AM AA ' (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) ' AA

 

 

. d1= d(M, AA’)

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) B M B C ' , (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) B C ' '

d2= d(M, B’C’) =

(

z a

)

  =

- -

y a

(

+ )

+ ( ) x a (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1)  CM CD ,  (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CD

- . d3= d(M, CD) =

)

(

)

(

x a

+ )

(

z a

)

d M, AA’ + d M, CD + d (M,B’C’) = 2 x

+ - (

y a

)

- - Ta cã: (

Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski, ta cã:

(

x a

)

a x = . 2

a 2

- ‡ dÊu “=” x¶y ra khi:

(

y a

)

a 2

a y = . 2

- ‡ dÊu “=” x¶y ra khi:

+ - (

z a

)

a z = . 2

a 2

‡ dÊu “=” x¶y ra khi:

(

)

(

d M,AA’ + d M, CD + d (M, B’C’)

23 a 2

‡ VËy: , hay:

d +d +d

2 1

3 2

‡ .(1)

d ;d ;d kh«ng ®ång thêi nhá h¬n

2 3

2 1

a 2

Theo ®¼ng thøc (1) th×: tøc lµ:

$ ‡ (cid:219) ‡ : (®pcm).

)1,3

( = d ii

a 2

R ta lu«n cã:

,x y

" ˛ Bµi 8. Chøng minh r»ng

+ 6 x

+ 4 y

10 10

- - £ .(1)

Gi¶i:

(

+ 3)

+ (2 y

+ ⇒ =

- - VÕ tr¸i=

5,2

(cid:2)(cid:1) u

(

, Trong mÆt ph¼ng täa ®é chän 2 vec t¬ cã täa ®é : (cid:2)(cid:1) u x (

(cid:1) v

3,2

+ ⇒ = y

(

+ 3)

+ y

(cid:1) v

- -

( (cid:1) (cid:2)(cid:1) ⇒ - = u v

(cid:1) (cid:2)(cid:1) ⇒ - = u v

(8,6)

(cid:2)(cid:1)

(

(cid:1) Ta l¹i cã: u v

(cid:1) (cid:2)(cid:1) u v

(

+ 3)

+ (2 y

- £ - (cid:219) - - £ .

+ 6 x

+ 4 y

10 10

- - £ VËy: (®pcm).

Bµi 9. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:

x =

y y

2 m

  

£ (I) -

(d2): y= x + 3

Gi¶i:

(d2): y= x+1

Víi m > 0 th× hÖ v« nghiÖm, ta xÐt víi m £ 0.

(

y = +

x m

-3

-1

= -

2 (3) (4) (5)

x m

   

     

-3

(d1): y= x- 1

(d1): y= x - 3

(I) (cid:219)

Gäi X1, X2, X3 lÇn l−ît lµ tËp nghiÖm cña (3), (4), (5). Ta cã: • X1 lµ tËp c¸c ®iÓm thuéc h×nh trßn (C )

- +

t©m I(-1, 0), b¸n kÝnh R= 2 (kÓ c¶ ®−êng viÒn). • X2 lµ tËp c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng (d1): y= x + m. • X3 lµ tËp c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng (d2): y= x - m.

⇒

= -

  

(cid:219) • (C ) tiÕp xóc víi (d1) (cid:219) d(I, d1)= 2

> ⇒ (C) kh«ng c¾t d2.

1 3 2

⇒ (I) cã 1 nghiÖm duy nhÊt. - +

- - Víi m= 3, ta cã: d( I, d2)=

< ⇒ (C) c¾t d2.

1 1 2

⇒ (I) cã 2 nghiÖm, kh«ng tho¶ mmn yªu cÇu ®Ò bµi⇒ m= -1 (lo¹i) .

⇒

(cid:219) + 1

= 2m

• (C ) tiÕp xóc víi (d2) (cid:219)

Víi m= -1, ta cã: d( I, d2)=

= -

  

- +

d(I, d2)= 2

< ⇒ (C) c¾t d1⇒ m =1 (lo¹i).

1 1 2

Víi m= 1 ⇒ d(I, d1)=

> ⇒ (C) kh«ng c¾t d1⇒ m= -3( tho¶ mmn).

1 3 2

- - Víi m =-3 ⇒ d(I, d1)=

VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi m= – 3.

Bµi 10. Trong mp cho 2 ®−êng th¼ng c¾t nhau a vµ b. T×m quü tÝch nh÷ng

k „ k2( 2

®iÓm M sao cho tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M tíi a vµ b b»ng 1 sè kh«ng ®æi

Gi¶i:

Chän hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxy sao cho Ox, Oy

lµ hai ®−êng ph©n gi¸c cña c¸c gãc hîp bëi 2

®−êng th¼ng (a) vµ (b). Khi ®ã: ph−¬ng tr×nh

cña c¸c ®−êng th¼ng (a) vµ(b) lÇn l−ît lµ:

y+ cx= 0 vµ y- cx= 0.

Gäi M(x, y) lµ ®iÓm cÇn t×m.

Kho¶ng c¸ch tõ M tíi (a) vµ (b) lÇn l−ît lµ:

+ +

cx 1

y c

y cx + c 1

- ; d1= d( M; (a))= ; d2= d( M; (b))=

VËy ta t×m quü tÝch c¸c ®iÓm M sao cho d1d2 = d( M; (a)).d( M; (b))= k2

= –

(cid:219)

c x

+ (1

)

= k2 (cid:219)

+ +

c x c

y c

cx 1

y cx + 1 c

⇒ Quü tÝch c¸c ®iÓm M lµ hai ®−êng hypebol mµ a, b lµ 2 ®−êng tiÖm cËn,

- - - tháa mmn: 1

); hypebol thø hypebol thø nhÊt cã 2 ®Ønh lµ A1( ); A2(-

2007

+ + + + + + = 1

... 1

). hai cã 2 ®Ønh lµ: B1(0, ); B2(0, -

2007

- + - + + - = 1 x x ... 1

    

2008 2007 2006 2007

Bµi 11. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:

Gi¶i:

( 1

, 1

" = )(

1, 2007)

(cid:2)(cid:2)(cid:1) a =

⇒

" = i

1, 2007

2007 2

- . Trong mÆt ph¼ng Oxy chän:

(cid:2)(cid:2)(cid:1) ia

2007 ∑ = i 1

Khi ®ã ta cã: .(1)

(cid:2)(cid:2)(cid:1) a i

x i

  

  

  

  

2007 ∑ = i 1

+ 2007.2008 2007.2006

2007 2

(cid:2)(cid:2)(cid:1) a

.(2)

(cid:2)(cid:2)(cid:1) ®¼ng thøc nµy chøng tá c¸c ai

2007 ∑ = 1 i

Tõ (1) vµ (2) ta cã: cïng

chiÒu, cïng ph−¬ng vµ cïng ®é lín ⇒ x1 = x2 = … = x2007.

+ 1

2007

= x 1

= = x ... 2

= x 2007

2008 2007

1 2007

(cid:219) (cid:219) .

1 2007

. VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: x1 = x2 = … = x2007=

(

+ 1)

+ x

(

+ 1)

+ - y

- Bµi 12. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt A= .

Gi¶i:

(cid:1) ⇒ = v

= - (

+ x

(cid:2)(cid:1) u

(cid:1) v

(

)

(

)

(

- (cid:219) - - ; . Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy ta chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: (cid:2)(cid:1) u

⇒ + =

(cid:2)(cid:1) u

(cid:1) v

(

+ 1)

+ x

(

(cid:1) (cid:2)(cid:1) + = u v

- ; 2 1 .

(cid:1) (cid:2)(cid:1) + £ Do u v

(cid:2)(cid:1) + u

(cid:1) v

+ x

+ 1)

+ 2 1

- ‡ nªn: ( ( .

⇒ = A

+ x

+ - y

+ 1)

+ 2 1

- ‡ ( ( 2 2 .

+ - y

XÐt f(y)= 2 1 2

f(y)= 2 1+y

+ - ⇒ y

y '( )

2 y + y 1

- + Víi y 2£ , ta cã:

⇒

= (cid:219) '( ) 0

= 2 y

+ 1

> 0 y (cid:219) = = y 1

1 3

  

(cid:219)

f'(y)

f(y)

Ta cã b¶ng biÕn thiªn:

1 3

th× f(y) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt t¹i y= , f(y)= 2 . Víi y 2£

2 1

2 2 1

> + 2 5 2

+ - y

‡ ‡ + Víi y> 2, ta cã: f(y) = .

,x y R

1 3

" ˛ VËy A ‡ 2 . Víi x=0, y= th× A= 2 .

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 2 .

Bµi 13. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD, c¸c mÆt bªn t¹o víi ®¸y 1 gãc β. §iÓm K lµ trung ®iÓm cña SB. Hmy tÝnh gãc j gi÷a 2 mÆt ph¼ng (AKC)

vµ (SAB) theo β.

Gi¶i:

˙ H= AC BD Ta thÊy: H×nh chãp S.ABCD cã c¸c ®Ønh kh«ng lµ tam diÖn vu«ng. NÕu gäi th× t¹i ®Ønh H cã 3 trôc vu«ng gãc víi nhau từng ®«i mét,

nªn ta chän hÖ trôc täa ®é Oxyz nh− sau:

H ” O, c¸c tia Ox, Oy, Oz lÇn l−ît trïng víi c¸c tia HA, HB, HS.

Gi¶ sö c¹nh cña h×nh vu«ng ABCD lµ a 2 , khi ®ã c¸c ®iÓm to¹ ®é t−¬ng

h =

øng lµ: H(0, 0, 0); A(a, 0, 0); B(0, a, 0); C(-a, 0, 0); D(0, -a, 0);

tgb ); K(0,

a h , 2 2

S(0, 0, ) víi .tgb .

Víi c¸ch chän nh− vËy, ta cã:

Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng( AKC) lµ: hy- az =0.

Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (SAB) lµ:

hx hy az ah

y a

z + + = (cid:219) 1 h

x a Gäi j lµ gãc gi÷a 2 mÆt ph¼ng (AKC) vµ

- - - .

(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:1) ,n n

), víi:

h a-

)

(cid:2)(cid:2)(cid:1) n h h a- 2( ,

; ; (SAB). Ta cã: cosj = cos( 1 (cid:2)(cid:2)(cid:1) 1(0, n

⇒ cosj =

h .0 +

h h a a . . + +

a a

h h . 2

- -

h a

  

  

2a ta ®−îc: cosj =

+ 1. 1 2

h a

  

  

  

  

Chia c¶ tö vµ mÉu cho .

⇒ cosj =

1 2 +

(

)

b tg

1. 1

1 2

1 3 2 2cos 1 2cos

- -

2cos

3cos 1 cos

b b cos

1  1 cos  2 

  

3cos

cos

b 3cos b 2(cos

1 + 1)

2cos .

+ b

1 b cos

- -

b b

3cos 2cos

1 + 1

- . VËy gãc j gi÷a (AKC) vµ (SAB) lµ gãc tho¶ mmn: cosj =

Bµi 14. Cho tam gi¸c ABC cã ®−êng cao CH. Gäi I, K lµ trung ®iÓm cña

c¸c ®o¹n AB vµ CH. Mét ®−êng th¼ng d di ®éng lu«n lu«n song song víi

c¹nh AB c¾t c¹nh AC ë M vµ c¾t c¹nh BC ë N. Dùng h×nh ch÷ nhËt MNPQ

®iÓm I, K, J th¼ng hµng.

Gi¶i:

H, c¸c tia Ox, Oy lÇn l−ît Chän hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho O ”

trïng víi c¸c tia HB, HC. Ta cã: H(0, 0); A(a, 0); B(b, 0); C(0, c).

a b+ 2

I lµ trung ®iÓm cña AB nªn I cã to¹ ®é lµ: I( ).

c 2

C(0, c)

K lµ trung ®iÓm cña CH nªn K cã to¹ ®é lµ: K(0, ).

Đ−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh y= m (0 < m< c).

§−êng th¼ng AC cã ph−¬ng tr×nh:

+ cx ay ac

x a

y + = (cid:219) 1 c

I P

O HQ

A(a, 0)

§−êng th¼ng BC cã ph−¬ng tr×nh:

+ cx by bc

x b

y + = c

(cid:219) - .

= y m

V× M= d ˙ AC nªn to¹ ®é cña M tho¶ mmn hÖ ph−¬ng tr×nh:

)

(

)

(

a c m c

= y m = cx ay ac

    

a c m c

- (cid:219) . VËy M( , m). - -

)

(

b c m c

- T−¬ng tù ta cã to¹ ®é cña N lµ: N( , m).

§iÓm P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn Ox nªn to¹ ®é cña P lµ:

)

(

b c m c

- P( , 0).

(

)

a b c m m 2

- J lµ trung ®iÓm cña ®o¹n PM nªn J cã to¹ ®é lµ: J( ).

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) IK

(cid:2)(cid:2)(cid:1) IJ

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) IK

= - (

)( c 2 (cid:2)(cid:2)(cid:1) .m IJc

+ a b c 2 2

+ m a b m 2 2 c

⇒ 3 ®iÓm I, K, J lµ th¼ng hµng (®pcm).

) ( Ta cã: , ) ; , ) ⇒ .

Bµi 15. Cho hai h×nh vu«ng ABCD vµ BKMN cã chung ®Ønh B vµ ®Ønh M

n»m trªn DB kÐo dµi. Chøng minh r»ng trung tuyÕn BE cña tam gi¸c ABK

n»m trªn ®−êng th¼ng chøa ®−êng cao BH cña tam gi¸c BNC.

Gi¶i:

Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy sao cho: O ” B, c¸c tia Ox, Oy lÇn

l−ît trïng víi c¸c tia BK, BA. Víi c¸ch chän ®ã, ta cã:

B(0, 0); C(-1, 0); A(0, 1); D(-1, 1).

n 1 , 2 2

( = -

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) NC

)1, n

Gi¶ sö N( 0, -n) ⇒ K(n, 0), E( ).

(

)

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) BE =

n 1 , 2 2

Ta cã: ;

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) n n BE NC = - + = . 2 2

⇒ .

VËy BE ^ NC hay BE n»m trªn ®−êng th¼ng chøa ®−êng

. cao cña BNC△

gãc víi nhau lµ AB vµ CD. Trªn tia CD lÊy 2 ®iÓm M, N sao cho: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CN OM=

§−êng th¼ng AM c¾t ®−êng trßn t¹i P. Hmy xÐt xem khi N thay ®æi trªn

®o¹n CO, tam gi¸c ANP cã vu«ng t¹i N kh«ng? NÕu tam gi¸c ANP vu«ng

khi ®ã ®iÓm N n»m ë vÞ trÝ nµo?

Gi¶i:

Chän hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho:

víi tia OC.

C(0, a)

§Æt CN= OM = l (0 £ l £ a). Ta cã täa ®é c¸c ®iÓm:

O(0, 0); B(a, 0); C(, a); A(-a, 0); N(0, a-l); M(0, -1).

B(a, 0)

HÖ sè gãc m cña ®−êng th¼ng AN lµ:

A(-a, 0)

M(0, -l)

- -

a l a

D(0, -a)

Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AM:

= (cid:219) +

⇒ = x

= + lx ay al

+ a y ( l

x a

y l

- -

0 (1)

lx ay al = +

(2)

  

(

)

a y (

)

+ l +

Rót x tõ (1) thay vµo (2) ta cã: hÖ:

+ a y l l

+ 2 l

  

- (cid:219) -

 +   + l y )

+ ( a

= a ly

(cid:219)

+ ) l y

a l

+  ( y a 

= ⇒  0 

= -

    

2 a

a l + l

(cid:219)

+ Víi y= 0 ta cã: x= -a ®ã chÝnh lµ to¹ ®é cña ®iÓm A(-a, 0).

)

2a l + y

( a a a

l l

- - . + Víi yP= ta thay vµo (1) ®−îc: xP=

(

a l

)

+ + l a

)( a l a a l (

)

- - HÖ sè gãc cña ®−êng th¼ng NP lµ: k . - -

(cid:219) = k

1 m

- Tam gi¸c ANP vu«ng t¹i N (cid:219) AN ^ NP (cid:219) k. m = -1

(

a l

)

= -

(

a l

l ) .

a l a )( a l (

+ + l a

)

a a l

- (cid:219) - VËy AN ^ NP (cid:219) . - -

= 0l = l a

  

(cid:219)

Do ®ã: Tam gi¸c ANP vu«ng t¹i N khi N ” C hoÆc N ” O, c¸c tr−êng hîp

kh¸c tam gi¸c ANP kh«ng vu«ng t¹i N.

Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh b»ng a. VÏ hai tia Aa, Bb cïng chiÒu

1A ,

1B lµ 2 ®iÓm di ®éng trªn Aa, Bb sao

vµ cïng vu«ng gãc víi (ABC). Gäi

1A ,

1B sao cho △ 1A 1B C cã diÖn

cho: A 1A + B 1B = l. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña

tÝch nhá nhÊt.

Gi¶i:

Ta vÏ h×nh l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A2B2C2. Gäi O, O2 lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña CB vµ C2B2. Khi ®ã: OO2, OA, BC vu«ng gãc víi nhau tõng ®«i mét. Ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz

nh− h×nh vÏ:

£ £ ). Ta cã: §Æt BB1 =t ⇒ AA1= l- t ; (0 t

a- 2

, l- t ); C( 0, 0); B1(a, 0, t); A1(0,

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CB

a= (

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CA

(

)

a a , 2

- , 0, t); .

2 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) , CB CA

 

 

S △

ABC

1 2

Ta cã: .

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1)  , CB CA 

 

a a 2

    

    

a 2

Mµ : . - -

la-

a 3 2

2 3 2

- , ) =(

2 2

⇒

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1) CB CA ,

+ a tl 3

l a

 

 

a t 3 4

a t 4

a 3 4

2 2

a t 3

+ a lt a l 3

43 a 4

2 2

- =

⇒

a t 3

+ a lt a l 3

S △

ABC

1 2

3 4

2 2

a t 3

+ a lt a l 3

43 a 4

2 2

- Ta t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm f(t) = .

a t 3 (

+ )

a l

⇒ f(t) =

l 2

1 4

3 4

- .

l 2

Ta thÊy f(t) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi t = .

(0,

)

l 2

). VËy A1( ; B1(a, 0,

(C)

(

= ) 1

log

Bµi 18. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña hÖ:

+ 1) +

-2

(

)

   

(II)

x+ y =2

+ „

- <

Gi¶i:

< 0 2(

1) 1

1 2

x+ y= -2

(cid:219) „ - §k:

y + x

(

m 2( = 4 )

(1) (2)

  

(cid:219) (II)

Gäi X1 vµ X2 lÇn l−ît lµ tËp nghiÖm cña (1) vµ (2). Ta cã: + X1 lµ tËp c¸c ®iÓm ë trªn ®−êng trßn (C) t©m O(0, 0) vµ b¸n kÝnh

1)m + .

R= 2(

2 .

+ X2 lµ tËp c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng (d1): x+ y =2 vµ (d2): x+ y= - 2.

1)m + <

2 ⇒ m < 0.

2 (cid:219)

+ Do tÝnh ®èi xøng nªn: d(O, d1)= d(O, d2)=

⇒ HÖ ®m cho v« nghiÖm.

• d1 vµ d2 kh«ng cïng c¾t (C) khi: R <

1)m + = 2 ⇒

• d1 vµ d2 cïng lµ tiÕp tuyÕn cña (C) khi: R = 2 (cid:219)

(cid:219) 2( R > 2 (cid:219)

biÖt.

VËy: + Víi m < 0 hÖ v« nghiÖm.

Bµi 19. Cho 1 ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®−êng th¼ng a cho tr−íc, 1 ®−êng trßn

Gi¶i:

+ C¸ch dùng:

Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng nh− sau:

O''

Trôc Ax ” a, trôc Ay lµ ®−êng th¼ng

vu«ng gãc víi a t¹i A.

- LÊy ®iÓm I(0, -r).

- Nèi IO’.

- Dùng ®−êng trung trùc (d) cña O’I.

- O”= (d) ˙ Ay .

+ Chøng minh: Theo c¸ch dùng trªn ta cã:

- (O”, R) tiÕp xóc víi Ax t¹i A

- O”I= O’’O’ =O”A+ AI= R+r ⇒ (O”) tiÕp xóc (O’)

+ BiÖn luËn:

- Víi ®iÓm I’(0, r) víi c¸ch dùng t−¬ng tù ta sÏ cã thªm mét nghiÖm

h×nh.

VËy bµi to¸n lu«n cã 2 nghiÖm h×nh.

1. Chøng minh r»ng:

Bµi 20. Cho x, y, z lµ 3 sè d−¬ng tho¶ mmn: x+ y+ z £

1 x

1 y

1 z

‡ .

(cid:2)(cid:1) u

x ( ,

)

Gi¶i:

(cid:1) v

y ( ,

(cid:2)(cid:1) = w z ( ,

)

1 x

1 y

1 z

(cid:1) ⇒ + + =

(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) u v w x

(

+ + y

)

1 x

1 1 + + y z

(

)

(cid:2)(cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:1) ⇒ + + u v w

(

+ + y

)

1 x

1 1 + + y z

Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy ®Æt: ; ; .

(cid:2)(cid:1) u

(cid:1) v

(cid:2)(cid:1) w

1 x

1 y

1 z

(cid:2)(cid:1) ⇒ + + u

(cid:2)(cid:1) (cid:1) v w

1 y

1 z

1 x

(cid:1) + +

Ta cã: ; ; .

(cid:2)(cid:2)(cid:1) w

(cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:1) + + v u v w u

£ Do nªn:

+ + x y

(

+ )

(

)

1 z

1 x

1 y

1 1 1 + + x z y

‡ (1)

(

+ + x y

)

81(

+ + x y

)

80(

+ + x y

)

1 x

1 + + y

1 z

1 x

1 + + y

1 z

  

  

  

  

‡ 2.9(x+ y+ z).

- 80(x+ y+ z)2.(2)

1 x

1 1 + + y z

  

  

- Mµ:

Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki ta cã:

x ( .

y .

1 x

1 1 + + y z

1 + x

1 + y

1 z . ) z

  

  

‡ (x+ y+ z). = 9. (3)

+ + x y

(

)

2.9.9 80

1 x

1 + + y

1 z

  

  

‡ - Tõ (2) vµ (3) ⇒ =82.

1 x

1 y

1 z

‡ . KÕt hîp víi (1) ⇒ 2 x

1 3

DÊu “=” x¶y ra khi: x= y= z=

‡ VËy (®pcm).

Bµi 21. Cho tø diÖn ABCD. T×m ®iÓm M trong kh«ng

+ MA MB MC MD

gian sao cho: ®¹t gi¸ trÞ

nhá nhÊt.

Gi¶i:

Gi¶ sö trong hÖ to¹ ®é Oxyz ta cã: A(a1, a2, a3); B(b1, b2, b3); C(c1, c2, c3); D(d1, d2, d3) vµ M(x, y, z).

+ MA MB MC MD + x a

+ y a

+ z a

(

)

(

)

(

)

+ (

y b

)

(

z b

)

- - - - - - Ta ®Æt h = (cid:219) = h + ( x b +

+ - (

x c

+ )

(

y c

)

+ - (

z c

)

+ - (

x d

+ )

(

y d

+ )

(

z d

)

- - -

d y )

- -

+ d x ) +

4 y +

+ + + b 2( a + +

24z+ +

1c +

(cid:219) = + + + 2( 4 h x + + + c b a 2( + + d 2 2 2

b a + d z ) + d 2

a d

+ + + 4

h ⇒ = 4

 +  

  

 +  

  

  

  

- - -

(

)

(

)

(

)

+ a b c d

+ b c

 

 

1 16

(

a +

3 )

2 1

1 4

(

)

(

)

;

Ta có:

+ a b c d

1 16

1 4

(

)

(

)

;

1 16

1 4

(

)

(

)

;

1 16

1 4

⇒

(

)

(

)

(

)

(

+ a b c d

+ b c

a +

 

 

1 16

1 4

3 )

3a +

‡

h 4

+ + + 4 + + + 4 + + + 4

        

Vậy h nhá nhÊt (cid:219) nhá nhÊt (cid:219)

Bµi 22. Cho gãc tam diÖn vu«ng Oxyz. §iÓm N cè ®Þnh n»m trong gãc tam

diÖn, mÆt ph¼ng (P) qua N c¾t Ox, Oy, Oz t¹i A, B, C. Gäi kho¶ng c¸ch tõ

1. TÝnh OA, OB, OC ®Ó thÓ tÝch tø diÖn OABC ®¹t gi¸ trÞ nhá

N ®Õn c¸c mÆt ph¼ng (OBC), (OCA), (OAB) lµ a, b, c.

2. TÝnh OA, OB, OC ®Ó OA + OB + OC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

nhÊt.

Gi¶i:

Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz, theo gi¶ thiÕt

ta cã: N(a, b, c ).

Khi ®ã: ph−¬ng tr×nh (P) qua N cã d¹ng:

(P): m(x- a) + n(y- b) + k(z- c) = 0

(víi m, n, k > 0).

Theo gi¶ thiÕt giao ®iÓm cña (P) víi Ox,

⇒

Oy, Oz lÇn l−ît lµ: A, B, C. Ta cã:

ma nb kc m

ma nb kc m +

, 0, 0) ; A(

ma nb kc n

, 0) ⇒ ; B(0,

ma nb kc k

)

OA OB OC = .

C(0, 0, ) ⇒ .

1 6

1 ( 6

+ + ma nb kc m n k . .

(

) 3

1. Ta cã: VOABC=

a b c . .

+ + ma nb kc m n k . .

m a n b k c . . . . . = m n k . .

)

‡ Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: .

⇒

a b c . .

1 ( 6

+ + ma nb kc m n k . .

27 6

9 2

‡ .

a b c khi m.a= n.b= k.c, khi ®ã: . .

9 2

VËy Min VOABC =

ma nb kc m

ma nb kc n

ma nb kc k

OA= = 3a; OB= = 3b; OC= = 3c.

ma nb kc m

ma nb kc n

ma nb kc k

= a+b+c+

nb ma + n m

kc ma + m k

kc nb + k n

  

  

  

  

  

  

2. Theo bµi ra ta cã: + OA+ OB+ OC= +

Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:

)2

‡ + + + a b c

+ ab

+ ac

= ⇒ =

OA+ OB+OC = (

. b n

= . . a m c k

nb ma = m n kc ma k m nb kc k n

        

DÊu “=” x¶y ra khi:

ma nb kc m

a b

a c

Khi ®ã: OA= =a+ b. + c. , = a + ab

+ )2

. ; OC= c+ ca

t−¬ng tù OB= b+ ba bc VËy Min(OA+ OB + OC) = ( ; khi OA= a + ab

; OC= c+ ca . OB= b+ ba

Mét sè bµi tËp tù gi¶i

Bµi 1. Cho 2 ®iÓm A, B cè ®Þnh. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho:

AM: BM=k víi 0 < k „ 0).

Bµi 2. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’. Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung

®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ BB’. Chøng minh MN ^ A’C. X¸c ®Þnh gãc gi÷a

MN vµ c¹nh AB.

- + Bµi 3. T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: m x

> + x m m

Bµi 4 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ:

+ +

y y

  

+ +

Bµi 5. Tuú theo m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:

log

= )

log

[2(1

x m

)]

- - (11)

Bµi 6. Dùng tam gi¸c ®Òu biÕt ®−êng cao lµ h.

Bµi 7. Cho xy + yz + zx = 4. T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc:

+ z

,a b

Bµi 8. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Trªn c¹nh BD vµ B’A

lÊy ®iÓm M, N sao cho BM= B’N= t. Gäi lÇn l−ît lµ c¸c gãc t¹o bëi

MN víi c¸c ®−êng th¼ng BD vµ AB’.

1. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN theo a vµ t. T×m t ®Ó ®é dµi MN ®¹t gi¸ trÞ nhá

nhÊt.

. 2. Chøng minh r»ng: cos2a + cos2 b = 1 2

3. TÝnh a vµ b khi MN ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bµi 9. Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ mmn: x+ y- 3z = 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt

cña biÓu thøc:

+ 6

+ 14

+ 2 y

- - - - - .

)C vµ ( (

2C ) vµ 1®−êng th¼ng ∆. Hmy dùng h×nh

Bµi 10. Cho 2 ®−êng trßn

)C vµ (

)C cßn 2 ®Ønh B, (

vu«ng ABCD cã 2 ®Ønh A vµ C lÇn l−ît n»m trªn

D n»m trªn ∆.

+ 2 x 2

2 x+2q

- - Bµi 11 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: y =

KẾT LUẬN

§Ò tµi “Một số ứng dụng của phương pháp tọa ñộ trong việc giải

toán ở trường THPT” ñã giải quyết cơ bản vấn ñề ñặt ra ở ñầu. Đó là, ñề tài

ñã ñưa ra ứng dụng của phương pháp tọa ñộ trong việc giải các bài toán

giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất ñẳng thức hay các

bài toán tìm quỹ tích, tìm cực trị, dựng hình. Thông qua ñề tài này người

ñọc sẽ thấy rõ ñược ưu ñiểm của phương pháp tọa ñộ trong việc giải các bài

toán: lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn. Ngoµi mét sè bµi tËp cã lêi gi¶i, ®Ò tµi

cßn ®−a ra mét sè bµi tËp ®Ó ng−êi ®äc tù lµm nh»m cñng cè thªm c¸c kiÕn

thøc ®m nªu ë ®Ò tµi vµ ng−êi ®äc vËn dông c¸c kiÕn thøc ®ã ®Ó gi¶i c¸c bµi

to¸n kh¸c b»ng ph−¬ng ph¸p to¹ ®é.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đậu Thế Cấp ( chủ biên), Nguyễn Hoàng Khanh, Nguyễn Lê Thống

Nhất, Lương Xuân Thu, Nguyễn Tiến Việt, (2002), Tuyển chọn các

phương pháp giải toán sơ cấp, NXB Giáo dục.

2. Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Phi, Nguyễn Công Quỳ, (1965)

Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục.

3. Văn Như Cương, (2004) Hình học giải tích, NXB Đại học sư phạm.

4. Đào Văn Dũng, (2007) Ba phương pháp giải bài toán hình học

không gian, NXB Giáo dục.

5. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, (2007), Phương pháp giải toán hình học

giải tích trong không gian, NXB Hà Nội.

6. Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB giáo dục.

7. Trần Đình Thì, (2008), Dùng Hình học giải tích ñể giải phương

trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất ñẳng thức…, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội.

8. Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Trần Đức Huyên, (2005), Phân loại

và phương pháp giải toán hình học 12, NXB Hà Nội.

9. VưGotxki, (1975)Sổ tay toán học sơ cấp, NXB Tiến bộ.

Luận văn: Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT

Mét sè øng dông cña ph−¬ng ph¸p to¹ ®é

trong viÖc gi¶I to¸n ë tr−êng thpt

)

( 1, 2 sin

)1,3

( = d ii

)2

- + Bµi 3. T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: m x

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok

Luận văn: Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT

Mét sè øng dông cña ph−¬ng ph¸p to¹ ®é

trong viÖc gi¶I to¸n ë tr−êng thpt

)

( 1, 2 sin

)1,3

( = d ii

)2

- + Bµi 3. T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: m x

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok