Bài giảng Bài tập chuỗi lũy thừa

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

678
lượt xem 111
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Bài tập chuỗi lũy thừa giới thiệu tới các bạn một số dạng bài tập về chuỗi lũy thừa như tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa; tìm khai triển Maclaurin của các hàm số và một số dạng bài tập khác. Mời các bạn tham khảo bài giảng để củng cố thêm kiến thức về lĩnh vực này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Bài tập chuỗi lũy thừa

BÀI TẬP CHUỖI LŨY THỪA
Bài tập 1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau: 2 n + ( −1) n 2 n ( n − 1) x − 2 n+1 a) x n b) ( ) n =2 n − 3 n2 n =0 ( 2n ) !! � 1 �n x 2n ( −1) n −1 c) 1− � � x d) n n =1 � n� n =1 3 .n 2 n 2 −3n +1 n 2 �n − 1 � n ( x + 1) f) x n e) � � n =2 8 n +1 + 3ln n n =2 �n+2�
Hướng dẫn 2 n + ( −1) n n 2 n a) x n =2 n− n 3 2 1 n n 2/3 − n1/2 R = lim = lim n n |a | n n n �1� 2 1+ � n − � � 2� n n 2/3 − n1/ 2 1 = lim 1/ n = n � �1� n � 2 1+ � 2� − �� 2 ��
( n − 1) x − 2 n+1 b) ( ) n =0 ( 2n ) !! an n − 1 ( 2n + 2 ) !! R = lim = lim . n an +1 n ( 2n ) !! n n −1 = lim . ( 2n + 2 ) = + n n
� 2 �n ( −1) n −1 c) 1 − �x � n =1 � n� an n − 2 n +1 R = lim = lim . =1 n an +1 n n n −1 x 2n d) n = an x 2n n =1 3 .n n =1 1 R = lim = lim 3 n n = 3 n n an n
2 n ( x + 1) n e) n +1 n =2 8 + 3ln n n +1 1 n 8 + 3ln n R = lim = lim n 2 n n an n n 1/ n � ln n � 8+3 n � 8� 0 � 8 � 8.8 = lim = = 8 n n n 2 1
2 n 2 −3n +1 �n − 1 � n f) � � x n =2 �n+2� 2 n 2 −3n +1 1 �n + 2 � n R = lim = lim � � n n an n �n − 1 � 2 n 2 −3n +1 � 3 � n = lim � 1+ � n � n −1 � 3 2 n 2 −3n +1 n −1 . � � n −1 n �� 3 � � 3 = lim � 1+ � = e6 n �� n −1 � � � �
2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: ( −1) x n n n �n + 3 � �( x − 1) n a) b) n =0 ( 2 n + 5 .3n ) � n =1 �2n + 1 � �2n 3n � n +1 ( x + 5) 2 n �3n + n 2 � n c) 2 d) x n =0 n =1 � � ( x − 8) n e) n =1 ( n !) 2n
Hướng dẫn ( −1) n n x a) R = 3 n =1 ( 2 n + 5 .3n ) Khoảng hội tụ: ( −3,3) ( −1) ( −3) n n 1 x = −3 �2 =� n =1 ( ) n + 5 .3 n n =1 (2 n +5 ) 1 Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với 1/2 n =1 n
( −1) n n x n =1 ( 2 n + 5 .3n ) ( −1) ( −1) n n n 3 x =3 �2 =� n =1 ( ) n + 5 .3n n =1 (2 n +5 ) 1 Chuỗi đan dấu với an = 0 (2 n +5 ) Chuỗi ht theo tc Leibnitz. MHT : D = ( −3,3]
n �n + 3 � �( x − 1) n b) � R=2 n =1 �2n + 1 � Khoảng hội tụ: ( 1 − 2,1 + 2 ) = ( −1,3) x = −1 n n �n + 3 � �2n + 6 � � �( −2 ) = �� ( −1) = �an n n � n =1 �2n + 1 � n =1 �2n + 1 � n =1
n n �n + 3 � �2n + 6 � � �( −2 ) = �� ( −1) = �an n n � n =1 �2n + 1 � n =1 �2n + 1 � n =1 n n �2n + 6 � � 5 � � �= � 1+ � �2n + 1 � � 2n + 1 � 5 2 n +1 .n � � 2 n +1 �� 5 � � 5 = � 1+ � n e5/2 �� 2n + 1 � � � � an 0 Chuỗi pk theo đk cần
n �n + 3 � �( x − 1) n � n =1 �2n + 1 � x =3 n n �n + 3 � n �2n + 6 � � � n =1 � �2 = �� 2n + 1 � n =1 � � = �an 2n + 1 � n =1 an 0 Chuỗi pk theo đk cần MHT : D = ( −1,3)
( x + 5) n2 n c) 2 R =0 n =0 Chuỗi chỉ hội tụ tại: x = −5
�2n 3n � n +1 �2n.n 2 + 9n �n +1 d) �3n + n 2 �x = � 3n.n 2 x � n =1 � � n =1 � � 1 R= 3 n 1 n 2 .n + 9 � 1 � 2 n x=− �− � 3 n =1 n 2 3 .n � 3� � 2 � ( −1) � � n n = � �− �+ 2 � � n =1 � � 9 � n � � HT HT HT
n 1 n 2 .n + 9 �1 � 2 n x= �� 3 n =1 n 2 3 .n �3 � � �2 � 1 � n = � � �+ 2 � �9 � n � n =1 � HT HT HT �1 1� MHT : D = � − , � � 3 3�
( x − 8) n e) R=+ n =1 ( n !) 2n MHT : D = ( − , + )
3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau: 2x a) f ( x ) = sin x 2 b) f ( x ) = (1− x ) 2 c ) f ( x ) = ( 2 − x ) ln ( 1 − 2 x ) 2x d) f ( x) = 3+ x
Hướng dẫn a) f ( x ) = sin x 2 1 = ( 1 − cos 2 x ) 2 2 ( 2x ) 2n � 1 1 � = � − ( −1) � 2�� 2 n =0 ( 2 n ) ! � �
2x b) f ( x ) = (1− x ) 2 � 1− 2( −x ) + ( −2 ) ( −3) ( −2 ) ( −3 ) ( −4 ) � ( −x ) + ( − x ) + L� 2 3 = 2x � � 2! 3! � = 2 x ( 1 + 2 x + 3x + 4 x + L + ( n + 1) x + L) 2 3 n ĐKKT: − x �( −1,1)