Bài giảng 1.4 chuỗi lũy thừa

1.4 CHUỖI LŨY THỪA NỘI DUNG

1.4.1 Định nghĩa

1.4.2 Bán kính hội tụ. Miền hội tụ

1.4.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa

1.4.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

1.4.5 Công thức Euler

1.4.6 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng

1.4. CHUỖI LŨY THỪA

1.4.1. Định nghĩa



n

2

n



a



 ...



...

xa n

0

 xaxa 1 2

xa n



 0n

Chuỗi lũy thừa là chuỗi mà số hạng tổng quát của nó là hàm số có dạng anxn, trong đó an là hằng số:

an gọi là hệ số của chuỗi lũy thừa.

n





Ví dụ:

nnx

2

a. b.





x n

n

1

0n

là các chuỗi lũy thừa

1.4. CHUỖI LŨY THỪA



nxa

n 0

Nếu cho x = x0 thì chuỗi lũy thừa trở thành chuỗi số



0n

Nếu chuỗi số này hội tụ, khi đó chuỗi lũy thừa hội tụ tại x0 và x0 là điểm hội tụ của chuỗi lũy thừa

Tập hợp tất cả các điểm hội tụ gọi là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

1.4. CHUỖI LŨY THỪA



Ví dụ:

nx

Chuỗi lũy thừa là một chuỗi nhân công bội x



0n

1 x1

Nếu |x|<1 nó hội tụ và có tổng

Nếu |x| 1, nó phân kì

Vậy miền hội tụ của nó là (-1, 1)

1.4. CHUỖI LŨY THỪA

n

n





a

 ...



...

 )xx(a n 0

0

 )xx(a 1 0

 )xx(a n 0

Chú ý:

 0n



n

nXa

Chuỗi hàm số có dạng:  

0n

gọi là chuỗi lũy thừa theo (x - x0) hay chuỗi lũy thừa ở lân cận x0 Nếu đặt X = x - x0 thì đưa được về dạng 

1.4. CHUỖI LŨY THỪA

1.4.2. Bán kính hội tụ. Miền hội tụ

1.4.2.1 Bán kính hội tụ.



n

Định lí 1.6 (Abel):

nxa 0 n thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x với | x | < | x0 |



n

Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x = x0 ≠ 0

nxa

0 n

Nếu chuỗi luỹ thừa phân kì tại x0

thì nó phân kì tại mọi x với | x | > |x0|

1.4. CHUỖI LŨY THỪA



n

nxa

0 n



n

Chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x = 0

nxa

0 n

Nếu tồn tại số R  0 sao cho chuỗi hội tụ

trong khoảng (-R, R) và phân kì trong các khoảng (- ∞, - R) và (R, + ∞) thì R gọi là bán kính hội tụ và khoảng (- R, R) gọi là khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa.

Tại x = - R và x = R chuỗi có thể hội tụ, cũng có thể phân kì.

1.4. CHUỖI LŨY THỪA

1.4.2.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa.



n

Định lí 1.7:

nxa

0 n

Cho chuỗi lũy thừa

D

a



D

n

lim  n

lim n  n

a  1n a n

Nếu hoặc

R

    

nếu 0 < D < + nếu D = +

nếu D = 0

thì bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa trên được xác định như sau: 1 D 0   

1.4. CHUỖI LŨY THỪA

Ví dụ: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

n



a

)

sau



n

1 

x n ! n



b

)

n



x 2 n

n

1 

1.4. CHUỖI LŨY THỪA



n

n xa

n

0

1.4.2.3. Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1. Đối với chuỗi lũy thừa có dạng (1)

B1. Tìm bán kính hội tụ R

B2. Xét sự hội tụ của chuỗi (1) tại x =± R (nếu có)

B3. Kết luận:

* Nếu (1) hội tụ tại x =± R thì miền hội tụ là [-R, R] * Nếu (1) hội tụ tại x = - R , phân kì tại x = R thì

miền hội tụ là [-R, R)

* Nếu (1) hội tụ tại x = R , phân kì tại x = - R thì

miền hội tụ là (-R, R]

* Nếu (1) phân kì tại x =± R thì miền hội tụ là (-R, R)

1.4. CHUỖI LŨY THỪA

Ví dụ:



n

Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa: n

n

n

n

x

a. 

x 1 2 n  )1(  3 n

1 

n

b. 

1.4. CHUỖI LŨY THỪA



xa n (



nx 0 )

n



0



n

(2) 2. Đối với chuỗi lũy thừa có dạng 

nXa

0n

(*)

- Đặt X = x - x0 chuyển chuỗi (2) thành  - Tìm miền hội tụ của (*) như trên, sau đó suy ra miền hội tụ của (2)



n

)4



n x (

Ví dụ:



n

1 

Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa: 1 n 2

1.4. CHUỖI LŨY THỪA

1.4.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa

1.4.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

1.4.5 Công thức Euler

1.4.6 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng