intTypePromotion=1

Bài giảng Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: PPTX | Số trang:17

0
106
lượt xem
11
download

Bài giảng Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 4: Ánh xạ tuyến tính sau đây giới thiệu tới các bạn về ma trận của ánh xạ tuyến tính như định nghĩa, tính chất, ma trận đổi cơ sở, ma trận đồng dạng; vec tơ riêng, giá trị riêng; chéo hóa ma trận. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

  1. CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ VỀ DỰ BUỔI DUYỆT GIẢNG LỚP K16 CĐSP TIN HỌC GV : THÂN VĂN ĐÍNH
  2. NỘI DUNG BÀI GIẢNG CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa 2. Tính chất 3. Ma trận đổi cơ sở, ma trận đồng dạng 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng 5. Chéo hóa ma trận
  3. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng a. Đa thức đặc trưng 1 2� � Ø Tìm đa thức đặc trưng của ma trận : A = � � 0 � 1 � 1− λ 2 Kết quả : fA( ) = = (1 − λ ) 2 0 1− λ Ø Tìm đa thức đặc trưng của TTTT T : V V? B1 : Tìm ma trận biểu diễn của T là A B2 : Đa thức đặc trưng của T là : fT( ) = fA( )
  4. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng a. Đa thức đặc trưng Đa thức đặc trưng của ma trận A là : fA ( ) = det(A - I) Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính T là: fT ( ) = det(A - I) ( trong đó : A là ma trận của toán tử tuyến tính T)
  5. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng b. Giá trị riêng, vec tơ riêng Ø Cách tìm giá trị riêng Giải nghiệm của đa thức đặc trưng ta được GTR Ø Cách tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng Nghiệm cơ bản của hpt thuần nhất ( A - I)[x] = 0 là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
  6. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng b. Giá trị riêng, vec tơ riêng Ví dụ 1. Tìm GTR và VTR của toán tử T trên R3, biết T có ma trận biểu diễn là : �3 1 −1� � � A=�2 2 −1� �2 2 0 � � � Đa thức đặc trưng : fA( ) = ( - 1)( - 2) T có hai vectơ riêng là: = 1, = 2.
  7. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng b. Giá trị riêng, vec tơ riêng Ví dụ 1. (tt) �2 1 −1� �x1 � �� 0 � � � � �� v Với = 1. Giải hệ �2 1 −1 �x2 �= �� � 0 �2 2 −1 � �x � ��0 � � �3 � �� Ta được một vetơ riêng là : v1 = (1, 0, 2) v Với = 2. Ta tìm được một vectơ riêng: v2 = (1,1,2) KL : T có hai vectơ riêng v1 = (1, 0, 2) và v2 = (1,1,2) tương ứng với hai giá trị riêng : = 1 và = 2
  8. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng c. Không gian con riêng Tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính T ứng với giá trị riêng lập thành một không gian con riêng. Kí hiệu : V Vậy : V = { v V : f(v) = v } Ví dụ 2 : Tìm các không gian con riêng của T trong Ví dụ 1 ở trên ? KQ
  9. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông hay một toán tử tuyến tính là chéo hóa được? Toán tử T : V V chéo hóa được khi và chỉ khi một trong các điều sau thỏa: Ø V có một cơ sở gồm các vectơ riêng của T Ø Giả sử T có tất cả các giá trị riêng 1,…, k và ni = dimV k thì : n1 +. . . + nk = dimV
  10. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính Các bước chéo hóa một ma trận vuông A hay chéo hóa một toán tử T ? B1 : Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứng Ø Nếu không có giá trị riêng nào thì KL ma trận A không chéo hóa được. Ø Nếu A có k giá trị riêng với số bội là n1, n2, . . ., nk mà n1 + n2 + . . . + nk < dimV thì A không chéo hóa được. Chú B2 : Với mỗi giá trị riêng i, tìm dimV i ý ( nếu có dimV i < ni thì A không chéo hóa được.) B3 : Lập ma trận C làm chéo hóa A là các cột của VTR
  11. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính Chú ý : Chéo hóa toán tử T ( với [f ]B = A )được thực hiện tương tự chéo hóa ma trận A, nhưng ma trận C là ma trận đổi cơ sở từ B sang cơ sở mới mà trong đó ma trận của f có dạng chéo. Ví dụ 3. Chéo hóa các ma trận sau : �0 1 0 � �3 3 2 � �5 4 6 � � � � � � � A1 = �−4 4 0 �, A2 = �1 1 −2 �, A3 = �4 5 6 � �−2 1 2 � �−3 −1 0 � �−4 −4 −5 � � � � � � �
  12. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính q Xét A1 −λ 1 0 det(A1 − λ I ) = −4 4−λ 0 = −(λ − 2)3 −2 1 2−λ A1 có một giá trị riêng với bội số bằng 3 �−2 1 0 � �−2 1 0 � � �� � Khi đó, (A1 – 2I) = �−4 2 0 = �� 0 0 0 �� dim SA1 = 2 < 3 �−2 1 −2 � �0 0 0 � � �� � Vậy A1 không chéo hóa được
  13. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính q Xét A2 Đa thức đặc trưng : det(A2 - I) = (4 - )( 2 + 4) Do đó, A2 chỉ có một giá trị riêng đơn = 4. Vậy A2 không chéo hóa được. q Xét A3 Đa thức đặc trưng : det(A3 - I) = ( -1)2(3 - ) A3 có 2 giá trị riêng = 1( bội 2), = 3 (đơn).
  14. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính q Xét A3 Với = 1, giải hệ (A3 – I)X = 0, tức là giải hệ 4 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 0 4 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 0 Ta được hai VTR (-1,1,0), (-3,0,2) −4 x1 − 4 x2 − 6 x3 = 0 Với = 3, giải hệ (A3 – 3I)X = 0, tức là giải hệ 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 0 4 x1 + 2 x2 + 6 x3 = 0 Ta được một VTR (1,1,-1) −4 x1 − 4 x2 − 8 x3 = 0
  15. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính q Xét A3 Vậy, dimV1 + dimV3 = 3 nên A3 chéo hóa được. �−1 −3 1 � � � Ma trận làm chéo hóa A3 là C = �1 0 1 � �0 2 −1� � � 1 0 0� � � � Ma trận chéo đồng dạng với A3 là D = � 0 1 0� � 0 0 3 � � �
  16. CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính v Nhận xét Nếu A3 là ma trận biểu diễn của một toán tử tuyến tính f trên V thì trong cơ sở B  = {(-1,1,0),(-3,0,2),(1,1,-1), ma trận của f có dạng chéo D.
  17. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NẮM 1. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng 2. Thực hiện chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính. BÀI HỌC KẾT THÚC ! KÍNH CHÀO QUÝ THẦY CÔ

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản