CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ VỀ DỰ BUỔI DUYỆT GIẢNG LỚP K16 CĐSP TIN HỌC
GV : THÂN VĂN ĐÍNH
NỘI DUNG BÀI GIẢNG
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Định nghĩa
2. Tính chất
3. Ma trận đổi cơ sở, ma trận đồng dạng
4. Vec tơ riêng, giá trị riêng
5. Chéo hóa ma trận
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
4. Vec tơ riêng, giá trị riêng
A
Ø Tìm đa thức đặc trưng của ma trận :
1 2 � � = � � 0 1 � �
a. Đa thức đặc trưng
l
-
1
2
2
l
Kết quả : fA((cid:0) ) =
= - (1
)
l
-
0
1
Ø Tìm đa thức đặc trưng của TTTT T : V(cid:0)
V ?
B1 : Tìm ma trận biểu diễn của T là A B2 : Đa thức đặc trưng của T là : fT((cid:0) ) = fA((cid:0) )
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
4. Vec tơ riêng, giá trị riêng
a. Đa thức đặc trưng
Đa thức đặc trưng của ma trận A là :
fA ((cid:0) (cid:0) ) = det(A - (cid:0) I)
Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính T là:
fT ((cid:0) (cid:0) ) = det(A - (cid:0) I)
( trong đó : A là ma trận của toán tử tuyến tính T)
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
4. Vec tơ riêng, giá trị riêng
Ø Cách tìm giá trị riêng
b. Giá trị riêng, vec tơ riêng
Ø Cách tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng (cid:0)
Giải nghiệm của đa thức đặc trưng ta được GTR
Nghiệm cơ bản của hpt thuần nhất ( A - (cid:0) I)[x] = 0 là vectơ riêng ứng với giá trị riêng (cid:0)
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
4. Vec tơ riêng, giá trị riêng b. Giá trị riêng, vec tơ riêng
Ví dụ 1. Tìm GTR và VTR của toán tử T trên R3,
biết T có ma trận biểu diễn là :
3 1
1
=
-
A
2 2 2 2
1 0
� � � � �
� � � � �
-
(cid:0) Đa thức đặc trưng : fA((cid:0) ) = ((cid:0) - 1)((cid:0) - 2) (cid:0) T có hai vectơ riêng là: (cid:0) = 1, (cid:0) = 2.
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1
0
- III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng b. Giá trị riêng, vec tơ riêng 2 1
2 1
0
1
- Ví dụ 1. (tt) v Với (cid:0) = 1. Giải hệ
2 2
0
1
x 1 x 2 x 3
� � � � �
�� � �� �� � �� = �� � �� �� � �� �� � ��
-
v Với (cid:0) = 2. Ta tìm được một vectơ riêng: v2 = (1,1,2)
Ta được một vetơ riêng là : v1 = (1, 0, 2)
KL : T có hai vectơ riêng v1 = (1, 0, 2) và v2 = (1,1,2) tương ứng với hai giá trị riêng : (cid:0) = 1 và (cid:0) = 2
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. Vec tơ riêng, giá trị riêng
c. Không gian con riêng
Tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính T ứng với giá trị riêng (cid:0) lập thành một không gian con riêng. Kí hiệu : V(cid:0) Vậy : V(cid:0) V : f(v) = (cid:0) v } = { v (cid:0)
Ví dụ 2 : Tìm các không gian con riêng của T trong
KQ
Ví dụ 1 ở trên ?
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính
Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông hay một toán tử tuyến tính là chéo hóa được?
Toán tử T : V (cid:0) V chéo hóa được khi và chỉ khi một
Ø V có một cơ sở gồm các vectơ riêng của T Ø Giả sử T có tất cả các giá trị riêng (cid:0) 1,…, (cid:0) k và ni = dimV(cid:0) k thì : n1 +. . . + nk = dimV
trong các điều sau thỏa:
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính Các bước chéo hóa một ma trận vuông A hay chéo hóa một toán tử T ?
B1 : Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứng Ø Nếu không có giá trị riêng nào thì KL ma trận A không
chéo hóa được.
i, tìm dimV(cid:0) i
Ø Nếu A có k giá trị riêng với số bội là n1, n2, . . ., nk mà n1 + n2 + . . . + nk < dimV thì A không chéo hóa được. Chú ý i < ni thì A không chéo hóa được.)
B2 : Với mỗi giá trị riêng (cid:0) ( nếu có dimV(cid:0) B3 : Lập ma trận C làm chéo hóa A là các cột của VTR
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính Chú ý : Chéo hóa toán tử T ( với [f ]B = A )được thực hiện tương tự chéo hóa ma trận A, nhưng ma trận C là ma trận đổi cơ sở từ B sang cơ sở mới mà trong đó ma trận của f có dạng chéo.
Ví dụ 3. Chéo hóa các ma trận sau :
1 0
3
2
4
6
-
4 4 0 ,
1
2 ,
5
6
A 1
- - - - - -
3
2 1 2
1
0
4
4
5
0 � � = - � � �
3 � � � � = A 1 � � 2 � � � �
5 � � � � = A 4 � � 3 � � � �
� � � � �
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
q Xét A1
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
3
l
l
1 l
5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính l -
I
= - )
(
2)
4
4
0 = - 0
det(A 1
l
- - -
1
2
2
- -
(cid:0) (cid:0) A1 có một giá trị riêng (cid:0) với bội số bằng 3
2 1
0
2 1 0
- -
S
4 2
0
0 0
dim
2 3
= < 1A
- Khi đó, (A1 – 2I) =
2 1
2
0 0
� � � � �
� � � � = 0 � � � � 0 � �
� � � � � �
- -
Vậy A1 không chéo hóa được
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính q Xét A2
q Xét A3 Đa thức đặc trưng : det(A3 - (cid:0) I) = ((cid:0) -1)2(3 - (cid:0) )
Đa thức đặc trưng : det(A2 - (cid:0) I) = (4 - (cid:0) )((cid:0) 2 + 4) Do đó, A2 chỉ có một giá trị riêng đơn (cid:0) = 4. Vậy A2 không chéo hóa được.
(cid:0) A3 có 2 giá trị riêng (cid:0) = 1( bội 2), (cid:0) = 3 (đơn).
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
+
+
=
5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính q Xét A3 Với (cid:0) = 1, giải hệ (A3 – I)X = 0, tức là giải hệ
4
4
6
0
(cid:0)
+
+
=
(cid:0)
4
4
0
(cid:0) Ta được hai VTR (-1,1,0), (-3,0,2)
0
x 1 x 1 x 4 1
x 2 x 2 x 4 2
x 3 x 6 3 = x 6 3
(cid:0) - - - (cid:0)
+
+
=
Với (cid:0) = 3, giải hệ (A3 – 3I)X = 0, tức là giải hệ
2
4
6
0
(cid:0)
+
+
=
(cid:0)
4
2
0
Ta được một VTR (1,1,-1) (cid:0)
0
x 1 x 1 x 4 1
x 2 x 2 x 4 2
x 3 x 6 3 = x 8 3
(cid:0) - - - (cid:0)
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính q Xét A3 Vậy, dimV1 + dimV3 = 3 nên A3 chéo hóa được.
3
1
=
C
-
0
2
-� 1 � 1 � � 0 �
� � 1 � �- 1 �
=
D
Ma trận làm chéo hóa A3 là
0 0 3
1 0 0 � � 0 1 0 � � �
� � � � �
Ma trận chéo đồng dạng với A3 là
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
III. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
5. Chéo hóa ma trận, chéo hóa toán tử tuyến tính v Nhận xét
Nếu A3 là ma trận biểu diễn của một toán tử tuyến
tính f trên V thì trong cơ sở
B = {(-1,1,0),(-3,0,2),(1,1,-1), ma trận của f có dạng
chéo D.
KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NẮM
1. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng
2. Thực hiện chéo hóa ma trận, chéo hóa
toán tử tuyến tính.
