Bài giảng Cơ học đất (Bộ môn Địa kỹ thuật) - Chương 3: Phân bố ứng suất trong đất

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

Ch−¬ng III:

ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

Bμi 1

Ph©n bè øng suÊt

do träng l−îng b¶n th©n cña ®Êt

I. mét sè vÊn ®Ò c¬ b¶n 1. ¸p lùc n−íc lç rçng vμ øng suÊt hiÖu qu¶

Khi øng suÊt bªn ngoμi truyÒn lªn khèi ®Êt b·o hoμ, ¸p lùc n−íc lç rçng sÏ t¨ng tøc thêi. §iÒu ®ã lμm cho n−íc lç rçng cã xu h−íng ch¶y tho¸t khái hÖ lç rçng, ¸p lùc n−íc lç rçng sÏ gi¶m ®i vμ øng suÊt t¸c dông truyÒn cho kÕt cÊu h¹t cña ®Êt. T¹i mét thêi ®iÓm sau khi ®Æt t¶i, øng suÊt tæng t¸c dông sÏ c©n b»ng bëi hai thμnh phÇn néi øng suÊt.

- ¸p lùc n−íc lç rçng (u): lμ ¸p lùc g©y ra trong chÊt láng (n−íc, hoÆc h¬i n−íc vμ n−íc) chøa ®Çy lç rçng. ChÊt láng trong lç rçng cã thÓ truyÒn øng suÊt ph¸p nh−ng kh«ng truyÒn ®−îc øng suÊt tiÕp, v× thÕ kh«ng t¹o ®−îc søc chèng c¾t. V× vËy ®«i khi cßn gäi lμ ¸p lùc trung tÝnh.

- øng suÊt hiÖu qu¶ (σ’): lμ øng suÊt truyÒn cho kÕt cÊu ®Êt qua chç tiÕp xóc gi÷a c¸c h¹t. ChÝnh thμnh phÇn øng suÊt nμy ®· ®iÒu khiÓn c¶ biÕn d¹ng thay ®æi thÓ tÝch vμ søc chèng c¾t cña ®Êt v× øng suÊt ph¸p vμ øng suÊt tiÕp truyÒn qua ®−îc chç tiÕp xóc h¹t víi h¹t. Terzaghi (1943) chØ ra r»ng, víi ®Êt b·o hoμ, øng suÊt hiÖu qu¶ cã thÓ x¸c ®Þnh theo sù chªnh lÖch gi÷a øng suÊt tæng vμ ¸p lùc n−íc lç rçng:

(31-1) σ’ = σ - u

MNN

h1, γ Gi¶ sö x¸c ®Þnh øng suÊt t¹i mét ®iÓm A nh− h×nh (3-1) vμ xem nh− øng suÊt th¼ng ®øng t¹i ®iÓm A n»m ë ®é s©u (h1 # h2)

- øng suÊt tæng: σ = h1.γ + h2.γbh

h2; γbh A σ ë ®iÓm A gåm c¶ ¸p lùc n−íc lç rçng (u) vμ øng suÊt cã hiÖu (σ’) t¹i ®iÓm tiÕp xóc gi÷a c¸c h¹t ®Êt.

H×nh 3-1

Trong ®iÒu kiÖn hiÖn tr−êng tù nhiªn kh«ng cã dßng thÊm, ¸p lùc n−íc lç rçng thuû tÜnh ®−îc ®Æc tr−ng bëi mÆt n−íc ngÇm hay møc n−íc ngÇm. NÕu mÆt n−íc

Trang 1

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

ngÇm n»m s©u d−íi mÆt ®Êt (dn) th× t¹i ®é s©u (z ) , ¸p lùc n−íc lç rçng thuû tÜnh tÝnh theo c«ng thøc:

(31-3) uz = 9.81*(z-dn)

- Khi z>dn , uz cã gi¸ trÞ d−¬ng;

- Khi z

Trong nhiÒu bμi to¸n, øng suÊt hiÖu qu¶ tÜnh cña líp phñ cÇn tÝnh t¹i mét ®é s©u ®· cho, theo ph−¬ng tr×nh (3-1) :

(31-4) σ’z = σz - u

C¸c líp ®Êt t¹i mét c«ng tr−êng gåm cã:

0-4m c¸t chøa cuéi (γbh = 20kN/m3; γ = 19.2kN/m3)

4-9m ®Êt sÐt (γ = 18.0kN/m3)

VÏ s¬ ®å øng suÊt hiÖu qu¶ / øng suÊt tæng tõ 0-9m khi mÆt n−íc ngÇm ë trªn ®Ønh líp sÐt

1m.

VÝ dô 1:

σ'z; uz (kN/m3)

Líp c¸t chøa cuéi ë d−íi mùc n−íc ngÇm lμ b·o hoμ vμ cã träng l−îng ®¬n vÞ tù nhiªn lμ 20kN/m3, cho nªn ®é t¨ng øng suÊt tæng theo ®é s©u lμ:

57.6

mùc nuíc ngÇm

Δσz = γbhxΔz = 20xΔz (kN/m2)

9.8

77.6

Trªn mÆt n−íc ngÇm, ®Êt kh«ng b·o hoμ cã träng l−îng ®¬n vÞ lμ 19.2kN/m3 vμ

σ'z

Δσz = γxΔz = 19.2x.Δz (kN/m2)

σz

167.6

58.8

Trong líp sÐt, v× cã tÝnh thÊm nhá kÕt hîp víi ®é hót Èm cao nªn lu«n t¹o ra sù b·o hoμ ë trªn mÆt n−í ngÇm.

øng suÊt hiÖu qu¶ t¹i ®é s©u ®· cho:

σ’z= σz - uz

Bμi gi¶i:

H×nh 3-3

C¸c tÝnh to¸n ®−îc xÕp vμo trong b¶ng d−íi ®©y:

Trang 2

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

øng suÊt (kN/m2)

§é s©u

øng suÊt tæng

øng suÊt n−íc lç rçng øng suÊt hiÖu

qu¶

(m)

uz

Δσz

σz

σ’z = σz - uz

0

57.6

19.2x3 = 57.6

67.8

77.6

9.81x1 = 9.8

20.0x1 = 20.0

108.8

167.6

9.81x6 = 58.8

18.0x5 = 90.0

T¹i mét c«ng tr−êng, líp c¸t bôi trªn mÆt dμy 5m n»m trªn líp bïn sÐt dμy 4m, phÝa d−íi lμ ®¸ kh«ng thÊm. H·y vÏ s¬ ®å øng suÊt hiÖu qu¶ / øng suÊt tæng cho c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y:

a) mÆt n−íc ngÇm b»ng mÆt ®Êt.

b) mÆt n−íc ngÇm ë ®é s©u 2.5m, líp c¸t bôi ë trªn mÆt n−íc ngÇm ®−îc b·o hoμ b»ng n−íc

mao dÉn.

Träng l−îng ®¬n vÞ cña c¸t bôi lμ 18.5kN/m3; cña sÐt lμ 17.7kN/m3;

VÝ dô 2:

(kN/m3)

σ'z; uz

σ'z; uz (kN/m3)

mùc nuíc ngÇm

-24.5

46.3

mùc nuíc ngÇm

24.5

92.5

49.1

92.5

σ'z

163.3

63.8

163.3

88.3

Bμi gi¶i:

a) Khi mÆt n−íc ngÇm b»ng mÆt ®Êt:

Toμn bé ®Êt bÞ ngËp n−íc, khi ®ã träng l−îng ®¬n vÞ = γbh vμ ¸p lùc n−íc lç rçng = 9.81z KÕt qu¶ tÝnh to¸n ®−îc xÕp thμnh b¶ng d−íi ®©y:

H×nh 3-4

Trang 3

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

øng suÊt (kN/m2)

§é s©u

øng suÊt tæng

øng suÊt n−íc lç rçng

øng suÊt hiÖu qu¶

(m)

uz

Δσz

σz

σ’z = σz - uz

0

43.4

92.5

9.81x5 = 49.1

18.5x5 = 92.5

75.0

163.3

9.81x9 = 88.3

17.7x4 = 70.8

b) Khi mÆt n−íc ngÇm ë ®é s©u 2.5m:

Líp ®Êt n»m trªn mùc n−íc ngÇm ®· b·o hoμ vμ ¸p lùc n−íc lç rçng sÏ ©m. D−íi mùc n−íc ngÇm, ¸p lùc n−íc lç rçng sÏ d−¬ng: uz = 9.81(z-2.5) C¸c tÝnh to¸n ®−îc xÕp trong b¶ng d−íi ®©y:

øng suÊt (kN/m2)

øng suÊt tæng

§é s©u

øng suÊt n−íc lç rçng

øng suÊt hiÖu qu¶

(m)

uz

Δσz

σz

σ’z = σz - uz

-24.5

0

-9.81x2.5 = -24.5

46.25

18.5x2.5 = 46.25

2.5

68.0

92.5

9.81x2.5 = 24.5

18.5x2.5 = 46.25

99.6

163.3

9.81x6.5 = 63.7

17.7x4 = 70.8

3. ¶nh h−ëng cña dßng thÊm tíi øng suÊt cã hiÖu

- Khi kh«ng cã dßng thÊm th× øng suÊt cã hiÖu t¹i A ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:

σ’ = σ - u = (γ.h1 +γbh.h2) - γn.h2 = γ.h1 + (γbh - γn).h2 = γ.h1 + γ’.h2

- Khi cã dßng thÊm, gi¶ sö tõ d−íi lªn trªn, th× øng suÊt t¹i A x¸c ®Þnh nh− sau:

σ = γbh.h1 + γbh.h2

u = γn.(h1 + h2 + h)

Do ®ã: σ’ = σ - u

Trang 4

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

' σ

σ’ = (γbh.h1 + γbh.h2) - γn.(h1 + h2 + h)

)( i . ' . − γγ

( h 1

+ = + h 2 γ n h 2 h + h 1 h 2 ⎞ =⎟⎟ ⎠ ⎛ ) ⎜⎜ ' . γ − ⎝

( i ' . − γγ

γ n

h +

⎛ ⎜⎜ ' . − γ ⎝

⎞ =⎟⎟ ⎠

h 1 nghÜa lμ sÏ kh«ng cã øng suÊt tiÕp xóc gi÷a c¸c h¹t ®Êt vμ kÕt cÊu cña ®Êt sÏ bÞ ph¸ ho¹i.

sÏ b»ng 0. §iÒu nμy cã NÕu Gradient thuû lùc rÊt cao th×

- NÕu dßng thÊm cã h−íng ®i lªn t¸c ®éng tíi c¸c h¹t ®Êt, lóc nμy ¸p lùc thÊm J sÏ lμm gi¶m øng suÊt gi÷a c¸c h¹t ®Êt dÉn tíi lμm gi¶m øng suÊt cã hiÖu.

Nh− vËy, ¶nh h−ëng cña dßng thÊm tíi øng suÊt cã hiÖu lμ :

- Ng−îc l¹i, nÕu dßng thÊm h−íng xuèng d−íi, sÏ lμm t¨ng øng suÊt cã

hiÖu.

(31-6) σ’ = σ’® – (i.γn).h

σ’ = σ’® + (i.γn).h (31-7)

Trang 5

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

øng suÊt do t¶i träng tËp trung

Bμi 2:

g©y ra

Trong thùc tÕ t¶i träng c«ng tr×nh bao giê còng th«ng qua ®¸y mãng mμ truyÒn

t¶i träng xuèng ®Êt nÒn d−íi d¹ng t¶i träng ph©n bè trªn mét diÖn tÝch nhÊt ®Þnh

chø kh«ng ë d¹ng t¶i träng tËp trung. Tuy nhiªn, bμi to¸n x¸c ®Þnh øng suÊt trong

®Êt d−íi t¸c dông cña t¶i träng tËp trung cã mét ý nghÜa rÊt c¬ b¶n vÒ mÆt lý thuyÕt

vμ lμ c¬ së ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bμi to¸n tÝnh øng suÊt khi t¶i träng ph©n bè trªn nh÷ng

diÖn tÝch theo nh÷ng h×nh d¹ng kh¸c nhau.

Cã ba tr−êng hîp c¬ b¶n cÇn xem xÐt: Lùc tËp trung th¼ng ®øng t¸c dông trªn

mÆt ®Êt, lùc tËp trung n»m ngang t¸c dông trªn mÆt ®Êt vμ lùc tËp trung n»m ngang

d−íi mÆt ®Êt. B©y giê ta ®i xÐt tõng bμi to¸n cô thÓ:

I. Lùc tËp trung th¼ng ®øng t¸c dông trªn mÆt ®Êt (Bμi to¸n

boussineque):

1. §iÒu kiÖn bμi to¸n:

- XÐt nÒn ®Êt ®ång nhÊt, ®¼ng h−íng, mÆt ®Êt n»m ngang.

- §iÓm M cã to¹ ®é (x,y,z) trong nÒn ®Êt nh− h×nh vÏ chÞu t¸c dông cña t¶i träng

P(kN)

MÆt ®Êt

σz

zxτ

τzy yzτ

σx

yxτ

xyτ xzτ

σy

tËp trung th¼ng ®øng P (kN) trªn mÆt ®Êt.

H×nh 3.2-1: Tr¹ng th¸i øng suÊt t¹i ®iÓm M.

- X¸c ®Þnh tr¹ng th¸i øng suÊt t¹i M do t¶i träng tËp trung P g©y ra.

T¹i M lu«n tån t¹i mét tr¹ng th¸i øng suÊt víi c¸c thμnh phÇn øng suÊt ph¸p σx, σy, σz vμ c¸c thμnh phÇn øng suÊt tiÕp τxy=τyx, τxz=τzx, τzy=τyz. C¸c thμnh phÇn øng suÊt nμy do t¶i träng b¶n th©n ®Êt vμ t¶i träng ngoμi g©y ra. Trong bμi 1 chóng ta ®· x¸c

®Þnh ®−îc c¸c thμnh phÇn øng suÊt do t¶i träng b¶n th©n ®Êt g©y ra, trong bμi nμy

Trang 6

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

chóng ta sÏ ®i x¸c ®Þnh c¸c thμnh phÇn øng suÊt trªn do t¶i träng ngoμi d−íi d¹ng

lùc tËp trung th¼ng ®øng t¸c dông trªn mÆt ®Êt g©y ra.

2. C¸c gi¶ thiÕt tÝnh to¸n:

§Ó x¸c ®Þnh øng suÊt do t¶i träng tËp trung th¼ng ®øng t¸c dông lªn mÆt ®Êt

g©y lªn th× gi¸o s− ng−êi ph¸p J. Boussinesq ®· gi¶i vμ ®−a ra ®−îc c¸c biÓu thøc

tÝnh to¸n dùa trªn c¸c gi¶ thiÕt sau:

- NÒn ®Êt lμ mét m«i tr−êng ®ång nhÊt, ®¼ng h−íng.

- NÒn ®Êt lμ mét b¸n kh«ng gian v« h¹n biÕn d¹ng tuyÕn tÝnh.

=> Quan hÖ øng suÊt vμ biÕn d¹ng lμ quan hÖ ®−êng th¼ng (theo ®Þnh luËt

Hooke).

3. Thμnh lËp c«ng thøc:

- Gäi O lμ gèc hÖ to¹ ®é cùc trïng víi ®iÓm ®Æt lùc P. §iÓm M ®−îc x¸c ®Þnh bëi

b¸n kÝnh R (OM) vμ gãc β nh− h×nh vÏ 2.2-2.

- §Ó t×m ®−îc c¸c thμnh phÇn øng suÊt t¹i ®iÓm M nh− trªn ta gi¶i bμi to¸n trong hÖ to¹ ®é cùc ®Ó t×m øng suÊt ph¸p tæng σR t¸c dông lªn mÆt ph¼ng qua M vμ th¼ng gãc víi b¸n kÝnh R. Sau ®ã ta chiÕu øng suÊt ph¸p tæng trªn c¸c mÆt ph¼ng

P(kN)

MÆt ®Êt

trong hÖ to¹ ®é OXYZ ta ®−îc c¸c øng suÊt thμnh phÇn.

H×nh 3.2-2

- Cho R mét sè gia rÊt nhá dR, ta cã ®iÓm M1.

- Theo gi¶ thiÕt 3, ¸p dông ®Þnh luËt Hooke ta cã:

σ . = R Bε (3.2-1)

Trong ®ã:

εR – BiÕn d¹ng t−¬ng ®èi cña ®o¹n dR.

B – HÖ sè tû lÖ.

Trang 7

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

- D−íi t¸c dông cña lùc P ®iÓm M cã mét chuyÓn vÞ S theo ph−¬ng R. Qua thùc

nghiÖm ta thÊy r»ng S tû lÖ nghÞch víi R (R cμng lín th× S cμng nhá) vμ S tû lÖ nghÞch víi β hay tû lÖ thuËn víi cosβ (0 ≤β ≤900). Tõ nhËn xÐt trªn ta cã thÓ viÕt:

(3.2-2)

βcos R

Trong ®ã:

A – HÖ sè tû lÖ.

- T−¬ng tù nh− vËy ta cã chuyÓn vÞ cña ®iÓm M1 theo ph−¬ng R lμ:

= AS

(3.2-3)

βcos + dRR - Theo lý thuyÕt ®μn håi ta cã biÕn d¹ng t−¬ng ®èi εR cña ®o¹n dR lμ:

− SS 1

−

cos

(3.2-4)

ε R

A +

A R

A + dRR

cos dR

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2 R

RdR

Bá qua ®¹i l−îng RdR v× nã qu¸ nhá so víi R2, Ta cã:

cos

(3.2-5)

R =

A 2R

- Thay εR vμo 3.2-1 ta ®−îc:

cos

(3.2-6)

BR =

A 2R - §Ó x¸c ®Þnh AB ta dùa vμo ®iÒu kiÖn c©n b»ng tÜnh (∑ = 0Z ):

cos

(3.2-7)

2/ σ R

− ∫

Tr−íc hÕt ta vÏ mét b¸n cÇu cã t©m O vμ b¸n kÝnh b»ng R. øng suÊt σR t¸c dông trªn kh¾p b¸n cÇu vμ biÕn ®æi tõ O t¹i mÆt ph¼ng giíi h¹n ®Õn gi¸ trÞ cùc ®¹i ë trôc

Z. XÐt mét ph©n tè h×nh ®íi cÇu cã chiÒu cao dh (h×nh 3.2-3) trªn mÆt b¸n cÇu víi gi¶ thiÕt øng suÊt σR kh«ng ®æi trªn mÆt ®ai ®ã.

P(kN)

β d

h d

Rσ

σR

ë ®©y:

H×nh 3.2-3

Trang 8

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

dF – DiÖn tÝch mÆt ®íi cÇu

= dF π2

Rdh

(3.2-8)

Víi h lμ chiÒu cao ®íi cÇu.

−

= Rh

cos

cos(

+ ββ )

−

cos

+ Rd

sin

(3.2-9)

v× dβ rÊt nhá.

ββsinRd≈

dF =

2dR ββπ 2

sin

- Thay σR vμ dF vμo 3.2-7 ta ®−îc: 2/

π π − ABP 2

βββ = cos sin d 0

∫

(3.2-10)

πABP

πβ 0

cos 3

VËy ta cã:

= AB 2 P π 3 (3.2-11)

Hay AB = 3 P π2

Thay vμo 3.2-6 ta ®−îc:

R =

σ β cos (3.2-12) P 3 π 2 1 2R

- Ta cã σR lμ øng suÊt ph¸p cña mÆt ph¼ng ®i qua M vμ vu«ng gãc víi OM. §Ó t×m c¸c øng suÊt thμnh phÇn trªn mÆt ph¼ng n»m ngang ta chuyÓn σR vÒ mÆt ph¼ng n»m ngang.

+ Gäi σ’R lμ øng suÊt h−íng t©m t¸c dông trªn mÆt ph¼ng n»m ngang ®i

qua ®iÓm M (h×nh 3.2-4 ).

+ Gäi FR lμ diÖn tÝch mÆt c¾t ph©n tè t¹i M cã ph−¬ng vu«ng gãc víi OM. + Gäi F’R lμ diÖn tÝch mÆt c¾t ph©n tè t¹i M theo ph−¬ng ngang.

Trang 9

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

P(kN)

MÆt ®Êt

σ'

zσ

σR

zxτ

τzy

Rσ' RF'

H×nh 3.2-4

σ '

' F

σ FQ RR

Khi ®ã lùc t¸c dông lªn ph©n tè theo ph−¬ng OM lμ:

(3.2-13)

β ' cos Ta l¹i cã FR/F’R=cosβ. VËy ta cã: R = σσ R (3.2-14)

Thay gi¸ trÞ σR tõ 3.2-12 vμo 3.3-14 vμ cosβ=z/R

σ = ' R

3 2

2 zP 4 π R

(3.2-15)

ChiÕu σ’R xuèng 3 trôc th¼ng gãc nhau ta ®−îc c¸c trÞ sè øng suÊt t¸c dông trªn mÆt ph¼ng n»m ngang t¹i M:

= cos( , ) Z = σσ ' R σ ' R

= (3.2-16) cos( ) , Y = στ ' R σ ' R

3 zP 5 π R 2 yzP 5 π R 2 xzP 5 π R

= X cos( , ) = στ ' R σ ' R 3 2 3 2 3 2

Trong ®ã:

cos(σ’R ,Z); cos(σ’R ,Y), cos(σ’R ,X) – lμ cos cña c¸c gãc hîp bëi ph−¬ng cña σ’R lÇn l−ît víi ph−¬ng Z,Y,X. cos(σ’R ,Z) = z/R; cos(σ’R ,Y) = y/R; cos(σ’R ,X) = x/R

- Lμm t−¬ng tù ®èi víi c¸c mÆt cña ph©n tè ®Êt ta sÏ cã øng suÊt cña c¸c mÆt kh¸c

nh− sau:

Trang 10

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

2 R

2 − − zRz 3 + ( zRR )

μ − = + σ x + + 3 2 − 21 3 zRx 2( ) 2 zRR ( ) ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦

2 R

2 − − zRz 3 + ( zRR )

+ μ − = + (3.2-17) σ y + 3 2 − 21 3 zRy 2( ) 2 zRR ( ) ⎡ ⎢ ⎣ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭ ⎫ ⎤ ⎪ ⎬ ⎥ ⎪⎭ ⎦

μ = − τ + + 3 2 − 21 3 zRxy 2( ) 2 zRR ( ) ⎧ ⎪ zxP ⎨ 5 π ⎪⎩ R ⎧ zyP ⎪ ⎨ 5 π ⎪⎩ R ⎧ xyzP ⎨ 5 π R ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

Tæng øng suÊt:

= + = + 1( μ ) (3.2-18) + σσσθ z P π z 3 R

μ )

−

- C¸c thμnh phÇn chuyÓn vÞ theo c¸c ph−¬ng:

1(2

μ )

+ 1( π 2

2 z 3 R

⎡ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ R ⎦

μ )

−

Ph−¬ng OX:

1(2

μ )

+ 1( π 2

x + zRR )

(

xz 3 R

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(3.2-19)

μ )

−

1(2

μ )

Ph−¬ng OY:

+ 1( π 2

y + zRR )

(

yz 3 R

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Trong ®ã:

μ – HÖ sè në h«ng.

E – M« ®un ®μn håi

Ph−¬ng OZ:

suÊt σz:

kz =σ

P 2 z

(3.2-20)

Víi

3 π 2

+ (1[

2/52 ])

1 r z

Trong ®ã:

r – Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®ang xÐt tíi trôc Oz

k – HÖ sè tra b¶ng phô thuéc vμo r/z ®−îc tra theo b¶ng 3-1 trong SGK.

*) Trong thùc tÕ tÝnh to¸n ta th−êng dïng c«ng thøc tra b¶ng sau ®Ó tÝnh øng

**) NÕu t¹i mÆt ®Êt cã nhiÒu lùc tËp trung cïng t¸c dông P1, P2, P3 nh− h×nh vÏ . Th× øng suÊt nÐn σz t¹i ®iÓm bÊt kú cho c¸c mÆt ph¼ng n»m ngang song song víi mÆt ph¼ng biªn cã thÓ tÝnh b»ng c«ng thøc céng t¸c dông:

Trang 11

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

...

k 2

k 3

kzσ =

P 1 2 z

P 3 2 z

P 2 2 z

Hay

(3.3-19) = σ z Pk i 1 1 ∑ 2 z 1 = i

II. Lùc tËp trung n»m ngang t¸c dông trªn mÆt ®Êt

Khi cã t¶i träng tËp trung Q n»m ngang t¸c dông trªn m¨t ®Êt th× øng suÊt nÐn

th¼ng ®øng t¹i ®iÓm M bÊt kú lμ:

σ = z

3 2

2 xzQ 5 π R

(3.3-20)

Tæng øng suÊt chÝnh:

0 )

= + μ θ 1( (3.3-21) Q π x 3 R

Trong ®ã: R2 = x2 + y2 + z2

Trang 12

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

ph©n bè øng suÊt trong tr−êng

Bμi 3:

hîp bμi to¸n kh«ng gian.

1. T¶i träng ph©n bè ®Òu trªn diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt.

a. XÐt bμi to¸n:

- XÐt t¶i träng ph©n bè ®Òu trªn mÆt ®Êt cã c−êng ®é p (kN/m2) trªn diÖn tÝch

HCN cã kÝch th−íc F = lxb.

- X¸c ®Þnh tr¹ng th¸i øng suÊt t¹i M d−íi nÒn ®Êt do t¶i träng ph©n bè trªn

b p

g©y ra.

b. Gi¶i bμi to¸n:

- Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh− h×nh vÏ, ®iÓm M cã to¹ ®é lμ (x0, y0,z0) - Trong ph¹m vi HCN lÊy vi ph©n dF=dxdy, to¹ ®é (x,y,0)

- Khi ®ã t¶i träng ph©n bè trªn diÖn tÝch dF coi nh− t¶i träng tËp trung:

dP = p dxdy

- ¸p dông kÕt qu¶ bμi to¸n Boussinesq ta cã øng suÊt t¹i M do lùc dP t¸c dông

lμ:

(3.4-1) dxdy d σ = z 3 zp 0 π 2 R

=> øng suÊt t¹i M do lùc ph©n bè trªn c¶ diÖn tÝch HCN lμ:

= z 0 σ z (3.4-2

∫

2/52 ]

−

− b

+ + dxdy − p 3 π 2 [( − xx ) ( zyy ) 0

Trang 13

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

Nh− vËy muèn tÝnh ®−îc σz ta ph¶i biÕt ®−îc to¹ ®é cña ®iÓm M. Thay gi¸ trÞ to¹ ®é ®iÓm M vμo CT 3.4-2 råi khai triÓn tÝch ph©n ta thu ®−îc σz do t¶i träng ph©n bè ®Òu trªn diÖn tÝch HCN.

- Trong thùc tÕ ®Ó tiÖn tÝnh to¸n ta sö dông c¸c c«ng thøc tra b¶ng sau:

=σ pkz 0

+ C¸c ®iÓm n»m d−íi t©m diÖn tÝch chÞu t¶i h×nh ch÷ nhËt M(0,0,z):

(3.4-3)

Trong ®ã:

ko tra b¶ng 3.3 trang 95 gi¸o tr×nh C¬ häc ®Êt, phô thuéc vμo zo/b, l/b

NÕu c¸c gi¸ trÞ zo/b vμ l/b kh«ng n»m trong b¶ng tÝnh ph¶i tiÕn hμnh néi suy.

zg =σ

+ C¸c ®iÓm n»m d−íi gãc diÖn tÝch chÞu t¶i h×nh ch÷ nhËt M(±b/2, ±l/2, z):

pkg (3.4-4)

Trong ®ã:

kg tra b¶ng 3.4 trang 96 gi¸o tr×nh C¬ häc ®Êt, phô thuéc vμo zo/b, l/b

p 1(.

= λθ

) ν

+ Tæng øng suÊt c¸c ®iÓm n»m d−íi gãc diÖn tÝch chÞu t¶i h×nh ch÷ nhËt M(±b/2, ±l/2, z):

(3.4-5)

Trong ®ã:

λ tra b¶ng 3.5 trang 97 gi¸o tr×nh C¬ häc ®Êt, phô thuéc vμo zo/b, l/b

c. Ph−¬ng ph¸p ®iÓm gãc.

Theo ph−¬ng ph¸p tra b¶ng ta t×m ®−îc øng suÊt t¹i c¸c ®iÓm n»m trªn trôc

th¼ng ®øng OZ ®i qua t©m HCN hay ®i qua gãc HCN. §èi víi c¸c ®iÓm kh«ng

thuéc 2 lo¹i trªn ta ph¶i ¸p dông ph−¬ng ph¸p ®iÓm gãc. Ta x¸c ®Þnh c¸c HCN ¶o

sao cho ®iÓm cÇn tÝnh øng suÊt n»m trªn trôc Oz vμ ®i qua t©m hoÆc gãc cña c¸c

HCN nμy sau ®ã ¸p dông c«ng thøc céng t¸c dông ®Ó x¸c ®Þnh øng suÊt.

- Ta tÝnh σz t¹i ®iÓm M t¹i ®é s©u zo trªn ®−êng th¼ng ®øng ®i qua O n»m trong ph¹m vi t¸c dông t¶i träng abcd, Ta chia abcd thμnh 4 h×nh ch÷ nhËt

mçi h×nh chÞu t¶i riªng biÖt vμ coi mçi h×nh ®ã nh− mét diÖn tÝch chÞu t¶i

riªng biÖt.

Trang 14

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

o z

]

[

Ph−¬ng ph¸p ®iÓm gãc

=σ z

(

ogdh

)

(

aeoh

)

(

oebf

)

(

ofcg

)

- Tra hÖ sè kg vμ ¸p dông c«ng thøc 3.4-2 ta ®−îc: k + (3.4-6)

- NÕu ®iÓm O n»m ngoμi ph¹m vi t¸c dông t¶i träng, ta gi¶ ®Þnh c¸c diÖn tÝch

[

]

−

=σ z

(

aeoh

)

(

beog

)

(

dfoh

)

(

cfog

)

chÞu t¶i ¶o nh− h×nh trªn vμ tÝnh σz theo CT 3.4-2:

(3.4-7)

2. T¶i träng ph©n bè tam gi¸c trªn diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt.

a. XÐt bμi to¸n:

- XÐt t¶i träng ph©n bè tam gi¸c trªn mÆt ®Êt cã c−êng ®é lín nhÊt p (kN/m2)

trªn diÖn tÝch HCN cã kÝch th−íc F = lxb.

- X¸c ®Þnh tr¹ng th¸i øng suÊt t¹i M d−íi nÒn ®Êt do t¶i träng ph©n bè tam

gi¸c trªn g©y ra.

Trang 15

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

b. Gi¶i bμi to¸n:

- Chän hÖ trôc Oxyz cã trôc Ox n»m trªn mÆt ®Êt, h−íng theo chiÒu t¨ng t¶i träng ph©n bè, gèc O trïng víi gãc cã p=0 nh− hvÏ. §iÓm M cã to¹ ®é lμ (x0,y0,z0).

- Trong ph¹m vi HCN lÊy vi ph©n dF=dxdy, to¹ ®é (x,y,0)

- Khi ®ã t¶i träng ph©n bè trªn diÖn tÝch dF coi nh− t¶i träng tËp trung:

dP = xdxdy p b

- øng suÊt t¹i M do lùc dP t¸c dông lμ:

σ = z

(3.4-1) xdxdy d p 3 π 2 b z 0 R

b l

=> øng suÊt t¹i M do lùc ph©n bè trªn c¶ diÖn tÝch HCN lμ:

σ z

xdxdy z 0 (3.4-2

∫ ∫

−

− ) xx

2/52 ]

0 0

p 3 π 2 b [( ( ) zyy 0

Nh− vËy muèn tÝnh ®−îc σz ta ph¶i biÕt ®−îc to¹ ®é cña ®iÓm M. Thay gi¸ trÞ to¹ ®é ®iÓm M vμo CT 3.4-2 råi khai triÓn tÝch ph©n ta thu ®−îc σz do t¶i träng ph©n bè tam gi¸c trªn diÖn tÝch HCN.

- Trong thùc tÕ ®Ó tiÖn tÝnh to¸n ta sö dông c¸c c«ng thøc tra b¶ng sau:

pkT

+ C¸c ®iÓm n»m d−íi gãc mãng cã p lín nhÊt: z =σ (3.4-3)

=σ z

pkT '

(3.4-4)

Trong ®ã c¸c hÖ sè kT, k'T phô thuéc l/b vμ zo/b ®−îc tra trong b¶ng 3.6a vμ 3.6b trang 100 vμ 101 gi¸o tr×nh C¬ häc ®Êt:

+ C¸c ®iÓm kh¸c ta ¸p dông ph−¬ng ph¸p ®iÓm gãc.

+ C¸c ®iÓm n»m d−íi gãc mãng cã p = 0:

Trang 16

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

ph©n bè øng suÊt trong tr−êng

Bμi 4:

hîp bμi to¸n ph¼ng

1. T¶i träng ®−êng th¼ng (bμi to¸n Flamant).

- XÐt t¶i träng ®−êng ph©n bè ®Òu cã c−êng ®é p (kN/m) trªn mÆt ®Êt.

- X¸c ®Þnh tr¹ng th¸i øng suÊt t¹i M d−íi nÒn ®Êt do t¶i träng g©y ra.

p(kN/m)

pdy

(0,y,0)

M(xo,0,zo)

a. XÐt bμi to¸n:

- Chon hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh− h×nh vÏ. §iÓm M cã to¹ ®é (x0,0,z0) - LÊy vi ph©n dy trªn trôc Oy, to¹ ®é (0,y,0)

- Khi ®ã t¶i träng ph©n bè trªn dy coi nh− t¶i träng tËp trung: dP = pdy

- ¸p dông bμi to¸n Boussinesq ta cã øng suÊt t¹i M do lùc dP t¸c dông lμ:

(3.5-1)

σ = z

zp 3 0 π 2 R

=> øng suÊt t¹i M do toμn bé t¶i träng ®−êng g©y ra lμ:

+∞

z 0

(3.5-2)

b. Gi¶i bμi to¸n:

∫

p 3 = z π 2

2/52 ]

∞−

x [ 0

dy 2 + zy 0

Nh− vËy muèn tÝnh ®−îc σz ta ph¶i biÕt ®−îc to¹ ®é cña ®iÓm M. Thay gi¸ trÞ to¹ ®é ®iÓm M vμo CT 3.4-2 råi khai triÓn tÝch ph©n ta thu ®−îc σz do t¶i träng ®−êng ph©n bè ®Òu trªn trôc Oy ta cã.

(3.5-3)

σ z

)

π .(

. zp .2 0 2 2 + zx 0 0

- Lμm t−¬ng tù ta cã:

Trang 17

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

;

(3.5-4)

σ x

.2 π .(

)

zxp . 0 0 2 2 + zx ) 0 0

zxp .2 0 0 2 2 π + zx ( 0 0

- VÒ mÆt thùc tÕ bμi to¸n nμy kh«ng gÆp nhiÒu.

- VÒ mÆt lý thuyÕt nã cã ý nghÜa quan träng, kÕt qu¶ cña bμi to¸n nμy ®−îc

dïng lμm c¬ së ®Ó gi¶i c¸c bμi to¸n ph¼ng kh¸c.

c. NhËn xÐt:

2. T¶i träng ph©n bè ®Òu trªn diÖn tÝch h×nh b¨ng.

- XÐt t¶i träng ph©n bè ®Òu cã c−êng ®é p (kN/m) trªn diÖn tÝch h×nh b¨ng

(cã bÒ réng b).

- X¸c ®Þnh tr¹ng th¸i øng suÊt t¹i M d−íi nÒn ®Êt do t¶i träng g©y ra.

β1

β2

o z

x-xo

M(xo,0,zo)

a. XÐt bμi to¸n:

- Chon hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh− h×nh vÏ. §iÓm M cã to¹ ®é (x0,0,z0) - Trªn bÒ réng b cña diÖn tÝch b¨ng t¹i to¹ ®é (x,0,0) lÊy ph©n tè cã chiÒu réng

dx.

- Khi ®ã t¶i träng ph©n bè trªn dx coi nh− t¶i träng ®−êng:

dP = pdx

- ¸p dông bμi to¸n Flamant ta cã øng suÊt t¹i M do lùc dP t¸c dông lμ:

(3.5-5)

σ z

z 0 )

[(

z 0 )

dP 2 π

p 2 π

−

x 0

22 ] 0

x 0

22 ] 0

- §Æt c¸c gãc β, β1, β2 nh− h×nh vÏ.

+ Quy −íc vÒ dÊu ®èi víi c¸c gãc β nh− sau: lÊy dÊu "+" khi ®iÓm xÐt n»m bªn tr¸i ®−êng trôc th¼ng ®øng qua vÞ trÝ cña gãc β. Nh− vËy c¸c gãc β1, β2 lÊy dÊu

b. Gi¶i bμi to¸n:

Trang 18

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

"+" khi ®iÓm xÐt n»m ngoμi ph¹m vi mÐp mãng, lÊy dÊu "-" khi ®iÓm xÐt n»m trong

ph¹m vi mÐp mãng.

d β

+ Tõ h×nh vÏ ta cã: x-x0 = zo*tgβ =>

0 2

cos

(x-x0)2 + z0 2 = R2

+ Thay vμo CT 3.5-6 ta cã:

β 1

σ z

(3.5-7)

z 4

β 2

∫

2 p π

3 . zd 0 cos

d β 2 cos

4 z 0 4 R

p = πβ

β 2

+ Ta cã z0/R = cosβ =>

β 1

cos

d ββ

d )2 ββ

d )2()2 ββ

σ z

(3.5-8)

∫

p 2 π

p π

p 2 π

β 2

)2sin β

σ z

β 2

p 2 π

(sin

2sin

)

−

VËy:

σ z

2 β 1

β 2

(3.5-9)

1 2

p π

⎧ − ββ ⎨ 2 ⎩

⎫ ⎬ ⎭

- Lμm t−¬ng tù víi hai thμnh phÇn σx vμ τxz ta ®−îc:

−

β 2

(3.5-10)

⎧ − ββ ⎨ 2 ⎩

⎫ ⎬ ⎭

(sin 2sin ) σ x 2 β 1 1 2 p π

−

(3.5-11)

- Trong thùc tÕ ®Ó tiÖn sö dông ta dïng c¸c c«ng thøc tra b¶ng sau:

(cos cos τ xz 2 β 2 )2 β 1 p 2 π

(3.5-12)

Trong ®ã: k1, k2, k3 lμ c¸c hÖ sè tra b¶ng 3.9 trang 108 gi¸o tr×nh C¬ häc ®Êt

phô thuéc vμo z0/b vμ x/b.

- Tæng øng suÊt:

(3.5-13)

pk .4=θ

Trong ®ã: k4 phô thuéc zo/b vμ s¬ ®å t¶i träng t¸c dông ®−îc tra b¶ng 3-10

trang 109 gi¸o tr×nh C¬ häc ®Êt.

- Gi¸ trÞ øng suÊt chÝnh, ph−¬ng cña øng suÊt chÝnh vμ tæng øng suÊt

= . pk σ z 1 . pk σ x 2 ττ = zx . pk 3

Trang 19

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi gi¶ng c¬ häc ®Êt ch−¬ng III: ph©n bè øng suÊt trong ®Êt

β1

β2

1σ

2β

3σ

M(xo,0,zo)

+Ta cã gi¸ trÞ øng suÊt chÝnh t¹i ®iÓm M lμ:

)2sin β

(3.5-13)

= β + σ 1

)2sin β

- øng suÊt tæng khi ®ã lμ:

= β − σ 3 p π p π

2 β

(3.5-14)

p 2 π

Ta thÊy r»ng øng suÊt tæng θ phô thuéc vμo c−êng ®é t¶i träng p vμ gãc nh×n 2β.

Víi cïng mét cÊp t¶i träng, xÐt ®iÓm M trªn trôc OZ ta cã:

+ §iÓm M cμng gÇn mÆt ®Êt th× gãc nh×n 2β cμng lín => øng suÊt tæng cμng

lín vμ ®¹t cùc ®¹i t¹i mÆt ®Êt.

+ §iÓm M cμng xa mÆt ®Êt th× øng suÊt tæng cμng gi¶m.

+ = = θθθ 1 3

β1

β2

σ1

3σ

M(xo,0,zo)

c. Tr−êng hîp ®Æc biÖt:

Trang 20

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Nh− vËy øng suÊt ph¸p σx, σz trong tr−êng hîp nμy lμ øng suÊt chÝnh.

(3.5-13a)

2( = β + )2sin β = σσ 1

Vμ thμnh phÇn øng suÊt tiÕp lμ:

2( = β − )2sin β = σσ 3 p π p π

(3.5-15)

(cos cos 0 = 2 β − )2 β = ττ = zx p 2 π

dμi v« cïng. Nªn khi l/b>7 th× mãng HCN ®−îc gäi lμ mãng b¨ng.

- Trong tr−êng hîp nμy tr¹ng th¸i øng suÊt cña c¸c ®iÓm n»m trªn c¸c mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi chiÒu dμi mãng sÏ nh− nhau. Do ®ã ta c¾t 1m chiÒu

dμi mãng ®Ó tÝnh (bμi to¸n ph¼ng).

d. NhËn xÐt:

réng b c−êng ®é lín nhÊt p (kN/m).

- XÐt ®iÓm M (x0,0,z0) d−íi nÒn ®Êt. - X¸c ®Þnh tr¹ng th¸i øng suÊt t¹i M do t¶i träng h×nh tam gi¸c trªn diÖn tÝch

β1

β2

M(xo,0,zo)

a. XÐt bμi to¸n:

b. Gi¶i bμi to¸n:

Trang 21

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

- Chän hÖ trôc Oxyz cã trôc Ox n»m trªn mÆt ®Êt, h−íng theo chiÒu t¨ng t¶i träng ph©n bè, gèc O trïng víi gãc cã p=0 nh− hvÏ. §iÓm M cã to¹ ®é lμ (x0,0,z0).

chiÒu réng dx.

- ¸p dông bμi to¸n Flamant ta cã øng suÊt t¹i M do lùc dP t¸c dông lμ:

(3.5-16)

σ z

zx . 0 2

dP 2 π

p 2 . π

x [(

)

x [(

)

−

22 ] 0

x 0

22 ] 0

σ z

(3.5-17)

x 2

∫

p 2 b . π

[(

)

22 ]

−

- Trong thùc tÕ ®Ó tiÖn sö dông ta dïng c¸c c«ng thøc tra b¶ng sau:

xdx dP = p b

(3.5-18)

. pk σ z 1 t . pk σ x t 2 ττ = zx

. pk 3 t

Trong ®ã: kt1, kt2, kt3 lμ c¸c hÖ sè tra b¶ng 3.11a vμ 3.11b trang 112 gi¸o tr×nh

C¬ häc ®Êt phô thuéc vμo z0/b vμ x/b.

- Víi t¶i träng ph©n bè h×nh thang gÉy khóc (mÆt c¾t nÒn ®−êng ®¾p, mÆt c¾t ®ª…) ta cã thÓ tÝnh ®−îc øng suÊt t¹i 1 ®iÓm n»m d−íi nÒn ®−êng theo nh÷ng ph−¬ng

ph¸p sau:

*) Ph−¬ng ph¸p c«ng øng suÊt:

Trang 22

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

®Òu trªn diÖn tÝch h×nh b¨ng.

bμi to¸n ®· nghiªn cøu tr−íc.

- ¸p dông ph−¬ng ph¸p céng t¸c dông ta sÏ ®−îc øng suÊt t¹i M do toμn bé t¶i

H×nh 5.1-4

- Theo Osterberg víi t¶i träng biÕn ®æi tuyÕn tÝnh ta cã thÓ tÝnh ®−îc øng suÊt

trong ®Êt theo c«ng thøc sau:

=σ

pIz

(3.5-19)

I = f(a/z;b/z) - HÖ sè tra biÓu ®å Osterberg phô thuéc vμo a/z vμ

b/z.

a, b: ChiÒu dμi t−¬ng øng cña t¶i träng tam gi¸c vμ h×nh ch÷ nhËt.

- Trong c«ng thøc trªn I ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch céng ®¹i sè c¸c hÖ sè t−¬ng øng

víi t¶i träng bªn tr¸i It vμ bªn ph¶i Ip cña ®−êng th¼ng ®øng ®i qua ®iÓm ®ang xÐt ).

( pII

=σ z

(3.5-20)

- §Ó râ h¬n vÊn ®Ò nμy ta lμm vÝ dô sau: VD SGK.

*) Ph−¬ng ph¸p tra biÓu ®å Osterberg:

Trang 23

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Bμi 5:

a. Kh¸i niªm:

BiÕt ®−îc tr¹ng th¸i øng suÊt tiÕp xóc cña c¸c ®iÓm t¹i mÆt ph¼ng ®¸y mãng ta sÏ

øng suÊt ®¸y mãng lμ thμnh phÇn øng suÊt ph¸p tuyÕn t¹i mÆt ph¼ng ®¸y mãng

+ D¹ng, ®é lín cña t¶i träng.

+ H×nh d¹ng, kÝch th−íc mãng.

+ §é cøng cña mãng: Theo ®é cøng mãng ng−êi ta chia lμm 3 lo¹i sau:

* Mãng mÒm (hay mãng cã ®é cøng h¹n chÕ): Lμ mãng cã kh¶ n¨ng biÕn

bè hoμn toμn gièng t¶i träng t¸c dông trªn mãng.

* Mãng cøng: Lμ mãng cã biÕn d¹ng v« cïng bÐ so víi biÕn d¹ng cña ®Êt

+ NÒn ®Êt (tªn, tr¹ng th¸i ®Êt).

- §Ó x¸c ®Þnh øng suÊt d−íi ®¸y mãng ta dùa vμo hai ph−¬ng ph¸p tÝnh to¸n sau:

+ Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch (ph−¬ng ph¸p chÝnh x¸c).

+ Ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng (tÝnh theo c¸c c«ng thøc trong SBVL).

2. Ph−¬ng ph¸p chÝnh x¸c.

- NÒn lμ b¸n kh«ng gian v« h¹n ®μn håi, ®ång nhÊt.

- Mãng coi tuyÖt ®èi cøng.

My dP

- §¸y mãng lu«n tiÕp xóc víi nÒn ®Êt. §Êt lμ vËt

liÖu kh«ng chÞu kÐo.

a) C¸c gi¶ thiÕt:

- XÐt mãng cã diÖn tÝch F ®Æt trªn mÆt ®Êt.

b) XÐt bμi to¸n:

c) Gi¶i bμi to¸n:

Trang 24

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

- Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz bÊt kú.

tè dF=dx.dy.

- Theo bμi to¸n Boussinesq chuyÓn vÞ th¼ng ®øng t¹i mét ®iÓm bÊt kú trong

nÒn:

1(2

) ν

(3.6-1)

− R

1( P + 2 E π

z R

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

T¹i ®iÓm M trªn mÆt ®Êt ta cã z=0

2 )

(3.6-2)

ν− RE

§Æt C=E0/(1-ν2) =>

P wM π = RC

(

(3.6-3)

1 π C

(

− xx ) (

− yy )

(

yxp dxdy , )

(3.6-4)

∫∫

1 π C

(

− xx ( )

− yy )

- Theo gi¶ thiÕt mãng tuyÖt ®èi cøng => chuyÓn vÞ ®¸y mãng lμ 1 mÆt ph¼ng

cã d¹ng hμm tæng qu¸t: Ax+By+D

- Do mãng lu«n tiÕp xóc víi ®Êt nÒn nªn:

(

dxdy yxp , )

=Ax+By+D

(3.6-5)

∫∫

1 π C

(

− xx ( )

− yy )

, yxp ) dxdy

(

∫∫

= ( yxxp ) yMdxdy

(3.6-6)

∫∫

= ( yxyp ) xMdxdy

∫∫

Trong ®ã: P, Mx, My lÇn l−ît lμ t¶i träng tËp trung, m« men quanh trôc x, trôc y do

t¶i träng c«ng tr×nh truyÒn xuèng.

A, B, D c¸c hÖ sè cña ph−¬ng tr×nh chuyÓn vÞ.

- Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 3.6-5 vμ 3.6-6 ta t×m ®−îc p(x,y) t¹i bÊt kú ®iÓm nμo trªn mÆt nÒn trong ph¹m vi ®¸y mãng. Tuy nhiªn hiÖn nay ng−êi ta míi rót

P w 1( π

Trang 25

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

ra ®−îc nghiÖn chÝnh x¸c cho tr−êng hîp mãng elip vμ mãng h×nh trßn. §èi

víi mãng h×nh vu«ng, h×nh ch÷ nhËt ta th−êng ¸p dông ph−¬ng ph¸p gÇn

®óng.

- XÐt mãng h×nh ch÷ nhËt cã kÝch th−íc bxl chÞu t¸c dông cña lùc th¼ng ®øng

t¹i ®¸y mãng P. X¶y ra c¸c tr−êng hîp sau:

3. Ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng.

=σ

(3.6-5)

P F

a. Tr−êng hîp 1:

Mx My

max

σmin

x e

B =σ A

(3.6-5)

P F

M W

Trong ®ã: Mx=P.ex – M« men quanh trôc x-x My=P.ey – M« men qunh trôc y-y

b. Tr−êng hîp 2:

Trang 26

Bé m«n §Þa Kü ThuËt

Wy=b2l/6 – M« men qu¸n tÝnh cña ®¸y mãng ®èi víi trôc y-y.

Pey

(ex=0)

thang hoÆc tam gi¸c vμ cã gi¸ trÞ:

σmin

σmax

B =σ A

(3.6-5)

P F

σmax

Trong ®ã: My=P.ey – M« men quanh trôc y-y

A minσ =0

min

σ =0

σmax

b'=3(b/2-ey)

e 6

−

=⇔=

Khi

=σ A

b 6

P F

c. Tr−êng hîp 3:

e y < biÓu ®å øng suÊt ®¸y mãng cã d¹ng h×nh thang (h×nh a)

b 6

e 6

)

−

min

σσ A

(3.6-5)

b e 6

)

max

σ B

P F P F

- Khi

e y = biÓu ®å øng suÊt ®¸y mãng cã d¹ng h×nh tam gi¸c (h×nh b)

b 6

min

σσ A

e 6

(3.6-5)

)

max

σ B

P F

P 2 F

- Khi

e y > biÓu ®å øng suÊt ®¸y mãng cã d¹ng h×nh tam gi¸c (h×nh c)

b 6

min

(3.6-5)

max

σ B

)

bl (3

P 2 2/ −

- Khi

Trang 27