I/. Khái niệm về kết cấu siêu tĩnh:
BỘ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO TRƯỜNG Cð CN& QT SONADEZI ------------------- BÀI GiẢNG: CƠ HỌC KẾT CẤU
ThS. VÕ XUÂN THẠNH
1/. ðịnh nghĩa: hệ siêu tĩnh là hệ mà trong trạng thái không biến dạng nếu ta chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học thì không thể xác ñịnh ñược tất cả các phản lực liên kết và nội lực trong hệ Chương 5
2/. Bậc siêu tĩnh PHƯƠNG PHÁP LỰC VÀ CÁCH TÍNH HỆ PHẲNG SIÊU TĨNH
1
2
Bậc siêu tĩnh chính bằng số liên kết thanh thừa trong hệ ngoài số liên kết cần ñể hệ BBH
B Ví dụ II/. Tính kết cấu siêu tĩnh bằng phương pháp lực D D’ 1/. Công thức tính bậc siêu tĩnh
3
4
Trường hợp nối ñất A C 1T+2K+3H+Co>3D n= 1T+2K+3H+Co-3D Công thức tính bậc siêu tĩnh n theo số chu vi kín V= 2 n=3V-K K = 5 (B) khớp bội = 2 khớp ñơn (C) khớp ñơn = 1 (D) khớp ñơn = 1 (D’) khớp ñơn =1 ---------------- ---------------- cộng = 5 khớp ñơn V: số chu vi kín K : số khớp ñơn có trong hệ n= 3V – K = 3x2 – 5 =1
2/. Nội dung của phương pháp lực a/. Hệ cơ bản: ðiều kiện ñể hệ cơ bản tương ñương với hệ thực là : chuyển vị tại các vị trí của liên kết thừa Xk bị loại bỏ phải bằng không 0=∆k
δ+
=∆+∆+∆+∆+
0
X
X
12
∆ 1
1
n
z
x1
δ 11 δ
δ+
1 P ∆+
0
2 X
δ+ ... X 1 n δ++ ...
X
1 X
2
1 t =∆+∆+∆+ ∆ 2
2
2
n
P
z
t
x2
x3
2 ..........
2 n .......... ..
21 1 .......... δ
22 .......... δ+
=∆+∆+∆+∆+
0
X
δ++ ...
X
∆
2
2
X 11 n
n
n
nn
nP
nP
n
nz
b/. Phương trình chính tắc Hệ cơ bản là hệ BBH ñược suy ra từ hệ siêu tĩnh ñã cho bằng cách loại bỏ ñi tất cả hoặc một số liên kết thừa P P
5
6
“hệ cơ bản “ “hệ siêu tĩnh “
X1 Chú ý : khi chọn hệ cơ bản cho hệ siêu tĩnh chịu các chuyển vị cưỡng bức Z tại các gối tựa ta cần chú ý:
+ ñối với các liên kết thừa không có chuyển vị cưỡng bức có thể loại bỏ và thay thế bằng các lực Xk X1
X1
7
8
+ ñối với liên kết thừa có chuyển vị cưỡng bức ta qui ñịnh: chỉ ñược phép cắt bỏ và thay thế cặp lực Xk ngược chiều nhau và không ñược phép loại bỏ
kP δ,∆
km
b/. Cách tính các số hạng
R
X1 X1
δ
=
+
+
+
R
)
)
+ ñối với thanh hai ñầu khớp (không có ngoại lực tác dụng ), ñược cắt thanh và thay thế cặp lực Xk ngược chiều nhau mà không ñược loại bỏ ðối với những trường hợp có thể áp dụng cách “ nhân biểu ñồ”, ta có :
)
∑
km
)( ( MM k
m
)( ( NN k
m
)( ( QQ k
m
jk
jm c
≠∝
EA
j
j
R
jk
+
+
R
)
)
) ∑ +
=δ kk
)( ( MM k
k
)( ( NN k
k
)( ( QQ k k
jk
c
j
j
9
10
R,Q,N,M k
k
k
jk
Chú ý:
Là lực uốn, dọc, cắt và phản lực tại gối ñàn hồi thứ j do lực xk =1 gây ra trong hệ cơ bản
R,Q,N,M m
m
m
jm
Các ñại lượng 1/EJ; 1/EF; 1/GF tuy không viết trong biểu thức nhưng cần hiểu ngầm là vẫn tồn tại , khi tính phải thêm các ñại lượng ñó vào
jC
Là lực uốn, dọc, cắt và phản lực tại gối ñàn hồi thứ j do lực xm =1 gây ra trong hệ cơ bản Trong biểu thức không viết dấu ∑ nhưng cũng cần hiểu là phải nhân biểu ñồ trong toàn hệ
11
12
Hệ số ñàn hồi thứ j
−
+
t
N
) Ω
( t
( M
)
(
)
∑
∑
2
=∆ kt
t 1 m
m
k
Ωα cm
k
α h
R
jp
+
+
R
* Thay ñổi nhiệt ñộ * Tải trọng
)
)
) ∑+
=∆ kp
)( ( MM k
)( ( NN k
o p
o p
)( ( QQ k
o p
jk
c
j
j
=∆ ∑∆
k
N ∆ ik
i
i
Q,N,M
o p
o p
o p
* Chế tạo chiều dài thanh không chính xác
i N;∆
ik
Là các biểu ñồ nội lực do riêng tải trọng gây ra trên hệ cơ bản
14
13
Ví dụ 1 :
ñộ dôi của thanh thứ i khi thanh ñược chế tạo dài hơn chiều dài thiết kế và lực dọc trong thanh thứ i do Xk=1 gây ra trong hệ cơ bản
q=5KN/m EJ
18
4x4,5=18
B
B
q=5KN/m
C
B
C
C
EJ
B
B
C
6m
X1
3EJ
=ω
lh
=
l
6m
xc
1 3
3EJ
4m
90
90
o
"HCB”
A
72
1 4 pM
pM
4m
1 XM ×
1
o pM
A
A
+×××××
44
4
=××× 464
18
)72
4,5
=δ 11
=
+
=
30
kN
Q
2 3
160 3 EJ
A 11 2 EJ
1 3 EJ
AC
4
- 4,5
C 4
18
)72
B x1=1
=××××
4690
=∆ 1 p
−
=
=
0
Q
CA
− 240 EJ
× 65 2 × 65 2
+
0
Q
N
+
=
−=
5,4
Q
kN
0
CB
−× X 1
1M
−− ( 6 −− ( 6 − 18 4
1 3 240 = EJ
30
A
5,4
KN
− 1 3 EJ 160 3 EJ = X 1
16
15
Ví dụ 2
Ví dụ 2
=ω
lh
1 3
2kN/m
2kN/m
2kN/m
36
2EJ
2EJ
2EJ
2EJ
2EJ
2EJ
=
l
xc
4m
4m
1 4
4m
EJ
EJ
EJ
o
pM
6m
6m
6m
6m
6m
6m
6
x2=1
6
x1=1
X1 X1 X2 X2
1M
2M
δ
1 =∆
p
= δ
=
11
22
864 EJ
180 EJ
−
=
+
×××
×××× 36
5,46
64
36
= δδ 21
12
2
1 3
− 144 EJ
1 EJ
1 2 EJ
1026 EJ
−=∆ p
=
18
17
Hệ cơ bản
2kN/m
Phương trình chính tắc
6x(-2/3)
2EJ
2EJ
X1=1
−
+
=
0
X
X
1
2
4m
EJ
144 EJ
1M
6m
6m
+
−
=
0
X
X
1
2
180 EJ − 144 EJ
180 EJ
864 EJ 1026 EJ
4
36
5
6x31/6
−
+
=
4
24
0
5
X
X
1
2M
X2=1
pM
o pM
−
−
=
+
8
2 10
57
0
1 X
X
2
41/6
2/3
=
=
X
; XkN
kN
1
2
31 6
1 − 2 3
31/6
+
pQ
19
20
pN
Ví dụ 3:
3m
3m
X3
X1=1
X3
6
X1
X1
4EJ
EJ
EJ
6m
X2
6m
X2
12m
X3=1
X2=1
1
6m M1 Hệ cơ bản
1
6
21
22
P=20kN P
3m
3m
60
60
4EJ
EJ
EJ
6m
o
M2 M3
pM
12m
4/. Phép ñơn giản hoá khi tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lực
22,5
+
-
+
-
a/. Hệ cơ bản ñối xứng 20
37,5
11,28
Q
Mp Mp
23
24
5,36
X2
X1
X2
X1
•Với hệ ñối xứng, chịu tải trọng ñối xứng . Ta chọn hệ cơ bản ñối xứng và sẽ có cập ẩn lực phản ñối xứng bằng không. Các biểu ñồ M và N ñối xứng, Q phản ñối xứng •Với hệ ñối xứng, chịu tải trọng phản ñối xứng , ta vẫn chọn hệ cơ bản ñối xứng, lúc nầy cặp ẩn lực ñối xứng bằng không . Các biểu ñồ M và N phản ñối xứng, Q ñối xứng P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2
X’2
X’2
X’1
X’2
X’1
X’1
X’2
X’1
25
26
P/2 P/2P/2P/2 a a a a a P/2 P/2 Ta có : X’2=0 Ta có : X’1=0
2kN/m
2EJ
2EJ
4m
EJ
6m
6m
Ví dụ: •ðối với tải trọng bất kỳ trên hệ ñối xứng ta có thể phân ra tải trọng ñối xứng và phản ñối xứng P P/2 P/2 x1 x2 “HCB” a a a
X’2
X’1 X’2
X’1
P/2
27
28
a a “HCB” chọn P/2
36 36
0
0
X’1=1
X’1=1
PM
PM
' 1M
' 1M
=
0
Lúc nào ta cũng có : ' =δδ 21
' 12
X’1=1 X’1=1 6 6
X’2=1
X’2=1
6 6 X’2=1 X’2=1
×
-=5,4×6×36×
×
=4×6×6×
' 2M
' 2M
2=δ' 11
-=∆' P1
162 EJ
1 EJ2
1 3
1 EJ2
1 2
72 EJ
'∆
+=
××
+
×
=
36
36
×× 4
12
546 ,
P2
×
+4×6×6×
=12×4×12×
2=δ' 22
30
29
1 EJ
1 EJ2
1 ×× 3
1890 EJ
648 EJ
1 EJ2
1 2
1 EJ
Tính 12 12
0=
' -X 1
162 EJ
0=
' +X 2
72 EJ 648 EJ
1890 EJ
b/. Vận dụng tính ñối xứng của hệ Phương trình chính tắc
kN25,2=X
-2,92kN
' 1 ' =X 2
Trong phương pháp lực , với các hệ có các yếu tố ñối xứng , ta có thể lợi dụng tính ñối xứng ñể ñơn giản trong tính toán Giải hệ Người ta nhận thấy là :
=
+
=
67,0
X
X
X
kN
1
=
=
5,17kN
X
2
' 1 ' - XX 1
' 2 ' 2
31
32
Vậy ta có :
•Trong các hệ ñối xứng, chịu tải trọng phản xứng: •Trong các hệ ñối xứng, chịu tải trọng tác dụng ñối xứng :
33
34
Biểu ñồ mômen và lực dọc phản xứng, biểu ñồ lực cắt ñối xứng Biểu ñồ mô men uốn M và lực dọc sẽ ñối xứng, biểu ñồ lực cắt Q sẽ phản ñối xứng
b.1/.hệ ñối xứng, có 1 thanh trùng với trục ñối xứng của hệ. Tải trọng tác dụng ñối xứng
C B A
Dựa vào nhận xét trên, ta có thể thay thế việc tính trên hệ ñối xứng bằng cách tính trên nửa hệ Nút C không có chuyển vị xoay, chuyển vị ngang và ñứng
Chọn nửa hệ ñể tính theo sơ ñồ : Ta xét cụ thể các dạng sơ ñồ ñối xứng và các trường hợp tải trọng tác dụng
35
36
C
b.2/. Hệ ñối xứng tải trọng ñối xứng, hệ không có thanh nằm trên trục ñối xứng b.3/. Hệ ñối xứng, tải trọng ñối xứng, có khớp nằm trên trục ñối xứng
C B C B A A Tại C không có chuyển vị xoay, chuyển vị ngang, có chuyển vị ñứng l/2 l/2 l/2 l/2 C không chuyển vị ngang, có chuyển vị thẳng theo trục ñối xứng, và các tiết diện hai bên khớp C có chuyển vị xoay tương ñối với nhau Chọn nửa hệ ñể tính theo sơ ñồ :
38
37
C C
40
39
b.4/. Hệ ñối xứng chịu tải phản xứng b.5/. Hệ ñối xứng, có trục thanh giữa trùng với trục ñối xứng, chịu tải trọng phản xứng C B C B C A A A Tại tiết diện ñối xứng có M=N=0 còn Q khác không 2J 2J 2J l/2 l/2 J J J J/2 J C l/2 l/2 l/2
c/. Hệ cơ bản 5/.Tính dầm liên tục bằng phương pháp ba mô men
a/. ðịnh nghĩa: Hoặc loại bỏ các gối tự thừa và thay tác dụng của chúng bằng các ẩn lực thừa X1, X2, X3
Dầm liên tục là một thanh thẳng, ñặt trên nhiều gối tựa , trong ñó số gối tựa lớn hơn 2
42
41
b/. Bậc siêu tĩnh X1 Hệ luôn luôn có: D=1 ; T=0 ; K=0 ; H=0 X2 __ M1 Vậy : n = Co-3
M4
d/. Phương trình ba mô men của dầm liên tục
M1 1
M2 2
M3 3
EJ3 3l
EJ1 1l
EJ2 2l
EJ4 4l
EJ5 5l
5 0 Hoặc ñặt khớp vào các tiết diện ở trên gối tựa trung gian và thêm vào các cặp ẩn lực X1, X2, ..Xn. Các cặp ẩn lực ñó chính là các mô men nội lực tại tiết diện gối tựa trung gian 4
,...
X2 X1 “HCB”
-ðánh số thứ tự các gối 0,1,2,3,…từ trái sang phải . Tên nhịp gọi theo tên gối bên trái nhịp , cụ thể tương l,l,l ứng ñộ cứng EJ1, EJ2, …, EJn 321 __ M1
δ
0
km =
43
44
5
1
2
M1=1
4
3
0
Trên hệ cơ bản , ký hiệu các ẩn lực thừa M1,M2,M3 Với hệ cơ bản nầy là hợp lý nhất vì khi nhân biểu ñồ sẽ thu ñược nhiều hệ số phụ
EJ3
EJ4
EJ5
EJ1
EJ2
EJ3
EJ4
EJ5
EJ1
b2
a3
b3
2 5 1 3 4 0
a2 l2
P 0M
M1=1
2
5
l5 l1 1 l2 l3 l4 l5 l1 1 l3 l4
3
4
EJ3
EJ4
EJ5
0
EJ1
M2=1 2
1
EJ2
5 1 3 4 0
1M
M2=1
3
4
5
1
1
0
2
l 2
δ
=
(
)
21
2M
1 EJ
× 2
1 =× 3
l 2 EJ6
2
2
M3=1
5
1
2
4
3
0
3M
45
46
l5 l1 l2 l3 l4 1
M2=1 2
M2=1
3 5 4 1 0 5 1 3 0 2 4
M3=1 3
2 5 1 4 0
22
2
3
3
2
1
l 3
δ
=
(
)
23
1 EJ
× 2
1 =× 3
l 3 EJ6
3
3
47
48
1 1 l 3 l 2 δ = + ( ) ( ) 1 EJ × 2 2 +× 3 1 EJ × 2 2 =× 3 l 2 EJ3 l 3 EJ3
ω
ω
EJ2
EJ3
EJ4
EJ5
+
(
+
M
)
EJ1
3
2
1
a 22 EJ
b 33 EJ
l 3 EJ3
l 2 EJ3
l 2
2
l 3
3
l 3 M EJ6 3
2
3
b2
a3
b3
a2 l2
ω (
+ 1i )
+
+
+
+
+
=
M
0
(
)
M i
i 1)-(
M (
+ 1i )
l i EJ6 i
l i EJ3 i
ω a i i EJl i i
l + 1i ( ) EJ3 (
+ 1i )
l + 1i ( ) EJ6 (
+ 1i )
b + 1i ) ( EJ (
+ 1i )
l (
+ 1i )
1 2 5 3 4 0 =0 + + + Tại gối 2 l 2 M EJ6 2 l5 l1 1 l3 l4 Tại gối i
M2=1 2
3 5 1 4 0 : chiều dài các nhịp ở hai bên gối i
o
i l l +, 1i ωω ,
i
+ 1i
a2
b2
b3
ω
ia
i
ω
ω
2
1 a3 : diện tích biểu ñồ Mp ở trên nhịp thứ i và i+1
∆
ω
ω
=
+
=
+
p2
2
3
b 33 EJ
1 EJ
1 EJ
a 22 EJ
2
a l 2
3
b 3 l 3
l 2
2
l 3
3
ω
:Khoảng cách từ trọng tâm diện tích ñến gối trái nhịp thứ i,
1ib +
1i+
50
49
: K/c từ trọng tâm ñến gối phải nhịp i+1
* Trường hợp dầm liên tục có ñầu thừa Nếu dầm có n bậc siêu tĩnh ( hay n gối trung gian ) ta viết viết ñược n phương trình ba mô men P q 1 2 o
Chú ý: b a
* Với dầm có ñộ cứng EJi = const , khi ñó phương trình ba mô men tại gối i có dạng Qui về dầm liên tục ñơn giản
+ 1i
ω (
b (
)
)
a i
+
+
+
+
=
0
)
6 (
)
Ml i
l2 ( i
+ 1i
i )1-(
+ MlMl i (i (
+ 1i )
+ 1)
(
)
2
ω i l i
+ 1i
+ 1i l (
)
-Pa
=2M
M
-=
o
qa 2
52
51
Qo=qa P 1 2 o
o
* Trường hợp dầm liên tục có ñầu ngàm cứng e/.Vễ biểu ñồ Mp, Qp
3 1 2 Mp = Mp +Mg o
Mg : biểu ñồ mô men gối do các gối Mi gây ra trên hệ cơ bản
Có biểu ñồ Mp ta suy ra biểu ñồ Qp Qui về dầm liên tục ñơn giản
‡=EJ o
-1 3 1 2
54
53
lo
,ωω
,
i
ba , i
+ 1i
+ 11
+ Bước 3: tính f/. Trình tự tính toán:
Sau khi xác ñịnh bậc siêu tĩnh ( hay gối trung gian ) và chọn hệ cơ bản ta tiến hành các bước:
n
ω
o
×
i
=× a i
ij
a ij
Nếu trường hợp biểu ñồ khó xác ñịnh diện tích và trọng tâm , ta chia nhỏ biểu ñồ trong mỗi nhịp thành những hình ñơn giản và áp dụng công thức sau: + Bước 1: viết phương trình ba mômen cho các gối trung gian thứ i
‡” ω
= 1j
o
n
ω
×
=
×
b + 1i
+ 1i
b (
+ j1i )
+ j1i )
+ Bước 2: Vẽ biểu ñồ Mp do tải trọng gây ra trên hệ cơ bản . ðể vẽ Mp xem mỗi nhịp như một dầm ñơn gian
‡” ω (
= 1j
56
55
o
+ Bước 6: Vẽ biểu ñồ Mp = Mp+ Mg + Bước 4: giải hệ phương trình ba mô men ñể xác ñịnh M1, M2, M3,…,Mn. ðó là các mô men gối + Bước 7: Vẽ biểu ñồ Qp
57
58
+ Bước 5: Vẽ biểu ñồ mô men gối Mg. Trên trục hoành song song trục dầm, tại vị trí các gối thứ i ñặt các tung ñộ Mi ( ñã tính ở bước 4), nối các tung ñộ Mi ta ñược biểu ñồ Mg
b2=4
(2+4/3)
o MP
P=18kN Ví du 1 M1 q=2kN/m P=18kN “HCB” q=2kN/m 2m 0 2 1 2 0 1 EJ EJ 8m 2m 4m 8m 6m
24
16 ω
ω
(2x2)/3
+
+
+
=
0
)
)
l2 ( 1
6Ml ( 2 1
a 11 l 1
b 22 l 2
2
4
3
ω
=
+
+
=
2
192
kNm
(
)
(
)(
)
a 11
× 24 2
× 22 3
4 3
4
3
P=18kN M1 q=2kN/m 2m 2 0 6m 8m
ω
16
=×× 48
kNm
b 22
59
60
2 ×= 3
× 24 2 × 256 3
“HCB”
b2=4
4
+
+
+
×
=
0
6M862 ( ) (
)
1
o MP
192 6
× 256 3
1 8
24
16
P=18kN q=2kN/m 2m 0 2 “HCB” 1 6m 8m
16
8
16/3 16/3
16
18,67
8
10
9,33
Suy ra: M1 = -16kNm Mg
8,67
61
62
6
P=16kN
M1
M2
Q
q=3kN/m
P=16kN
q=3kN/m
M3=-6
2EJ
2EJ
3m
3m
EJ 4m
6m
2EJ
2EJ
3m
3m
2m
EJ 4m
6m
o Mp
24
13,5
6
7 7
P=16kN
Ví du 2 0 1 0 2 3 1 2 3
2,5
M1
q=3kN/m
2,5
6
M3=-6
7
2EJ
2EJ
3m
3m
EJ 4m
6m
9,25
20,5
8,42
6,82
6
1,75
Mg 2 0 Mp 1 3
9,17
9,58
63
64
M=6kN.m
q=2kN/m
Mo
m=6kN.m
M1 M2
Qp
P
0
1
P=8kN
P=8kN P=8kN
q=2kN/m
2
3
-1
2EJ
0
2
3
2EJ
1
EJEJ EJ 4m
EJ 4m
6m
3EJ 4m 2m
2m
6m
2m
3EJ 4m 2m
6
o Mp
9
q=2kN/m
16
Mo
M1
M2
0
1
3,9
9,5
2
3
1,01
-1
Ví dụ 3
2EJ
3,9
EJ 4m
13,8
9,5
4,75
1,01
15,03
6m
3EJ 4m 2m
2m
Mg
8,49
0,49
7,75
Mp
65
66
7,51
4,25
1,23
Qp
