YOMEDIA
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 8
Chia sẻ: Lê Nam
| Ngày:
| Loại File: PPT
| Số trang:20
98
lượt xem
7
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Đã đến lúc ta có thể áp dụng những kiến thức được trình bày trong bảy bài đầu để giải những bài toán cụ thể trong một số mô hình đơn giản. Ta bắt đầu từ trường hợp mà trong đó việc khảo sát chuyển động có thể quy về bài toán một chiều.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 8
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
C¬ häc lîng tö
Ng uyÔn V¨n
Khiªm
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ch¬ng 2: ChuyÓn ®é ng mé t c hiÒu
Bµi 8
ChuyÓn ®é ng mé t c hiÒu
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
§· ® lóc ta cã thÓ ¸p dông nh÷ kiÕn thøc ® tr× bµy
Õn ng îc nh
trong b¶y bµi ® ® gi¶i nh÷ bµi to¸n cô thÓ trong mét sè
Çu Ó ng
m« h× ® n gi¶n.
nh ¬
Ta b¾t ® tõ trêng hîp mµ trong ® viÖc kh¶o s¸t chuyÓn
Çu ã
®éng cã thÓ quy vÒ bµi to¸n mét chiÒu.
. Trê ng thÕ t¸c h b iÕn v µ b µi to ¸n c huy Ón ®é ng m é t c hiÒu
XÐt mét h¹t chuyÓn ®éng trong trêng thÕ víi hµm thÕ n¨ng cã d¹ng:
U ( r ) = U1 ( x) + U 2 ( y) + U 3 ( z )
Ph¬ tr× Schrodinger trong trêng hîp nµy sÏ lµ:
ng nh
i
∂ψ
∂t
ˆ( ˆ ˆ
= H1 + H 2 + H 3 ψ ) (8.1)
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ˆ2
px
trong ®ã
ˆ
H1 = + U1 ( x)
2m
ˆ2
py
ˆ
H2 = + U 2 ( y)
2m
ˆ = ˆ + U ( z)
H3
p z2
3
2m
i
∂ψ
∂t
(
ˆ ˆ ˆ )
= H1 + H 2 + H 3 ψ (8.1)
Tríc hÕt ta t× nghiÖm cña (8.1) díi d¹ng:
m
i
− Et
ψ = ψ ( r , t ) = ϕ1 ( x )ϕ 2 ( y )ϕ3 ( z ) e
(8.2)
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Víi hµm ψ nh vËy, ta cã:
∂ψ
i
− Et
i = Eψ = Eϕ1 ( x )ϕ 2 ( y )ϕ3 ( z ) e (8.3)
∂t
Vi chØ t¸c dông lªn ϕ 1 ( x trong biÓu thøc cña trong biÓu thøc
ˆ
px )
cñaψ nªn
i i
ˆ2 ˆ2( )
p xψ = p x ϕ1 ϕ 2ϕ3e
− Et
+ U1ϕ1ϕ 2ϕ3e
− Et
p x
ˆ2 i
− Et ˆ
H1ϕ1
2m + U1 ϕ1 ϕ 2ϕ3e = ψ (8.4)
ϕ1
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ThÕ (8.3) vµ (8.4) cïng hai hÖ thøc t¬ tù cho ϕ1 vµ ϕ2 vµo (8.1),
ng
ta ®îc
ˆ ˆ ˆ
H1ϕ1 H 2ϕ2 H 3ϕ3
E= + + (8.5)
ϕ1 ϕ2 ϕ3
â rµng mçi sè h¹ng ë vÕ ph¶i cña (8.5) cïng l¾m chØ phô thuéc mét
iÕn sè t¬ øng nªn thùc ra chóng ph¶i lµ h»ng sè, tøc lµ ta cã:
ng
ˆ
H iϕ i
= Ei
ϕi
hay
ˆ
Eiϕi = H iϕi (8.6)
§¬ nhiªn E 1+E 2+E 3=
ng E.
- Ho ng Duc Unive rs ity
i
ˆ − Et
Eiϕi = H iLei Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh=hoa,xViet (nam 3 ( z ) e
307 ϕ (8.6) ψ = ψ ( r , t ) ϕ1 ( )ϕ 2 y )ϕ (8.2)
Nh vËy, viÖc t× nghiÖm d¹ng (8.2) cña ph¬ trinh Schrodinger
m ng
trong trêng hîp nµy quy vÒ viÖc gi¶i c¸c ph¬ tr× (8.6).
ng nh
V×mçi ph¬ tr× (8.6) chØ chøa mét biÕn sè to¹ ® nªn cã thÓ
ng nh é
gäi lµ ph¬ tr× chuyÓn ®
ng nh éng mét chiÒu
uy nhiªn, ph¬ tr× chuyÓn ®
ng nh éng kh«ng m« t¶ chuyÓn ®éng cña
mét h¹t trªn mét ®êng th¼ng.
Do sù v« nghÜa cña quü ® nªn kh«ng thÓ cã chuyÓn ®
¹o éng trªn
mét ®êng th¼ng hoÆc cong.
hØ trong nh÷ trêng thÕ rÊt ®
ng Æc biÖt míi cã chuyÓn ®éng gÇn víi
uyÓn ® éng trªn mét ®êng.
ßn ë ® y, côm tõ “chuyÓn ®
© éng mét chiÒu” chØ cã nghÜa íc lÖ:
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
nã chØ nãi lªn r»ng khi gi¶i ph¬ tr×
ng nh
ˆ
H 1ϕ 1 = E 1 ϕ 1
ch¼ng h¹n, th×ta cha quan t© tíi sù phô thuéc cña hµm tr¹ng th¸i
m
vµo c¸c biÕn sè to¹ ® kh¸c
é
B© giê ta quy íc r»ng, khi chän mét to¹ ® ® xÐt, ta t¹m thêi bá qu
y é Ó
chØ sè bªn c¹nh hµm sãng vµ c¸c to¸n tö. Nh vËy, thay cho ϕ 1(x)
ch¼ng h¹n, ta sÏ chØ viÕt ϕ (x) vµ ph¬ tr× (8.6) sÏ trë thµnh:
ng nh
ˆ
H ϕ = Eϕ (8.7)
vµ îc ¬ ˆ
p x sÏ ® ký hiÖu ® n gian lµ p
ˆ , v.v...
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Tê ng thÕ
Ðt chuyÓn ® éng mét chiÒu cña mét h¹t víi ®éng n¨ng ban ® lµ
Çu
≥ 0 ® “th¶” vµo mét vïng mµ hµm thÕ n¨ng phô thuéc vµo
îc
o¹ ® nh sau:
é
0, víi x ≤ 0
U ( x) = U
U 0 , víi x > 0
U0
Trêng thÕ n¨ng nh vËy
® gäi lµ têng thÕ. §å
îc
thÞ hµm U(x) cho bëi
0 x
h× 1.
nh
H×nh 1: BiÓu diÔn Tê ng
thÕ
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong vïng x ≤ 0, ph¬ tr× (8.7) sÏ cã d¹ng cô thÓ nh sau:
ng nh
2 d 2ϕ
− 2
= Eϕ
2m dx
hay d 2ϕ 2mE
=− 2 ϕ (8.8)
dx 2
§© lµ ph¬ tr× vi ph© quen thuéc.
y ng nh n
.
NghiÖm tæng qu¸t cña nã cã d¹ng:
ϕ L = Ae ikx + Be − ikx
trong ®ã
1
k= 2mE
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
y èi ±
D© lµ sù “chång chÊt” hai tr¹ng th¸i cã xung lîng ® nhau k
øng víi hai chuyÓn ®éng ngîc chiÒu nhau.
Nh vËy, nÕu ® xung lîng cña h¹t thi sÏ thu ® mét trong hai gi¸
o îc
2 2
A vµ B
trÞ kha dÜ nãi trªn víi x¸c suÊt t¬ øng tû lÖ víi
ng
uy nhiªn, cÇn hÕt søc c¶nh gi¸c ® tr¸nh hiÓu nhÇm lµ cã hai h¹t hay
Ó
ai luång h¹t chuyÓn ® éng ngîc chiÒu nhau!
ë ® y, ta chØ cã ®
© óng mét h¹t, vµ h¹t ® lµ kh«ng ph© chia ®
ã n
c.
ViÖc tæ hîp nhiÒu tr¹ng th¸i kh«ng bao giê ® nhÇm lÉn víi viÖc
îc
gép nhiÒu h¹t l¹i víi nhau.
Trong vïng bªn ph¶i (x >0), ph¬ tr× (8.7) trë thµnh:
ng nh
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2 d 2ϕ
− + U 0ϕ = Eϕ
2m dx
hay
d 2ϕ 2 m( U 0 − E )
=− 2
ϕ (8.9)
dx
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ tr× nµy lµ:
ng nh
ϕ R = C .e iqx + D.e −1qx
trong ®ã 2m( E − U 0 )
q=
§Ó “khíp” c¸c nghiÖm ë hai vïng l¹i víi nhau, ta dïng yªu cÇu vÒ tÝnh
liªn tôc cña hµm tr¹ng th¸i cïng víi ® hµm cña nã
¹o
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta sÏ lµm viÖc nµy cho trêng hîp ® quan t© h¬
¸ng m n;
® lµ trêng hîp E
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Víi E
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
TiÕp theo, v×: ϕ ' L = ik ( A.e ikx − B.e − ikx )
vµ ϕ ' R = −αC .e −αx
nªn ®iÒu kiÖn ® ® hµm cña hµm tr¹ng th¸i còng liªn tôc t¹i 0 lµ:
Ó ¹o
ik(A +B) =-αC
iαC
hay: A−B =
k
KÕt hîp (8.10) vµ (8.11) víi ®iÒu kiÖn chuÈn hãa, ta cã
1 ikx k − iα −ikx
ϕL = e + e
2π k + iα
2 k
ϕR = e −αx
2π k + iα
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ó ý. Xin nh¾c l¹i: viÖc tim ® hµm tr¹ng th¸i,
îc
dô, trong biÓu diÔn to¹ ® cho phÐp ta tiªn ® ® mËt ® x¸c s
é, 2
o¸n îc é
ã mÆt t¹i mçi ®iÓm trong kh«ng gian (b»ng ϕ )
λ ϕ
Muèn biÕt x¸c suÊt ® ® lîng L nhËn gi¸ trÞ, ta cÇn khai triÓn
Ó ¹i
heo c¸c hµm riªng cña L. X¸c suÊt (hay mËt ® x¸c suÊt) cÇn tim sÏ lµ
é
2
ϕ
c(λ ) , víi c(λ lµ hÖ sè cña hµm riªng λ (x)
)
hÖ sè c(λ )
còng chÝnh lµ gi¸ trÞ cña hµm tr¹ng th¸i trong biÓu diÔn - L .
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
- Ho ng Duc Unive rs ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
Đang xử lý...
Thêm vào BST
Báo xấu
