Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lý lượng tử

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong khóa luận này, tác giả đề cập đến các kiến thức liên quan như: Không gian Hilbert; toán tử, toán tử Hilbert; hàm riêng và trị riêng của toán tử; lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm; một số bài tập liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lý lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2018
LỜI CẢM ƠN Tƣ ậ ố ệ ỏ ò ế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo ƣờ đã ú đỡ đị ƣ ng ê ứu, cung cấp nhữ ệ q ý á ậ ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện tốt nhất o o q á o oá ận tốt nghiệp. ờ ả ơ ả ê Vậ ý ý ế ƣờ ạ ọ sƣ ạ H N đã ợ ú đỡ o ờ ọ ậ ƣ ệ ậ Cuố ù xin cả ơ s đ ê ú đỡ c đ ạ è L s ê ầ đầ ê ê ứu khoa họ ê oá ận chắc chắn á ỏi s thiế s ậy rất mong nhậ đƣợc nhữ đ ý ến c a thầ ạ è để oá ậ đƣợ o ệ ơ T â ảm ơ ! Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường
LỜI CAM ĐOAN Cù v is ƣ ng dẫn c a TS. Nguyễn Huy Thảo, ậ ố ệ ê Vậ ý ý ế đề M t số ơ sở oá ọ ƣờ ù o vậ ý ƣợng tử” đƣợ á â c hiện T o q á ê ứ o ả ận ảo m t số ệu c a m t số á ả đã trong phầ ệu tham khảo. T đo ững kết quả ê ứ o oá ậ o o trung th ƣ ừ đƣợ ố trong bấ o ọ o á . Hà Nội, ngày.... tháng... năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường
MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU .......................................................................................... 1 1. Lý o ọ đề ..................................................................................... 1 2. Mụ đ ê ứu ............................................................................... 2 3. ối ƣợ ạ ê ứu ........................................................... 2 4. Nhiệm vụ ê ứu............................................................................... 2 5. P ƣơ á ê ứu ......................................................................... 2 6. Cấ ú ận ................................................................................... 2 PHẦN 2: NỘI DUNG ...................................................................................... 3 CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƢỢNG TỬ ............................................................................................... 3 11 K H e .................................................................................. 3 111K ế ........................................................................ 3 11 K H e ............................................................................ 5 1.1.3. S o ....................................................................................... 6 1.1.4. Hệ tr c chuẩn .................................................................................... 7 1 Toá ử oá ửt ê ợp tuyế á é oá ê oá ử........ 8 1 1 Toá ử .............................................................................................. 8 1 Toá ử ê ợ ế oá ử Hermite) ............................ 10 1 Cá é oá ê oá ử ............................................................... 10 1 H ê ị ê oá ử ......................................................... 12 1 Lý ế ề ể ễ ................................................. 14 1 1 Lý ết về .......................................................................... 14 1 Lý ế ể ễ ................................................................ 17 CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ....................................... 21 1 B oá ề H e ............................................................. 21 B oá ề ê ị ê oá ử ...................................... 23 B oá ề ểu diễ .................................................... 28
PHẦN 3: KẾT LUẬN .................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 39
PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vậ ý ọ o ữ o ọ ê ứ á q ậ ậ đ ê ừ o đế To s ố q á á ể ậ ý ầ đị ứ ệ ụ Vậ ý đ ể đã đe ạ ề ê ứ đạ ƣ: đị luậ q á định luậ ạ ậ ấp dẫ ƣ ừ ạ ê ứ ế ể ải đƣợc nhiều hiệ ƣợng trong t ê từ cấ đ đế o vậy, s đời c a vậ ý ệ đại nhằm giả t số hiệ ƣợ ật ý c để ƣ đƣợ ng thời vậ ý ệ đạ đã ại m á sâ sắc c o ƣời về t ê ú đẩy s tiến b c o ƣờ N s á ể ậ ý ệ đạ o ƣờ đã đ sâ o ê ứ á áđ để ấ ế Vậ ý ệ đạ - ò đƣợ ọ ậ ý ƣợ ử đƣợ e o ọ ơ ả ở á đị ậ ậ ý ố ầ ế á o ọ ê ác. Vậ ý ọc giao nhau v i nhiề ê ứ ê á ƣ: vậ ý s ọc, ọ ƣợng tử i hạn c a vậ ý Cá á ện m i trong vậ ý ƣờng giải ữ ơ ế ơ ản c á o ọ á đ ng thời mở ra nhữ ƣ ê ứu m i t o á ƣ oá ọc ho c triết học. Vậ ý oá ọ ố ê ệ ậ ế á ơ sở oá ọ ƣ: H e oá ử He e ê ị ê oá ử ữ ế ứ ề ả ơ ọ ƣợng tử ê ậ ý ƣợ ử V o ố mở ể ế ơ ề á ế ứ ê ọ đề M t s c sở to n học thường d ng trong vật lý lư ng t đề ậ ố ệ 1
2. Mục đích nghiên cứu N ê ứu số ơ sở oá ọ sử ụ số ơ sở oá ọ o ọ ậ ê ứ 3. Đ i tư ng và phạm vi nghiên cứu K H e . Toá ử oá ử Hermite. H ê ị ê oá ử. Lý ế ểu diễ M t số ậ ê q 4. Nhiệm vụ nghiên cứu N ê ứ số ơ sở oá ọ ƣờ ù o ậ ý ƣợ ử 5. Phư ng ph p nghiên cứu Sử ụ ƣơ á đọ ệ Sử ụ oá ọ o ậ ý Sử ụ ƣơ á ả oá ọ 6. Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung Phần 3: Kết luận 2
PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1. Không gian Hilbert K H e t dạng t q á a E e ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn chiều. N mở r ng c á ƣơ á đại số e ơ á oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều cho đến hữu hạn ho ạn chiều. M H e e ơ ƣ ng, hay đƣợc hiể o đ oả á đo đƣợc. K H e xuất hiện m á t ê ƣờ ê o oá ọ ậ ý ƣờ á ạn chiều Cá gian Hilbert s m nhấ đƣợ ê ứu trong thập kỷ đầ ê a thế kỷ 20 bởi David Hilbert, Erhard Schmidt F es R esz C ú ữ ụ ể thiế o á ý ết về á ƣơ â ừng phầ ơ họ ƣợng tử é ế đ i Fourier ý ết ergodic ơ sở oá ọc c a nhiệ đ ng l c học. Cá H e o é á tr á ọc ể đƣợ á dụ o t số ạn chiều. C ú ấp m t khung để hệ thố q á á ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ c á số tr c giao é biế đ i Fourier ữ á ệm â a giả K H e đ m t òq ọng trong việ ứ oá ọc ơ ọ ƣợng tử. 1.1.1. Không gian tuyến tính M ế ậ o đ á đị é c a ầ ử é â ầ ử số é é â á ấ ƣờng c é e ơ ọc 3
é â e ơ ọc v i m t số. C á ơ m ậ X đƣợc gọi m t ế ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X á đị é é á ầ ử X ệ x+y é â c á phần ử X số a ( a  T , T ể ập số th c ho c phức, ệ ax ỏ ã á ê đề s : 1. T ấ o oá : v ầ ử ất kỳ x, y  X ta x  y  y  x. 2. T ất kết hợp: v i mọi x, y, z  X ( x  y)  z  x  ( y  z ). 3. T ạ ầ ử 0  X sao cho x  0  0  x  x ọ x e ơ 4. T ạ phần tử đơ ị 1.x  x.1  x v i mọi x  X . 5. a(bx)   ab  x a, b T x X. 6. a  x  y   ax  ay a T x, y  X . 7.  a  b  x  ax  bx a, b T x X. 8. T ạ ầ ử đố ( x)  X ầ ử x  X sao cho x    x   1   1  x  0.x  0. Ở ê ố q ệ ữ á ầ ử aX á số a, b T . Nế a số đị ế c. Nếu a số phứ ế ức [1,3]. Cho hệ n e ơ x1 , x2 ,..., xn  xn   X , e ơ: y  a1 x1  a2 x2  ...  an xn  y  X , ai T . ƣợc gọ hợp tuyế á e ơ x1 , x2 ,..., xn . Nếu a1 x1  a2 x2  ...  an xn  0 t n tạ ất m o á ệ số a1 , a2 ,..., an á ệ  xn  đƣợc gọ ụ thu c tuyế T ƣờng hợp ƣợc lại nếu ai  0 ệ e ơ ê đƣợc gọ đ c lập tuyế 4
N ƣờ đã ứ đƣợc rằng: a. T o X t n tạ ất m t hệ tố đ p e ơ đ c lập tuyến Cá ệ tố đ e ơ đ c lập tuyế o X đề số e ơ ằng p. b. Nế ê o ệ p e ơ đ c lập tuyế am e ơ bấ x X ệ (p + 1 e ơ ụ thu c tuyế : a1x1  a2 x2  ...  ap x p  ap1 x  0. V ất hệ số ap 1 c a x á : x  a1 x1  a2 x2  ...  a p x p . c. T o X ể ều hệ ơ sở Cá ệ ơ sở c a X đều số e ơ ằ ằng p N ƣời ta gọi p số chiều c X ệu dim X  p. d. Phần tử X’ c X thỏ ã 8 ê đề về ến e ơ đƣợc gọ o a X. N ƣời ta chứng minh rằng dim X   dim X [1]. K ế ƣờ đƣợc gọi e ơ á phần tử c ọ á e ơ 1.1.2. Không gian Hilbert M ế th c X đƣợ ọ ề H e ế tro đ á định ế (x, y), gọ ƣ ng e ơ x, y  X á ấ s [4,7]: 1. ( y, x)   x, y . 2.  x  y, z   ( x, z)   y, z . 3. ( x, x)  0 ( x, x)  0 x  0. 4. ( x, ay)  a  x, y  a số V ƣ đƣợ đị ở á ất từ 1– 4 ò t đị ề chuẩn x c a m e ơ x ê X. x   x, x . 5
x t chuẩn ê X, gọ ẩn sinh bở ƣ ng tiề H e đƣợ đị ƣ ê định chuẩn [5]. Định nghĩa 1: M ế i chuẩn x   x, x  đƣợc gọi ền Hilbert [1]. V t ền Hilbert định chuẩ ê ọ á niệm về định chuẩ đề á ụ o M tiền H e ểđ đ .M ề H e đ gọ gian Hilbert. Định nghĩa 2: M ề H e t hệ ơ sở tr c chuẩ đ đƣợc gọ H e [1]. To H e X e ơ x bấ ể khai triển theo hệ ơ sở tr c chuẩ đ e  : n x  a1e1  a2e2  ...  anen . N â ƣ ng hai vế v i ek , : ak   ek , x  k  1,2,..., n . n  ak 2 Ta sẽ đ ứng minh:  1 khi x  1. k 1 Thật vậy:  ak   ak  ek , x    ak  x, ek  2 * k k k     x,  ak ek    x, x   1.  k  1.1.3. Sự trực giao Định nghĩa Định nghĩa 3: Cho H e X á ầ ử x, y  X ƣờ ta á e ơ x, y o ế x y ệ  x, y   0. 6
C c tính chất 1. Nế x  y y  x. T xx x  0. 2. Nế x  y1 , y2 ,..., yn x  a1 y1  a2 y2  ...  an yn . T ậ ậ  x, a y1 1  ...  an yn   a1  x, y1   ...  an  x, yn   0. 3. Nế x  yn , yn  y  n    x  y. T ậ ậ  x, y   lim( x, y )  0. n n 4. Nếu x1 ,..., xn đ t tr o x1  x2 ...  xn  x1  x2 ...  xn 2 2 2 2 đị ý Pythagore). 1.1.4. Hệ trực chuẩn C o H e X. 1. Hệ e1, e2 ,...  X ọ ệ ẩ ế : 0 e , e    i j ij  1 To đ :  ei , e j   0 nếu i  j.  e , e   1 nếu i  j. i j N ƣ ậ en  ệ ẩ ế en  1 n   ei  e j  i  j . 2. Nếu en  ệ ẩ ọ x  X , số i  ( x, ei ) ọ ệ số  Fo e x đố ei  e i 1 i i ọ Fo e x eo ệ en . 3. M ệ ẩ en  đƣợ ọ đầ đ e ơ giao ấ ả á ầ ử ệ: 7
x  en (n  1,2,..)  x  0. 1.2. To n t , to n t tự liên h p tuyến tính, c c phép to n trên to n t N o ữ đạ ƣợng vậ ý đ ƣ ạ á ể đ ng c a hạt vi o ƣ tọ đ ƣợ ƣợng,... ò ữ đại ƣợng vậ ý ắn liền v i bản chất c a hạ ƣ ố ƣợ đệ spin,... Trong ơ ọ ƣợng tử, m đạ ƣợng hay thu ậ ý đề đƣợc đ ƣ ởi m oá ử. 1.2.1. To n t Kh i niệm C o X, dim X  p Y, dimY  q. a. M é oá ođ ến phần tử x  X ần tử y  Y đƣợc gọ á ạ K ệ é oá Aˆ , é oá biến x  y đƣợc viế ƣs [1]: ˆ  y ( x  X , y Y ) Ax (1.1) Á ạ Aˆ đƣợc gọ ế ếu:   Aˆ   ai xi    ai Ax  i  i i   ˆ ,  x  X , a T  i i (1.2) M t s to n t Toán tử tuyến tính: T ê tuyế X, v i x, y  X oá ử Aˆ đƣợc gọ oá ử tuyế ếu thỏ ã đ ng thời hai đ ều kiện sau: Aˆ  x  y   Ax ˆ  Ay ˆ v i x, y  X (1.3) Aˆ (ax)  aAx ˆ v i a bấ x X (1.4) H 1 1 ƣơ đƣơ i nhau ể viết gọn lạ ƣs : Aˆ  a1x1  a2 x2  ...  ak xk   a1 Ax ˆ  a Ax 1 2 ˆ  ...  a Ax 2 k ˆ . k To đ x1 , x2 ..., xk  X ; a1, a2 ,..., ak ững số th c ho c phức bấ 8
Toán tử đơn vị: T n tạ oá ử đơ ị oá ử á đ ng c ê s đ s ˆ  . I (1.5) Toán tử ngược: Toá ử Aˆ 1 đƣợ ọ oá ử ƣợ Aˆ ế á đ ƣợ oá ử Aˆ , ˆ y ế Ax x  Aˆ 1 y, x, y  X . Toán tử Unita: Toá ử Aˆ ọ oá ửU e ế oá ử Aˆ ị : Aˆ   Aˆ 1 hay AA ˆ ˆ   Aˆ  Aˆ  I . (1.6) Toán tử liên hợp oá ử oá ử ê ợ ằ Aˆ   Aˆ (1.7) Chứng minh Xé ƣ ng:  x , Axˆ   A T . i j ij Ta gọi Aij ần tử (i, j) c oá ử Aˆ . N ƣ ậy:  Ax ˆ , x    x , Ax ˆ  * i j j i  A*ji  Aij . Tƣơ ứ á ần tử c oá ử Aˆ  . Phần tử Aij đƣợc bằ á vừa chuyển vị vừa lấ ê ợp phức c a phần tử Aij đƣợc gọ ần tử ê hợp c a phần tử Aij . Tƣơ ứng v đề đ oá ử Aˆ  đƣợc gọ oá ử ê ợp c oá ử Aˆ . Toán tử tự liên hợp (toán tử hermite) Nếu xả đ ng thức Aij  Aij 9
Tứ  x , Axˆ    Axˆ , x  i j i j Hay Aˆ  Aˆ  oá ử Aˆ đƣợc gọ oá ửt ê ợ oá ử Hermite [1]. 1.2.2. To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite ối v i m oá ử ế Aˆ đƣợc đị ê ến Ф, ƣờ đị m oá ử Aˆ  ƣs :  Aˆ x, y    x, Ay  ˆ  ọi x, y  X . (1.8) Cá oá ử Aˆ  đƣợc gọ á oá ử ê ợp oá ử oá ử Aˆ ế oá ử Aˆ   Aˆ đƣợc gọ oá ử t ê ợ oá ử Hermite. T o (1.8 đƣợc [4,5]:  Ax ˆ , y    x, Ay ˆ  ọi x, y  X . (1.9) Xé oá ừ Hermite Aˆ  Aˆ  Bˆ  Bˆ  . M t số chất c oá ừ Hermite: 1. T ng c oá ử He e oá ử Hermite.    Aˆ  Bˆ  Aˆ   Bˆ   Aˆ  Bˆ . 2. T oá ử Hermite v i m t số oá ử Hermite nếu số đ c.    ˆ kA  k  Aˆ   k  Aˆ  kAˆ ,  k   k , k  R . 3. T a hai oá ử He e oá ử He e oá ửđ o oá i nhau.  AB ˆ ˆ   Bˆ  Aˆ   BA ˆ ˆ  AB ˆ ˆ. 1.2.3. C c phép to n trên to n t 10
Xé oá ử Aˆ , Bˆ số f ấ á é sau: 1. P é oá  ử: Aˆ  Bˆ f  Af ˆ  Bf  ˆ hay Cˆ  Aˆ  Bˆ . ˆ  Cf 2. P é ừ oá  ử: Aˆ  Bˆ f  Af  ˆ  Bf ˆ hay Dˆ  Aˆ  Bˆ . ˆ  Df Vậ oá ử ậ ừ oá ử ằ é ừ P é ấ o oá ế ợ 3. P é â oá ử: AB   ˆ ˆ f  Aˆ ( Bf ˆ ). N ˆ ˆ  BA chung AB ˆ ˆ, Aˆ , Bˆ o oá ˆ ˆ  BA ƣợ ạ AB ˆ ˆ, Aˆ , Bˆ o oá P é ấ oá ử ấ o oá ê ế ể ứ ầ úý ứ oá ử ƣ oá ửs d d Thí dụ 1: Aˆ  ; Bˆ  x; Pˆ  Aˆ .Bˆ  x. dx dx Cho P á ụ ê   x ấ d d  x   d  Pˆ  x   Aˆ .Bˆ  x   .  x  x     x   x  1  x   x  dx dx  dx  d Vậ Pˆ  Aˆ .Bˆ  1  x . dx T Bˆ . Aˆ d d Bˆ . Aˆ  x   x   x   Bˆ . Aˆ  x . dx dx Dễ thấy rằ o ƣờng hợ ˆ ˆ  BA AB ˆ ˆ . N ƣ ậy, tứ oá tử Aˆ Bˆ o oá . Thí dụ 2: Cho Aˆ  x 2 , Bˆ  x, ta thấy ngay rằng: ˆ ˆ  BA AB ˆ ˆ  x3 . 11
â ƣờng hợ oá ử o oá 4. Giao oá ử:  Aˆ , Bˆ   AB ˆ ˆ  BA ˆ ˆ . Nế  Aˆ , Bˆ   0   Aˆ , Bˆ gọ o oá v i nhau, ƣợc lại  Aˆ , Bˆ   0 Aˆ , Bˆ o oá i nhau. 1.3. Hàm riêng và trị riêng của to n t Định nghĩa Xé oá ử Aˆ á   x  ,   x  bấ C o oá ử Aˆ á dụ ê   x  bấ đƣợc m á   x : Aˆ  x     x  (1.10) Trong ƣờng hợp khi m oá ử Aˆ á ụ ê   x, chuyể t hằng số λ â : Aˆ  x     x  (1.11) Trong ƣờng hợ ƣời ta gọi   x  ê c oá ử Aˆ , ò λ đƣợc gọ á ị ê ị ê ƣơ ứng v ê   x c oá tử Aˆ . P ƣơ 1 11 đƣợc gọ ƣơ o á trị ê ê c oá ử. Giả ƣơ 1 11) ể đƣợ ê ị ê oá ử. M oá ử ể ề ê ê ại ứng v i m t trị riê ể viết lại (1.11 : Aˆ n  x   n n  x  n  1,2,3,... (1.12) To đ  n  x ê ứng v i trị ê n (n  1,2,3,...). Tập hợp những trị ê oá ử đƣợc gọ c oá ửđ 12
Nếu trị ê λ ữ á trị rời rạc, ta gọi ph c oá ử Aˆ rời rạ ; ò ếu trị ê λ ữ á ị ê ục, ta gọi ph c oá ử Aˆ ê ục. Ph c oá ử Aˆ vừ ể ê ục, vừ ể rời rạc. Hàm riêng và trị riêng của to n t Hermite T p ƣơ ê ị ê oá ử: Aˆ  x     x . T eo đị oá ử Hermite:  Aˆ ,    , Aˆ   , ( Aˆ    Aˆ ). Nếu oá ử Aˆ oá ử Hermite, á ê á ị ê nhữ ất sau:  Cá á ị ê oá ử He e ững số th c. P ƣơ o ị ê oá ử Hermite Aˆ o ƣờng hợ ị ê á đoạ : Aˆ n  n n V  n , Aˆ n    Aˆ  n , n  V Aˆ   Aˆ   n , Aˆ n    Aˆ n , n  , : n  n , n   n  n , n     n  n  n , n   0 V  n , n   0  n  n  n c. Vậ á ị ê oá ử He e ững số th c.  Cá ê ứng v á ị ê á oá ử Hermite tr c giao v i nhau. 13
T eo đị oá ử Hermite:  , Aˆ    Aˆ ,  1 2 1 2  a1  1, 2   a2  1, 2    a1  a2  1, 2   0. V a1  a2  a1  a2  0   1 , 2   0. Do đ  1 ,  2 tr c giao v i nhau.  Cá ê oá ử Hermite lậ t hệ đ . Nế f  x  bấ á ê un  x  c oá ử Hermite ể â : f  x   c1u1  x   c2u2  x   c3u3  x   ... f  x    cnun  x . n 1.4. Lý thuyết về nhóm và bi u di n nhóm 1.4.1. Lý thuyết về nhóm Định nghĩa M ậ G á ầ ử a, b, c,... đƣợ ọ ế oá ử é â ỏ ã ấ sau: Tính kín: V ọ a, b  G ọ a.b  G. Tính có đơn vị: T ê ậ ợ G ạ ầ ử đơ ị đƣợ ệ e, sao cho: a.e  e.a  a a  G. Tính có nghịch đảo: V m ầ ử o ậ G ầ ử ị đảo : a.a 1  a 1.a  e, ọ a, a 1  G. Tính chất kết hợp: a. b.c    a.b .c v ọ a, b, c  G. 14