CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ
Đại lượng vô hướng
Đại lượng có hướng
Đại lượng Tenxơ
Đại lượng
Đại lượng
trong toán học
trong toán học
và trong cơ
và trong cơ
học
học
Là những đại lượng mà với
Là những đại lượng mà với
một đơn vị đo đã chọn nó
một đơn vị đo đã chọn nó
được đặc trưng bằng một
được đặc trưng bằng một
con số như: nhiệt độ, khối
con số như: nhiệt độ, khối
lượng, …
lượng, …
Là đại lượng được đặc
Là đại lượng được đặc
trưng bởi giá trị theo đơn vị
trưng bởi giá trị theo đơn vị
đo, phương và chiều trong
đo, phương và chiều trong
không gian xác định, chẳng
không gian xác định, chẳng
hạn: lực, vận tốc, gia tốc
hạn: lực, vận tốc, gia tốc
của chất điểm, …
của chất điểm, …
Đặc trưng cho một trạng
Đặc trưng cho một trạng
thái xác định nào đó của
thái xác định nào đó của
vật thể: trạng thái biến
vật thể: trạng thái biến
dạng, trạng thái ứng suất,
dạng, trạng thái ứng suất,
…
…
Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại
Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại
lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc
lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc
điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô
điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô
tả chúng.
tả chúng.
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.
2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.
2.1.1 Hệ thống ký hiệu
2.1.1 Hệ thống ký hiệu
- Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là:
- Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là:
- Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3. Do
- Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3. Do
đó:
đó:
ai biểu thị một trong ba phần tử
ai biểu thị một trong ba phần tử a
a1
1 ,
, a
a2
2 ,
, a
a3
3
aij biểu thị một trong chín phần tử
aij biểu thị một trong chín phần tử a
a11
11 ,
, a
a12
12 ,
, a
a13
13 ,
, a
a21
21 ,
, a
a22
22 ,
, a
a23
23 ,
, a
a31
31 ,
, a
a32
32 ,
, a
a33
33
a
aIjk
Ijk biểu thị một trong 27 phần tử
biểu thị một trong 27 phần tử a
a111
111 ,
, a
a112
112 ,...,
,..., a
a333
333
Hệ thống các phần tử như
Hệ thống các phần tử như ai
ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống
chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống
hạng nhất, bao gồm 3 phần tử;
hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; a
aij
ij
là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử.
là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử.
Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử.
Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử.
,...,, ijkiji aaa
2
n
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
2.1.2 Quy ước các chỉ số
2.1.2 Quy ước các chỉ số
Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến
Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến
3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác.
3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác.
-Thí dụ:
Thí dụ:
a
ai
ib
bi
i
=
=
a
a
1
1
b
b
1
1 +
+
a
a
2
2
b
b
2
2 +
+
a
a
3
3
b
b
3
3 =
=
a
ak
kb
bk
k
Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3.
Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3.
-Thí dụ, ai
Thí dụ, ai
là hệ thống gồm
là hệ thống gồm a
a1,
1, a
a2,
2, a
a3
3
2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng
2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng
-Một hệ được gọi là đối xứng nếu:
Một hệ được gọi là đối xứng nếu: a
ai
ib
bj
j
=
=a
aj
jb
bi
i
. Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều
. Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều
chỉ số, chẳng hạn
chỉ số, chẳng hạn a
aijk
ijk
=
= a
aikj
ikj
thì hệ thống
thì hệ thống aijk đối xứng qua hai chỉ số j, k
aijk đối xứng qua hai chỉ số j, k.
.
Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng.
Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng.
=
0
1
ij
δ
với j=j
với i#j
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
Ký hiệu
Ký hiệu Levi-Chivita eijk
Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như
là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như
sau:
sau:
2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không
2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không
Trường vô hướng là một hàm vô hướng ( ϕ
Trường vô hướng là một hàm vô hướng ( ϕx
x1 ,
1 , x
x2 ,
2 , x
x3 ,
3 , t
t ) của toạ độ các điểm
) của toạ độ các điểm
trong miền không gian
trong miền không gian x
x1 ,
1 , x
x2 ,
2 , x
x3 xác định của hàm và
3 xác định của hàm và t
t là tham số thời gian.
là tham số thời gian.
Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇
Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇nabla
nabla”
”
Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương ϕ
Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương ϕ
trình = ϕ
trình = ϕc
const . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó
onst . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó
trên bề mặt sẽ là.
trên bề mặt sẽ là.
−
=
1
1
0
ijk
e
khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau
khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị chẵn 1, 2, 3
khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị lẻ 1, 2, 3
i
i
e
x
e
x
e
x
e
x
grad
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
ϕϕϕϕ
ϕϕ
3
3
2
2
1
1
(2-1)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
Trong đó:
Trong đó:
Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử
Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace
Laplace” hay
” hay Laplacien
Laplacien với:
với:
Phương trình: gọi là phương trình điều hòa. Nghiệm của phương
Phương trình: gọi là phương trình điều hòa. Nghiệm của phương
trình điều hòa gọi là hàm điều hòa.
trình điều hòa gọi là hàm điều hòa.
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
grad
e
x
grad
e
x
grad
e
x
grad
grad
v
3
3
2
2
1
1
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
2
3
2
2
2
1
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
xxx
grad
ϕϕϕ
ϕ
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
xxx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇∇=∆
ϕϕϕ
ϕϕϕ
0
2
=∇
ϕ
(2-2)
(2-3)
(2-4)