Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 2 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ

Đại lượng vô hướng

Đại lượng có hướng

Đại lượng Đại lượng trong toán học trong toán học và trong cơ và trong cơ họchọc

Là những đại lượng mà với Là những đại lượng mà với một đơn vị đo đã chọn nó một đơn vị đo đã chọn nó được đặc trưng bằng một được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ, khối con số như: nhiệt độ, khối lượng, … lượng, … Là đại lượng được đặc Là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo đơn vị trưng bởi giá trị theo đơn vị đo, phương và chiều trong đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, … của chất điểm, …

Đại lượng Tenxơ

Đặc trưng cho một trạng Đặc trưng cho một trạng thái xác định nào đó của thái xác định nào đó của vật thể: trạng thái biến vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, dạng, trạng thái ứng suất, ……

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng. tả chúng.

,...

aaa , , ij i ijk

2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC. 2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.

ai biểu thị một trong ba phần tử aa11 , , aa22 , , aa33 aij biểu thị một trong chín phần tử aa1111 , , aa1212 , , aa1313 , , aa2121 , , aa2222 , , aa2323 , , aa3131 , , aa3232 , , aa3333

2

n

biểu thị một trong 27 phần tử aa111111 , , aa112112 ,..., ,..., aa333333

2.1.1 Hệ thống ký hiệu 2.1.1 Hệ thống ký hiệu - Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là: - Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là: - Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3. Do - Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3. Do đó:đó: ai biểu thị một trong ba phần tử aij biểu thị một trong chín phần tử aaIjkIjk biểu thị một trong 27 phần tử Hệ thống các phần tử như Hệ thống các phần tử như ai ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử. hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; aaijij là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử. hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử. Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử.

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

+ aa22bb22 + + aa33bb33 =

là hệ thống gồm aa1, 1, aa2, 2, aa3 3

ikj thì hệ thống

aijk đối xứng qua hai chỉ số j, k.. thì hệ thống aijk đối xứng qua hai chỉ số j, k

2.1.2 Quy ước các chỉ số 2.1.2 Quy ước các chỉ số Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác. 3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác. = aakkbbkk Thí dụ: aaiibbii = = aa11bb11 + -Thí dụ: Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3. Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3. -Thí dụ, ai Thí dụ, ai là hệ thống gồm 2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng 2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng -Một hệ được gọi là đối xứng nếu: . Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều Một hệ được gọi là đối xứng nếu: aaiibbjj ==aajjbbii . Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều chỉ số, chẳng hạn aaijkijk = = aaikj chỉ số, chẳng hạn Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng. Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng.

với j=j

d

=

ij

1 0

với i#j

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

Ký hiệu Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như

Ký hiệu sau: sau: (cid:236)

=

0 1

ijke

(cid:239) (cid:237)

1

(cid:239) - khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị chẵn 1, 2, 3 khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị lẻ 1, 2, 3 (cid:238)

j

j

j

j

2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không 2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không Trường vô hướng là một hàm vô hướng Trường vô hướng là một hàm vô hướng trong miền không gian xx1 , 1 , xx2 , 2 , xx3 xác định của hàm và trong miền không gian ) của toạ độ các điểm ( ϕ xx1 , 1 , xx2 , 2 , xx3 , 3 , t t ) của toạ độ các điểm ( ϕ là tham số thời gian. 3 xác định của hàm và t t là tham số thời gian.

j

(cid:209)=

j

=

+

+

=

2

3

i

grad

e 1

e

e

e

¶ ¶ ¶ ¶

x

x 1

2

x 3

x i

(2-1) ¶ ¶ ¶ ¶

Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “ đọc là “ nabla” ” nabla ∇ ∇

ϕ ϕ

Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương onst . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó = ϕ cconst . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó trình = ϕ trình trên bề mặt sẽ là. trên bề mặt sẽ là.

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

j

Cơ học môi trường liên tục

j

j

3

2

e

e 1

e

¶ ¶ ¶

=

=

+

+

v

j j

j

j

j

¶ ¶ ¶

grad grad

x 1 grad

x 2 grad

x 3 grad

2

2

2

(2-2)

j

j

j

j

=

grad

+(cid:247)

+(cid:247)

x

x 1

2

x 3

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (2-3) (cid:231) (cid:231) (cid:247) (cid:231) Trong đó: Trong đó: ¶ ¶ ¶ ł Ł ł Ł ł Ł

Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace” hay ” hay Laplacien

j

(cid:209)=

j

(cid:209)=

j 2

=

+

+

2

2

2

x

x

x 1

2

3

j 2 =

Laplacien với:với: j j j 2 2 2 ¶ ¶ ¶ (cid:209) D (2-4) ¶ ¶ ¶

0

(cid:209)

Phương trình: gọi là phương trình điều hòa. Nghiệm của phương Phương trình: gọi là phương trình điều hòa. Nghiệm của phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa. trình điều hòa gọi là hàm điều hòa.

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

2

j 2

(cid:209)=

j 4

=

Cơ học môi trường liên tục

0

(cid:209) (cid:209)

Phương trình: gọi là phương trình điều hòa kép. Nghiệm của Phương trình: gọi là phương trình điều hòa kép. Nghiệm của phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép. phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép.

Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0); Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước trong hệ tọa độ vuông góc như hình vẽ. B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước trong hệ tọa độ vuông góc như hình vẽ.

Bài giải: Bài giải:

x a

z 1=++ c

y b

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là:

x ++=j a

y b

z c

Suy ra: Suy ra:

=j

+

+

e 1

e 2

e 3

grad

1 a

1 b

1 c

(Hình 2-1)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

+

+

e 1

e 2

e 3

1 a

1 b

1 c

=

=

v

2

j j

grad grad

Do vậy: Do vậy:

2 +(cid:247)

2 +(cid:247)

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230)

(cid:247) (cid:231) (cid:231) (cid:231)

1 a

1 b

1 c

=

+

+

v

e 1

e 3

e 2

2

2

2

+

+

+

+

+

+

bc 22 cb

ca 22 cb

22 ba

2 ac

22 ba

2 ac

22 ba

2 ac

ab 22 cb

ł Ł ł Ł ł Ł

Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều) Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều)

=

+

+

r v

uur e 1

uur e 2

uur e 3

1 3

1 3

1 3

– – –

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

2.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT 2.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT

=

+

ur ur a a i a j a k . z

ur . y

r . x

2.3.1 Các thành phần vectơ 2.3.1 Các thành phần vectơ Giả sử trong không gian thuộc hệ trục tọa độ Descartes vuông góc (Oxyz) có các vec tơ đơn vị là cho một vec tơ đặt tại điểm M .Gọi các hình chiếu của vec tơ trên các trục x,y,z tương ứng là ax, ay, az .Ta có thể viết: + (2-5)

2

2

2

+

+

=

x

y

a

a

a

y

(2-6)

z a

a Các côsin chỉ phương của vec tơ ký hiệu là l,m,n.

a

ax

=

=

=

ay Ta có:

l

r ur cos( , ); i a m

ur ur j a n cos( , );

ur ur cos( , ) k a

+

az x

= 2 1

l m n+ 2 2

z (2-7)

(Hình 2-1)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

ur r ur , i j k ,

Cơ học môi trường liên tục

z

2.3.2 Biến đổi các thành phần của vec tơ khi xoay hệ trục tọa độ: a,Bảng các cosin chỉ phương: Giả sử xoay hệ trục (Oxyz) quanh O trở thành hệ trục mới (Ox’y’z’) có các vec tơ đơn vị tương ứng là: như hình vẽ Ta có bảng cosin chỉ phương giữa hai hệ trục tọa độ như sau:

z'

a

Bảng 2-1

x y Z

y'

x’ l1 m1 n1

y

x

y’ l2 m2 n2

x'

Hi`nh (1-2) (Hình 2-3)

Trong đó

là cosin góc hợp bởi các trục x’,y’,z’ với trục x,y,z.Từ

điều kiện trực giao của các trục này ta có:

z’ l3 m3 n3

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

* Đối với hệ trục mới(x’,y’,z’):

(2-8)

* Đối với hệ trục cũ (x,y,z):

(2-9)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

) là hình chiếu của vec tơ

) là hình chiếu của vec tơ

trong hệ trục cũ trong hệ trục

b/ Sự thay đổi của các thành phần vec tơ: Gọi ( (Oxyz);( mới (Ox’y’z’) thì ta có:

Theo định nghĩa ta lại có:

Hay là:

Suy ra:

Cơ học môi trường liên tục

trong hệ

Hệ thức biểu diễn các hình chiếu của vec tơ tọa độ cũ (Oxyz).

(2-10)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Một cách tương tự ta có thể tìm được các hình chiếu của trong hệ tọa độ mới (Ox’y’z’) như sau: vec tơ

Cơ học môi trường liên tục

൞

′ . 1 ′ . 2 ′ lập thành một ma trận vuông . 3

′ + ′ + ′ +

′ . 1 ′ . 2 ′ . 3

′ . 1 ′ . 2 ′ . 3

′ ′ = + ′ ′ = + ′ ′ Các cosin chỉ phương = + cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là (C):

(2-11)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

,

,

' ' ' nml i i i

Cơ học môi trường liên tục

Các cosin chỉ phương lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là (C’):

ø Ø

'

œ Œ

[

]

=

C

œ Œ

' ' ' nml 1 1 1 ' ' ' nml 2 2 2 ' ' ' nml 3 3 3

- 1

'

œ Œ ß º

[

]

[

]

[

=

=

C

Ma trận (C) và (C’) là hai ma trận trực giao.

]TC

C

q

q

Khi hệ trục tọa độ O’x1x2x3 quay một góc q ngược chiều kim đồng hồ quanh trục x3 tạo thành hệ trục tọa đồ mới O’x’1x’2x’3 lúc đó Ox3” Ox’3 lúc đấy ma trận biến Đổi hệ trục tọa độ có dạng:

cos

sin

0

ø Ø

œ Œ

[

]

-=

q

q

C

sin

cos

0

œ Œ

0

0

0

œ Œ ß º (Hình 2-4)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

Chú ý: khi biến đổi hệ trục tọa độ thì véctơ a không thay đổi chỉ có các thành phần của ve tơ a thay đổi.

Bài tập chương II

0

Bài 2.1 Xác định hàng cuối của ma trận cấp 3 (3x3) cho dưới đây để được một ma trận biến đổi hệ trục tọa độ: ø Ø - œ Œ

œ Œ

œ Œ

3 5 0 c 31

4 5 0 c 32

1 c 33

œ Œ

œ Œ ß º

(

b

2 2

+=

cb

0

2 2

1 2 2 2 1 2

1 2 2 2 1 2

ø Ø - œ Œ œ Œ œ Œ œ Œ Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij: ) Và véc tơ . Tìm véc các thành c )1,1,2(,3,2,1 phần của vecto tổng trong phép biến a đổi hệ trục tọa độ œ Œ œ Œ - œ Œ ß º

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Cơ học môi trường liên tục

HẾT CHƯƠNG II