12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
NỘI DUNG
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
2. Thanh chịu xoắn thuần túy
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Xét thanh đồng nhất BC có chiều dài L và diện tích của mặt cắt ngang không đổi là A chịu lực kéo đúng tâm là P.
P A
E
Ta tính được ứng suất trong thanh là
E
Mà theo định luật Hooke ta được P EA
L
Theo định nghĩa ta được biến dạng tỉ đối là tỉ số biến dạng tuyệt đối và chiều dài thanh.
L
PL EA
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
1
Vì thế, ta được biến dạng tuyệt đối
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trong trường hợp thanh không đồng nhất (hệ số mô‐đun đàn hồi E thay đổi, tiết diện thanh thay đổi A, nội lực dọc trục Nz thay đổi), ta chia thanh này thành nhiều đoạn sao cho các hệ số trên là hằng số.
n
i
1
N L zi i E A i i
Biến dạng dài tuyệt đối của thanh
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Ví dụ: Cho thanh chịu kéo nén đúng tâm với diện tích mặt cắt ngang và chịu lực thay đổi như hình vẽ. Biết E=2.105 N/mm2 và cắt ngang là: AAB=20mm2; ABC=30mm2; diện tích mặt ACD=60mm2. Tính biến dạng tuyệt đối của thanh.
7 kN
5 kN
2 kN
D
A
B
C
30 mm
20 mm
20 mm
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
2
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
7 kN
5 kN
2 kN
D
A
B
4
C 4
+
2
2
+
‐
3
3
Vẽ biểu đồ nội lực Nz
n
N L AB AB EA
N L BC BC EA
N L CD CD EA
i
1
N L zi i E A i i
BC
CD
0, 01 (mm)
( 3000) 20 5 2 10 30
AB 2000 20 5 2 10 20
4000 30 5 2 10 60
Biến dạng dài tuyệt đối của thanh
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
2. Thanh chịu xoắn thuần túy
Xét trục đồng nhất chiều dài L và bán kính R chịu mô‐men xoắn T
R
max
T J
O
Ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh
max
max G
T R G J
O
Theo định luật Hooke, ta được
max
R L
L
max
Theo định nghĩa biến dạng góc tương đối
T L G J
O
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
3
Góc xoắn tuyệt đối của trục R
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
2. Thanh chịu xoắn thuần túy
Trong trường hợp trục không đồng nhất (hệ số mô‐đun đàn hồi trượt G thay đổi, bán kính R thay đổi, mô‐men xoắn T thay đổi), ta chia thanh này thành nhiều đoạn sao cho các hệ số trên là hằng số.
n
T L i i G J
i
1
i Oi
Góc xoắn tuyệt đối của thanh
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích (phương trình đường đàn hồi)
Xét một thanh dầm AB chịu mô‐men uốn dương như hình vẽ bên. Thanh dầm sẽ uốn quanh một điểm C với bán kính cong .
M 1 x EJ
x
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
4
Bán kính cong được tính bằng công thức
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
2 d y 2 dz
3/ 2
2
1
dy dz
1
Mà theo công thức toán học, bán kính cong của quỹ đạo được tính bằng công thức
2 d y 2 dz
1
Trong trường hợp dầm đàn hồi nên độ dốc dy/dz rất bé vì thế ta có thể bỏ đi các vô cùng bé bậc cao
z
y 0; " 0
y 0; " 0
xM
xM
y
Ta để biết rằng dấu của d2y/dz2 và Mx luôn ngược dấu. Nên ta thế 1/ vào phương trình trên ta được
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
2 d y 2 dz
M x EJ
x
Nên ta thế 1/ vào phương trình trên ta được
( ) z
x
z
dy dz
( )y z
( )z
Q
z
y
xd dz
2 d y 2 dz
d x dz
M x EJ
x
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
5
Mối quan hệ giữa góc xoay và chuyển vị
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
EJ
x
M dz C 1
x
2 d y 2 dz
M x EJ
x
y
M dz dz C z C
x
1
2
Tìm hàm chuyển vị và góc xoay theo biến z khi EJx là hằng số
dy dz 1 EJ
x
x
1 xM dz C
1 EJ
d x dz
M x EJ
x
x
x
dy dz
Hoặc sử dụng công thức
Với C1, C2 là hằng số tích phân tìm được từ điều kiện biên liên kết của dầm
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Điều kiện biên của dầm tại các liên kết
Tại x=xA=0 thì y(xA)=0. Tại x=xB thì y(xB)=0.
Tại x=xA=0 thì y(xA)=0. Tại x=xB thì y(xB)=0.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
6
Tại x=xA=0 thì y(xA)=0. Và (xA)=0.
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tính chuyển vị và góc xoay tại đầu B
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
; qL M
A y
A
2 qL 2
Dễ dàng ta tính được phản lực liên kết tại A
qz
qL z
0
M
z 2
2
qLM
z
2 qL 2 2 qL 2
qz 2
z
Tính hàm phân bố mô‐men theo tọa độ z, chọn một mặt cắt bất kỳ cách đầu A đoạn z, dựa vào phương trình cân bằng mô‐men ta được
qLz
2 d y 2 dz
M x EJ
1 EJ
qz 2
2 qL 2
x
x
2
3
2
qLz
dz
C
dy dz
1 EJ
qz 2
2 qL 2
dy dz
1 EJ
qz 6
qLz 2
2 qL z 2
x
x
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
7
Theo phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi 2
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
3
2
C
x
dy dz
1 EJ
qz 6
qLz 2
2 qL z 2
x
Mà ta có mối quan hệ giữa chuyển vị và góc xoay
3
2
0C
C
0
(0) 0
x
1 EJ
qz 6
qLz 2
2 qL z 2
x
z
0
Tại A ta có góc xoay bằng 0 tức nghĩa là
3
2
dy dz
1 EJ
qz 6
qLz 2
2 qL z 2
x
3
2
4
3
dz
D
y
qLz 2
2 qL z 2
qz 24
qLz 6
2 2 qL z 4
1 EJ
1 EJ
x
x
qz 6 Tại A ta có chuyển vị bằng 0 tức nghĩa là
4
3
y
(0) 0
0D
D
0
1 EJ
qz 24
qLz 6
2 2 qL z 4
0
z
x
Nên
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
4
3
y
1 EJ
qz 24
qLz 6
2 2 qL z 4
x
Hàm chuyển vị có dạng
3
2
x
1 EJ
qz 6
qLz 2
2 qL z 2
x
Hàm góc xoay có dạng
y
B
xB
4 qL EJ 8
3 qL EJ 6
x
x
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
8
Vậy chuyển vị và góc xoay tại đầu B với z=L là
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Cách 2: Sử dụng phương pháp năng lượng kết hợp với nhân biểu đồ
Trình tự thực hiện tính độ võng và góc xoay
Bước 1: Vẽ biểu đồ Mx(z) do tải trọng thực tác dụng lên thanh dầm.
Bước 2: Đặt một lực ảo P=1 tại vị trí cần tính độ võng (mô‐men ảo M=1 tại vị trí cần tính góc xoay ). Hướng và chiều của lực sẽ là hướng và chiều của độ võng và góc xoay ta đang cần tính.
Bước 3: Vẽ biểu đồ mô‐men ảo Mx chỉ do lực P (mô‐men M) gây ra
m
y
EJ
x
Bước 4: Biểu đồ mô‐men uốn thực tạo ra một miền diện tích là và trọng tâm của diện tích đó có tọa độ theo phương z là z*. Tại vị trí ta z=z* tìm được độ lớn của mô‐men ảo dựa vào biểu đồ mô‐men ảo là m. Để tính độ võng (góc xoay) ta dùng công thức sau
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
n
y
i
m i
1 EJ
1
ix
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
9
Trong trường hợp phần diện tích của biểu đồ mô‐men uốn thực được chia ra thành nhiều miền diện tích nhỏ i thì ta cũng sẽ tìm được tọa độ trong tâm của từng miền diện tích đó. Tại vị trí các điểm trọng tâm ta tìm được độ lớn của biểu đồ mô‐men ảo là mi. Để tính độ võng (góc xoay) ta dùng công thức
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tính chuyển vị và góc xoay tại đầu B
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
2 qL 2
Bước 1: Vẽ biểu đồ Mx(z) do tải trọng thực tác dụng lên thanh dầm.
Mx
/ 4
z L
1P
Bước 2: Đặt một lực ảo P=1 tại vị trí cần tính độ võng tại B. Bước 3: Vẽ biểu đồ mô‐men ảo Mx chỉ do lực P gây ra
L
2 qL 2
z
L
3 / 4L
3
3 qL 6
L 4
Mx
m
Diện tích của biểu đồ mô‐men là hình parabol có cực trị tại B nên theo bảng phụ lục diện tích và trọng tâm của hình parabol cách đầu A một đoạn là
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
10
Tại vị trí trọng tâm của hình parabol, ta tìm được độ lớn mô‐men ảo tại z=L/4 là L 3 4
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
m
3 qL 6
L 3 4
y
B
EJ
EJ
4 qL EJ 8
x
x
x
2 qL 2
Mx
/ 4
z L
Vậy độ võng của dầm tại đầu B là
1M
m 1
1
m
1
1
xB
Mx
3 qL 6 EJ
EJ
3 qL EJ 6
x
x
x
Tương tự: khi cần tính độ võng tại B ta đặt vào B mô‐men ảo 1 có độ lớn 1 đơn vị, tại vị trí trọng tâm của mô‐men phân bố thực ta có mô‐men phân bố ảo là 1.
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
(số hiệu No20)
Ví dụ: Cho dầm thép mặt cắt nganh hình chữ và chịu lực như hình vẽ. 1) Tính độ võng lớn nhất trong dầm. 2) Tính góc xoay tại độ võng đó
2q
M = qa2
A
C
B
a
2a
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
11
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
2q
2qa
A
B
C
1,5qa
2,5qa
2qa
2
0,75a
1
Mx
2
a
3 0,56qa
P=1
Ta thấy tại C có mô‐ men nội lực là lớn nhất và không có liên kết nên độ võng tại C là lớn nhất.
2m
1m
3m
Mx
Để tìm chuyển vị tại C ta đặt một lực ảo 1 đơn vị tại C, ta được biểu đồ lực ảo như hình bên (làm như là lực thực bình thường)
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
3
2 qa a
qa
0,5
a
m 1
2
3
0,917
a
qa
a 0,5
0, 25
qa
(Hình chữ nhật) Dựa vào công thức tính diện tích và trọng tâm ta được 1
m 2
2
1 2
2
3
0,375
a
2 0, 75
a
0,56
qa
0,56
qa
(Tương đương tam giác)
m 3
3
2 3
n
3
3
3
qa
a
qa
a
qa
a
0,5
0, 25
0,917
0,56
0,375
y C
i
m i
1 EJ
1 EJ
1
ix
x
4
qa
y C
0,52 EJ
x
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
12
(Parabol)
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
2q
2qa
A
B
C
1,5qa
2,5qa
2qa
2
0,75a
1
Mx
2
3 0,56qa
M=1
1
2m
1m
3m
Mx
Để tìm góc xoay tại C ta đặt một mô‐men ảo 1 đơn vị tại C, ta được biểu đồ lực ảo như hình bên (làm như là lực thực bình thường)
CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh
3. Thanh chịu uốn ngang phẳng
3
2 qa a
qa
1
m 1
2
3
0,917
qa
qa
0,5 a
0, 25
(Hình chữ nhật) Dựa vào công thức tính diện tích và trọng tâm ta được 1
m 2
2
2
3
0,375
qa
qa
2 0, 75 0,56 a
0,56
(Tương đương tam giác)
m 3
3
1 2 2 3
n
3
3
3
qa
qa
qa
0,375
1 0, 25
0,917 0,56
xC
i
m i
1 EJ
1 EJ
1
ix
x
3
qa
xC
1, 02 EJ
x
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
13
(Parabol)
