12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
NỘI DUNG
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
0
dof
0
yF
R P P 2 1 Nhưng xét thanh AB chịu lực kéo nén như dưới, ta thấy bậc tự do của hệ
Cách 1: Dùng phương trình tương thích Xét thanh AB chịu lực kéo nén như hình vẽ bên, ta nhận thấy rằng bậc tự do của hệ Nên dễ dàng ta tính được phản lực liên kết tại đầu B
0
dof
P
R
0
A
R B
yF
Ta gọi đây là hệ siêu tĩnh Phương trình cân bằng lực cho hệ
Hai phản lực liên kết tại A và B là 2 ẩn số nên ta cần thêm 1 phương trình nữa để tìm 2 ẩn số trên
0
AB
Ta gọi đây là phương trình tương thích
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
1
Tìm chuyển vị tuyệt đối như bình thường theo 2 ẩn RA, RB
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Xét thanh AB chiều dài L, diện tích tiết diện là A và mô‐ đun đàn hồi E có liên kết như hình vẽ. Tác dụng lực P tại điểm C cách A đoạn a như hình vẽ.
Tại đầu A và B có 2 phản lực liên kết như hình vẽ.
AC
AB
CB
R
R B
Theo công thức tính chuyển vị tuyệt đối của thanh chịu kéo nén đúng tâm, ta được
N
b
a N
B
A
A Nên chuyển vị tuyệt đối của thanh AB là R b B EA
CB EA
R a AC A EA EA Mà ta có phương trình tương thích
R a R
0
0
A
B b
AB
R A EA
Ra b B EA
Nội lực trên đoạn AC và CB là CBN ACN
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
R
R B
A
Dựa vào phương trình cân bằng lực ta được P
AR
BR
Pb L
Pa L
Dựa vào 2 phương trình trên, dễ dàng tính được phản lực liên kết tại A và B là
C
AC
R a A EA
Pab LEA
Từ phản lực liên kết đã biết, ta có thể tính chuyển vị tại điểm C
AC
N AC A
Pb AL
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
2
Tương tự, ta cũng tính được ứng suất trong thanh từ thành phần nội lực đã biết
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Cách 2: Dùng phương pháp cộng tác dụng
Để giải bài toán siêu tĩnh, ta có thể sử dụng phương pháp cộng tác dụng.
Ta tách thành hai bài toán tính chuyển vị: 1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra. 2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra.
L
R
0
AB
BR
R
AB
L
Vậy chuyển vị tổng của thanh AB là
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
L
Áp dụng phương pháp cộng tác dụng ta có
R
R L B EA
L
R
BR
1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra. Pa EA 2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra.
0
0
R B
AB
R
L
a P L
BR L EA
Pa EA Sử dụng phương trình cân bằng lực để tìm RA
0
R
P
R
A R
B
A
P b L
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
3
Vậy chuyển vị tổng của thanh AB là
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Ví dụ: Cho thanh chịu kéo nén đúng tâm với diện tích mặt cắt ngang và chịu lực thay đổi như hình vẽ. Biết E=200 GPa. Tính phản lực liên kết tại A và B biết khoảng cách đầu B cách mặt nền là 4,5mm
300 kN
600 kN
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
0
L
Trước tiên, ta phải tính chuyển vị do ngoại lực gây ra có làm đầu B chạm vào mặt nền hay không
600 150 250 200
900 150 250 200
0
5, 625 mm
L
600 150 400 200
600 150 250 200
900 150 250 200
1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra. 600 150 400 200
5, 625 mm
4,5 mm
L
R
39 R B 4000
Ta thấy chuyển vị tuyệt đối của thanh AB khi chịu ngoại lực
300 R B 400 200
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
4
Nên đầu B sẽ chạm mặt nền tại B. Do đó, tại B có phản lực liên kết RB 2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra. 300 R B 250 200
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
300 kN
300 kN
Theo nguyên lý cộng tác dụng ta được
600 kN
600 kN
L
R
115, 4 kN
BR
5, 625
4,5
L
AB
R
300 600 0
Chuyển vị tuyệt đối của thanh AB đúng bằng khoảng cách khe hở BR 39 4000
AR
R B
AR
Phương trình cân bằng lực theo phương đứng 784, 6 kN
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Cách 1: Dùng phương trình đường đàn hồi
Xét thanh dầm AB chịu tải P ở giữa dầm, ngàm tại đầu A và đầu B là liên kết khớp bản lề trượt (liên kết đơn). Phân tích phản lực liên kết ta được 4 phản lực liên kết (4 ẩn số). Nếu sử dụng 3 phương trình cân bằng ta không thể tính được 4 ẩn số !!
Vì thế ta phải tìm riêng một ẩn bằng cách sử dụng phương trình đường đàn hồi của dầm.
Viết phương trình đường đàn hồi giống như chương tìm chuyển vị của dầm nhưng liên kết vẫn giữ nguyên và trong phương trình đường đàn hồi có 1 ẩn số là phản lực liên kết cần tính.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
5
Dựa vào điều kiện liên kết ta sẽ tính được phản lực liên kết đó.
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tại A là liên kết ngàm và tại B là liên kết khớp bản lề trượt. Tính phản lực liên kết tại B.
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
AM
AR
BR
qL
R
R B
A
qL
R
0
R B
F y
A
M
L
qL
M
M
0
L
R B
A
R B
A
A
Phân tích phản lực liên kết
2 L q 2
L 2
Ba ẩn số mà ta chỉ có hai phương trình cân bằng lực, nên hệ này là hệ siêu tĩnh bậc 1
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
6
Sử dụng phương trình đường đàn hồi (đường cong biến dạng) với liên kết ban đầu để tìm phản lực liên kết RB tại B.
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
0
qz
M
M R z A
A
2
AM
z
M
M R A
A
2
z
AR
L
qL
M
R B
zR B
qz 2
z 2 qz 2
2 qL 2 2
z
L
qLz
M
R B
R B
2 qL 2
qz 2
Bằng cách làm tương tự như tìm phương trình đường đàn hồi trước đây, ta được phương trình cân bằng mô‐men nội lực
2
qL
z
L
R B
Rz B
2 qL 2
qz 2
2 d y 2 dz
M x EJ
1 EJ
x
x
2
3
2
q
Lz C
R B
dy dz
1 EJ
qz 6
qLz 2
R z B 2
2 L z 2
x
Phương trình vi phân đường đàn hồi
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
4
3
3
2
R B
D
y z ( )
Cz
1 E J
qz 24
qLz 6
R z B 6
2 2 qL z 4
Lz 2
x
y L ( ) 0
y
(0) 0
(0) x
y
z L y
;
0
Trong phương trình đường đàn hồi có 3 ẩn số chưa biết, trong đó có 2 hằng số tích phân C, D và 1 phản lực liên kết RB Để tìm 3 ẩn số này ta dùng 3 điều kiện biên (điều kiện liên kết của dầm) 0
z z
0 0
0; 0; x
0D
0C
BR
qL 3 8
Dễ dàng ta tìm được
AM
AR
2 qL 8
qL 5 8
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
7
Ta tìm được phản lực liên kết còn lại
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Cách 2: Dùng phương pháp lực
Đối với bài toán hệ siêu tĩnh, để dùng phương pháp này ta làm các bước sau: 1) Chọn một hệ cơ bản Hệ cơ bản là hệ tĩnh định được suy ra từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ bớt liên kết
Bỏ 2 liên kết tại B
Bỏ 2 liên kết tại A Bỏ 1 liên kết tại A và 1 liên kết tại B
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
2X
2X
1X2X
1X
1X
2X
2X
1X
1X
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
8
2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản Đặt các lực liên kết vào những nơi liên kết đã bị bỏ đi
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
A
1X2X B
3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết Đặt tải trọng lên hệ cơ bản đã chọn.
Vậy chuyển vị tại đầu B có 2 phản lực liên kết phản có giá trị giống như điều kiện liên kết của hệ siêu tĩnh
X
X
1
1 1
1
1 2
2
1
P
X
X
2
2 1
1
2 2
2
2
P
Tức là chuyển vị tuyệt đối của đầu B là bằng không theo 2 phương X1 và X2 (do tại B là khớp bản lề cố định nên không cho dịch chuyển theo 2 phương) Gọi 11, 12, 21, 22 là các chuyển vị đơn vị theo các phương X1 và X2. Vậy chuyển vị theo các phương X1, X2 và tải trọng gây nên được tính
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Với: 1 và 2 lần lượt là chuyển vị tuyệt đối của dầm tại đầu B
j
ds
ij
M M i EJ
ij là chuyển vị theo phương i do lực 1 đơn vị gây nên theo phương j.
P
ds
iP
M M i EJ
iP là chuyển vị theo phương i do tải trọng gây nên.
X
X
0
1 X
2 X
0
1
1
12 22
2
1 P 2 P
11 2
Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B bằng không nên ta được 1=2=0. Ta có phương trình chính tắc:
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
9
Giải hệ phương trình trên ta sẽ được 2 ẩn số là X1 và X2 là 2 phản lực liên kết.
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
X 1 X
X 2 X
X n X
0 0
... ...
1
12 22
2
1 n 2
n
n
1 P 2 P
0
X
X
...
1
nn
n
n P
11 21 ... n 1
Ta có thể suy rộng ra cho hệ suy tĩnh bậc n. Khi đó hệ phương trình chính tắc có dạng
Các hệ số ii là hệ số chính, ij là hệ số phụ và iP là số hạng tự do
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tại A là liên kết ngàm và tại B là liên kết khớp bản lề trượt. Tính phản lực liên kết tại B.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
10
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
1) Chọn một hệ cơ bản
Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 1 liên kết tại B (ta vẫn có thể làm cách khác là bỏ đi 1 liên kết tải A)
1X
2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản
Tại B bỏ 1 liên kết thì ta thêm vào đó 1 phản lực liên kết
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
0
X
11
1
1
P
1X
2 qL 2
2
MP
M1
1
1
ds
L
11
Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B bằng không nên ta được 1=0. Ta có phương trình chính tắc:
M M 1 EJ
M1
1m
2m
L
L L L
11
1
m 1
Để tính 11 và 1P, ta vẽ biểu đồ mô‐men uốn MP chỉ do tải trọng gây ra và M1 chỉ do lực X1=1 đơn vị gây ra
1 2
3 L 3 EJ
1 EJ
1 EJ
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
11
Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính tích phân này. Lấy biểu đồ M1 nhân với M1 (cách nhân giống như bài tính chuyển vị) 2 3
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
P
ds
P
1
M M 1 EJ
L
L
P 1
m 2
2
2 qL 2
3 4
4 qL 8 EJ
1 EJ
1 3 Ta có phương trình chính tắc:
0
X
11
1
1
P
X
0
1
3 L J E 3
4 qL E J 8
X
1
q 3 L 8
Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính tích phân này. Lấy biểu đồ M1 nhân với MP 1 EJ
Để tìm phản lực liên kết tại A, ta làm như bài toán tĩnh định bình thường khi bỏ đi một liên kết tại B và thay vào một lực X1 bằng giá trị trên
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tại A và B là liên kết ngàm. Tính phản lực liên kết tại B.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
12
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
1) Chọn một hệ cơ bản
2X
1X
Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 2 liên kết tại B 2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản
Tại B bỏ 2 liên kết thì ta thêm vào đó 2 phản lực liên kết
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
2X
3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
1X
X 1 X
X 2 X
0 0
2 qL 2
1
1
12 22
2
1 P 2 P
11 2
MP
M1
L
1
2
ds
ds
M2
11
22
M M 2 EJ
1
2
ds
21
12
Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B bằng không nên ta được 1=2=0. Ta có phương trình chính tắc:
M M 1 EJ
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
13
Để tính các hệ số trong hệ phương trình, ta vẽ biểu đồ mô‐men uốn MP chỉ do tải trọng gây ra, M1 chỉ do lực X1=1 đơn vị gây ra, M2 chỉ do mô‐men X2=1 đơn vị gây ra M M 1 EJ
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
L L L
Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính các tích phân này
11
1 2
2 3
1 EJ
3 L 3 EJ
L 1 1
Lấy biểu đồ M1 nhân với biểu đồ M1
22
1 EJ
L EJ
LL
1
21
12
1 EJ
1 2
2 L EJ 2
Lấy biểu đồ M2 nhân với biểu đồ M2
L
L
Lấy biểu đồ M1 nhân với biểu đồ M2 (hoặc lấy biểu đồ M2 nhân với biểu đồ M1)
P 1
1 3
2 qL 2
3 4
1 EJ
4 qL 8 EJ
L
1
P 2
Lấy biểu đồ M1 nhân với biểu đồ MP
1 3
2 qL 2
1 EJ
3 qL 6 EJ
Lấy biểu đồ M2 nhân với biểu đồ MP
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
0
X
X
1
2
X 1 X
X 2 X
1
1
12 22
2
0 1 P 0 2 P
11 2
X
X
0
1
2
3 L 3 EJ 2 L EJ 2
2 L 2 EJ L EJ
4 qL 8 EJ 3 qL EJ 6
X
1
qL 2
X
2
2 qL 12
Ta có phương trình chính tắc:
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
14
X2<0 nên chiều đúng của phản lực liên kết là chiều ngược lại với chiều giả sử ban đầu.
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L=1 m chịu tải phân bố đều q=20 kN/m. Tại A là liên kết ngàm, đầu B cách mặt nền một đoạn =0,2 cm. Tính phản lực liên kết tại B nếu đầu B chạm vào nền biết dầm có mặt cắt ngang chữ I (No12), E=2.104 kN/cm2.
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Trước tiên, ta phải tính chuyển vị do ngoại lực gây ra có làm đầu B chạm vào mặt nền hay không
y
B
Tính chuyển vị chỉ do tải trọng gây ra.
x
Theo bài ví dụ tính chuyển vị của thanh dầm trong chương trước, ta được chuyển vị tại đầu B là 4 qL EJ 8
4
350 cm
xJ
4
2
0,36 cm
By
0, 2 cm
20 10 100 4 8 2 10 350 By
Thanh dầm mặt cắt chữ I số hiệu 20 nên ta được
Ta thấy
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
15
Nên đầu B chạm vào mặt nền, đây là hệ siêu tĩnh bậc 1
12/14/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
1) Chọn một hệ cơ bản
Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 1 liên kết tại B (liên kết tựa)
1X
2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản
Tại B bỏ 1 liên kết thì ta thêm vào đó 1 phản lực liên kết
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
1X
3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
2 qL 2
2
MP
X 1
11
P
1
1
Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B khác không và bằng nên ta được 1=-=- 0,2 cm (giá trị âm vì chiều chuyển vị ngược chiều X1 quy ước ban đầu). Ta có phương trình chính tắc:
3
M1
0, 05
1
11
4
L
3 L 3 EJ
100 3 2 10 350
0,36 cm
1
P
M1
1m
2m
L
4 qL 8 EJ Ta có phương trình chính tắc: X
0, 05
0,36
0, 2
X 1
11
P
1
1
1
3, 2 kN
X
1
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
16
Tương tự bài trước ta được
