CHƯƠNG 4
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ
2
2
2
"(
"(
)
(
)
)
f
f
,
,
,
,
dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của: d f x y ( 2 f x y dy 0 0
x y dxdy ) 0 0
x y dx 0 0
'' xx
xy
yy
0
0
2
2
Adx
2
Bdxdy Cdy
Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định
dấu của vi phân cấp 2:
2
2
2
2 d f
2
2
2
a dx 11
a dxdy 12
a dxdz a dy 13
22
a dydz a dz 23
33
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Định nghĩa: Cho V là không gian vector n
chiều trên R, hàm
:V
R
xác định như sau: với mỗi
x
(
,...,
V
x x , 1 2
x )n
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
( ) x
2
2
... 2
2 a x 11 1
2
... 2
a x x 12 1 2 2 a x 22 2
... 2
a x x 13 1 3 a x x 23 2 3 2 a x 33 3
3
a x x 1 n 1 n a x x 2 n n 2 a x x 3 n n ....................
2 a x n n n
được gọi là dạng toàn phương trên V.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
3
Ví dụ: Cho dạng toàn phương: :
R x ,
R
)
(
,
,
x ( )
2
4
2 x 1
2
x x 1 2 2 x 2
x x x 3 1 2 x x 6 1 3 x x 2 3 2 x 8 3
2
4
6
2
8
2 x 1
x x 1 2
x x 1 3
2 x 2
x x 2 3
2 x 3
11a
122a
22a
232a
33a
132a
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Định nghĩa: Cho dạng toàn phương
x ( )
2
2
... 2
2 a x 11 1
2
... 2
a x x 12 1 2 2 a x 22 2
... 2
a x x 13 1 3 a x x 23 2 3 2 a x 33 3
3
a x x 1 n 1 n a x x 2 n n 2 a x x 3 n n ....................
2 a x n n n
khi đó, ma trận sau:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
... ...
A
... ...
a 11 a 12 ... a 1 n
a 12 a 22 ... a 2
n
a 1 n a 2 n ... a n n
Gọi là ma trận của dạng toàn phương
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
3
Ví dụ: Cho dạng toàn phương :
R x ,
R
(
)
,
,
( ) 2 x
4
2
8
2 x 1
x x 1 2
2 x 2
x x 2 3
2 x 3
x x x 3 1 2 x x 6 1 3
Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là: 2 1
3 1
A
1
8
2 2 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
,
)
x x x ( , 1 2 3
2 x 1
x x 6 1 2
2 x 3 2
x x 4 2 3
2 x 5 3
3
0
3
A
2
1 3 0
2 5
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
x ( ) 3
7
3
8
10
8
2 x 1
2 x 2
2 x 3
x x 1 2
x x 1 3
x x 2 3
3
4
5
A
4 5
7 4
4 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:
2
3
4
A
1
1 2 3
1 5
Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:
( ) x
4
5
4
6
2
2 x 1
2 x 2
2 x 3
x x 1 2
x x x x 1 3 2 3 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Nhận xét: Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:
2
8
.
x )(
2
x
6
xx 21
xx 31
xx 32
2 2 x 2
x )(
2 2 x 3
2 x 3 2 x .5 3 2 x .4 3
2 x 1 2 3)( x x 1 2 x 2 1
x )(
2 2
5
x
1 2 3 4
2 x 1
2 2
2 x .3 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Dạng chính tắc của dạng toàn phương
Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận
chéo
a 11 0 ... 0
0 a 22 ... 0
... ... ... 0
0 0 ... nna
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
)( x
...
.
Hay
2 xa 11 1
xa 22
2 2
nn xa
2 n
Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng
toàn phương.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc. x ( )
2
10
2
4
8
2 x 1
2 x 2
2 x 3
x x 1 2
x x 1 3
x x 2 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
2
2
2
2
2
(
a b
)
a
2
ab b
a
b
2
ab
2
2
2
2
2
(
a b
)
a
2
ab b
a
b
2
ab
2
2
2
2
2
2
2
2
( a b c ) a b c 2 ab 2 ac bc 2
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
( a b c ) a b c 2 ab 2 ac bc 2
§7: Dạng Toàn phương
( ) x
2
10
2
4
8
2 x 3
x x 2 3
2
2 x 2
x x 1 2 6
x x 1 3 4
(
2 x 1 x 1
x 2
2
2
(
(
x 2 ) 3 x 2 ) 3
2 x 2 x 2
2 x 3 x 2 ) 3
x x 2 3 2 x 2 3
x 1
x 2
2
x 3
Đặt y 1 y
2
x 1 x 2
x 2 x 2 3
y ( )
y
2
2 y 1
2 2
2 y 3
y 3
x 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:
( ) x
x x 2 3
2
2 x 3 )
x x 2 1 3 10x x 2 3
2
5
]
2 x 1 x 1( x ( 1
2 x 6 2 22x x 2 2
13 33x x 3 ) 3
4 x x 1 2 2 22x 2 x 2[ 2
2
2
(
2
2[(
)
]
x 1
x 2
x 3 ) 3
x 2
2 x 3
2
2
(
2
2(
)
x 1
x 2
x 2
x 3
2 x 3
6 2 34x 2 2 x 3 5 x 3 2 5 2
x x 2 3 17 4 17 2
2
y
2 y 1
2 2
2 y 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
x 3 ) 3 17 2
§7: Dạng Toàn phương
Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:
2
x x 1 3
x x 2 3
2
x x 4 1 2 5x x 2 3
Đặt
2 2 x 3 2 ) 3x x 2
2
x 3
2 x 4 x ( ) x 1 x 1( 22x x y 1 1 x
x
x
x 3
2
3
2
y
,
y
2
3
2
2
( ) y
5
y
5
y
2 y 1
2 2
2 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Lagrange:
x ( )
5
10
4
8
2
2 x 1
2 x 2
2 x 3
x x 1 2
x x 1 3
x x 2 3
2
)
(x 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Jacobi (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
3
2
4
6
chính tắc. 2 ( ) x x 2 1
2 x 2
2 x 3
x x 1 2
x x 1 3
x x 2 3
A
2 1
1 3
2 3
1
2
3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
A
2 1 2
1 3 3
2 3 1
Đặt
D
5,
,2
D 2
0 1,
aD 1
11
2 1 1 3
a 11 a 21
a 12 a 22
35,
D 3
2 1 2
1 3 3
2 3 1
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
,...2,1
i
Nếu thì dạng toàn phương
Di
,0 có dạng chính tắc là:
y ( )
y
y
2 y 1
2 2
2 3
D 1 D 2
y ( )
y
2 y 1
2 2
2 y 3
5 2
D 2 D 3 35 5
D 0 D 1 2 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Jacobi:
( ) x
2
3
4
2
8
2 x 1
2 x 2
2 x 3
x x 1 2
x x 1 3
x x 2 3
A
1 2
2 2
1 4
1
4
3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
