BÀI 4
§4: Hạng ma trận
Một hệ phương trình tuyến tính luôn xảy ra
một trong 3 khả năng sau: 1. Hệ vô nghiệm. 2. Hệ có nghiệm duy nhất. 3. Hệ có vô số nghiệm. Vấn đề đặt ra là nhờ vào đâu để ta biết hệ phương trình ấy rơi vào trường hợp nào?
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Để giải quyết vấn đề này người ta đưa ra
khái niệm “Hạng ma trận”.
Nhờ sự so sánh hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình và hạng của ma trận hệ số mở rộng (có cả vế phải) thì ta sẽ biết được hệ phương trình đang xét rơi vào trường hợp nào.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Ví dụ:
12
12A
A
24
12A
1 2 3 4 1 2 2 4 2 3 4 2 4 2 4 6 8 4 8 4 6 8 5 7 9 3 5 7 9
234
123A
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
0
2 A 1
O
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
24 A 13
0 0
0 0 0 0
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
A
a b y x
c d t z
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
a b y x
A
c z
A có duy nhất 1 định thức con cấp 3 và đó là định thức con có cấp lớn nhất
u
v w
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
..
n
r
a 11 0
a 12 a
... ...
... ...
r 12.. A 12.. r
..
22 ..
...
a 1 r a 2 r ..
...
a 1 a 2 n ..
.. .. ..
a 11 0 .. 0
a 12 a 22 .. 0
A
a 1 a r 2 .. a rr
0
0
...
...
a r r
a r n
0
0
... 0
... 0
... 0
... 0
... ...
... 0
... ...
... 0
Các MT con cấp > r chứa ít nhất 1 hàng = 0 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Chú ý:
“Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận”
...
a 11 0
...
a 11 a
... ...
...
a 12 a 22 ...
...
a 1 n a 2 n ...
b 1 b 2 ...
0
0
...
a nn
b n
... ...
21 ... a n 1
a 12 a 22 ... a n
2
a 1 n a 2 n ... a nn
b 1 b 2 ... b n
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Một vấn đề đặt ra là: biến đổi sơ cấp
A B (có dạng hình thang) Khi đó: r(A) = r(B)
?
Chú ý:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Tìm hạng ma trận:
1 3 0 3
2 0 1 3 4 0
4 1
A
r A (
) 3
0 0 0 0 0 0
5 0 0
8 9 0 0 0 0
1 0 0
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận:
1
1
2
0
2
1
1
3
0
? -1
h 1
4 5
2
( 2) h 14 h 11
h 2 h 3 h 4
0 0
1 7
3
2
1
1 1 2 0 -5 3 9 10 -1 8 5 2
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
h 1
2 1 2
1 0 0
1 1 9
2 5 10
h ( 2) 2 h h 4 3 1 1 h h 1 4
1 7
3
2
0
8
5
2
1 1 1 2 4 5
0 3 1
0 3 1
1
2
1
0
1 0
1 1
0
5
1
3
h 4
h 3
( 1)
0
0
35 26
h h 29 3 h 28 h 4
0
0
0
0 0
0 0
0 2 5 3 -35 26 -35 26
0 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Bài tập: Tìm hạng của ma trận sau:
1 2
1 0
1 0
1
2
0
-1
3 1
0 2
5 0
0
h h 12 2 h h 14 3 h 13 h 4
3 0
5
7
0
2 4
2 5
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:
r(A) = 2
0m
1 5
6
A
r(A) = 3
0m
0 4 0 0
7 0 m
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:
1 9 0 2
B
1)
1)
0 0 ( 0 0
0 4 0 2 m 0
7 8 0 m ( 0
1m m 1 m 1
r A 2 ) ( ) 3 r A ( ) 3 r A (
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Bài tập: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:
2
2
h 2 c 2
h 3 c 3
A
5 1
4 m
2 1 5
1 1 2
1 2 m 2 1 4
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
1
2
2
0
3
6
0
0
42m 3
...
r(A) = 2
m 3
42 0
m
14
r(A) = 3
m 3
42
m
0
14
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§4: Hạng ma trận
Bài tập: Biện luận theo a, b hạng của ma
trận sau:
1 2 0
h 3
4
A
h
2 1 3 a 0 3
0 b
3 3 3
1 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
