Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 (cấu trúc không gian véctơ)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TS. Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

1 / 52

TP. HCM — 2011.

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : R × R → R

Số thực

2 • : R → R

(x, y ) → x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52

(λ, x) → λ.x

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : R × R → R

Số thực

2 • : R → R

(x, y ) → x + y

(λ, x) → λ.x

1 + : C × C → C

Số phức

2 • : C → C

(x, y ) → x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52

(λ, x) → λ.x

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : R × R → R

Số thực

2 • : R → R

(x, y ) → x + y

(λ, x) → λ.x

1 + : C × C → C

Số phức

2 • : C → C

(x, y ) → x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52

(λ, x) → λ.x

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : R × R → R

Số thực

2 • : R → R

2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, p(x)) → λ.p(x)

Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) (x, y ) → x + y

(λ, x) → λ.x

1 + : C × C → C

Số phức

2 • : C → C

(x, y ) → x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52

(λ, x) → λ.x

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : R × R → R

Số thực

2 • : R → R

2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, p(x)) → λ.p(x)

Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) (x, y ) → x + y

(λ, x) → λ.x

1 + : C × C → C

Số phức

2 • : C → C

(x, y ) → x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52

KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : R × R → R

Số thực

2 • : R → R

2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, p(x)) → λ.p(x)

Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) (x, y ) → x + y

(λ, x) → λ.x

1 + : C × C → C

Số phức

2 • : C → C

(x, y ) → x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52

KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : R × R → R

Số thực

2 • : R → R

2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, p(x)) → λ.p(x)

Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) (x, y ) → x + y

(λ, x) → λ.x

1 + : C × C → C

Số phức

2 • : C → C

(x, y ) → x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52

KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : R × R → R

Số thực

2 • : R → R

2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, p(x)) → λ.p(x)

Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) (x, y ) → x + y

(λ, x) → λ.x

1 + : C × C → C

Số phức

2 • : C → C

(x, y ) → x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52

KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x

1 + : E × E → E

2 • : K × E → E

(x, y ) (cid:55)−→ x + y

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .

2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

2 • : K × E → E

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .

2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .

2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .

2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:

2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .

3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E . 2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E . 2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E . 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E . 2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E . 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E . 6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

8 1.x = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E . 6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E . 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E . 6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E . 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E . 8 1.x = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

1 + : E × E → E (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × E → E (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Cho E (cid:54)= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

(λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E . 6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E . 7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E . 8 1.x = x, ∀x ∈ E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52

thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.

Cn = {x = (x1, . . . , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, • : C × Cn → Cn (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) (λ, x) → (λx1, . . . , λxn)

X (cid:54)= ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E } + : E X × E X → E X , • : K × E X → E X (f , g ) → (f + g )(x) = f (x) + g (x), ∀x ∈ X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x)

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

Mm×n(K ) + : Mm×n(K ) × Mm×n(K ) → Mm×n(K ), • : K × Mm×n(K ) → Mm×n(K ) (A, B) → A + B = (aij + bij ), (λ, A) → λA = (λaij )

Ví dụ không gian véctơ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

4 / 52

Rn = {x = (x1, . . . , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, • : R × Rn → Rn (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) (λ, x) → (λx1, . . . , λxn)

X (cid:54)= ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E } + : E X × E X → E X , • : K × E X → E X (f , g ) → (f + g )(x) = f (x) + g (x), ∀x ∈ X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x)

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

Mm×n(K ) + : Mm×n(K ) × Mm×n(K ) → Mm×n(K ), • : K × Mm×n(K ) → Mm×n(K ) (A, B) → A + B = (aij + bij ), (λ, A) → λA = (λaij )

Ví dụ không gian véctơ

Rn = {x = (x1, . . . , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, • : R × Rn → Rn (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) (λ, x) → (λx1, . . . , λxn)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

4 / 52

Cn = {x = (x1, . . . , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, • : C × Cn → Cn (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) (λ, x) → (λx1, . . . , λxn)

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

Mm×n(K ) + : Mm×n(K ) × Mm×n(K ) → Mm×n(K ), • : K × Mm×n(K ) → Mm×n(K ) (A, B) → A + B = (aij + bij ), (λ, A) → λA = (λaij )

Ví dụ không gian véctơ

Rn = {x = (x1, . . . , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, • : R × Rn → Rn (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) (λ, x) → (λx1, . . . , λxn)

Cn = {x = (x1, . . . , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, • : C × Cn → Cn (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) (λ, x) → (λx1, . . . , λxn)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

4 / 52

X (cid:54)= ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E } • : K × E X → E X + : E X × E X → E X , (f , g ) → (f + g )(x) = f (x) + g (x), ∀x ∈ X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x)

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

Ví dụ không gian véctơ

Rn = {x = (x1, . . . , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, • : R × Rn → Rn (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) (λ, x) → (λx1, . . . , λxn)

Cn = {x = (x1, . . . , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, • : C × Cn → Cn (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) (λ, x) → (λx1, . . . , λxn)

X (cid:54)= ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E } • : K × E X → E X + : E X × E X → E X , (f , g ) → (f + g )(x) = f (x) + g (x), ∀x ∈ X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

4 / 52

Mm×n(K ) + : Mm×n(K ) × Mm×n(K ) → Mm×n(K ), (A, B) → A + B = (aij + bij ), • : K × Mm×n(K ) → Mm×n(K ) (λ, A) → λA = (λaij )

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E .

2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

, 1 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

x2

x1

(λ + µ)x = (x λ+µ , x λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E .

2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

, 1 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

x2

x1

(λ + µ)x = (x λ+µ , x λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E .

2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1

Kiểm tra 8 tiên đề

, 1 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

x2

x1

(λ + µ)x = (x λ+µ , x λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E .

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E .

2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1

, 1 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

x2

x1

(λ + µ)x = (x λ+µ , x λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1

, 1 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

x2

x1

(λ + µ)x = (x λ+µ , x λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1

, 1 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

x2

x1

(λ + µ)x = (x λ+µ , x λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E . 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1

, 1 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

x2

x1

(λ + µ)x = (x λ+µ , x λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E . 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E . 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

(λ + µ)x = (x λ+µ , x λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E . 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E . 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1 x1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) , 1 x2

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E . 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E . 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( 1 , 1 x1 x2 , x λ+µ (λ + µ)x = (x λ+µ 2

) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

7 λ(µx) = (x λµ

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

8 1.x = (x 1

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E . 7 λ(µx) = (x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 , x λµ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E . 7 λ(µx) = (x λµ 1 , x 1 8 1.x = (x 1

1 , x λµ 2 ) = x, ∀x ∈ E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] • : K × C[a,b] → C[a,b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x)

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x λ

1 , x λ

2 ).

Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề

) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1)

) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

6 λ(x + y ) = ((x1y1)λ, (x2y2)λ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E . 7 λ(µx) = (x λµ 1 , x 1 8 1.x = (x 1

1 , x λµ 2 ) = x, ∀x ∈ E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 52

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (λx1, λx2). Tuy nhiên, λ(x +y ) = λ(x1y1, x2y2) = (λx1x2, λy1y2) (cid:54)= (λx1.λx2, λy1.λ.y2) = λx +λy với λ (cid:54)= 0 và λ (cid:54)= 1.

VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT

Đa thức có bậc đúng bằng n > 0

+ : (cid:102)Pn(x) × (cid:102)Pn(x) → (cid:102)Pn(x), • : R × (cid:102)Pn(x) → (cid:102)Pn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) (λ, p(x)) → λ.p(x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

6 / 52

Tuy nhiên, ∀p(x) ∈ (cid:102)Pn(x) thì 0.p(x) = 0 /∈ (cid:102)Pn(x).

Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT

Đa thức có bậc đúng bằng n > 0

+ : (cid:102)Pn(x) × (cid:102)Pn(x) → (cid:102)Pn(x), • : R × (cid:102)Pn(x) → (cid:102)Pn(x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) (λ, p(x)) → λ.p(x).

Tuy nhiên, ∀p(x) ∈ (cid:102)Pn(x) thì 0.p(x) = 0 /∈ (cid:102)Pn(x).

• : R × E → E E = R2 + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (λx1, λx2).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

6 / 52

Tuy nhiên, λ(x +y ) = λ(x1y1, x2y2) = (λx1x2, λy1y2) (cid:54)= (λx1.λx2, λy1.λ.y2) = λx +λy với λ (cid:54)= 0 và λ (cid:54)= 1.

1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0.

3 λ(x − y ) = λx − λy

4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất.

Cấu trúc không gian véctơ

Định lý

(λ − µ)x = λx − µx.

Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

7 / 52

Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có

3 λ(x − y ) = λx − λy

4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất.

Cấu trúc không gian véctơ

Định lý

(λ − µ)x = λx − µx.

Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ

Định lý

1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

7 / 52

Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có

3 λ(x − y ) = λx − λy

4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất.

Cấu trúc không gian véctơ

Định lý

Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ

Định lý

1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0.

Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

7 / 52

(λ − µ)x = λx − µx.

4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất.

Cấu trúc không gian véctơ

Định lý

Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ

Định lý

1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0.

Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có

3 λ(x − y ) = λx − λy

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

7 / 52

(λ − µ)x = λx − µx.

Cấu trúc không gian véctơ

Định lý

Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ

Định lý

1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0.

Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có

3 λ(x − y ) = λx − λy

4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

7 / 52

(λ − µ)x = λx − µx.

Cấu trúc không gian véctơ

Định lý

Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ

Định lý

1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0.

Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có

3 λ(x − y ) = λx − λy

4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

7 / 52

(λ − µ)x = λx − µx.

1 F (cid:54)= ∅

2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

Định lý

1 + : F × F → F

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

2 • : K × F → F

(x, y ) (cid:55)−→ x + y

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Không gian véctơ con

Định nghĩa

cảm sinh bởi các luật của E .

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

Định lý

1 + : F × F → F

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

2 • : K × F → F

(x, y ) (cid:55)−→ x + y

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Không gian véctơ con

Định nghĩa

cảm sinh bởi các luật của E .

Định nghĩa

1 F (cid:54)= ∅

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

Định lý

1 + : F × F → F

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

2 • : K × F → F

(x, y ) (cid:55)−→ x + y

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Không gian véctơ con

Định nghĩa

cảm sinh bởi các luật của E .

Định nghĩa

1 F (cid:54)= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

Định lý

1 + : F × F → F

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

2 • : K × F → F

(x, y ) (cid:55)−→ x + y

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Không gian véctơ con

Định nghĩa

cảm sinh bởi các luật của E .

Định nghĩa

1 F (cid:54)= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

Định lý

1 + : F × F → F

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

2 • : K × F → F

(x, y ) (cid:55)−→ x + y

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Không gian véctơ con

Định nghĩa

cảm sinh bởi các luật của E .

Định nghĩa

1 F (cid:54)= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

1 + : F × F → F

2 • : K × F → F

(x, y ) (cid:55)−→ x + y

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Không gian véctơ con

Định nghĩa

cảm sinh bởi các luật của E .

Định nghĩa

1 F (cid:54)= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

2 • : K × F → F

(λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Không gian véctơ con

Định nghĩa

cảm sinh bởi các luật của E .

Định nghĩa

1 F (cid:54)= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

Định lý

1 + : F × F → F (x, y ) (cid:55)−→ x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

Không gian véctơ con

Định nghĩa

cảm sinh bởi các luật của E .

Định nghĩa

1 F (cid:54)= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

Định lý

1 + : F × F → F (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × F → F (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

Không gian véctơ con

Định nghĩa

1 F (cid:54)= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi

Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

Định lý

1 + : F × F → F (x, y ) (cid:55)−→ x + y

2 • : K × F → F (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

8 / 52

cảm sinh bởi các luật của E .

Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .

Vậy F là không gian véctơ con của R2.

Ví dụ

F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

Không gian véctơ con

Ví dụ

Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅. ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1 − 2x2 + x3) + (2y1 − 2y2 + y3) = 0 ⇒ x + y ∈ F ,

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

9 / 52

Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2.

Không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2.

Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .

Vậy F là không gian véctơ con của R2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

9 / 52

Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

Không gian véctơ con

Ví dụ

∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1 − 2x2 + x3) + (2y1 − 2y2 + y3) = 0 ⇒ x + y ∈ F ,

Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2.

Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .

Vậy F là không gian véctơ con của R2.

Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

9 / 52

Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅.

Không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2.

Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .

Vậy F là không gian véctơ con của R2.

Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

9 / 52

2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅. ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), (2x1 − 2x2 + x3) + (2y1 − 2y2 + y3) = 0 ⇒ x + y ∈ F ,

Vậy F là không gian véctơ con của R3.

Ví dụ

F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

Không gian véctơ con

Ví dụ

Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1+y1)+2(x2+y2)+(x3+y3) = (x1+2x2+x3)+(y1+2y2+y3) = 1+1 = 2. Do đó x + y /∈ F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

10 / 52

∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx2), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F .

Ví dụ

F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

Không gian véctơ con

Ví dụ

Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1+y1)+2(x2+y2)+(x3+y3) = (x1+2x2+x3)+(y1+2y2+y3) = 1+1 = 2. Do đó x + y /∈ F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

10 / 52

∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx2), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R3.

Không gian véctơ con

Ví dụ

Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1+y1)+2(x2+y2)+(x3+y3) = (x1+2x2+x3)+(y1+2y2+y3) = 1+1 = 2. Do đó x + y /∈ F .

∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx2), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

10 / 52

Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

Không gian véctơ con

Ví dụ

∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx2), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R3.

Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

10 / 52

Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1+y1)+2(x2+y2)+(x3+y3) = (x1+2x2+x3)+(y1+2y2+y3) = 1+1 = 2. Do đó x + y /∈ F .

Chứng minh. Đặt F = (cid:84) Fi

i∈I

1 F (cid:54)= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F .

2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F

3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F .

Định nghĩa

Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2.

Định lý

Không gian véctơ con

Các phép toán đối với không gian con

Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E .

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

11 / 52

Fi là một không gian véctơ con của E . Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì (cid:84) i∈I

1 F (cid:54)= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F .

2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F

3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F .

Định nghĩa

Định lý

Không gian véctơ con

Các phép toán đối với không gian con

Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Fi là một không gian véctơ con của E . Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì (cid:84) i∈I

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

11 / 52

Fi Chứng minh. Đặt F = (cid:84) i∈I

2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F

3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F .

Định nghĩa

Định lý

Không gian véctơ con

Các phép toán đối với không gian con

Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Fi là một không gian véctơ con của E . Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì (cid:84) i∈I

1 F (cid:54)= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

11 / 52

Fi Chứng minh. Đặt F = (cid:84) i∈I

3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F .

Định nghĩa

Định lý

Không gian véctơ con

Các phép toán đối với không gian con

Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Fi là một không gian véctơ con của E . Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì (cid:84) i∈I

1 F (cid:54)= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

11 / 52

Fi Chứng minh. Đặt F = (cid:84) i∈I

Định lý

Không gian véctơ con

Các phép toán đối với không gian con

Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Fi là một không gian véctơ con của E . Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì (cid:84) i∈I

1 F (cid:54)= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F 3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F .

Fi Chứng minh. Đặt F = (cid:84) i∈I

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

11 / 52

Không gian véctơ con

Các phép toán đối với không gian con

Định lý

Fi là một không gian véctơ con của E . Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì (cid:84) i∈I

Fi Chứng minh. Đặt F = (cid:84) i∈I

Định nghĩa

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

11 / 52

Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E .

Ví dụ

K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có F1 (cid:84) F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0}

Định lý

Không gian véctơ con

Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E có tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất thành tổng của một phần tử của F1 và một phần tử của F2.

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

12 / 52

Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta nói (cid:84) F2 = {0}. Khi đó ta ký rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.

Định lý

Không gian véctơ con

Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

12 / 52

(cid:84) F2 = {0} và Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có F1 F1 ⊕ F2 = R × R × {0}

Không gian véctơ con

Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

Định nghĩa

(cid:84) F2 = {0} và Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có F1 F1 ⊕ F2 = R × R × {0}

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

12 / 52

Ví dụ

Không gian véctơ con

Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

K = R, E = R2, các không gian véctơ con F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 (cid:84) F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E

Định nghĩa

Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

13 / 52

⇔ ⇔ F1 ⊕ F2 = E . (cid:26) F1 + F2 = E (cid:84) F2 = {0} F1

Không gian véctơ con

Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

Định nghĩa

Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E

⇔ ⇔ F1 ⊕ F2 = E . (cid:26) F1 + F2 = E (cid:84) F2 = {0} F1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

13 / 52

Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 (cid:84) F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E

Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn hay không?

Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R.

Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tổ hợp tuyến tính

Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, n ∈ N∗, x1, x2, . . . , xn ∈ E , λ1, λ2, . . . , λn ∈ K . Ta gọi λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn là tổ hợp tuyến tính của x =

n (cid:80) i=1 x1, x2, . . . , xn.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

14 / 52

Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R.

Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tổ hợp tuyến tính

Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, n ∈ N∗, x1, x2, . . . , xn ∈ E , λ1, λ2, . . . , λn ∈ K . Ta gọi λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn là tổ hợp tuyến tính của x =

n (cid:80) i=1 x1, x2, . . . , xn.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

14 / 52

Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn hay không?

Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tổ hợp tuyến tính

Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, n ∈ N∗, x1, x2, . . . , xn ∈ E , λ1, λ2, . . . , λn ∈ K . Ta gọi λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn là tổ hợp tuyến tính của x =

n (cid:80) i=1 x1, x2, . . . , xn.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

14 / 52

Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tổ hợp tuyến tính

Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, n ∈ N∗, x1, x2, . . . , xn ∈ E , λ1, λ2, . . . , λn ∈ K . Ta gọi λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn là tổ hợp tuyến tính của x =

n (cid:80) i=1 x1, x2, . . . , xn.

Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

14 / 52

Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, n ∈ N∗, x1, x2, . . . , xn ∈ E , λ1, λ2, . . . , λn ∈ K . Ta gọi λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn là tổ hợp tuyến tính của x =

n (cid:80) i=1 x1, x2, . . . , xn.

Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

14 / 52

Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn. Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn.

Giải. λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x        2 −1 1 1 λ1 λ1 = 1  1 1 1 4 ⇔ λ2 λ2 = 2     =   ⇔  1 −1 −2 −3 λ3 λ3 = 1 Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

x = x1 + 2x2 + x3.

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

15 / 52

Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không?

Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

x = x1 + 2x2 + x3.

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

15 / 52

Giải. λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x         ⇔     =   ⇔  1 2 −1 1 1 1 1 −1 −2 1 4 −3 λ1 λ2 λ3 λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không?

Giải. λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x         ⇔     =   ⇔  1 2 −1 1 1 1 1 −1 −2 1 4 −3 λ1 λ2 λ3 λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = 1

Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

15 / 52

x = x1 + 2x2 + x3.

Giải. (cid:12) (cid:12)    

h2→h2−2h1

1 1 −2 4 1 1 −2 4 (cid:12) (cid:12)

h3→h3−5h1

h3→h3−2h1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

(cid:12) (cid:12) 0 1 7 −5 2 3 3 3 −−−−−−−→ −−−−−−−→ (cid:12) (cid:12)     (cid:12) (cid:12) 0 2 14 −15 5 7 4 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12)   1 1 −2 4 (cid:12) (cid:12) 0 1 7 −5 (cid:12)   (cid:12) 0 0 0 −5 (cid:12) Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4)

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

16 / 52

Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

(cid:12)   1 1 −2 4 (cid:12)

h3→h3−2h1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

(cid:12) 0 1 7 −5 −−−−−−−→ (cid:12)   (cid:12) 0 2 14 −15 (cid:12) (cid:12)   1 1 −2 4 (cid:12) (cid:12) 0 1 7 −5 (cid:12)   (cid:12) 0 0 0 −5 (cid:12) Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4)

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

 Giải. 

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

16 / 52

  4 3 5 1 1 −2 3 2 3 4 5 7 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

(cid:12)   1 1 −2 4 (cid:12) (cid:12) 0 1 7 −5 (cid:12)   (cid:12) 0 0 0 −5 (cid:12) Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4)

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

 Giải.   

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

h3→h3−2h1 −−−−−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

16 / 52

    4 3 5 1 1 −2 3 2 3 4 5 7 4 −5 −15 1 1 −2 7 0 1 14 0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4)

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

  Giải.  

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

h3→h3−2h1 −−−−−−−→

    4 3 5 4 −5 −15 1 1 −2 7 0 1 14 0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

16 / 52

  1 1 −2 3 2 3 5 7 4 1 1 −2 7 0 1 0 0 0 4 −5 −5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4)

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

  Giải.  

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

h3→h3−2h1 −−−−−−−→

    4 3 5 4 −5 −15 1 1 −2 7 0 1 14 0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

16 / 52

  1 1 −2 3 2 3 5 7 4 1 1 −2 7 0 1 0 0 0 4 −5 −5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

  Giải.  

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

h3→h3−2h1 −−−−−−−→

    4 3 5 4 −5 −15 1 1 −2 7 0 1 14 0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)  

  1 1 −2 3 2 3 5 7 4 1 1 −2 7 0 1 0 0 0 4 −5 −5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

16 / 52

Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4)

Giải. (cid:12) (cid:12)    

h2→h2−2h1

h3→h3−2h1

1 1 −2 4 1 1 −2 4 (cid:12) (cid:12)

h3→h3−5h1

h1→h1−h2

(cid:12) (cid:12) 0 1 7 −5 2 3 3 3 −−−−−−−→ −−−−−−−→ (cid:12) (cid:12)     (cid:12) (cid:12) −10 10 0 2 14 5 7 4 (cid:12) (cid:12) (cid:12)   1 0 −9 9 (cid:12) (cid:12) 0 1 7 −5 (cid:12)   (cid:12) 0 0 0 0 (cid:12)

Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R.

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

17 / 52

Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

(cid:12)  

h3→h3−2h1

1 1 −2 4 (cid:12)

h1→h1−h2

(cid:12) 0 1 7 −5 −−−−−−−→ (cid:12)   (cid:12) −10 0 2 14 (cid:12) (cid:12)   1 0 −9 9 (cid:12) (cid:12) 0 1 7 −5 (cid:12)   (cid:12) 0 0 0 0 (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R.

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

 Giải. 

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

17 / 52

  4 3 10 1 1 −2 3 2 3 4 5 7 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12)   1 0 −9 9 (cid:12) (cid:12) 0 1 7 −5 (cid:12)   (cid:12) 0 0 0 0 (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R.

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

 Giải.   

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

h3→h3−2h1 h1→h1−h2 −−−−−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

17 / 52

    4 3 10 1 1 −2 3 2 3 4 5 7 4 −5 −10 1 1 −2 7 0 1 14 0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R.

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

  Giải.  

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

h3→h3−2h1 h1→h1−h2 −−−−−−−→

    4 −5 −10 1 1 −2 7 0 1 14 0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

17 / 52

  4 3 10 9 −5 0 1 1 −2 3 2 3 5 7 4 1 0 −9 7 0 1 0 0 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R.

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

  Giải.  

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

h3→h3−2h1 h1→h1−h2 −−−−−−−→

    4 −5 −10 1 1 −2 7 0 1 14 0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

17 / 52

  4 3 10 9 −5 0 1 1 −2 3 2 3 5 7 4 1 0 −9 7 0 1 0 0 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không?

  Giải.  

h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 −−−−−−−→

h3→h3−2h1 h1→h1−h2 −−−−−−−→

    4 −5 −10 1 1 −2 7 0 1 14 0 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)  

  4 3 10 9 −5 0 1 1 −2 3 2 3 5 7 4 1 0 −9 7 0 1 0 0 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

17 / 52

x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R.

Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, . . . , xn}. Kí hiệu W = span(S)

1 0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W (cid:54)= ∅.

Chứng minh

n

2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y =

(cid:80) (cid:80) (cid:80) λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W .

i=1

n

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

(cid:80) (cid:80) λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .

i=1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Bao tuyến tính

Vậy W là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Cho S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E , E − là một K -kgv. Khi đó

W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x = λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

18 / 52

một không gian véctơ con của E .

1 0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W (cid:54)= ∅.

Chứng minh

n

2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y =

(cid:80) (cid:80) (cid:80) λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W .

i=1

n

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

(cid:80) (cid:80) λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .

i=1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Bao tuyến tính

Vậy W là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Cho S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E , E − là một K -kgv. Khi đó

W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x = λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

18 / 52

một không gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, . . . , xn}. Kí hiệu W = span(S)

n

2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y =

(cid:80) (cid:80) (cid:80) λi xi + γi xi = (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W .

i=1

n

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

(cid:80) (cid:80) λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .

i=1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Bao tuyến tính

Vậy W là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Cho S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E , E − là một K -kgv. Khi đó

W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x = λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là

n (cid:80) i=1

một không gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, . . . , xn}. Kí hiệu W = span(S)

1 0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W (cid:54)= ∅.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

18 / 52

Chứng minh

n

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

(cid:80) (cid:80) λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .

i=1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Bao tuyến tính

Vậy W là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Cho S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E , E − là một K -kgv. Khi đó

W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x = λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là

n (cid:80) i=1

một không gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, . . . , xn}. Kí hiệu W = span(S)

2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y =

Chứng minh

1 0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W (cid:54)= ∅. n (cid:80) i=1

γi xi = λi xi + (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W .

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

18 / 52

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Bao tuyến tính

Vậy W là một không gian véctơ con của E .

Định lý

Cho S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E , E − là một K -kgv. Khi đó

W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x = λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là

n (cid:80) i=1

một không gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, . . . , xn}. Kí hiệu W = span(S)

2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y =

Chứng minh

1 0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W (cid:54)= ∅. n (cid:80) i=1

γi xi = λi xi + (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W .

n (cid:80) i=1

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

18 / 52

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Bao tuyến tính

Định lý

Cho S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E , E − là một K -kgv. Khi đó

W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x = λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là

n (cid:80) i=1

một không gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, . . . , xn}. Kí hiệu W = span(S)

2 ∀x, y ∈ W ⇒ x +y =

Chứng minh

1 0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W (cid:54)= ∅. n (cid:80) i=1

γi xi = λi xi + (λi +γi )xi ⇒ x +y ∈ W .

n (cid:80) i=1

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

λi xi = (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

18 / 52

Vậy W là một không gian véctơ con của E .

Giải. < M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}

Ví dụ

Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Giải. < M >= {λ1(x − 2) + λ2(x − 2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} = {λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

19 / 52

Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định < M > .

Ví dụ

Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Giải. < M >= {λ1(x − 2) + λ2(x − 2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} = {λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}

Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định < M > .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

19 / 52

Giải. < M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Giải. < M >= {λ1(x − 2) + λ2(x − 2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} = {λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}

Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định < M > .

Giải. < M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

19 / 52

Ví dụ Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định < M > .

Giải. < M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}

Ví dụ Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

19 / 52

Giải. < M >= {λ1(x − 2) + λ2(x − 2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} = {λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}

1 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, . . . , xm} là phụ thuộc tuyến tính khi

và chỉ khi tồn tại λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho

m

(cid:80) tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0

i=1

2 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, . . . , xm} là độc lập tuyến tính khi và

m

(cid:80) chỉ khi tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0

i=1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

⇒ λ1 = λ2 = . . . = λm = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

20 / 52

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, m ∈ N∗, x1, x2, . . . , xm ∈ E . Ta nói

2 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, . . . , xm} là độc lập tuyến tính khi và

m

(cid:80) chỉ khi tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0

i=1

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

⇒ λ1 = λ2 = . . . = λm = 0

1 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, . . . , xm} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, m ∈ N∗, x1, x2, . . . , xm ∈ E . Ta nói

tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0

m (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

20 / 52

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

1 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, . . . , xm} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, m ∈ N∗, x1, x2, . . . , xm ∈ E . Ta nói

tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0

m (cid:80) i=1

2 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, . . . , xm} là độc lập tuyến tính khi và

chỉ khi tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0

m (cid:80) i=1 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λm = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

20 / 52

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

1 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, . . . , xm} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho

Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, m ∈ N∗, x1, x2, . . . , xm ∈ E . Ta nói

tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0

m (cid:80) i=1

2 Họ hữu hạn những véctơ {x1, x2, . . . , xm} là độc lập tuyến tính khi và

chỉ khi tổ hợp tuyến tính λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0

m (cid:80) i=1 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λm = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

20 / 52

Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + . . . + λmxm = 0 với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó

Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

21 / 52

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

21 / 52

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

21 / 52

Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

21 / 52

Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

21 / 52

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp đặc biệt m = n

Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).

Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp x1, x2, . . . , xm ∈ Rn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

22 / 52

(cid:1) và xác định r (A). . . . x T m Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2

Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp đặc biệt m = n

Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).

Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp x1, x2, . . . , xm ∈ Rn

(cid:1) và xác định r (A). . . . x T m Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

22 / 52

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Trường hợp đặc biệt m = n

Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).

Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp x1, x2, . . . , xm ∈ Rn

(cid:1) và xác định r (A). . . . x T m Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

22 / 52

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp x1, x2, . . . , xm ∈ Rn

(cid:1) và xác định r (A). . . . x T m Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp đặc biệt m = n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

22 / 52

Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp x1, x2, . . . , xm ∈ Rn

(cid:1) và xác định r (A). . . . x T m Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp đặc biệt m = n

Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

22 / 52

Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp x1, x2, . . . , xm ∈ Rn

(cid:1) và xác định r (A). . . . x T m Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp đặc biệt m = n

Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

22 / 52

Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp x1, x2, . . . , xm ∈ Rn

(cid:1) và xác định r (A). . . . x T m Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp đặc biệt m = n

Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

22 / 52

Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.

Giải.   2 3 1 1 2 1 x T x T Đặt A = (cid:0) x T (cid:1) =   .

1

2

3

2 1 4

Ta thấy det(A) = 5 (cid:54)= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.   1 4 7 2 5 8 x T x T Đặt A = (cid:0) x T (cid:1) =   .

1

2

3

3 6 9

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

23 / 52

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Ta thấy det(A) = 5 (cid:54)= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.   1 4 7 2 5 8 x T x T Đặt A = (cid:0) x T (cid:1) =   .

1

2

3

3 6 9

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

23 / 52

(cid:1) =   . Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3 2 3 1 1 2 1 2 1 4

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.   1 4 7 2 5 8 x T x T Đặt A = (cid:0) x T (cid:1) =   .

1

2

3

3 6 9

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

(cid:1) =   . Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3 2 3 1 1 2 1 2 1 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

23 / 52

Ta thấy det(A) = 5 (cid:54)= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính.

Giải.   1 4 7 2 5 8 x T x T Đặt A = (cid:0) x T (cid:1) =   .

1

2

3

3 6 9

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

(cid:1) =   . Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3 2 3 1 1 2 1 2 1 4

Ta thấy det(A) = 5 (cid:54)= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính.

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

23 / 52

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

(cid:1) =   . Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3 2 3 1 1 2 1 2 1 4

Ta thấy det(A) = 5 (cid:54)= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

23 / 52

(cid:1) =   . x T 3 x T 2 Đặt A = (cid:0) x T 1 1 4 7 2 5 8 3 6 9

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

(cid:1) =   . Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3 2 3 1 1 2 1 2 1 4

Ta thấy det(A) = 5 (cid:54)= 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

(cid:1) =   . x T 3 x T 2 Đặt A = (cid:0) x T 1 1 4 7 2 5 8 3 6 9

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

23 / 52

Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Giải.  

h2→h2−h1

1 2 1

h3→h3−2h1

1 3 2

h4→h4−3h1

  x T x T Đặt A = (cid:0) x T (cid:1) = −−−−−−−→  

1

2

3

2 3 1   3 1 −2     1 2 1 1 2 1

h3→h3+h2

0 1 1 0 1 1

h4→h4+5h2

    −−−−−−−→ ⇒ r (A) = 2 < 3 = m.     0 0 0 0 −1 −1     0 0 0 0 −5 −5

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

24 / 52

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

    1 2 1 1 2 1

h3→h3+h2

0 1 1 0 1 1

h4→h4+5h2

    −−−−−−−→ ⇒ r (A) = 2 < 3 = m.     0 −1 −1 0 0 0     0 −5 −5 0 0 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

h2→h2−h1 h3→h3−2h1 h4→h4−3h1 −−−−−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

24 / 52

(cid:1) = Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3       1 1 2 2 1 3 2 3 1 3 1 −2

  1 2 1 0 1 1   ⇒ r (A) = 2 < 3 = m.   0 0 0   0 0 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

h2→h2−h1 h3→h3−2h1 h4→h4−3h1 −−−−−−−→

(cid:1) = Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3       1 1 2 2 1 3 2 3 1 3 1 −2  

h3→h3+h2 h4→h4+5h2 −−−−−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

24 / 52

      1 2 1 0 1 1 0 −1 −1 0 −5 −5

⇒ r (A) = 2 < 3 = m.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

h2→h2−h1 h3→h3−2h1 h4→h4−3h1 −−−−−−−→

(cid:1) = Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3      

   

h3→h3+h2 h4→h4+5h2 −−−−−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

24 / 52

            1 2 1 0 1 1 0 −1 −1 0 −5 −5 1 1 2 2 1 3 2 3 1 3 1 −2 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

h2→h2−h1 h3→h3−2h1 h4→h4−3h1 −−−−−−−→

(cid:1) = Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3      

   

⇒ r (A) = 2 < 3 = m.

h3→h3+h2 h4→h4+5h2 −−−−−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

24 / 52

            1 2 1 0 1 1 0 −1 −1 0 −5 −5 1 1 2 2 1 3 2 3 1 3 1 −2 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải.  

h2→h2−h1 h3→h3−2h1 h4→h4−3h1 −−−−−−−→

(cid:1) = Đặt A = (cid:0) x T 1 x T 2 x T 3      

   

⇒ r (A) = 2 < 3 = m.

h3→h3+h2 h4→h4+5h2 −−−−−−−→

            1 2 1 0 1 1 0 −1 −1 0 −5 −5 1 1 2 2 1 3 2 3 1 3 1 −2 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

24 / 52

Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính.

Giải. Xét phương trình

λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0

⇔ (λ1 + λ2 + 2λ3)x 2 + (λ1 + 3λ2 + λ3)x + (λ1 + 2λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R   λ1 + λ2 + 2λ3 = 0 λ1 = 0   ⇔ ⇔ λ1 + 3λ2 + λ3 = 0 λ2 = 0   λ1 + 2λ2 + λ3 = 0 λ3 = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Vậy p1(x), p2(x), p3(x) độc lập tuyến tính.

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

25 / 52

Xác định tập hợp các véctơ p1(x) = x 2 + x + 1, p2(x) = x 2 + 3x + 2, p3(x) = 2x 2 + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Vậy p1(x), p2(x), p3(x) độc lập tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ p1(x) = x 2 + x + 1, p2(x) = x 2 + 3x + 2, p3(x) = 2x 2 + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải. Xét phương trình

λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0

⇔ (λ1 + λ2 + 2λ3)x 2 + (λ1 + 3λ2 + λ3)x + (λ1 + 2λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

25 / 52

    ⇔ ⇔   λ1 + λ2 + 2λ3 = 0 λ1 + 3λ2 + λ3 = 0 λ1 + 2λ2 + λ3 = 0 λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ p1(x) = x 2 + x + 1, p2(x) = x 2 + 3x + 2, p3(x) = 2x 2 + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải. Xét phương trình

λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0

⇔ (λ1 + λ2 + 2λ3)x 2 + (λ1 + 3λ2 + λ3)x + (λ1 + 2λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R

    ⇔ ⇔   λ1 + λ2 + 2λ3 = 0 λ1 + 3λ2 + λ3 = 0 λ1 + 2λ2 + λ3 = 0 λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

25 / 52

Vậy p1(x), p2(x), p3(x) độc lập tuyến tính.

Giải. Xét phương trình

λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0

⇔ (3λ1 + 2λ2 + 2λ3)x 2 + (2λ1 + λ2 + λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R   3λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0 λ1 = 0   ⇔ ⇔ , t ∈ R 1λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ2 = −t   2λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ3 = t

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Hệ này có vô số nghiệm nên p1(x), p2(x), p3(x) phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

26 / 52

Xác định tập hợp các véctơ p1(x) = 3x 2 + 2x + 2, p2(x) = x 2 + x + 1, p3(x) = 2x 2 + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Hệ này có vô số nghiệm nên p1(x), p2(x), p3(x) phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ p1(x) = 3x 2 + 2x + 2, p2(x) = x 2 + x + 1, p3(x) = 2x 2 + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải. Xét phương trình

λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0

⇔ (3λ1 + 2λ2 + 2λ3)x 2 + (2λ1 + λ2 + λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

26 / 52

    ⇔ ⇔ , t ∈ R   3λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0 1λ1 + λ2 + λ3 = 0 2λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ1 = 0 λ2 = −t λ3 = t

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Xác định tập hợp các véctơ p1(x) = 3x 2 + 2x + 2, p2(x) = x 2 + x + 1, p3(x) = 2x 2 + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải. Xét phương trình

λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0

⇔ (3λ1 + 2λ2 + 2λ3)x 2 + (2λ1 + λ2 + λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R

    ⇔ ⇔ , t ∈ R   3λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0 1λ1 + λ2 + λ3 = 0 2λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ1 = 0 λ2 = −t λ3 = t

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

26 / 52

Hệ này có vô số nghiệm nên p1(x), p2(x), p3(x) phụ thuộc tuyến tính.

Giải. Xét phương trình λ1x + λ2y = 0

⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0

(cid:26) λ1 + λ1.i − λ2 + λ2.i = 0 + 0.i ⇔ λ1.i − λ2 = 0 + 0.i

 λ1 − λ2 = 0  λ1 + λ2 = 0 (cid:26) λ1 = 0 ⇔ ⇔ λ1 = 0 λ2 = 0  −λ2 = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

27 / 52

Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

(cid:26) λ1 + λ1.i − λ2 + λ2.i = 0 + 0.i ⇔ λ1.i − λ2 = 0 + 0.i

 λ1 − λ2 = 0  λ1 + λ2 = 0 (cid:26) λ1 = 0 ⇔ ⇔ λ1 = 0 λ2 = 0  −λ2 = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính.

Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải. Xét phương trình

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

27 / 52

λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0

 λ1 − λ2 = 0  λ1 + λ2 = 0 (cid:26) λ1 = 0 ⇔ ⇔ λ1 = 0 λ2 = 0  −λ2 = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính.

Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải. Xét phương trình

λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

27 / 52

⇔ (cid:26) λ1 + λ1.i − λ2 + λ2.i = 0 + 0.i λ1.i − λ2 = 0 + 0.i

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính.

Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải. Xét phương trình

λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0

⇔ (cid:26) λ1 + λ1.i − λ2 + λ2.i = 0 + 0.i λ1.i − λ2 = 0 + 0.i

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

27 / 52

  ⇔ ⇔ (cid:26) λ1 = 0 λ2 = 0  λ1 − λ2 = 0 λ1 + λ2 = 0 λ1 = 0 −λ2 = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải. Xét phương trình

λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0

⇔ (cid:26) λ1 + λ1.i − λ2 + λ2.i = 0 + 0.i λ1.i − λ2 = 0 + 0.i

  ⇔ ⇔ (cid:26) λ1 = 0 λ2 = 0  λ1 − λ2 = 0 λ1 + λ2 = 0 λ1 = 0 −λ2 = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

27 / 52

Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính.

2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập

tuyến tính.

Chứng minh. 1. Giả sử x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính, tức là

λ1x1 + λ2x2 + . . . + λk xk = 0,

với λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0. Giả sử thêm véctơ x0 vào tập {x1, x2, . . . , xk }. Khi đó ta có

0.x0 + λ1x1 + λ2x2 + . . . + λk xk = 0.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

Rõ ràng 0, λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0 nên x0, x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính.

Định lý

1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ

Trong không gian tuyến tính E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

28 / 52

thuộc tuyến tính.

Chứng minh. 1. Giả sử x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính, tức là

λ1x1 + λ2x2 + . . . + λk xk = 0,

với λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0. Giả sử thêm véctơ x0 vào tập {x1, x2, . . . , xk }. Khi đó ta có

0.x0 + λ1x1 + λ2x2 + . . . + λk xk = 0.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

Rõ ràng 0, λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0 nên x0, x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính.

Định lý

1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ

Trong không gian tuyến tính E

2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập

thuộc tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

28 / 52

tuyến tính.

Giả sử thêm véctơ x0 vào tập {x1, x2, . . . , xk }. Khi đó ta có

0.x0 + λ1x1 + λ2x2 + . . . + λk xk = 0.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

Rõ ràng 0, λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0 nên x0, x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính.

Định lý

1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ

Trong không gian tuyến tính E

2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập

thuộc tuyến tính.

tuyến tính.

Chứng minh. 1. Giả sử x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính, tức là

λ1x1 + λ2x2 + . . . + λk xk = 0,

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

28 / 52

với λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

Định lý

1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ

Trong không gian tuyến tính E

2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập

thuộc tuyến tính.

tuyến tính.

Chứng minh. 1. Giả sử x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính, tức là

λ1x1 + λ2x2 + . . . + λk xk = 0,

với λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0. Giả sử thêm véctơ x0 vào tập {x1, x2, . . . , xk }. Khi đó ta có

0.x0 + λ1x1 + λ2x2 + . . . + λk xk = 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

28 / 52

Rõ ràng 0, λ1, λ2, . . . , λk không đồng thời bằng 0 nên x0, x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính.

Giả sử khi bớt 1 véctơ x0 từ một tập độc lập tuyến tính M ta được tập phụ thuộc tuyến tính M (cid:48).

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

Khi đó ta thêm véctơ x0 vào tập M (cid:48) thì theo phần chứng minh trên ta được tập M phụ thuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết M độc lập tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

29 / 52

2. Chứng minh bằng phản chứng.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

2. Chứng minh bằng phản chứng.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

29 / 52

Giả sử khi bớt 1 véctơ x0 từ một tập độc lập tuyến tính M ta được tập phụ thuộc tuyến tính M (cid:48).

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

2. Chứng minh bằng phản chứng.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

29 / 52

Giả sử khi bớt 1 véctơ x0 từ một tập độc lập tuyến tính M ta được tập phụ thuộc tuyến tính M (cid:48). Khi đó ta thêm véctơ x0 vào tập M (cid:48) thì theo phần chứng minh trên ta được tập M phụ thuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết M độc lập tuyến tính.

2 Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này

là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.

Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, . . . , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1, xi2, . . . , xim } ⊂ M. Từ λ1xi1 + λ2xi2 + . . . + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + . . . + λmxim + 0.xim+1 + . . . + 0.xin = 0 Do M = {xi1, xi2, . . . , xim , xim+1, . . . , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj (cid:54)= 0 sao cho λ1x1 + . . . + λj xj + . . . + λnxn = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

1 ⇒ xj = − (λ1x1 + . . . + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + . . . + λnxn) λj

1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

30 / 52

Định lý

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

1 ⇒ xj = − (λ1x1 + . . . + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + . . . + λnxn) λj

1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

30 / 52

là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

1 ⇒ xj = − (λ1x1 + . . . + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + . . . + λnxn) λj

1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

30 / 52

là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.

Từ λ1xi1 + λ2xi2 + . . . + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + . . . + λmxim + 0.xim+1 + . . . + 0.xin = 0 Do M = {xi1, xi2, . . . , xim , xim+1, . . . , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj (cid:54)= 0 sao cho λ1x1 + . . . + λj xj + . . . + λnxn = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

1 ⇒ xj = − (λ1x1 + . . . + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + . . . + λnxn) λj

1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này

Định lý

là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

30 / 52

Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, . . . , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1, xi2, . . . , xim } ⊂ M.

Do M = {xi1, xi2, . . . , xim , xim+1, . . . , xin } độc lập tuyến tính nên λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 ⇒ N độc lập tuyến tính. 2. Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj (cid:54)= 0 sao cho λ1x1 + . . . + λj xj + . . . + λnxn = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

1 ⇒ xj = − (λ1x1 + . . . + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + . . . + λnxn) λj

1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này

Định lý

là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

30 / 52

Chứng minh. 1. Giả sử M = {x1, x2, . . . , xn} độc lập tuyến tính và N = {xi1, xi2, . . . , xim } ⊂ M. Từ λ1xi1 + λ2xi2 + . . . + λmxim = 0 ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + . . . + λmxim + 0.xim+1 + . . . + 0.xin = 0

2. Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ nên tồn tại λj (cid:54)= 0 sao cho λ1x1 + . . . + λj xj + . . . + λnxn = 0

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

1 ⇒ xj = − (λ1x1 + . . . + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + . . . + λnxn) λj

1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này

Định lý

là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

30 / 52

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này

Định lý

là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

30 / 52

⇒ xj = − (λ1x1 + . . . + λj−1xj−1 + λj+1xj+1 + . . . + λnxn) 1 λj

Hệ quả

Tập chứa véctơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

Vì 1.0 + 0.x1 + . . . + 0.xn = 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

31 / 52

Ngược lại, nếu trong tập {x1, x2, . . . , xn} có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại thì rõ ràng hệ số của véctơ đó bằng -1 nên {x1, x2, . . . , xn} phụ thuộc tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

Vì 1.0 + 0.x1 + . . . + 0.xn = 0.

Hệ quả

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

31 / 52

Tập chứa véctơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính.

Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính

Tính chất

Hệ quả

Tập chứa véctơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

31 / 52

Vì 1.0 + 0.x1 + . . . + 0.xn = 0.

Định nghĩa

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tập sinh

Không gian véctơ E được gọi là hữu hạn chiều nếu số phần tử của tập sinh là hữu hạn. Như vậy, K -kgv E là hữu hạn chiều nếu < x1, x2, . . . , xp >= E .

Định nghĩa

Cho E là K -kgv, M ⊂ E được gọi là tập sinh của E nếu ∀x ∈ E , ∃λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , p :

p (cid:88)

x = λi xi , xi ∈ M

i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

32 / 52

Ta cũng nói E sinh bởi M và ký hiệu E = Vect(M) =< M > .

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tập sinh

Định nghĩa

Cho E là K -kgv, M ⊂ E được gọi là tập sinh của E nếu ∀x ∈ E , ∃λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , p :

p (cid:88)

x = λi xi , xi ∈ M

i=1

Ta cũng nói E sinh bởi M và ký hiệu E = Vect(M) =< M > .

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

32 / 52

Không gian véctơ E được gọi là hữu hạn chiều nếu số phần tử của tập sinh là hữu hạn. Như vậy, K -kgv E là hữu hạn chiều nếu < x1, x2, . . . , xp >= E .

Ví dụ

Trong R2 xét tập M = {(1, 2); (1, 1)}. Ta thấy, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2, ta tìm a, b ∈ R sao cho

(cid:26) a + b = x1 x = (x1, x2) = a(1, 2) + b(1, 1) = (a + b, 2a + b) ⇔ 2a + b = x2

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Ví dụ

(cid:12) (cid:12) 1 1 (cid:12) (cid:12) Hệ này luôn có nghiệm vì = −1 (cid:54)= 0. Do đó M là tập sinh của R2. (cid:12) (cid:12) 2 1 (cid:12) (cid:12)

Ví dụ Trong R2 xét tập M = {(1, 0); (0, 1)}. Ta thấy, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 luôn có x = (x1, x2) = x1(1, 0) + x2(0, 1)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

33 / 52

nên M là tập sinh của R2.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Ví dụ

Ví dụ Trong R2 xét tập M = {(1, 0); (0, 1)}. Ta thấy, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 luôn có x = (x1, x2) = x1(1, 0) + x2(0, 1)

nên M là tập sinh của R2.

Ví dụ Trong R2 xét tập M = {(1, 2); (1, 1)}. Ta thấy, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2, ta tìm a, b ∈ R sao cho

x = (x1, x2) = a(1, 2) + b(1, 1) = (a + b, 2a + b) ⇔ (cid:26) a + b = x1 2a + b = x2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

33 / 52

Hệ này luôn có nghiệm vì = −1 (cid:54)= 0. Do đó M là tập sinh của R2. 1 1 2 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Để M là tập sinh của R3 thì hệ phương trình

 α + β = x1  α = x2 α(1, 1, 1) + β(1, 0, 2) = (x1, x2, x3) ⇔  α + 2β = x3

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Ví dụ

phải có nghiệm với mọi x1, x2, x3. Chọn (x1, x2, x3) = (1, 1, 2) ta thấy hệ này vô nghiệm. Như vậy (1, 1, 2) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ trong M.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

34 / 52

Ví dụ Trong không gian R3 tập M = {(1, 1, 1); (1, 0, 2)} không là tập sinh của R3.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Ví dụ

Ví dụ Trong không gian R3 tập M = {(1, 1, 1); (1, 0, 2)} không là tập sinh của R3.

Để M là tập sinh của R3 thì hệ phương trình

  α(1, 1, 1) + β(1, 0, 2) = (x1, x2, x3) ⇔  α + β = x1 α = x2 α + 2β = x3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

34 / 52

phải có nghiệm với mọi x1, x2, x3. Chọn (x1, x2, x3) = (1, 1, 2) ta thấy hệ này vô nghiệm. Như vậy (1, 1, 2) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ trong M.

Ví dụ

B = {i, j, k} ⊂ R3 với i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) là 1 cơ sở của không gian R3

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 thì x = x1.i + x2.j + x3.k ⇒ B là tập sinh của R3. Xét α.i + β.j + γ.k = 0 ⇔ (α, β, γ) = (0, 0, 0) ⇔ α = β = γ = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của R3.

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

35 / 52

Cho E là một K -kgv. Tập B = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E độc lập tuyến tính, sinh ra E được gọi là cơ sở của E .

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Định nghĩa

Cho E là một K -kgv. Tập B = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E độc lập tuyến tính, sinh ra E được gọi là cơ sở của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

35 / 52

Ví dụ B = {i, j, k} ⊂ R3 với i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) là 1 cơ sở của không gian R3

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Xét α.i + β.j + γ.k = 0 ⇔ (α, β, γ) = (0, 0, 0) ⇔ α = β = γ = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của R3.

Định nghĩa

Cho E là một K -kgv. Tập B = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E độc lập tuyến tính, sinh ra E được gọi là cơ sở của E .

Ví dụ B = {i, j, k} ⊂ R3 với i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) là 1 cơ sở của không gian R3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

35 / 52

Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 thì x = x1.i + x2.j + x3.k ⇒ B là tập sinh của R3.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Vậy B là cơ sở của R3.

Định nghĩa

Cho E là một K -kgv. Tập B = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E độc lập tuyến tính, sinh ra E được gọi là cơ sở của E .

Ví dụ B = {i, j, k} ⊂ R3 với i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) là 1 cơ sở của không gian R3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

35 / 52

Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 thì x = x1.i + x2.j + x3.k ⇒ B là tập sinh của R3. Xét α.i + β.j + γ.k = 0 ⇔ (α, β, γ) = (0, 0, 0) ⇔ α = β = γ = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Định nghĩa

Cho E là một K -kgv. Tập B = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E độc lập tuyến tính, sinh ra E được gọi là cơ sở của E .

Ví dụ B = {i, j, k} ⊂ R3 với i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) là 1 cơ sở của không gian R3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

35 / 52

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Thật vậy, ∀p(x) = a0 + a1x + . . . + anx n ∈ Pn(x) thì p(x) = a0.1 + a1.x + . . . + an.x n ⇒ B là tập sinh của Pn(x). Xét k0.1 + k1.x + . . . + kn.x n = 0, ∀x ∈ R ⇔ k0 = k1 = . . . = kn = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của Pn(x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

36 / 52

Ví dụ B = {1, x, x 2, . . . , x n} ⊂ Pn(x) với Pn(x) là R−kgv các đa thức có bậc không lớn hơn n, là 1 cơ sở của Pn(x).

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Xét k0.1 + k1.x + . . . + kn.x n = 0, ∀x ∈ R ⇔ k0 = k1 = . . . = kn = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của Pn(x).

Ví dụ B = {1, x, x 2, . . . , x n} ⊂ Pn(x) với Pn(x) là R−kgv các đa thức có bậc không lớn hơn n, là 1 cơ sở của Pn(x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

36 / 52

Thật vậy, ∀p(x) = a0 + a1x + . . . + anx n ∈ Pn(x) thì p(x) = a0.1 + a1.x + . . . + an.x n ⇒ B là tập sinh của Pn(x).

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Vậy B là cơ sở của Pn(x).

Ví dụ B = {1, x, x 2, . . . , x n} ⊂ Pn(x) với Pn(x) là R−kgv các đa thức có bậc không lớn hơn n, là 1 cơ sở của Pn(x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

36 / 52

Thật vậy, ∀p(x) = a0 + a1x + . . . + anx n ∈ Pn(x) thì p(x) = a0.1 + a1.x + . . . + an.x n ⇒ B là tập sinh của Pn(x). Xét k0.1 + k1.x + . . . + kn.x n = 0, ∀x ∈ R ⇔ k0 = k1 = . . . = kn = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Ví dụ B = {1, x, x 2, . . . , x n} ⊂ Pn(x) với Pn(x) là R−kgv các đa thức có bậc không lớn hơn n, là 1 cơ sở của Pn(x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

36 / 52

(cid:19) (cid:18) a1 a2 Thật vậy, ∀A = ∈ M2(R) thì a3 a4 A = a1.e1 + a2.e2 + a3.e3 + a4.e4 ⇒ B là tập sinh của M2(R). (cid:19) (cid:19) (cid:18) 0 0 (cid:18) a1 a2 = ⇔ Xét α1.e1 + α2.e2 + α3.e3 + α4.e4 = 0 ⇔ 0 0 a3 a4

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

α1 = α2 = α3 = α4 = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của M2(R).

Ví dụ B = (cid:26) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19)(cid:27) ⊂ e1 = , e2 = , e3 = , e4 = (cid:18) 1 0 0 0 (cid:18) 0 0 1 0 (cid:18) 0 0 0 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

37 / 52

(cid:18) 0 1 0 0 M2(R), là 1 cơ sở của M2(R).

(cid:19) (cid:19) (cid:18) 0 0 (cid:18) a1 a2 = ⇔ Xét α1.e1 + α2.e2 + α3.e3 + α4.e4 = 0 ⇔ 0 0 a3 a4

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

α1 = α2 = α3 = α4 = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của M2(R).

Ví dụ B = (cid:26) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19)(cid:27) ⊂ e1 = , e2 = , e3 = , e4 = (cid:18) 1 0 0 0 (cid:18) 0 0 1 0 (cid:18) 0 0 0 1

(cid:18) 0 1 0 0 M2(R), là 1 cơ sở của M2(R).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

37 / 52

(cid:19) Thật vậy, ∀A = ∈ M2(R) thì (cid:18) a1 a2 a3 a4 A = a1.e1 + a2.e2 + a3.e3 + a4.e4 ⇒ B là tập sinh của M2(R).

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Vậy B là cơ sở của M2(R).

Ví dụ B = (cid:26) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19)(cid:27) ⊂ e1 = , e2 = , e3 = , e4 = (cid:18) 1 0 0 0 (cid:18) 0 0 1 0 (cid:18) 0 0 0 1

(cid:18) 0 1 0 0 M2(R), là 1 cơ sở của M2(R).

(cid:19) Thật vậy, ∀A = ∈ M2(R) thì (cid:18) a1 a2 a3 a4 A = a1.e1 + a2.e2 + a3.e3 + a4.e4 ⇒ B là tập sinh của M2(R). (cid:19) (cid:19) = ⇔ Xét α1.e1 + α2.e2 + α3.e3 + α4.e4 = 0 ⇔ (cid:18) 0 0 0 0 (cid:18) a1 a2 a3 a4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

37 / 52

α1 = α2 = α3 = α4 = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Cơ sở

Ví dụ B = (cid:26) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19)(cid:27) ⊂ e1 = , e2 = , e3 = , e4 = (cid:18) 1 0 0 0 (cid:18) 0 0 1 0 (cid:18) 0 0 0 1

(cid:18) 0 1 0 0 M2(R), là 1 cơ sở của M2(R).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

37 / 52

α1 = α2 = α3 = α4 = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của M2(R).

Chứng minh. Cho

y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1j xj + . . . + a1k xk y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2j xj + . . . + a2k xk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amj xj + . . . + amk xk

Xét hệ thức λ1.y1 + λ2y2 + . . . + λmym = 0,

tức là

λ1(a11x1 + a12x2 + . . . + a1k xk ) + λ2(a21x1 + a22x2 + . . . + a2k xk )+

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tính chất về cơ sở

+ . . . + λm(am1x1 + am2x2 + . . . + amk xk ) = 0

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

38 / 52

(Bổ đề cơ bản.) Cho E là K -kgv, y1, y2, . . . , yk ∈ E , x1, x2, . . . , xm ∈ E . Nếu y1, y2, . . . , yk là các tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1, x2, . . . , xm và k > m thì chúng phụ thuộc tuyến tính.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tính chất về cơ sở

Định lý

Chứng minh. Cho

Xét hệ thức λ1.y1 + λ2y2 + . . . + λmym = 0,

tức là

λ1(a11x1 + a12x2 + . . . + a1k xk ) + λ2(a21x1 + a22x2 + . . . + a2k xk )+

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

38 / 52

+ . . . + λm(am1x1 + am2x2 + . . . + amk xk ) = 0

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tính chất về cơ sở

⇔ (a11λ1 + a21λ2 + . . . + am1λm)x1 + (a12λ1 + a22λ2 + . . . + am2λm)x2+

+ . . . + (a1k λ1 + a2k λ2 + . . . + amk λm)xk = 0

Xét hệ

a11λ1 + a21λ2 + . . . + am1λm = 0 a12λ1 + a22λ2 + . . . + am2λm = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    a1k λ1 + a2k λ2 + . . . + amk λm = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

39 / 52

Hệ thuần nhất này có k phương trình mà k < m (m - số ẩn) nên hệ có nghiệm không tầm thường, điều này có nghĩa là λ1, λ2, . . . , λm không đồng thời bằng 0. Vậy các véctơ y1, y2, . . . , yk phụ thuộc tuyến tính.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tính chất về cơ sở

Chứng minh. Giả sử E có 2 cơ sở số véctơ khác nhau S = {x1, x2, . . . , xn}; H = {y1, y2, . . . , ym}. Vì S là cơ sở trong E nên mọi véctơ của H đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của S nhưng H độc lập tuyến tính nên m (cid:54) n. Mặt khác, Vì H là cơ sở trong E nên mọi véctơ của S đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của H nhưng S độc lập tuyến tính nên n (cid:54) m. Vậy m = n.

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

40 / 52

Trong E là một K -kgv hữu hạn chiều, số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tính chất về cơ sở

Vì S là cơ sở trong E nên mọi véctơ của H đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của S nhưng H độc lập tuyến tính nên m (cid:54) n. Mặt khác, Vì H là cơ sở trong E nên mọi véctơ của S đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của H nhưng S độc lập tuyến tính nên n (cid:54) m. Vậy m = n.

Định lý

Trong E là một K -kgv hữu hạn chiều, số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

40 / 52

Chứng minh. Giả sử E có 2 cơ sở số véctơ khác nhau S = {x1, x2, . . . , xn}; H = {y1, y2, . . . , ym}.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tính chất về cơ sở

Mặt khác, Vì H là cơ sở trong E nên mọi véctơ của S đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của H nhưng S độc lập tuyến tính nên n (cid:54) m. Vậy m = n.

Định lý

Trong E là một K -kgv hữu hạn chiều, số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

40 / 52

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tính chất về cơ sở

Vậy m = n.

Định lý

Trong E là một K -kgv hữu hạn chiều, số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

40 / 52

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Tính chất về cơ sở

Định lý

Trong E là một K -kgv hữu hạn chiều, số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

40 / 52

Ví dụ

Trong không gian Rn có cơ sở chính tắc

e1 = (1, 0, . . . , 0)T e2 = (0, 1, . . . , 0)T . . . . . . . . . . . . . . . en = (0, 0, . . . , 1)T

nên dim(Rn) = n

Ví dụ

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Trong không gian Pn(x) có cơ sở là 1, x, x 2, . . . , x n nên dim(Pn(x)) = n + 1.

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

41 / 52

Số véctơ trong một cơ sở bất kỳ của K -kgv E được gọi là số chiều của E và ký hiệu là dim(E ).

Ví dụ

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Trong không gian Pn(x) có cơ sở là 1, x, x 2, . . . , x n nên dim(Pn(x)) = n + 1.

Định nghĩa

Số véctơ trong một cơ sở bất kỳ của K -kgv E được gọi là số chiều của E và ký hiệu là dim(E ).

Ví dụ Trong không gian Rn có cơ sở chính tắc

. . . . . . . . . . . . e1 = (1, 0, . . . , 0)T e2 = (0, 1, . . . , 0)T . . . en = (0, 0, . . . , 1)T

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

41 / 52

nên dim(Rn) = n

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Định nghĩa

Số véctơ trong một cơ sở bất kỳ của K -kgv E được gọi là số chiều của E và ký hiệu là dim(E ).

Ví dụ Trong không gian Rn có cơ sở chính tắc

. . . . . . . . . . . . e1 = (1, 0, . . . , 0)T e2 = (0, 1, . . . , 0)T . . . en = (0, 0, . . . , 1)T

nên dim(Rn) = n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

41 / 52

Ví dụ Trong không gian Pn(x) có cơ sở là 1, x, x 2, . . . , x n nên dim(Pn(x)) = n + 1.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Ví dụ

Trong không gian các ma trận M2×3 có cơ sở gồm 6 ma trận

(cid:19) (cid:19) (cid:19) , A2 = , A3 = A1 = (cid:18) 1 0 0 0 0 0 (cid:18) 0 1 0 0 0 0 (cid:18) 0 0 1 0 0 0

(cid:19) (cid:19) (cid:19) A4 = , A5 = , A6 = (cid:18) 0 0 0 1 0 0 (cid:18) 0 0 0 0 1 0 (cid:18) 0 0 0 0 0 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

42 / 52

nên dim(M2×3) = 2 × 3 = 6.

1 Một tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính của E đều là cơ sở của E .

2 Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n) véctơ độc

lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E .

Hệ quả

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) (cid:54) n.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

43 / 52

Định lý Giả sử E là K -kgv, dim(E ) = n, (n ∈ N∗). Khi đó

2 Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n) véctơ độc

lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E .

Hệ quả

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) (cid:54) n.

1 Một tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính của E đều là cơ sở của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

43 / 52

Định lý Giả sử E là K -kgv, dim(E ) = n, (n ∈ N∗). Khi đó

Hệ quả

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) (cid:54) n.

1 Một tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính của E đều là cơ sở của E .

2 Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n) véctơ độc

Định lý Giả sử E là K -kgv, dim(E ) = n, (n ∈ N∗). Khi đó

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

43 / 52

lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E .

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

1 Một tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính của E đều là cơ sở của E .

2 Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n) véctơ độc

Định lý Giả sử E là K -kgv, dim(E ) = n, (n ∈ N∗). Khi đó

lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E .

Hệ quả

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

43 / 52

Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) (cid:54) n.

1 F có ít nhất một phần bù trong E

2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p.

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

44 / 52

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó

2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p.

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).

Định lý

1 F có ít nhất một phần bù trong E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

44 / 52

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).

Định lý

1 F có ít nhất một phần bù trong E

2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

44 / 52

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Định lý

1 F có ít nhất một phần bù trong E

2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p.

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

44 / 52

dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

(cid:26) F ⊂ G ⇒ F = G . dim(F ) = dim(G )

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

m (cid:88)

dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fm) = dim(Fi ).

i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

45 / 52

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

m (cid:88)

dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fm) = dim(Fi ).

i=1

Hệ quả

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

45 / 52

(cid:26) ⇒ F = G . F ⊂ G dim(F ) = dim(G )

Định lý

Cho E , F là 2 K -kgv hữu hạn chiều. Khi đó E × F cũng là không gian véctơ hữu hạn chiều và dim(E × F ) = dim(E ) + dim(F ).

Hệ quả

m

(cid:81) Giả sử E1, E2, . . . , Em là những K -kgv hữu hạn chiều. Khi đó Ei hữu

i=1

m

n

(cid:81) (cid:80) hạn chiều và dim( Ei ) = dim(Ei ).

i=1

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Định lý

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là những không gian véctơ con của E . Khi đó

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

46 / 52

dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )

Hệ quả

m

(cid:81) Giả sử E1, E2, . . . , Em là những K -kgv hữu hạn chiều. Khi đó Ei hữu

i=1

m

n

(cid:81) (cid:80) hạn chiều và dim( Ei ) = dim(Ei ).

i=1

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Định lý

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là những không gian véctơ con của E . Khi đó

dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

46 / 52

Cho E , F là 2 K -kgv hữu hạn chiều. Khi đó E × F cũng là không gian véctơ hữu hạn chiều và dim(E × F ) = dim(E ) + dim(F ).

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ

Số chiều

Định lý

Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là những không gian véctơ con của E . Khi đó

dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )

Định lý

Cho E , F là 2 K -kgv hữu hạn chiều. Khi đó E × F cũng là không gian véctơ hữu hạn chiều và dim(E × F ) = dim(E ) + dim(F ).

Hệ quả

Giả sử E1, E2, . . . , Em là những K -kgv hữu hạn chiều. Khi đó Ei hữu

m (cid:81) i=1

hạn chiều và dim( Ei ) = dim(Ei ).

m (cid:81) i=1

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

46 / 52

Định nghĩa

Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó.

Hạng của một hệ véctơ

Định nghĩa

Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0.

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

47 / 52

Cho tập M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K − kgv . Tập N = {xi1, xi2, . . . , xir } được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N.

Hạng của một hệ véctơ

Định nghĩa

Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0.

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

47 / 52

Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó.

Hạng của một hệ véctơ

Định nghĩa

Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

47 / 52

Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0.

Định lý

Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Khi đó nếu gọi rh và rc tương ứng là hạng của các véctơ hàng và các véctơ cột tương ứng của A thì

Hạng của một hệ véctơ

Định nghĩa

rank(A) = rh = rc .

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

48 / 52

Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K -kgv có hạng r và W =< M > là không gian véctơ con sinh bởi M. Khi đó dim(W ) = r .

Hạng của một hệ véctơ

Định nghĩa

Định lý

Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K -kgv có hạng r và W =< M > là không gian véctơ con sinh bởi M. Khi đó dim(W ) = r .

Định lý

Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Khi đó nếu gọi rh và rc tương ứng là hạng của các véctơ hàng và các véctơ cột tương ứng của A thì

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

48 / 52

rank(A) = rh = rc .

Định lý

Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì

∀α ∈ K . [αx]B = α[x]B ,

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

∀x, y ∈ E . [x + y ]B = [x]B + [y ]B ,

Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E . Như vậy ∀x ∈ E , ∃x1, x2, . . . , xn ∈ K : x = xi ei . Các số

n (cid:80) i=1

xi , (i = 1, 2, . . . , n) được xác định duy nhất và được gọi là tọa độ của  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

49 / 52

véctơ x trong cơ sở B. Kí hiệu [x]B =         x1 x2 ... xn

∀α ∈ K . [αx]B = α[x]B ,

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

∀x, y ∈ E . [x + y ]B = [x]B + [y ]B ,

Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E . Như vậy ∀x ∈ E , ∃x1, x2, . . . , xn ∈ K : x = xi ei . Các số

n (cid:80) i=1

xi , (i = 1, 2, . . . , n) được xác định duy nhất và được gọi là tọa độ của  

véctơ x trong cơ sở B. Kí hiệu [x]B =         x1 x2 ... xn

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

49 / 52

Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

∀x, y ∈ E . [x + y ]B = [x]B + [y ]B ,

Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E . Như vậy ∀x ∈ E , ∃x1, x2, . . . , xn ∈ K : x = xi ei . Các số

n (cid:80) i=1

xi , (i = 1, 2, . . . , n) được xác định duy nhất và được gọi là tọa độ của  

véctơ x trong cơ sở B. Kí hiệu [x]B =         x1 x2 ... xn

Định lý

Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

49 / 52

∀α ∈ K . [αx]B = α[x]B ,

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E . Như vậy ∀x ∈ E , ∃x1, x2, . . . , xn ∈ K : x = xi ei . Các số

n (cid:80) i=1

xi , (i = 1, 2, . . . , n) được xác định duy nhất và được gọi là tọa độ của  

véctơ x trong cơ sở B. Kí hiệu [x]B =         x1 x2 ... xn

Định lý

Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì

∀α ∈ K .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

49 / 52

∀x, y ∈ E . [αx]B = α[x]B , [x + y ]B = [x]B + [y ]B ,

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E . Như vậy ∀x ∈ E , ∃x1, x2, . . . , xn ∈ K : x = xi ei . Các số

n (cid:80) i=1

xi , (i = 1, 2, . . . , n) được xác định duy nhất và được gọi là tọa độ của  

véctơ x trong cơ sở B. Kí hiệu [x]B =         x1 x2 ... xn

Định lý

Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì

∀α ∈ K .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

49 / 52

∀x, y ∈ E . [αx]B = α[x]B , [x + y ]B = [x]B + [y ]B ,

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Chuyển cơ sở

  . . . s11 s12 s1n . . . s21 s22 s2n   Ta gọi ma trận S = được gọi là ma trận chuyển   . . . . . . . . . . . .   . . . sn1 sn2 snn từ cơ sở B sang B (cid:48). Ký hiệu S = Pass(B, B (cid:48)).

n} là 2 cơ sở của

1, e(cid:48)

2, . . . , e(cid:48)

Định nghĩa Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en} và B (cid:48) = {e(cid:48) E . Giả sử giữa B và B (cid:48) có mối liên hệ

n (cid:88)

i = 1, 2, . . . n. ski ek , e(cid:48) i =

k=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

50 / 52

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Chuyển cơ sở

n} là 2 cơ sở của

1, e(cid:48)

2, . . . , e(cid:48)

Định nghĩa Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en} và B (cid:48) = {e(cid:48) E . Giả sử giữa B và B (cid:48) có mối liên hệ

n (cid:88)

i = 1, 2, . . . n. ski ek , e(cid:48) i =

k=1

 

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

50 / 52

Ta gọi ma trận S = được gọi là ma trận chuyển       . . . . . . . . . . . . s11 s21 . . . sn1 s12 s22 . . . sn2 s1n s2n . . . snn từ cơ sở B sang B (cid:48). Ký hiệu S = Pass(B, B (cid:48)).

Định lý

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn.

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

51 / 52

Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm m phương trình và n ẩn Am×nXn×1 = 0m×1. Khi đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành không gian véctơ con của không gian K n.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Định lý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

51 / 52

Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

52 / 52

THANK YOU FOR ATTENTION

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 (cấu trúc không gian véctơ) - Lê Xuân Đại

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Ví dụ không gian véctơ

Ví dụ không gian véctơ

Ví dụ không gian véctơ

Ví dụ không gian véctơ

1 , x λ

2 ).

x2

x1

1

2

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

x2

x1

1

2

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

1 , x λ

2 ).

x2

x1

1

2

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

1 , x λ

2 ).

x2

x1

1

2

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

1 , x λ

2 ).

x2

x1

1

2

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

1 , x λ

2 ).

x2

x1

1

2

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

1 , x λ

2 ).

x2

x1

1

2

1 , x λµ

2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .

1 , x 1

2 ) = x, ∀x ∈ E

1 , x λ

2 ).

1

2

1 , x λµ