Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - Lê Xuân Đại

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TS. Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2011.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 1 / 33

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

1 tập ĐLTT thì số véctơ (cid:54) n

∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

1 tập ĐLTT thì số véctơ (cid:54) n

∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

1 tập ĐLTT thì số véctơ (cid:54) n

∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

1 tập ĐLTT thì số véctơ (cid:54) n

∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT

∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

1 tập ĐLTT thì số véctơ (cid:54) n

∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT

1 tập là tập sinh của E thì số véctơ (cid:62) n.

∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

1 tập ĐLTT thì số véctơ (cid:54) n

∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT

1 tập là tập sinh của E thì số véctơ (cid:62) n.

∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .

M = {x1, x2, . . . , xk} (k (cid:54) n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .

M = {x1, x2, . . . , xk} (k (cid:54) n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT

Nếu M = {x1, x2, . . . , xm} (m (cid:62) n) là tập sinh của E , xi là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta được M (cid:48) = M\{xi } là tập sinh của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33

Tổng và giao không gian con Giao của các không gian con

Fi = {x ∈ E \x ∈ Fi, ∀i} được gọi là giao

Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv; (Fi)i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì F = (cid:84) i∈I

của các không gian con Fi.

Định lý Giao của các không gian con Fi

Fi là một

(cid:84) i∈I

không gian véctơ con của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 33

Định lý

Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con

của E .

Tổng và giao không gian con Tổng của 2 không gian véctơ con

Định nghĩa Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 33

Tổng và giao không gian con Tổng của 2 không gian véctơ con

Định nghĩa Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2.

Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 33

Ví dụ

K = R, E = R3, các không gian véctơ con

F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có

(cid:84) F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0}

F1

Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

(cid:84) F2 = {0}. Khi đó ta ký

Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 33

Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

(cid:84) F2 = {0}. Khi đó ta ký

Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.

Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có (cid:84) F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} F1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 33

Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

Định lý Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E có tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất thành tổng của một phần tử của F1 và một phần tử của F2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 33

Ví dụ

K = R, E = R2, các không gian véctơ con

F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1

(cid:84) F2 = {0}

và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E

Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E

⇔

⇔ F1 ⊕ F2 = E .

(cid:26) F1 + F2 = E (cid:84) F2 = {0}

F1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 33

Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E

⇔

⇔ F1 ⊕ F2 = E .

(cid:26) F1 + F2 = E (cid:84) F2 = {0}

F1

(cid:84) F2 = {0}

Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 33

1 F có ít nhất một phần bù trong E

2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là

n − p.

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33

2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là

n − p.

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là

n − p.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là

n − p.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33

Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E .

C = {f1, f2, . . . , fp} là 1 cơ sở của F ⇒ C là 1 tập

độc lập tuyến tính, giả sử ta bổ sung vào C n − p

véctơ của B để được 1 cơ sở

B (cid:48) = {f1, f2, . . . , fp, eip+1, . . . , ein} của E

Đặt G = Vect(eip+1, . . . , ein) =< eip+1, . . . , ein > .

Ta sẽ chứng minh G là 1 phần bù của F trong E .

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

1. F có ít nhất một phần bù trong E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

1. F có ít nhất một phần bù trong E Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E . C = {f1, f2, . . . , fp} là 1 cơ sở của F ⇒ C là 1 tập độc lập tuyến tính, giả sử ta bổ sung vào C n − p véctơ của B để được 1 cơ sở B (cid:48) = {f1, f2, . . . , fp, eip+1, . . . , ein} của E Đặt G = Vect(eip+1, . . . , ein) =< eip+1, . . . , ein > . Ta sẽ chứng minh G là 1 phần bù của F trong E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Chứng minh F + G = E . Thật vậy, ta có F + G ⊂ E . Ta sẽ chứng minh E ⊂ F + G . ∀x ∈ E , ∃(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ K n : p (cid:88)

n (cid:88)

x =

λifi +

λjeij .

i=1

j=p+1

Trong đó

λifi ∈ F , còn

λjeij ∈ G nên

p (cid:80) i=1

n (cid:80) j=p+1

x ∈ F + G ⇒ E ⊂ F + G .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Chứng minh F ∩ G = {0}. Cho x ∈ F ∩ G thì x ∈ F và x ∈ G . Khi đó ∃(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ K n : x =

λifi và

p (cid:80) i=1

x =

λjeij

n (cid:80) j=p+1

p (cid:88)

n (cid:88)

⇒

λifi −

λjeij = 0

i=1

j=p+1

⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 (do B (cid:48) độc lập tuyến tính) ⇒ x = 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 12 / 33

Giả sử H là một phần bù bất kỳ của F trong E ,

(cid:26) F + H = E

tức là

F ∩ H = {0}

Giả sử C = {f1, f2, . . . , fp} là 1 cơ sở của F và

D = {hp+1, . . . , hq} là 1 cơ sở của H. Ta sẽ chứng

minh C ∪ D là 1 cơ sở của E .

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

2. Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

2. Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. Giả sử H là một phần bù bất kỳ của F trong E ,

tức là

(cid:26) F + H = E F ∩ H = {0}

Giả sử C = {f1, f2, . . . , fp} là 1 cơ sở của F và D = {hp+1, . . . , hq} là 1 cơ sở của H. Ta sẽ chứng minh C ∪ D là 1 cơ sở của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Chứng minh C ∪ D độc lập tuyến tính. Thật vậy, từ

p (cid:88)

q (cid:88)

λifi +

λihi = 0

i=1

i=p+1

⇒

λifi = −

λihi ∈ F ∩ H = {0}

⇒

λifi = 0 và

λihi = 0

p (cid:80) i=1 p (cid:80) i=1

q (cid:80) j=p+1 q (cid:80) i=p+1

⇒ λ1 = . . . = λp = λp+1 = . . . = λq = 0 (do C , D độc lập tuyến tính). Vậy C ∪ D ĐLTT.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Chứng minh C ∪ D là tập sinh của E . Thật vậy, ∀x ∈ E = F + H ⇒ x = f + h với f ∈ F , h ∈ H.

p (cid:88)

q (cid:88)

x = f + h =

λifi +

λihi

i=1

i=p+1

Vậy C ∪ D là cơ sở của E .

Số véctơ trong C ∪ D là p + q mà C ∪ D cũng là 1 cơ sở của E nên p + q = n ⇒ q = n − p.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 15 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).

Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của E ⇒ dim(H) = p (cid:54) n. Mặt khác H = F ⊕ G nên G là phần bù của F trong H ⇒ dim(G ) = p − dim(F ), ⇒ dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

m (cid:88)

dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fm) =

dim(Fi).

i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

m (cid:88)

dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fm) =

dim(Fi).

i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 33

Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con

Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E . Nếu

(cid:26)

⇒ F = G .

F ⊂ G dim(F ) = dim(G )

Vì F ⊂ G nên F có ít nhất 1 phần bù H trong G và dim(H) = dim(G ) − dim(F ) ⇒ dim(H) = 0 ⇒ H = {0}. Vậy G = F + H = F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 33

Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con

Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là những không gian véctơ con của E . Khi đó

dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 33

Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con

Giả sử dim(F ) = r , dim(G ) = s, H = F ∩ G và dim(H) = t. Giả sử B = {x1, x2, . . . , xt} là 1 cơ sở của H. H ⊂ F nên có thể bổ sung thêm r − t véctơ để được 1 cơ sở B (cid:48) = {x1, x2, . . . , xt, yt+1, . . . , yr } của F . Tương tự, H ⊂ G nên có thể bổ sung s − t véctơ để được 1 cơ sở B (cid:48)(cid:48) = {x1, x2, . . . , xt, zt+1, . . . , zs} của G . Xét C = {x1, x2, . . . , xt, yt+1, . . . , yr , zt+1, . . . , zs}. Ta sẽ chứng minh C là 1 cơ sở của F + G

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 33

Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con

λixi +

λiyi +

γixi +

γizi =

r (cid:80) i=t+1

t (cid:80) i=1

s (cid:80) i=t+1

(λi + γi)xi +

λiyi +

γizi.

r (cid:80) i=t+1

s (cid:80) i=t+1

Chứng minh C là tập sinh của F + G . Thật vây, ∀u ∈ F + G thì ∃y ∈ F , z ∈ G sao cho u = y + z = t (cid:80) i=1 t (cid:80) i=1 Vậy C là tập sinh của F + G .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 33

Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con

Chứng minh C độc lập tuyến tính. Từ α1x1 + α2x2 + . . . + αtxt + βt+1yt+1 + . . . + βr yr + γt+1zt+1 + . . . + γszs = 0 ⇒ α1x1 + α2x2 + . . . + αtxt + βt+1yt+1 + . . . + βr yr = v (1) = −(γt+1zt+1 + . . . + γszs) = v (2)

Rõ ràng v ∈ F và v ∈ G nên v ∈ H = F ∩ G ⇒ v = µ1x1 + µ2x2 + . . . + µtxt (3). Từ (1) và (3) suy ra (α1 − µ1)x1 + . . . + (αt − µt)xt + βt+1yt+1 + . . . + βr yr = 0 ⇒ βt+1 = . . . = βr = 0 (do B (cid:48) ĐLTT)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 33

Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con

Từ (2) suy ra α1x1 +α2x2 +. . .+αtxt +γt+1zt+1 +. . .+γszs = 0 ⇒ α1 = . . . = αt = γt+1 = . . . = γs = 0. Vậy C là cơ sở của F + G . dim(F + G ) = r + s − t = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ

Ví dụ Trong R−kgv R4 cho các véctơ u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8), u4 = (8, 16, 12, 16) và v1 = (1, 3, 3, 3), v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9), v4 = (6, 16, 16, 18). Đặt U =< u1, u2, u3, u4 > và V =< v1, v2, v3, v4 > . Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ









→

   

   

   

   

Tìm cơ sở của U 1 3 4 8 2 6 8 16 1 5 6 12 1 7 8 16

1 3 4 8 0 0 0 0 0 2 2 4 0 0 0 0

Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ







3

4

→

   

   

   

   

Tìm cơ sở của V  1 2 3 6 3 5 8 16 3 5 8 16 3 6 9 18

1 8 0 −1 −1 −2 0 0 0 0

0 0

0 0

Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 0, 0, 0), (3, −1, 0, 0)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ

Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (3, −1, 0, 0)}. Tìm cơ sở của U + V 



A =

⇒ r (A) = 3.

   

   

3 1 3 0 0 −1 0 0 2 0 0 0

Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (3, −1, 0, 0)}.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ

⇔ u =

Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . u ∈ U ∩ V ⇔ (cid:26) u = α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0) u = α3(1, 0, 0, 0) + α4(3, −1, 0, 0)

u = α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0) α1 + 3α2 = α3 + 3α4 α2 = 0 α4 = 0

α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0), và α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0) = α3(1, 0, 0, 0) + α4(3, −1, 0, 0) ⇔    ⇒ u = α1(1, 0, 0, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (1, 0, 0, 0)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ

Ví dụ Trong R−kgv R4 cho U = {(x1, x2, x3, x4)\x1 + x2 − 2x3 = 0 ∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} và V = {(x1, x2, x3, x4)\x1 = x2 = x3}. Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ

(cid:19)

(cid:19)

Tìm cơ sở của U (cid:18) 1

1 −2

(cid:18) 1

1 −2

→

1 −1

0 0 −2

0 2 −2

0 −2

Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)} Tìm cơ sở của V . Với ∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1)

Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ

Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}. Tìm cơ sở của U + V









→

A =

⇒ r (A) = 3.

   

   

   

   

0 1 1 1 −1 0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 0 −2 0 0 0 0 1 0 0

Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ

Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . x ∈ U ∩ V ⇔  

⇔

(cid:26) x1 = x2 = x3 = α x4 = 0

x1 + x2 − 2x3 = 0 x1 − x2 − 2x4 = 0 x1 = x2 = x3

 ⇒ x = α(1, 1, 1, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (1, 1, 1, 0)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 32 / 33

Tổng và giao không gian con Ví dụ

THANK YOU FOR ATTENTION

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 33 / 33