Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TS. Lê Xuân Đại

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

1 / 57

TP. HCM — 2011.

Định nghĩa

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 (cid:54)= x2

⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh

nếu ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f (x). Ánh xạ f được

Khái niệm tổng quát

Ánh xạ

gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

2 / 57

Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý X , Y (cid:54)= ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập X , Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x).

Khái niệm tổng quát

Ánh xạ

Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý X , Y (cid:54)= ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập X , Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x).

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

2 / 57

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

Khái niệm tổng quát

Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu) nếu và chỉ nếu

(cid:26) f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

3 / 57

Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là L(E , F ).

∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2,

f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2),

x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) =

(3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) =

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

f(x)+f(y).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

4 / 57

Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính.

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

4 / 57

∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) = f(x)+f(y).

Ví dụ

Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2),

f (x) = (2x 2

1 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) =

(2λ2x 2

1 − λx2, λx2) (cid:54)= λ(2x 2

1 − x2, x2), nếu λ (cid:54)= 1

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5 / 57

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)

Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) =

(2λ2x 2

1 − λx2, λx2) (cid:54)= λ(2x 2

1 − x2, x2), nếu λ (cid:54)= 1

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)

Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x 2

1 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5 / 57

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)

Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x 2

1 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x 2

1 − λx2, λx2) (cid:54)= λ(2x 2

1 − x2, x2), nếu λ (cid:54)= 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5 / 57

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

6 / 57

Định nghĩa Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là ánh xạ tuyến tính.

Định lý

Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó

2 Ker (f ) là không gian véctơ con của E

Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Im(f ) là không gian véctơ con của F

Định nghĩa Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là hạt

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

7 / 57

nhân của ánh xạ f . Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) là ảnh của ánh xạ f .

Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Định nghĩa Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là hạt

nhân của ánh xạ f . Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) là ảnh của ánh xạ f .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

7 / 57

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker (f ) là không gian véctơ con của E

Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

8 / 57

Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) và dim(Ker (f )) là số khuyết của f .

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ Cho f : P2(x) → R xác định bởi

1 (cid:82)

f (p(x)) = p(x)dx.

0

1 Tìm Ker (f ) 2 Tìm dim(Ker (f ))

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

9 / 57

2 Ta có

ax 2 + bx + (− a

3 − b

2) = a(x 2 − 1

3) + b(x − 1

2)

và x 2 − 1

3, x − 1

2 ĐLTT nên chúng là cơ sở của

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

1 p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x) 1 (cid:82)

Ker (f ) ⇒ dim(Ker (f )) = 2.

⇒ f (p(x)) = (ax 2 + bx + c)dx

0 3 + b

2 + c = 0 ⇒ c = − a = a Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− a

3 − b 3 − b

2. Vậy 2) : ∀a, b ∈ R}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

10 / 57

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

1 p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x) 1 (cid:82)

⇒ f (p(x)) = (ax 2 + bx + c)dx

0 3 + b

2 + c = 0 ⇒ c = − a = a Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− a

3 − b 3 − b

2. Vậy 2) : ∀a, b ∈ R}

2 Ta có

2) = a(x 2 − 1

3 − b 3) + b(x − 1 2) 2 ĐLTT nên chúng là cơ sở của

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

10 / 57

ax 2 + bx + (− a 3, x − 1 và x 2 − 1 Ker (f ) ⇒ dim(Ker (f )) = 2.

Ker (f ) = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 = 0, x2 + x3 =

0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta

được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R.

Vậy Ker (f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

của Ker (f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker (f )) = 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

11 / 57

Ví dụ Cho f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4) 1 Tìm Ker (f ), cơ sở và số chiều của nó 2 Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

11 / 57

Ker (f ) = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R. Vậy Ker (f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở của Ker (f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker (f )) = 1.

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

12 / 57

Bước 1. Chọn cơ sở của E = R4 là e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1). Bước 2. Tính f (e1) = (1, 0, 1), f (e2) = (−1, 1, 0), f (e3) = (0, 1, 1), f (e4) = (0, 0, 2) Bước 3. Rõ ràng lúc này ta có f (x1, x2, x3, x4) = f (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4) = x1f (e1) + x2f (e2) + x3f (e3) + x4f (e4) ⇒ Im(f ) =< f (e1), f (e2), f (e3), f (e4) >

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

   

  →  

1 −1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

13 / 57

Vậy (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, 0, 2) là cơ sở của Im(f ) và dim(Im(f )) = 3 ⇒ Im(f ) = F .

1. Chứng minh f (< M >) ⊂< f (M) > . Với mọi

y ∈ f (< M >) ⇒ ∃x ∈< M >: y = f (x). Do đó

n

(cid:80) ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x = λixi. Khi đó y =

i=1

n

(cid:80) (cid:80) f (x) = f ( λixi) = λif (xi) ∈< f (M) > .

i=1

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

14 / 57

f (< M >) =< f (M) >, M = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó

f (< M >) =< f (M) >, M = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E

1. Chứng minh f (< M >) ⊂< f (M) > . Với mọi y ∈ f (< M >) ⇒ ∃x ∈< M >: y = f (x). Do đó

λixi. Khi đó y = ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x =

n (cid:80) i=1

f (x) = f ( λixi) = λif (xi) ∈< f (M) > .

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

14 / 57

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

2. Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >). Với mọi y ∈< f (M) >⇒ ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K :

y = λif (xi) = f ( λixi) ∈ f (< M >).

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

15 / 57

Thật vậy, do f là toàn ánh nên

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

F = f (E ) = f (< M >) =< f (M) > .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

16 / 57

Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F .

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

16 / 57

Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E ) = f (< M >) =< f (M) > .

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó 1 Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ

2 Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập

thuộc tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

17 / 57

tuyến tính.

2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính

thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT.

λixi = 0. Khi đó f ( λixi) = λif (xi) = 0

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

18 / 57

Chứng minh. 1. Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, . . . , λn) (cid:54)= (0, 0, . . . , 0) sao cho n (cid:80) i=1 ⇒ f (M) PTTT.

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

λixi = 0. Khi đó f ( λif (xi) = 0 λixi) =

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

18 / 57

Chứng minh. 1. Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, . . . , λn) (cid:54)= (0, 0, . . . , 0) sao cho n (cid:80) i=1 ⇒ f (M) PTTT. 2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT.

n

(cid:80) Chứng minh. Giả sử λif (xi) = 0

i=1

n

(cid:80) ⇒ f ( λixi) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên

i=1

n

(cid:80) λixi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1..n. (cid:4)

i=1

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

19 / 57

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính.

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Chứng minh. Giả sử λif (xi) = 0

n (cid:80) i=1

⇒ f ( λixi) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên

n (cid:80) i=1

λixi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1..n. (cid:4)

n (cid:80) i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

19 / 57

Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song

ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của

F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập

sinh của F . Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B)

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

20 / 57

Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F .

Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B)

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F .

Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

20 / 57

Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F .

Khái niệm tổng quát

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

20 / 57

Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F . Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F .

Ba véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1) là cơ sở

của R3 nên

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

(x1, x2, x3) = α(1, 0, 0) + β(−1, 1, 0) + γ(0, −1, 1)

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

21 / 57

Xác định f (x1, x2, x3).

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

Xác định f (x1, x2, x3).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

21 / 57

Ba véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1) là cơ sở của R3 nên (x1, x2, x3) = α(1, 0, 0) + β(−1, 1, 0) + γ(0, −1, 1)

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

α −β     ⇔ ⇔

  α = x1 + x2 + x3 β = γ = = x1 β −γ = x2 γ = x3 x2 + x3 x3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

22 / 57

Vậy f (x1, x2, x3) = αf (1, 0, 0) + βf (−1, 1, 0) + γf (0, −1, 1) = (x1 + x2 + x3)(1, 1, 1) + (x2 + x3)(−2, −1, 0) + x3(2, 1, 3) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 + 4x3)

∀x ∈ Ker (f ) ⇔ f (x) = 0  x1 − x2 + x3 = 0  ⇔ = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0 x1 + x3

 x1 + x2 + 4x3 = 0

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ker (f ) = {0}. Dim(Ker (f )) = 0. (cid:64) cơ sở Ker (f ).

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

23 / 57

Tìm cơ sở và số chiều của Ker (f ).

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

Tìm cơ sở và số chiều của Ker (f ).

  ⇔ ⇔ x1 = x2 = x3 = 0 x1 + x3

 ∀x ∈ Ker (f ) ⇔ f (x) = 0 x1 − x2 + x3 = 0 = 0 x1 + x2 + 4x3 = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

23 / 57

Ker (f ) = {0}. Dim(Ker (f )) = 0. (cid:64) cơ sở Ker (f ).

Chọn cơ sở của R3 là

(1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1).

Im(f ) =< f (1, 0, 0), f (−1, 1, 0), f (0, −1, 1) >

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

=< (1, 1, 1), (−2, −1, 0), (2, 1, 3) >

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

24 / 57

Tìm cơ sở và số chiều của Im(f ).

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

Tìm cơ sở và số chiều của Im(f ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

24 / 57

Chọn cơ sở của R3 là (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1). Im(f ) =< f (1, 0, 0), f (−1, 1, 0), f (0, −1, 1) > =< (1, 1, 1), (−2, −1, 0), (2, 1, 3) >

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

   

  →  

1 −2 2 1 −1 1 3 0 1 1 −2 0 0 2 1 −1 0 −1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

25 / 57

Vậy cơ sở của Im(f ) là (1, 0, 0), (−2, 1, 0), (2, −1, −1). Dim(Im(f )) = 3.

Khái niệm tổng quát

Định lý về số chiều của nhân và ảnh

Định lý Cho 2 K −kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có

rank(f ) + dim(ker (f )) = dim(E )

hay

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

26 / 57

dim(Im(f )) + dim(ker (f )) = dim(E )

Chứng minh. ∀x ∈ E ta có

x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, xi ∈ K . Lập ánh xạ

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Xác định ánh xạ tuyến tính

f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

27 / 57

Định lý Giả sử E và F là 2 K -kgv, B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E và v1, v2, . . . , vn là n véctơ tùy ý của F . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E , F ) thỏa f (ei) = vi, i = 1, 2, . . . , n.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Xác định ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

27 / 57

Chứng minh. ∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, xi ∈ K . Lập ánh xạ f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Xác định ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

28 / 57

Rõ ràng lúc này ta có f (e1) = 1.v1 + 0.v2 + . . . + 0.vn = v1, f (e2) = v2, . . . f (en) = vn. Vậy luôn tồn tại ánh xạ f thỏa f (ei) = vi, i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. Với x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, y = y1e1 + y2e2 + . . . + ynen, ta có x + y = (x1 + y1)e1 + (x2 + y2)e2 + . . . + (xn + yn)en và λx = λx1e1 + λx2e2 + . . . + λxnen.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Xác định ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

29 / 57

Do đó f (x +y ) = (x1+y1)v1+(x2+y2)v2+. . .+(xn+yn)vn = (x1v1+x2v2+. . .+xnvn)+(y1v1+y2v2+. . .+ynvn) = f (x) + f (y ). f (λx) = (λx1v1 + λx2v2 + . . . + λxnvn) = λ(x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn) = λf (x).

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Xác định ánh xạ tuyến tính

Chứng minh f là duy nhất. Giả sử còn có g : E → F thỏa g (ei) = vi, i = 1, 2, . . . , n. Khi đó ∀x ∈ E , ta có

g (x) = x1g (e1) + x2g (e2) + . . . + xng (en)

= x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn = f (x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

30 / 57

Vậy g = f .

Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi

các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (en).

Giả sử

m

(cid:80) f (ei) = akifk = a1if1 + a2if2 + . . . + amifm

k=1

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính

(i = 1, 2, . . . , n).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

31 / 57

Giả sử E , F là 2 K -kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E , F ). Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F .

Giả sử

m

(cid:80) f (ei) = akifk = a1if1 + a2if2 + . . . + amifm

k=1

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính

(i = 1, 2, . . . , n).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

31 / 57

Giả sử E , F là 2 K -kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E , F ). Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (en).

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính

m (cid:80) k=1 (i = 1, 2, . . . , n).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

31 / 57

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Khi đó ma trận  

A =

           

. . . a1j a11 ... ... . . . . . . aij ai1 ... ... . . . am1 . . . amj . . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . amn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

32 / 57

được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở BC. Ký hiệu A = MatBC(f )

Giả sử

y = f (x) và X = [x]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay

n

(cid:80) x = xiei; Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay

i=1

m

(cid:80) y = ykfk và A = MatBC(f ).

k=1

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

33 / 57

Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ). B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F .

Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay

m

(cid:80) y = ykfk và A = MatBC(f ).

k=1

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ). B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử y = f (x) và X = [x]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay x = xiei;

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

33 / 57

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

và A = MatBC(f ).

Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ). B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử y = f (x) và X = [x]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay xiei; Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay x =

y = ykfk

n (cid:80) i=1 m (cid:80) k=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

33 / 57

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

y = ykfk và A = MatBC(f ).

n (cid:80) i=1 m (cid:80) k=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

33 / 57

Hay

 y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn

 y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn hoặc ở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........

 ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1.

Ta có y = f (x) = ykfk = f ( xiei) =

xif (ei) = xi( akifk) = akixi)fk

n (cid:80) i=1

m (cid:80) k=1 m (cid:80) k=1

n (cid:80) i=1 m n (cid:80) (cid:80) ( i=1 k=1

⇒ yk = akixi, k = 1, 2, . . . , m.

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

34 / 57

hoặc ở

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1.

Ta có y = f (x) = ykfk = f ( xiei) =

xif (ei) = xi( akifk) = akixi)fk

n (cid:80) i=1

m (cid:80) k=1 m (cid:80) k=1

n (cid:80) i=1 m n (cid:80) (cid:80) ( i=1 k=1

akixi, k = 1, 2, . . . , m. Hay

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

34 / 57

⇒ yk =    y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

Ta có y = f (x) = ykfk = f ( xiei) =

xif (ei) = xi( akifk) = akixi)fk

n (cid:80) i=1

m (cid:80) k=1 m (cid:80) k=1

n (cid:80) i=1 m n (cid:80) (cid:80) ( i=1 k=1

akixi, k = 1, 2, . . . , m. Hay

n (cid:80) i=1

hoặc ở

y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

34 / 57

⇒ yk =    dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : P2(x) → P1(x) xác định bởi f (p(x)) = p(cid:48)(x) + 3p(cid:48)(cid:48)(x). Cho E = {1, x, x 2} là cơ sở của P2(x) và F = {1, x} là cơ sở của P1(x). 1 Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính trong

2 Tính f (3x 2 + 5x − 2) trực tiếp và thông qua A.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

35 / 57

cặp cơ sở E , F .

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

1. Ma trận A của AXTT trong cặp cơ sở E , F . (cid:19)

(cid:18) 0 0

f (x) = 1 + 3.0 = 1 ⇒ [f (x)]F = Ta có f (1) = 0 + 3.0 = 0 ⇒ [f (1)]F = (cid:19) (cid:18) 1 0

(cid:19)

. (cid:18) 6 2

f (x 2) = 2x + 3.2 = 6 + 2x ⇒ [f (x 2)]F = (cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

36 / 57

Vậy A = (cid:18) 0 1 6 0 0 2

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

2. Tính trực tiếp f (3x 2 + 5x − 2) = (6x + 5) + 3(6) = 23 + 6x. Tính thông qua A

 

p(x) = 3x 2 + 5x − 2 ⇒ [p(x)]E =  

−2 5 3   (cid:19)

[f (p(x))]F = A[p(x)]E =   = (cid:18) 0 1 6 0 0 2 −2 5 3

(cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

37 / 57

. Vậy f (3x 2 + 5x − 2) = 23 + 6x. (cid:18) 23 6

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác định bởi  

f (x) = Ax, với A =  . Tìm ma trận 

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

38 / 57

1 −3 2 0 3 4 của ánh xạ f trong cặp cơ sở E = {(1, 1), (1, 2)} và F = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

    (cid:19)

Ta có f (1, 1) = =     . (cid:18) 1 1

−2 1 −3 2 2 0 7 3 4 Ta cần khai triển véctơ f (1, 1) trong cơ sở F        

   = α  + β  + γ    .

−2 2 7 1 1 1 1 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

39 / 57

1 0 1 Từ đó ta được α = 5, β = 2, γ = −9. Vậy [f (1, 1)]F = (5, 2, −9)T .

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Tương tự ta cũng tính được  

[f (1, 2)]F =   .

6 4 −15

Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở E , F là

 

6 4   .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

40 / 57

5 2 −9 −15

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian

Khi f ∈ L(E ). Khi đó f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (en) với B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E .

Nếu f (ei) =

n (cid:80) k=1

 akiek thì ma trận 

chính A = MatB(f ) =

           

. . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . ann

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

41 / 57

a11 . . . a1j ... ... . . . ai1 . . . aij ... ... . . . an1 . . . anj là ma trận biểu diễn ánh xạ f trong cơ sở B của E .

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

42 / 57

Nếu X = (x1, x2, . . . , xn)T = [x]B, Y = (y1, y2, . . . , yn)T = [y ]B, thì ta có Yn×1 = An×nXn×1

e1 = (1, 1) ⇒ f (e1) = (3, 0);

e2 = (1, 0) ⇒ f (e2) = (2, 1);

(cid:26) f (e1) = a11e1 + a21e2

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

f (e2) = a12e1 + a22e2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

43 / 57

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)}.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)}.

e1 = (1, 1) ⇒ f (e1) = (3, 0); e2 = (1, 0) ⇒ f (e2) = (2, 1);

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

43 / 57

(cid:26) f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

⇔ ⇔

      a11 = 0 a21 = 3 a12 = 1 a22 = 1. a11.1 + a21.1 = 3 a11.1 + a21.0 = 0 a12.1 + a22.1 = 2 a12.1 + a22.0 = 1

Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)} là

(cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

44 / 57

A = MatE (f ) = (cid:18) 0 1 3 1

Trong cơ sở chính tắc

e1 = (1, 0) ⇒ f (e1) = (1, 2).

e2 = (0, 1) = α(1, 1) + β(1, 0) ⇒ α = 1, β = −1

⇒ f (e2) = f (1, 1) − f (1, 0) = (−1, 1) − (1, 2) =

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

(−2, −1).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

45 / 57

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (1, 1) = (−1, 1), f (1, 0) = (1, 2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (1, 1) = (−1, 1), f (1, 0) = (1, 2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

45 / 57

Trong cơ sở chính tắc e1 = (1, 0) ⇒ f (e1) = (1, 2). e2 = (0, 1) = α(1, 1) + β(1, 0) ⇒ α = 1, β = −1 ⇒ f (e2) = f (1, 1) − f (1, 0) = (−1, 1) − (1, 2) = (−2, −1).

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

⇔ ⇔

(cid:26) f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2       a11.1 + a21.0 = 1 a11.0 + a21.1 = 2 a12.1 + a22.0 = −2 a12.0 + a22.1 = −1 a11 = 1 a21 = 2 a12 = −2 a22 = −1.

Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc là (cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

46 / 57

A = MatE (f ) = (cid:18) 1 −2 2 −1

Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1)

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

⇒ α = 2, β = 3 ⇒ [x]E = (2, 3)T .

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở (cid:19)

E = {(1, 1), (−1, 1)} là A = . Tìm (cid:18) 1 −1 2 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

47 / 57

f (−1, 5).

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở (cid:19)

E = {(1, 1), (−1, 1)} là A = . Tìm (cid:18) 1 −1 2 0

f (−1, 5).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

47 / 57

Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1) ⇒ α = 2, β = 3 ⇒ [x]E = (2, 3)T .

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

(cid:19)

. = Từ đó ta có [f (−1, 5)]E = A.[x]E = (cid:19) (cid:18) 1 −1 2 0 (cid:19) (cid:18) 2 3 (cid:18) −1 6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

48 / 57

Vậy f (−1, 5) = −1(1, 1) + 6(−1, 1) = (−7, 5)

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

2, . . . , e(cid:48)

1, e(cid:48)

Xét trường hợp f : E → E , f ∈ L(E ) với E là 1 K -kgv. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en}, B(cid:48) = {e(cid:48) n} là 2 cơ sở nào đó của E và A = MatB(f ), A(cid:48) = MatB(cid:48)(f ). Giả sử S = Pass(B, B(cid:48)) là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B(cid:48)

 

S =

           

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

49 / 57

s11 . . . s1j ... ... . . . si1 . . . sij ... ... . . . sn1 . . . snj . . . s1n ... . . . . . . sin ... . . . . . . snn

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

tức là e(cid:48) skiek, i = 1, 2, . . . , n.

i =

n (cid:80) k=1

1, x (cid:48)

2, . . . , x (cid:48)

n)T - tọa độ của véctơ y

2, . . . , y (cid:48)

1, y (cid:48)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

50 / 57

Giả sử X = [x]B = (x1, x2, . . . , xn)T - tọa độ của véctơ x trong cơ sở B. X (cid:48) = [x]B(cid:48) = (x (cid:48) n)T - tọa độ của véctơ x trong cơ sở B(cid:48). Y = [y ]B = (y1, y2, . . . , yn)T - tọa độ của véctơ y trong cơ sở B. Y (cid:48) = [y ]B(cid:48) = (y (cid:48) trong cơ sở B(cid:48).

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

Khi đó ta có X = SX (cid:48), Y = SY (cid:48), Y = AX = ASX (cid:48), Y (cid:48) = A(cid:48)X (cid:48) ⇒ Y = SY (cid:48) = SA(cid:48)X (cid:48) ⇒ ASX (cid:48) = SA(cid:48)X (cid:48) với X (cid:48) tùy ý nên AS = SA(cid:48). Do S là ma trận chuyển cơ sở nên S không suy biến, từ đó suy ra

A(cid:48) = S −1AS

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

51 / 57

Định nghĩa Hai ma trận A và A(cid:48) được gọi là 2 ma trận đồng dạng nếu A(cid:48) = S −1AS.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

52 / 57

Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E . A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f cơ sở B còn A(cid:48) là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở B(cid:48). Khi đó A, A(cid:48) đồng dạng với nhau.

Áp dụng công thức, ta có ma trận của ánh xạ

tuyến tính f trong cơ sở F là A(cid:48) = S −1AS trong

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

đó S là ma trận chuyển từ cơ sở E vào F .

(cid:19)

E = {(1, 0), (1, 1)} là A = . Tìm ma Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở (cid:18) 1 −3 4 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

53 / 57

trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở F = {(0, 1), (2, 1)}.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

(cid:19)

E = {(1, 0), (1, 1)} là A = . Tìm ma Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở (cid:18) 1 −3 4 1

trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở F = {(0, 1), (2, 1)}.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

53 / 57

Áp dụng công thức, ta có ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở F là A(cid:48) = S −1AS trong đó S là ma trận chuyển từ cơ sở E vào F .

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

⇒ Tìm S. (cid:26) (0, 1) = s11(1, 0) + s21(1, 1) (2, 1) = s21(1, 0) + s22(1, 1)

(cid:19)

. Vậy S = ⇒ S −1 = (cid:26) s11 = −1; s21 = 1 s21 = 1; s22 = 1 (cid:19) (cid:18) −1 1 1 1 (cid:18) −1 2 1 2

1 2 1 2

(cid:19)

.

=

.

(cid:18) −1 1 1 1

1 2 1 2

Từ đó A(cid:48) = S −1AS = (cid:18) 1 −3 (cid:19) (cid:18) − 1 2 . 1 4 1 2

(cid:18) 7 2 − 1 2

7 2 3 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

54 / 57

Chứng minh.

Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là cơ sở của E ,

C = {f1, f2, . . . , fm} là cơ sở của F .

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính

A = MatBC(f ).

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Giả sử A ∈ Mm×n(K ) là ma trận của f trong cặp cơ sở B ⊂ E và C ⊂ F tức là A = MatBC(f ). Khi đó ta có

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

55 / 57

rank(f ) = rank(A).

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính

rank(f ) = rank(A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

55 / 57

Chứng minh. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là cơ sở của F . A = MatBC(f ).

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

56 / 57

Vì Im(f ) =< f (B) >=< f (e1), f (e2), . . . , f (en) > ⇒ rank(f ) = dim(Im(f )) = = rank([f (e1)]F , [f (e2)]F , . . . , [f (en)]F ) = rank(A∗1, A∗2, . . . , A∗n) = rank(A). Vậy rank(f ) = dim(Im(f )) = rank(A).

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

57 / 57

THANK YOU FOR ATTENTION

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - Lê Xuân Đại