Định thức của ma trận
Lê Xuân Thanh
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Giới thiệu khái niệm định thức
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Giới thiệu khái niệm định thức
Nguồn gốc khái niệm định thức
Khái niệm định thức nảy sinh từ việc nhận diện các dạng đặc biệt của hệ phương trình tuyến tính.
Ví dụ: Hệ phương trình tuyến tính
a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
có nghiệm duy nhất
; x1 = x2 = b1a22 (cid:0) b2a12 a11a22 (cid:0) a21a12 b2a11 (cid:0) b1a21 a11a22 (cid:0) a21a12
với điều kiện a11a22 (cid:0) a21a12 ̸= 0. Giá trị
]
được gọi là định thức của ma trận hệ số : a11a22 (cid:0) a21a12 [ a11 a21 a12 a22
Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế
Phép thế
Một phép thế bậc n là một song ánh
(cid:27) : f1; 2; : : : ; ng ! f1; 2; : : : ; ng:
Ví dụ: Ánh xạ (cid:27)(cid:3) : f1; 2; 3g ! f1; 2; 3g xác định bởi
(cid:27)(cid:3)(1) = 2; (cid:27)(cid:3)(2) = 3; (cid:27)(cid:3)(3) = 1
là một phép thế bậc 3. Phép thế (cid:27) bậc n thường được biểu thị dưới dạng
(
)
1
2
n
(cid:27) =
:
(cid:27)(1) (cid:27)(2)
: : : : : : (cid:27)(n)
Ví dụ: ( )
1 2 2 3 Phép thế (cid:27)(cid:3) nêu trên có biểu thị (cid:27)(cid:3) = ( : )
Ánh xạ đồng nhất là phép thế id = : 3 1 : : : n : : : n 1 2 1 2
Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế
Tập hợp các phép thế
Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được ký hiệu bởi Sn.
Ví dụ: S3 có 6 phép thế: ( ) ( ) ( )
; ; ; (cid:27)1 = (cid:27)2 = (cid:27)3 = 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 3 2 1 2 2 1 3 3 ( ) ( ) ( )
; ; : (cid:27)4 = (cid:27)5 = (cid:27)6 = 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 3 1
Nhận xét: Sn có n! phần tử.
Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế
Phép thế sơ cấp
Phép đổi chỗ hai phần tử khác nhau i; j 2 f1; 2; : : : ; ng và giữ nguyên các phần tử khác được gọi là một phép thế sơ cấp.
Ký hiệu: ( )
(cid:27) = = (i; j): 1 1 : : : : : : i j : : : : : : j i : : : n : : : n
Ví dụ:
( )
= (1; 3): (cid:27)6 = 1 2 3 2 3 1
Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế
Tích các phép thế
Tích (cid:28) (cid:27) của hai phép thế (cid:28); (cid:27) 2 Sn là ánh xạ hợp thành
(
)
(cid:28) (cid:27) =
:
1 (cid:28) ((cid:27)(1))
2 (cid:28) ((cid:27)(2))
: : : : : :
n (cid:28) ((cid:27)(n))
Chú ý:
Khi viết (cid:28) (cid:27), phép thế (cid:27) tác động trước. Có thể mở rộng cho tích của nhiều phép thế. Nếu (cid:28) (cid:27) = id, thì (cid:28) được gọi là nghịch đảo của (cid:27), ký hiệu: (cid:27)(cid:0)1.
Ví dụ: ( ) ( )
ta có Với (cid:27)2 = và (cid:27)5 = 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2 ( ( )
; : (cid:27)5(cid:27)2 = (cid:27)2(cid:27)5 = 1 2 3 2 ) 3 1 3 3 ( ) 1 2 2 1 ( )
. Nghịch đảo của (cid:27)5 = là (cid:27)4 = 1 2 3 1 3 2 1 2 2 3 3 1
Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế
Dấu của phép thế
Dấu của phép thế (cid:27) 2 Sn là số sau đây
∏
sgn((cid:27)) =
:
i̸=j
(cid:27)(i) (cid:0) (cid:27)(j) i (cid:0) j )
(
ta có Ví dụ: Với phép thế (cid:27)(cid:3) = 1 2 2 3 3 1
sgn((cid:27)(cid:3)) = (cid:27)(cid:3)(1) (cid:0) (cid:27)(cid:3)(2) 1 (cid:0) 2 (cid:27)(cid:3)(2) (cid:0) (cid:27)(cid:3)(3) 2 (cid:0) 3 (cid:27)(cid:3)(1) (cid:0) (cid:27)(cid:3)(3) 1 (cid:0) 3
= = 1: 2 (cid:0) 3 1 (cid:0) 2 3 (cid:0) 1 2 (cid:0) 3 2 (cid:0) 1 1 (cid:0) 3 Nhận xét:
sgn((cid:27)) 2 f+1; (cid:0)1g 8(cid:27) 2 Sn. sgn(id) = 1. Phép thế sơ cấp (i; j) có dấu bằng -1. sgn((cid:28) (cid:27)) = sgn((cid:28) )sgn((cid:27)) 8(cid:28); (cid:27) 2 Sn. sgn((cid:27)(cid:0)1) = sgn((cid:27)).
Giới thiệu khái niệm định thức
Định nghĩa định thức ma trận
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Giới thiệu khái niệm định thức
Định nghĩa định thức ma trận
Định nghĩa định thức ma trận
Định thức của ma trận A = (aij)n(cid:2)n là
∑
detA = jAj =
sgn((cid:27))a(cid:27)(1)1a(cid:27)(2)2 : : : a(cid:27)(n)n:
(cid:27)2Sn
Chú ý:
0
Viết thay cho . B B @ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Tổng trên có n! số hạng. Khái niệm định thức chỉ áp dụng với các ma trận vuông. Định thức của ma trận cỡ n (cid:2) n được gọi là định thức cấp n. (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) C (cid:12) C (cid:12) (cid:12) A (cid:12) (cid:12) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : a1n a2n (cid:1) ann a11 a21 (cid:1) an1 a12 a22 (cid:1) an2 a1n a2n (cid:1) ann a11 a21 (cid:1) an1 a12 a22 (cid:1) an2
Giới thiệu khái niệm định thức
Định nghĩa định thức ma trận
Ví dụ
∑
det(aij)n(cid:2)n =
sgn((cid:27))a(cid:27)(1)1a(cid:27)(2)2 : : : a(cid:27)(n)n:
(cid:27)2Sn
Định thức cấp 1:
det(a) = a 8a 2 R:
Định thức cấp 2:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) =
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = a11a22 (cid:0) a21a12:
a11 a12 a21 a22
a11 a21 a12 a22
Định thức cấp 3:
=
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
(cid:12) (cid:12) a11 a21 a31 (cid:12) (cid:12) a12 a22 a32 (cid:12) (cid:12) a13 a23 a33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
(cid:0) a31a22a13 (cid:0) a32a23a11 (cid:0) a33a21a12:
Giới thiệu khái niệm định thức
Định nghĩa định thức ma trận
Ví dụ số
Bài tập:
Tính
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) :
(cid:12) (cid:12) 5 (cid:0)2 (cid:12) (cid:12) 3 1
Tính
:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) 1 2 0 (cid:12) (cid:12) 3 (cid:0)1 2 (cid:12) (cid:12) 1 0 4
Tính
:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) 1 (cid:0)2 3 0 (cid:12) (cid:12) (cid:0)1 0 1 2 (cid:12) (cid:12) 3 0 2 0 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:0)2 4 3
Giới thiệu khái niệm định thức
Định nghĩa định thức ma trận
Hệ quả: định thức của ma trận chuyển vị
Với A = (aij)n(cid:2)n ta có detAt = detA.
(cid:27)2Sn
Chứng minh: Theo định nghĩa định thức, ta có ∑ detAt = sgn((cid:27))a1(cid:27)(1)a2(cid:27)(2) : : : an(cid:27)(n):
Xét (cid:27) 2 Sn bất kỳ. Nếu k = (cid:27)(j), thì j = (cid:27)(cid:0)1(k) và aj(cid:27)(j) = a(cid:27)(cid:0)1(k)k. Do đó
8 (cid:27) 2 Sn: a1(cid:27)(1)a2(cid:27)(2) : : : an(cid:27)(n) = a(cid:27)(cid:0)1(1)1a(cid:27)(cid:0)1(2)2 : : : a(cid:27)(cid:0)1(n)n
(cid:27)(cid:0)12Sn = detA:
Hơn nữa, ta có sgn((cid:27)(cid:0)1) = sgn((cid:27)). Do đó ∑ detAt = sgn((cid:27)(cid:0)1)a(cid:27)(cid:0)1(1)1a(cid:27)(cid:0)1(2)2 : : : a(cid:27)(cid:0)1(n)n
Các tính chất cơ bản của định thức
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Các tính chất cơ bản của định thức
Định thức: hàm của các vec-tơ cột
Xét ma trận vuông cấp n: 2
3
A =
6 6 6 4
7 7 7 5 :
: : : a1n : : : a2n ... : : : : : : ann
a12 a11 a22 a21 ... ... an1 an2
Các vec-tơ cột của ma trận A lần lượt là:
2
3
3
2
3
2
: : : ; (cid:11)n =
(cid:11)1 =
7 7 7 5 ; (cid:11)2 =
6 6 6 4
7 7 7 5 ;
6 6 6 4
7 7 7 5 :
6 6 6 4
a1n a2n ... ann
a11 a21 ... an1
a12 a22 ... an2
Ta có thể coi detA như một hàm của các vec-tơ cột của A:
detA = det((cid:11)1; (cid:11)2; : : : ; (cid:11)n):
Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính
Tính chất đa tuyến tính của định thức
Định thức ma trận là một hàm tuyến tính với mỗi cột của nó (khi cố định các cột khác).
det((cid:11)1; : : : ; a(cid:11)j + b(cid:12)j; : : : ; (cid:11)n)
= a det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)n) + b det((cid:11)1; : : : ; (cid:12)j; : : : ; (cid:11)n):
Ví dụ minh họa:
(cid:0)24 = + 4 = ((cid:0)1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 3 (cid:12) (cid:12) 4 (cid:0)4 (cid:12) (cid:12) 5 (cid:0)5 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) 4 1 4 5 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) 4 1 0 0 1 4 5
(cid:12) (cid:12) 1 1 (cid:12) (cid:12) 2 4 (cid:12) (cid:12) 5 4 = ((cid:0)1)0 + 4((cid:0)6) = (cid:0)24
Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính
Chứng minh tính chất đa tuyến tính của định thức
Ký hiệu 3 2 3 2
6 4 6 4 7 5 ; 7 5 : (cid:11)j = (cid:12)j =
a1j ... anj b1j ... bnj
Ta có
det((cid:11)1; : : : ; a(cid:11)j + b(cid:12)j; : : : ; (cid:11)n) ∑ = sgn((cid:27))a(cid:27)(1)1 : : : (aa(cid:27)(j)j + bb(cid:27)(j)j) : : : a(cid:27)(n)n
(cid:27)2Sn ∑
(cid:27)2Sn
(cid:27)2Sn
∑ = a sgn((cid:27))a(cid:27)(1)1 : : : a(cid:27)(j)j : : : a(cid:27)(n)n + b sgn((cid:27))a(cid:27)(1)1 : : : b(cid:27)(j)j : : : a(cid:27)(n)n
= a det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)n) + b det((cid:11)1; : : : ; (cid:12)j; : : : ; (cid:11)n):
Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính
Một số hệ quả
Hệ quả 1: Định thức của ma trận được nhân lên a lần nếu ta nhân một cột của ma trận đó với a.
det((cid:11)1; : : : ; a(cid:11)j; : : : ; (cid:11)n) = a det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)n):
Chứng minh: Thay b = 0 trong đẳng thức
det((cid:11)1; : : : ; a(cid:11)j + b(cid:12)j; : : : ; (cid:11)n) = a det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)n) + b det((cid:11)1; : : : ; (cid:12)j; : : : ; (cid:11)n):
Ví dụ:
: = 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 2 4 5 5 1 3 6 12 1 2 4 5 5 1 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) 4
Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính
Một số hệ quả
Hệ quả 2: Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì
det(cA) = cn detA với c 2 R:
Chứng minh: Suy ra từ Hệ quả 1.
det(cA) = det(c(cid:11)1; : : : ; c(cid:11)n) = cn det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)n) = cn detA:
Ví dụ:
= 53 : (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 5 10 0 25 (cid:0)30 40 (cid:0)15 20 5 1 2 0 5 (cid:0)6 8 (cid:0)3 4 1
Các tính chất cơ bản của định thức
Thay phiên
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Các tính chất cơ bản của định thức
Thay phiên
Tính chất thay phiên của định thức
Nếu ma trận vuông A có hai cột giống nhau, thì detA = 0.
det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)n) = 0 nếu (cid:11)i = (cid:11)j:
Ví dụ minh họa:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 4 5 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) 3 (cid:12) (cid:12) 6 1 4 5
= 1 (cid:1) 4 (cid:1) 6 + 4 (cid:1) 5 (cid:1) 2 + 5 (cid:1) 1 (cid:1) 3 (cid:0) 5 (cid:1) 4 (cid:1) 2 (cid:0) 4 (cid:1) 1 (cid:1) 6 (cid:0) 1 (cid:1) 5 (cid:1) 3 = 0:
Các tính chất cơ bản của định thức
Thay phiên
Chứng minh tính chất thay phiên của định thức
(cid:27)2Sn
Theo định nghĩa ta có ∑ detA = sgn((cid:27))a(cid:27)(1)1 : : : a(cid:27)(i)i : : : a(cid:27)(j)j : : : a(cid:27)(n)n:
Ta ghép các số hạng trong tổng trên thành từng cặp
với sgn((cid:27))a(cid:27)(1)1 : : : a(cid:27)(i)i : : : a(cid:27)(j)j : : : a(cid:27)(n)n sgn((cid:28)(cid:27))a(cid:27)(1)1 : : : a(cid:27)(j)i : : : a(cid:27)(i)j : : : a(cid:27)(n)n;
với (cid:28)(cid:27) = ((cid:27)(i); (cid:27)(j)) (cid:27). Ta thấy:
sgn((cid:28)(cid:27)) = sgn((cid:27)(i); (cid:27)(j)) sgn((cid:27)) = (cid:0)sgn((cid:27)) (do dấu của phép thế sơ cấp bằng -1).
a(cid:27)(1)1 : : : a(cid:27)(i)i : : : a(cid:27)(j)j : : : a(cid:27)(n)n = a(cid:27)(1)1 : : : a(cid:27)(j)i : : : a(cid:27)(i)j : : : a(cid:27)(n)n (do (cid:11)i = (cid:11)j theo giả thiết, tức là aki = akj với k = 1; : : : ; n).
Vậy detA là tổng các số hạng đối nhau. Kết quả là detA = 0.
Các tính chất cơ bản của định thức
Thay phiên
Một số hệ quả
Hệ quả 3: (Tính phản đối xứng của định thức) Nếu đổi chỗ hai cột của ma trận thì định thức của nó đổi dấu.
det(: : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)j; : : :) = (cid:0)det(: : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)i; : : :):
Chứng minh:
0 = det(: : : ; (cid:11)i + (cid:11)j; : : : ; (cid:11)i + (cid:11)j; : : :) = det(: : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)i; : : :) + det(: : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)j; : : :)
+ det(: : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)i; : : :) + det(: : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)j; : : :) = 0 + det(: : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)j; : : :) + det(: : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)i; : : :) + 0:
Ví dụ:
: = (cid:0) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) 7 (cid:12) (cid:12) 6 (cid:12) (cid:12) 3 4 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:0)5 (cid:12) (cid:12) 2 1 4 1 7 (cid:0)5 2 6 3 2 1
Các tính chất cơ bản của định thức
Thay phiên
Một số hệ quả
∑
Hệ quả 4: Nếu (cid:11)i =
cj(cid:11)j với cj 2 R, thì ta có
j̸=i
det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)n) = 0:
j̸=i
Chứng minh: ∑ det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)n) = det((cid:11)1; : : : ; cj(cid:11)j; : : : ; (cid:11)n)
j̸=i ∑
∑ = cjdet(: : : ; (cid:11)j; : : : ; (cid:11)j; : : :)
j̸=i
= cj (cid:1) 0
= 0:
= + = 0 + 0 = 0: Ví dụ: (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 7 0 3 (cid:12) (cid:12) 3 4 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:0)2 (cid:12) (cid:12) 2 1 3 2 1 (cid:12) (cid:12) 3 4 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:0)2 (cid:12) (cid:12) 2 1 (cid:12) (cid:12) 4 (cid:12) (cid:12) (cid:0)2 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) 3 4 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:0)2 (cid:12) (cid:12) 2 1
Các tính chất cơ bản của định thức
Thay phiên
Một số hệ quả
Hệ quả 5: Với cj 2 R ta có
∑
det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i +
cj(cid:11)j; : : : ; (cid:11)n) = det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)n):
j̸=i
j̸=i
Chứng minh: Sử dụng Hệ quả 4 ta có ∑ det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i + cj(cid:11)j; : : : ; (cid:11)n)
j̸=i
∑ = det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)n) + det((cid:11)1; : : : ; cj(cid:11)j; : : : ; (cid:11)n)
= det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)n) + 0 = det((cid:11)1; : : : ; (cid:11)i; : : : ; (cid:11)n):
3 2 3 2
4 5 5+2 =) 5 = : = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Ví dụ: 2 3 1 4 0 0 3 2 (cid:0)4 (cid:0)1 (cid:0)3 2 (cid:12) (cid:12) 3 (cid:0)1 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:0)3 (cid:12) (cid:12) 2 1 4 0 (cid:0)4 (cid:12) (cid:12) 3 (cid:0)1 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:0)3 (cid:12) (cid:12) 2 1 0 0 (cid:0)4 3 2 1 4 5+ 4 4 0
Các tính chất cơ bản của định thức
Chuẩn hóa
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Các tính chất cơ bản của định thức
Chuẩn hóa
Tính chất chuẩn hóa của định thức
Định thức của ma trận đơn vị bằng 1.
= 1:
detIn =
(cid:1)
: : :
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
1 0 : : : 0 0 1 : : : 0 (cid:1) (cid:1) 0 0 : : : 1
Chứng minh: Ký hiệu In = (eij)n(cid:2)n, ta có {
eij = 1 nếu i = j, 0 nếu i ̸= j.
(cid:27)2Sn
Theo định nghĩa ∑ detIn = sgn((cid:27))e(cid:27)(1)1 : : : e(cid:27)(n)n:
Tổng này có đúng một số hạng khác 0 (ứng với (cid:27) = id). Do sgn(id) = 1, nên ta có detIn = 1 (cid:1) 1 (cid:1) (cid:1) (cid:1) 1 = 1:
Các tính chất cơ bản của định thức
Chuẩn hóa
Một số hệ quả
Hệ quả 6: (Định thức của ma trận đường chéo)
= a11a22 (cid:1) (cid:1) (cid:1) ann:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) a11 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:12) (cid:12) (cid:1) (cid:12) (cid:12) 0
0 a22 (cid:1) 0
0 : : : 0 : : : (cid:1) : : : : : : ann
= a11 = a11a22 Chứng minh: (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 a22 (cid:1) 0 a11 0 (cid:1) 0 : : : : : : : : : : : : 1 0 (cid:1) 0 0 a22 (cid:1) 0 1 0 0 1 (cid:1) (cid:1) 0 0 : : : : : : : : : : : : 0 0 (cid:1) ann 0 0 (cid:1) ann 0 0 (cid:1) ann
: : : : : : : : : : : : = a11a22 (cid:1) (cid:1) (cid:1) annjInj = a11a22 (cid:1) (cid:1) (cid:1) ann:
Các tính chất cơ bản của định thức
Chuẩn hóa
Một số hệ quả
Hệ quả 7: (Định thức của ma trận tam giác trên)
jUj =
= a11a22 (cid:1) (cid:1) (cid:1) ann:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) a11 a12 (cid:12) (cid:12) a22 0 (cid:12) (cid:12) (cid:1) (cid:1) (cid:12) (cid:12) 0 0
: : : a1n : : : a2n (cid:1) : : : : : : ann
(cid:27)2Sn
Chứng minh: Theo định nghĩa ta có ∑ jUj = sgn((cid:27))a(cid:27)(1)1 : : : a(cid:27)(n)n:
Do U là ma trận tam giác trên, nên
a(cid:27)(1)1 có thể khác 0 , (cid:27)(1) (cid:20) 1 , (cid:27)(1) = 1. Quy nạp: a(cid:27)(1)1 : : : a(cid:27)(i)i có thể khác 0 , (cid:27)(i) = i với i = 1; : : : ; n.
=) Trong jUj, số hạng duy nhất có thể khác 0 ứng với phép thế id. Do sgn(id) = 1, ta suy ra
jUj = a11a22 (cid:1) (cid:1) (cid:1) ann:
Các tính chất cơ bản của định thức
Chuẩn hóa
Một số hệ quả
Hệ quả 8: (Định thức của ma trận tam giác dưới)
jLj =
= a11a22 (cid:1) (cid:1) (cid:1) ann:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
0 : : : 0 : : : (cid:1) : : : : : : ann
(cid:12) (cid:12) 0 a11 (cid:12) (cid:12) a22 a21 (cid:12) (cid:12) (cid:1) (cid:1) (cid:12) (cid:12) an1 an2
Chứng minh:
Cách 1: Lập luận tương tự chứng minh Hệ quả 7. Cách 2: Áp dụng Hệ quả 7, chú ý rằng jLj = jLtj và Lt là ma trận tam giác trên.
Các tính chất cơ bản của định thức
Chuẩn hóa
Ví dụ minh họa
0
= 2 (cid:1) ((cid:0)4) (cid:1) 8 (cid:1) 3 = (cid:0)192:
0 0
= 2 (cid:1) ((cid:0)4) (cid:1) 8 (cid:1) 3 = (cid:0)192:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
0 0
= 2 (cid:1) ((cid:0)4) (cid:1) 8 (cid:1) 3 = (cid:0)192:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) 0 0 2 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:0)4 0 0 (cid:12) (cid:12) 8 0 0 (cid:12) (cid:12) 0 3 0 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:0)5 4 3 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:0)4 7 5 (cid:12) (cid:12) 8 5 0 (cid:12) (cid:12) 0 0 3 (cid:12) (cid:12) 2 0 (cid:12) (cid:12) 3 (cid:0)4 (cid:12) (cid:12) 4 (cid:0)9 (cid:12) (cid:12) (cid:0)3
0 0 0 0 0 8 2 (cid:0)5 3
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Định thức con bù và phần bù đại số
Tư tưởng của phương pháp khai triển Laplace: Tính định thức cấp n thông qua các định thức cấp nhỏ hơn.
Định thức con bù và phần bù đại số:
Cho A = (aij)n(cid:2)n là một ma trận vuông. Xét phần tử aij (hàng i, cột j). Xóa hàng i, cột j của ma trận A, ta nhận được ma trận con Bij. Định thức Mij = detBij được gọi là định thức con bù của aij. Giá trị Cij = ((cid:0)1)i+jMij được gọi là phần bù đại số của aij.
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Định thức con bù và phần bù đại số
Tư tưởng của phương pháp khai triển Laplace: Tính định thức cấp n thông qua các định thức cấp nhỏ hơn.
Định thức con bù và phần bù đại số:
Cho A = (aij)n(cid:2)n là một ma trận vuông. Xét phần tử aij (hàng i, cột j). Xóa hàng i, cột j của ma trận A, ta nhận được ma trận con Bij. Định thức Mij = detBij được gọi là định thức con bù của aij. Giá trị Cij = ((cid:0)1)i+jMij được gọi là phần bù đại số của aij.
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Định thức con bù và phần bù đại số
Tư tưởng của phương pháp khai triển Laplace: Tính định thức cấp n thông qua các định thức cấp nhỏ hơn.
Định thức con bù và phần bù đại số:
Cho A = (aij)n(cid:2)n là một ma trận vuông. Xét phần tử aij (hàng i, cột j). Xóa hàng i, cột j của ma trận A, ta nhận được ma trận con Bij. Định thức Mij = detBij được gọi là định thức con bù của aij. Giá trị Cij = ((cid:0)1)i+jMij được gọi là phần bù đại số của aij.
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Định thức con bù và phần bù đại số
Tư tưởng của phương pháp khai triển Laplace: Tính định thức cấp n thông qua các định thức cấp nhỏ hơn.
Định thức con bù và phần bù đại số:
Cho A = (aij)n(cid:2)n là một ma trận vuông. Xét phần tử aij (hàng i, cột j). Xóa hàng i, cột j của ma trận A, ta nhận được ma trận con Bij. Định thức Mij = detBij được gọi là định thức con bù của aij. Giá trị Cij = ((cid:0)1)i+jMij được gọi là phần bù đại số của aij.
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Định thức con bù và phần bù đại số
Tư tưởng của phương pháp khai triển Laplace: Tính định thức cấp n thông qua các định thức cấp nhỏ hơn.
Định thức con bù và phần bù đại số:
Cho A = (aij)n(cid:2)n là một ma trận vuông. Xét phần tử aij (hàng i, cột j). Xóa hàng i, cột j của ma trận A, ta nhận được ma trận con Bij. Định thức Mij = detBij được gọi là định thức con bù của aij. Giá trị Cij = ((cid:0)1)i+jMij được gọi là phần bù đại số của aij.
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Định thức con bù và phần bù đại số
Tư tưởng của phương pháp khai triển Laplace: Tính định thức cấp n thông qua các định thức cấp nhỏ hơn.
Định thức con bù và phần bù đại số:
Cho A = (aij)n(cid:2)n là một ma trận vuông. Xét phần tử aij (hàng i, cột j). Xóa hàng i, cột j của ma trận A, ta nhận được ma trận con Bij. Định thức Mij = detBij được gọi là định thức con bù của aij. Giá trị Cij = ((cid:0)1)i+jMij được gọi là phần bù đại số của aij.
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Công thức khai triển Laplace
Khai triển định thức theo hàng i:
det(aij)n(cid:2)n = ai1Ci1 + ai2Ci2 + : : : + ainCin:
Khai triển định thức theo cột j:
det(aij)n(cid:2)n = a1jC1j + a2jC2j + : : : + anjCnj:
Ví dụ: (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 2 3 (cid:0)1 0 4 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) 1
= 3 (cid:1) ((cid:0)1)2+1 (cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + ((cid:0)1) (cid:1) ((cid:0)1)2+2 (cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + 2 (cid:1) ((cid:0)1)2+3 (cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 1 0 1 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:12) (cid:12) 4 2 0 0 1 4 1
= 3 (cid:1) ((cid:0)2) + ((cid:0)1) (cid:1) ((cid:0)4) + 2 (cid:1) 8 = 14:
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Công thức khai triển Laplace
Khai triển định thức theo hàng i:
det(aij)n(cid:2)n = ai1Ci1 + ai2Ci2 + : : : + ainCin:
Khai triển định thức theo cột j:
det(aij)n(cid:2)n = a1jC1j + a2jC2j + : : : + anjCnj:
Ví dụ: (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 1 2 3 (cid:0)1 2 1 0 4
= 0 (cid:1) ((cid:0)1)1+1 (cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + 3 (cid:1) ((cid:0)1)2+1 (cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)1 2 1 0 2 0 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) + 4 (cid:1) ((cid:0)1)3+1 (cid:1) 1 2 (cid:0)1 1 2
= 0 (cid:1) ((cid:0)1) + 3 (cid:1) ((cid:0)2) + 4 (cid:1) 5 = 14:
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Gợi ý khi khai triển định thức
Nên khai triển định thức theo hàng (cột) có nhiều phần tử 0.
Ví dụ:
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 (cid:0)2 (cid:0)1 1 2 0 4 3
= 3 (cid:1) ((cid:0)1)1+3 (cid:1) + 0 + 0 + 0 (cid:12) (cid:12) 0 3 (cid:12) (cid:12) 2 0 (cid:12) (cid:12) 0 3 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:0)2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)1 1 2 2 0 3 4 (cid:0)2 3
= 39:
Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace
Hệ quả
Hệ quả 9: Nếu ma trận A có một hàng (cột) bằng 0, thì
detA = 0:
Chứng minh:
Cách 1: sử dụng định nghĩa định thức ma trận. Cách 2: sử dụng Hệ quả 1. Cách 3: sử dụng công thức khai triển Laplace.
Một số phương pháp tính định thức
Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Một số phương pháp tính định thức
Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
Tác động của các biến đổi sơ cấp lên định thức
Do jAtj = jAj, nên các tính chất của định thức trên các cột của ma trận cũng đúng khi áp dụng cho các hàng.
Biến đổi sơ cấp theo hàng vs. định thức ma trận:
Ma trận gốc A A A
Ma trận mới Mối liên quan Trích dẫn Hệ quả 3 Hệ quả 1 Hệ quả 5
jBj = (cid:0)jAj jBj = cjAj jBj = jAj
B B B
Phép biến đổi di $ dj c (cid:1) di ! di (c ̸= 0) di + c (cid:1) dj ! di
Chú ý: Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
KHÔNG làm thay đổi tập hợp nghiệm của Ax = b, CÓ THỂ làm thay đổi định thức của ma trận A.
Nhận xét:
Nếu A = In, thì B là ma trận cơ bản. jEj ̸= 0 với E là ma trận cơ bản.
Một số phương pháp tính định thức
Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
Áp dụng các biến đổi sơ cấp tính định thức
Ý tưởng:
Đưa hầu hết các phần tử trên cùng một hàng (cột) của ma trận về 0 qua các biến đổi sơ cấp. Khai triển Laplace theo hàng (cột) có nhiều phần tử 0.
= 3
= 3
Ví dụ: (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
6 (cid:0)2 1 3 (cid:0)1
9 3 0 1 2 3 0 (cid:0)1 2 4 2
(cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:0)2 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) 3 (cid:0)1
0 2 (cid:0)2 1 1 1
= 3
= 3 (cid:1) 1 (cid:1) ((cid:0)1)2+2
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
3 1 3 2 0 (cid:0)1 2 0 6 5 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:0)9 (cid:0)9 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:0)6 (cid:0)4 (cid:12) (cid:12) 0 0 1
= 3 (cid:1) 1 (cid:1) ((cid:0)1)3+1
3 1 0 1 2 3 0 (cid:0)1 2 2 4 (cid:12) (cid:12) 3 1 2 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:0)1 2 (cid:12) (cid:12) 6 1 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)9 (cid:0)9 (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 3 (cid:1) ((cid:0)18) = (cid:0)54: (cid:12) (cid:0)6 (cid:0)4
Một số tính chất sâu hơn của định thức
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Một số tính chất sâu hơn của định thức
Định thức của tích các ma trận
Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n, thì jABj = jAj (cid:1) jBj.
Chứng minh:
Khẳng định trên đúng với A = E là ma trận cơ bản. Tổng quát: jEk (cid:1) (cid:1) (cid:1) E2E1Bj = jEkj (cid:1) (cid:1) (cid:1) jE2jjE1jjBj với Ei là ma trận cơ bản.
Trường hợp A khả nghịch: Phân tích A = Ek (cid:1) (cid:1) (cid:1) E2E1 là tích các ma trận cơ bản. Ta có
jABj = jEk (cid:1) (cid:1) (cid:1) E2E1Bj = jEkj (cid:1) (cid:1) (cid:1) jE2jjE1jjBj = jEk (cid:1) (cid:1) (cid:1) E2E1jjBj = jAjjBj:
Biến đổi sơ cấp A ! C có một hàng (cột) bằng 0, nên jAj = 0. A suy biến =) AB suy biến =) jABj = 0. Vậy jABj = jAjjBj = 0.
Trường hợp A suy biến:
Một số tính chất sâu hơn của định thức
Ví dụ
Cho các ma trận 2
3
3
5 ;
A =
5 :
B =
1 (cid:0)2 2 4 2 3 0 1 0 1
2 2 1 0 4 0 (cid:0)1 (cid:0)2 1 (cid:0)2 3
Ta có
jAj = (cid:0)7; jBj = 11;
3
4
1
AB =
5 ;
2 8 4 6 (cid:0)1 (cid:0)10 1 (cid:0)1 5
jABj = (cid:0)77 (= jAjjBj):
Một số tính chất sâu hơn của định thức
Định thức của ma trận khả nghịch
Ma trận vuông A khả nghịch , jAj ̸= 0.
Chứng minh:
Các ma trận cơ bản có định thức khác 0. A khả nghịch , A = Ek (cid:1) (cid:1) (cid:1) E2E1 là tích các ma trận cơ bản.
jAj = jEk (cid:1) (cid:1) (cid:1) E2E1j = jEkj (cid:1) (cid:1) (cid:1) jE2jjE1j ̸= 0:
Nếu A là ma trận vuông khả nghịch, thì jA(cid:0)1j = jAj(cid:0)1.
Chứng minh: Suy ra từ
1 = jInj = jA(cid:0)1Aj = jA(cid:0)1jjAj
và jAj ̸= 0 (do A khả nghịch).
Một số tính chất sâu hơn của định thức
Ví dụ
Cho ma trận
3
5 :
A =
2 1 3 0 4 0 (cid:0)1 2 0 1 2
Ta có
3
jAj = 4; 2
4
5 ;
A(cid:0)1 =
3 4 (cid:0) 1 2 (cid:0) 1 4
jA(cid:0)1j =
(cid:0) 1 3 2 4 1 (cid:0) 3 2 1 1 2 4 (= jAj(cid:0)1):
1 4
Một số ứng dụng của định thức
Tính ma trận nghịch đảo
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Một số ứng dụng của định thức
Tính ma trận nghịch đảo
Công thức tường minh tính ma trận nghịch đảo
Cho A = (aij)n(cid:2)n và các phần bù đại số Cij.
Ma trận các phần bù đại số của A là ma trận
2
3
6 6 4
7 7 5 :
C11 C12 C21 C22 (cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
: : : C1n : : : C2n : : : : : : Cnn
Cn1 Cn2
Ma trận phụ hợp của A là chuyển vị của ma trận nêu trên.
2
3
adj(A) =
6 6 4
7 7 5 :
C11 C21 C12 C22 (cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
: : : Cn1 : : : Cn2 : : : : : : Cnn
C1n C2n
Nếu A khả nghịch, thì
A(cid:0)1 =
1 jAj adj(A):
Một số ứng dụng của định thức
Tính ma trận nghịch đảo
Chứng minh
Ta cần chỉ ra A (cid:1) adj(A) = jAj (cid:1) In. Thật vậy: 2 3 2 3
D := A(cid:1)adj(A) = 6 6 4 7 7 5 : (cid:1) 6 6 6 6 6 6 4 7 7 7 7 7 7 5 C11 C21 C12 C22 (cid:1) C1n C2n : : : Cj1 : : : Cj2 (cid:1) : : : : : : Cjn : : : Cn1 : : : Cn2 (cid:1) : : : : : : Cnn : : : : : : : : : : : : : : : : : : a11 a21 (cid:1) ai1 (cid:1) an1 a12 a22 (cid:1) ai2 (cid:1) an2 a1n a2n (cid:1) ain (cid:1) ann
Phần tử hàng i cột j của tích này là
Dij = ai1Cj1 + ai2Cj2 + : : : + ainCjn:
Nếu i = j, thì Dij = jAj (khai triển Laplace theo hàng i của A). Nếu i ̸= j, thì Dij = 0 (khai triển Laplace theo hàng j của B, với B thu được từ A bằng cách thay hàng j bởi hàng i). Vậy D = jAj (cid:1) In.
Một số ứng dụng của định thức
Tính ma trận nghịch đảo
Ví dụ
Cho ma trận
3
2
4
5 :
(cid:0)1 0 1
2 1 (cid:0)2
3 (cid:0)2 0
C11 = ((cid:0)1)1+1
C21 = ((cid:0)1)2+1
3 0
C31 = ((cid:0)1)3+1
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 (cid:0)2 1 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 1; C13 = ((cid:0)1)1+3 (cid:12) = 2; (cid:12) (cid:12) 1 (cid:0)2 0 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)1 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 0; C23 = ((cid:0)1)2+3 (cid:12) = 3; (cid:12) (cid:0)2 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 1; C33 = ((cid:0)1)3+3 (cid:12) = 2: (cid:12) 0
3 (cid:0)2
2 1
Phần bù đại số tương ứng với các phần tử của A là (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)2 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 4; C12 = ((cid:0)1)1+2 (cid:12) (cid:0)2 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)1 2 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 6; C22 = ((cid:0)1)2+2 (cid:12) (cid:12) 0 (cid:0)2 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:0)1 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 7; C32 = ((cid:0)1)3+2 (cid:12) (cid:12) (cid:0)2 0
2 1
Ma trận phụ hợp của A là
2
3
2
3
4
4
adj(A) =
5 =
5 :
4 1 2
6 0 3
7 1 2
C11 C21 C31 C12 C22 C32 C13 C23 C33
Do jAj = 3, ta có
3
2
4
A(cid:0)1 =
5 :
adj(A) =
1 jAj
2 0 1
4 3 1 3 2 3
7 3 1 3 2 3
Một số ứng dụng của định thức
Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Một số ứng dụng của định thức
Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
Quy tắc Cramer
Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b với jAj ̸= 0. Thay cột thứ i của ma trận A bởi b, nhận được ma trận Ai. Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất xác định bởi
Chứng minh: Vì jAj ̸= 0, nên A khả nghịch. Do đó
(i = 1; : : : ; n): xi = jAij jAj
x = A(cid:0)1b =
adj(A)b;
1 jAj
hay cụ thể hơn
3
2
2
3
2
3
C11 C21 C12 C22
=
;
6 6 4
7 7 5
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
7 7 7 5
6 6 6 4
6 6 6 4
7 7 7 5
1 jAj
: : : Cn1 : : : Cn2 : : : : : : Cnn
: : : Cj1 : : : Cj2 (cid:1) : : : : : : Cjn
C1n C2n
x1 x2 ... xn
b1 b2 ... bn
tức là với mỗi i = 1; : : : ; n ta có
xi =
jAij
(b1C1i + b2C2i + : : : + bnCni) =
1 jAj
1 jAj
(đẳng thức cuối cùng dựa trên khai triển Laplace theo cột i của ma trận Ai).
Một số ứng dụng của định thức
Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ
Giải hệ phương trình
x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = (cid:0) 3 x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = (cid:0) 3 2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2:
Lời giải: Hệ phương trình đã cho có dạng Ax = b, với 3 2 3 2 3 2
x = b = A = 7 7 5 ; 7 7 5 : 6 6 4 7 7 5 ; 6 6 4 6 6 4 3 5 3 (cid:0)3 1 (cid:0)3 2 4 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 11 5 x1 x2 x3 x4
Một số ứng dụng của định thức
Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ
2
3
2
3
b =
A =
6 6 4
7 7 5 ;
7 7 5 :
6 6 4
1 1 2 2
1 1 1 3
3 5 3 11
4 2 2 5
(cid:0)3 1 (cid:0)3 2
Áp dụng quy tắc Cramer, đặt
2
3
2
3
A1 =
A2 =
6 6 4
7 7 5 ;
6 6 4
7 7 5 ;
(cid:0)3 1 (cid:0)3 2
1 (cid:0)3 1 1 2 (cid:0)3 2 2
2
4 2 2 5 3
2
A4 =
A3 =
6 6 4
6 6 4
7 7 5 :
4 7 2 7 5 ; 2 5
1 1 2 2
1 1 1 3
3 4 5 2 3 2 5 11 3 3 (cid:0)3 1 5 3 (cid:0)3 2 11
1 1 2 2
1 3 1 5 1 3 3 11 1 (cid:0)3 1 1 1 (cid:0)3 2 3
Theo quy tắc Cramer, hệ đã cho có nghiệm duy nhất
=
= (cid:0)2;
=
= 0;
x1 =
x2 =
jA1j jAj
28 (cid:0)14
jA2j jAj
0 (cid:0)14
=
= 1;
=
= (cid:0)1:
x4 =
x3 =
jA3j jAj
(cid:0)14 (cid:0)14
jA4j jAj
14 (cid:0)14
Thảo luận
Nội dung
1 Giới thiệu khái niệm định thức
Phép thế Định nghĩa định thức ma trận
2 Các tính chất cơ bản của định thức
Đa tuyến tính Thay phiên Chuẩn hóa
3 Một số phương pháp tính định thức
Khai triển Laplace Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)
4 Một số tính chất sâu hơn của định thức
5 Một số ứng dụng của định thức Tính ma trận nghịch đảo Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
6 Thảo luận
Thảo luận
Thảo luận
Nên sử dụng phương pháp nào khi tính định thức?
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. Phương pháp 2: Dùng khai triển Laplace. Phương pháp 3: Dùng biến đổi sơ cấp & khai triển Laplace.
Nên sử dụng phương pháp nào khi tính ma trận nghịch đảo?
jAj adj(A).
Phương pháp 1: Dùng biến đổi sơ cấp [A j In] ! [In j A(cid:0)1]. Phương pháp 2: Dùng công thức A(cid:0)1 = 1
Nên sử dụng phương pháp nào giải hệ phương trình Ax = b?
Phương pháp 1: Khử Gauss hoặc Gauss-Jordan. Phương pháp 2: Dùng công thức x = A(cid:0)1b. Phương pháp 3: Dùng quy tắc Cramer.
Thảo luận
Thảo luận
Nên sử dụng phương pháp nào khi tính định thức?
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. Phương pháp 2: Dùng khai triển Laplace. Phương pháp 3: Dùng biến đổi sơ cấp & khai triển Laplace.
Nên sử dụng phương pháp nào khi tính ma trận nghịch đảo?
jAj adj(A).
Phương pháp 1: Dùng biến đổi sơ cấp [A j In] ! [In j A(cid:0)1]. Phương pháp 2: Dùng công thức A(cid:0)1 = 1
Nên sử dụng phương pháp nào giải hệ phương trình Ax = b?
Phương pháp 1: Khử Gauss hoặc Gauss-Jordan. Phương pháp 2: Dùng công thức x = A(cid:0)1b. Phương pháp 3: Dùng quy tắc Cramer.
Thảo luận
Thảo luận
Nên sử dụng phương pháp nào khi tính định thức?
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. Phương pháp 2: Dùng khai triển Laplace. Phương pháp 3: Dùng biến đổi sơ cấp & khai triển Laplace.
Nên sử dụng phương pháp nào khi tính ma trận nghịch đảo?
jAj adj(A).
Phương pháp 1: Dùng biến đổi sơ cấp [A j In] ! [In j A(cid:0)1]. Phương pháp 2: Dùng công thức A(cid:0)1 = 1
Nên sử dụng phương pháp nào giải hệ phương trình Ax = b?
Phương pháp 1: Khử Gauss hoặc Gauss-Jordan. Phương pháp 2: Dùng công thức x = A(cid:0)1b. Phương pháp 3: Dùng quy tắc Cramer.
Thanks
