Bài giảng điều khiển quá trình 3

Chia sẻ: Cindy Cindy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mô hình hoá là một hình thức biểu diễn các quá trình thực dưới dạng các phương trình toán học, phương trình đại số hay các mô hình đơn giản hơn nhằm mục đích giúp người kỹ sư nắm bắt tốt hơn về hệ thống, thực hiện thử nghiệm được các sách lược điều khiển trước khi áp dụng vào mô hình thực. Điều khiển hiện đại đều dựa trên cơ sở toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng điều khiển quá trình 3

Chương 2. Mô hình quá trình Mô hình hoá là một hình thức biểu diễn các quá trình thực dưới dạng các phương trình toán học, phương trình đ ại số hay các mô hình đơn giản hơn nhằm mục đích giúp người kỹ sư nắm bắt tốt hơn về hệ thống, thực hiện thử nghiệm được các sách lược điều khiển trước khi áp dụng vào mô hình thực. Điều khiển hiện đại đều dựa trên cơ sở toán học. Mục đích của chương này nhằm giúp người học nắm rõ về vai trò của của mô hình trong nhiệm vụ phát triển hệ thống về phân tích, thiết kế hệ thống. Đồng thời nắm đ ược những nguyên tắc cơ bản trong nhiệm vụ mô hình hoá quá trình. Chương này bao gồ m các nội dung sau: Giới thiệu những nhiệm vụ của b ài toán mô hình hoá. - Nguyên tắc chung xây dựng những mô hình toán học cho các quá trình công nghệ. - Bàn luận những vấn đề thế nào là mô hình hoá quá trình công nghệ. - Các phương pháp mô hình hoá. - Các phương pháp tiếp cận mô hình hoá - Từ nhiệm vụ mô hình hoá tạo nên cái nhìn tổng quát về các quá trình công nghệ, rút ngắn thời - gian phân tích và thiết kế hệ thống. 2.1. Giới thiệu chung 2.1.1. Mô hình và mục đích mô hình hoá Mô hình là một hình thức mô tả khoa học và cô đọng các khía cạnh thiết yếu của một hệ thống thực. Nghiên cứu thiết kế các hệ thống điều khiển không phải trên mô hình chạy thực, mà trên cơ sở mô hình là một phương pháp làm việc không thể thiếu của người kỹ sư. Mô hình giúp cho việc phân tích, kiểm chứng tính đúng đắn của một giải pháp kỹ thuật thuận tiện và ít tốn kém trước khi đưa giải pháp vào triển khai. Nó cho phép ta thực hiện một số nhiệm vụ p hát triển hệ thống mà khô ng cần sự có mặt của hệ thống thực. Một mô hình không bao giờ và cũng không cần phản ánh đầy đủ các khía cạnh của hệ thống thực. Một mô hình tốt cần đơn giản nhưng thâu tóm được các đặc tính thiết yếu cần quan tâm của mô hình thực trong phạm vi yêu cầu. Mô hình được hiểu gồm hai phạm trù: Mô hình vật lý và mô hình trừu tượng. Mô hình vật lý là sự thu nhỏ và đơn giản hoá hệ thống thực. Mô hình vật lý là phương tiện tốt nhất phục vụ công tác đ ào tạo và nghiên cứu . Mô hình trừu tượng thường mô tả bằng các ngôn ngữ b ậc cao nhằm mô tả một cách logíc quan hệ của các mặt của một quá trình. Trong k ỹ thuật mô hình hoá có bốn dạng mô hình trừu tượng sau: Mô hình đồ hoạ: Dùng các ngôn ngữ đồ hoạ như lưu đồ công nghệ, lưu đ ồ P&ID, sơ đ ồ khối, - mạng Petri, biểu đồ SFC... Mô hình hoá phù hợp cho biểu diễn trực quan một hệ thống về cấu trúc liên kết và tương tác giữa các thành phần. http://www.ebook.edu.vn 20
Mô hình toán học: Với ngôn ngữ toán học như phương trình vi phân, p hương trình đ ại số, - hàm truyền đạt, p hương trình trạng thái. Mô hình toán học phục vụ mục đích nghiên cứu sâu sắc đặc tính, các mối liên kết và các tương tác. Mô hình suy luận: Mô tả bằng thông tin và đặc tính hệ thống thực dưới dạng suy diễn theo tư - duy con người. Mô hình máy tính: là các chương trình phần mềm mô tả hệ thống, biểu thị các mặt cần quan - tâm. Các phần mềm được xây dựng trên cơ sở mô hình toán học kết hợp với mô hình suy luận. Mô hình toán học đ ược xếp vào lo ại mô hình định lượng, trong khi đó mô hình đồ hoạ biểu diễn một cách đ ịnh tính. Mô hình định tính thường quan tâm tới cấu trúc và mối liên quan giữa các thành phần hệ thống về mặt định tính. Trong khi mô hình đ ịnh lượng cho phép thực hiện các phép tính để xác định rõ hơn về mặt đ ịnh lượng giữa các thành p hần bên trong hệ thống và của hệ thống với bên ngo ài. Ngư ời ta thường sử dụng mô hình toán học như một khâu then chốt trong nghiên cứu và thiết kế điều khiển. Nó giúp cho kỹ sư: Hiểu rõ về quá trình cần được điều khiển và vận hành. - Tối ưu hoá thiết kế công nghệ và điều kiện vận hành. - Thiết kế sách lược và cấu trúc điều khiển. - Lựa chọn bộ điều khiển và tham số cho bộ điều khiển. - Phân tích và kiểm chứng kết quả thiết kế. - Mô phỏng trên máy tính phục vụ đ ào tạo và vận hành. - Mô hình hoá là vấn đề hết sức cần thiết cho vấn đề lựa chọn mô hình, cấu trúc điều khiển và đơn giản hoá vận hành. 2.1.2. Nguyên tắc chung của mô hình quá trình Mô hình hoá là công việc để phát triển hệ thống. Mô hình hoá đ ược xây dựng trên phương pháp xử lý thông tin có từ hệ thống thực. Cần lưu ý rằng, mô hình nhận đ ược từ hệ thống thực cũng là một hệ thống đ úng nghĩa của nó, một hệ thống lý tưởng đại diện cho hệ thống thực, quá trình thực đang đ ược quan tâm. Toàn bộ công việc tìm ra tham số của bộ điều khiển cho hệ thống thực trên cơ sở củ a hệ thống lý tưởng này. Các quá trình trong công nghiệp thường rất phức tạp vì vậy mô hình đ ược đ ưa ra là mô hình xấp xỉ các đặc tính của quá trình. Mặt khác nếu xây dựng mô hình quá phức tạp thì các đ ặc tính mô hình chưa chắc đã chính xác. Một mô hình quá p hức tạp sẽ gâ y khó khăn cho việc phân tích hệ thống, còn mô hình đơn giản thì khó có thể b iểu diễn hết quan hệ giữa các thành p hần trong hệ thống. Vì vậy mô hình tốt nhất là mô hình đơn giản nhất đáp ứng đ ược các yêu cầu cho hệ thống thực đạt các yêu cầu về tính trung thực theo mục đích sử dụng nhất định. Việc cân nhắc mô hình hoá theo ba yếu tố sau : Yêu cầu mục đích sử dụng của mô hình. - Công sức và chi phí mô hình hoá - http://www.ebook.edu.vn 21
Độ tin cậy thông tin có được về quá trình. - 2.1.3. Các phương pháp xây dựng mô hình toán học Về nguyên tắc, có hai phương pháp xây dựng mô hình toán học cho một quá trình: Mô hình hoá bằng lý thuyết: Còn gọi là mô hình hoá vật lý đi từ định luật cơ bản của vật lý - và hoá học kết hợp với các thông số kỹ thuật của công nghệ kết quả nhận đ ược là các phương trình vi phân (phương trình đạo hàm riêng) và phương trình đ ại số . Phương pháp này có ưu đ iểm là cho ta hiểu biết sâu sắc về các q uan hệ bên trong của q uá trình, xác định đ ược tương đối chính xác cấu trúc của mô hình. Tuy nhiên phương pháp này p hụ thuộc rất nhiều vào hệ thống thực, đòi hỏi rất nhiều kinh nghiệm, thời gian, công sức và sự chính xác lại p hụ thuộc vào mức độ chi tiết của mô hình. Bên cạnh đó với các giả thiết không thực tế về điều kiện vận hành, thành phần nguyên liệu , đặc tính d òng chảy, tốc độ phản ứ ng… là những yếu tố gâ y sai số cho mô hình. Mô hình hoá bằng thực nghiệm: Còn gọi là phương pháp hộp đen hay nhận dạng quá trình. - Dựa trên thông tin có được từ quá trình, quan sát tín hiệu vào ra thực nghiệm và phân tích số liệu thu thập đ ược để xác định cấu trúc và tham số mô hình từ một lớp các mô hình thích hợp. Phương pháp này cho phép xác định tươ ng đố i chính xác các tham số của mô hình và có nhiều p hần mềm rất mạnh hỗ trợ nhận d àng trực tuyến. Tuy nhiên chất lượng p hụ thuộc rất nhiều vào sự chính xác của thiết b ị đo. Phương pháp tốt nhất là p hương pháp k ết hợp, đó là sự kết hợp của mô hình bằng lý thuyết và thực nghiệm. Phương pháp này giải q uyết tốt quan hệ giữa các thành phần quá trình cũng như các tham số đối với q uá trình. Phân tích lý thuyết giúp ta thiết kế sách lược và lựa chọn bộ điều khiển. Tiếp đó nhận dạng mô hình cho phép ta một mô hình giúp ta tổng hợp bộ đ iều khiển, mô phỏng t hời gian thực cũng như đánh giá chất lượng bộ đ iều khiển trước khi đưa vào sử dụng. 2.2. Tổng quan về quy trình mô hình hoá Mô hình hoá là một quá trình tương đối phức tạp, vùa mang tính khoa học vừa mang tính mỹ thuật. Bên cạnh những nguyên tắc và phương pháp cơ bản, để có mô hình tốt cần sáng tạo và có nhiều kinh nghiệm. Các bước mô hình hoá cần tuân theo trình tự sau: http://www.ebook.edu.vn 22
Hình 2. 1. Các bước mô hình hoá quá trình *Đặt bài toán mô hình hoá Đây là bước đầu tiên của quá trình mô hình hoá, bao gồ m việc tìm hiểu lưu đồ công nghệ, xác định rõ mục đ ích sử dụng của mô hình, tóm tắt các thô ng số cô ng nghệ cũng như giả thiết quan trọng về tham số và biến q uá trình. Trên cơ sở đó ta làm rõ các yêu cầu về mức độ chi tiết và mức đ ộ chính xác của mô hình. Trong đó việc làm rõ mục đ ích sử d ụng của mô hình là rất q uan trọng, nó q uyết định mức độ chính xác và chi tiết của mô hình. Ví dụ đ ể phụ c vụ sách lược đ iều khiển ta không cần mô hình qu á phức tạp và chính xác, nhưng để tính toán các tham số bộ điều khiển thì mức độ chính xác của mô hình sẽ ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng đ iều khiển. Ví dụ như trong lưu đồ công nghệ chế b iến ho á chất hình 2 .2 nếu mục đích đặt ra là mô phỏng thời gian thực thì chỉ riêng phần tháp chưng luyện đã yêu cầu hàng trăm biến trạng thái ứ ng với nhiệt đ ộ và mức tại các đĩa trong tháp . Nhưng nếu mục đ ích đ ặt ra là đ ể xác đ ịnh cấu hình điều khiển các thàn h phần p hù hợp thì một mô hình tuyến tính với hai biến ra (thành phần sản phẩm đ ỉnh và đáy) và 5 biến vào (lưu lượng liệu cấp, lưu lượng hồi lưu , lưu lượng hơi nước gia nhiệt, lưu lượng sản phẩm đỉnh và đáy) cũng có thể là đủ. Trong việc mô hình ho á các quá trình công nghệ lớn, phức tạp thì cần phải được phân chia thành các quá trình công nghê con đơn giản hơn. Trên cơ sở đó ta sẽ mô hình cho các quá trình con bằng lý thuyết ho ặc thực nghiệm. Ta thường phân chia một quy trình công nghệ thành các tổ hợp công nghệ, tiếp theo mỗi tổ hợp công nghệ lại đ ược p hân chia thành các q uá trình cơ bản, mỗi quá trình công nghệ cũng có thể đ ược p hân chia thành các nguyên cô ng. Việc xây dựng các q uá trình to án học có thể được tiến hành b ắt đầu từ mức nguyên công ho ặc các q uá trình cơ bản, kết hợp cho từng tổ hợp công nghệ và cu ối cùng là cả quy trình công nghệ. http://www.ebook.edu.vn 23
Hình 2. 2. Sơ đồ công nghệ trưng cất ho á chất *Phân chia thành các quá trình cơ bản Với ví dụ dây truyền hình 2. 2, đ ầu tiên ta có thể chia thành hai quá trình con là q uá trình p hản ứng và quá trình chư ng luyện tương ứ ng với hai công đo ạn độc lập. Nếu để thiết kế sách lược điều khiển ta có thể d ừng lại ở mức độ phân chia này. Tuy nhiên, nếu cần chi tiết hơn ta có thể tiếp tục chia thành các quá trình cơ b ản tươ ng ứng với các t hiết b ị quá trình như thiết bị phản ứng, tháp chưng luyện, bình chứa, thiết b ị gia nhiệt, thiết bị ngưng tụ … Việc xây d ựng các p hương trình có thể dễ dàng tiến hành với các quá trình cơ bản này. * Xây dựng các mô hình thành phầ n Xây d ựng mô hình toán học cho một quá trình là xác định quan hệ giữa các biến quá trình và b iểu diễn các mối q uan hệ đó thô ng qua các phương trình vi phân hoặc phương trình đại số . Mỗi thiết bị cơ bản thường đ ược thực hiện trọn vẹn trong một ho ặc một khối thiết b ị công nghệ, vì vậy các biến vào/ra của nó cũng là đặc trưng cho một quá trình công nghệ. Do đó việc xác định mô hình các thành phần d ễ dàng hơn. Việc xác định các biến đ iều khiển, các biến điều khiển được, nhiễu và q uan hệ giữa chúng phụ thuộc vào yêu cầu, mục đ ích điều khiển. Sau khi đã có các phương trình mô hình, ta cần phân tích và kiểm chứng mô hình b ằng cô ng cụ toán họ c và cô ng cụ mô phỏng về tính hợp lý, tính trung thực cũng như khả năng sử d ụng của mô hình. http://www.ebook.edu.vn 24
Quá trình cơ bản là các quá trình thoả mãn tính chất sau:  Tương đ ối đơn giản đ ể có thể dễ d àng mô hình ho á.  Tiêu biểu cho nhiều quy trình cô ng nghệ.  Thường được thực hiện trọn vẹn trong một khối thiết bị cô ng nghệ. Các q uá trình pha trộn/phối liệu (blending/mixing) , phản ứng (reaction) , chưng luyện (distillation) , gia nhiệt (heating) , ho á hơi (evaporator), ngưng tụ (condensing) là một số quá trình cơ bản. * Kết hợp các mô hình thành phần Sau khi đ ã tiến hành xây dựng xong các mô hình thành phần thì công việc tiếp theo là kết hợp chú ng lại để thu đ ược mô hình của to àn bộ quá trình công nghệ. Nguyên tắc kết hợp các mô hình thành phần d ựa trên tín hiệu vào/ra, không d ựa trên dòng quá trình. Trong trường hợp có hồi lưu, trong mô hình kết hợp sẽ có thêm các đường tín hiệu phản hồi. * Phân tích và kiểm chứng mô hình Sau khi kết hợp mô hình tổng hợp cần phải được phân tích và kiểm chứng chi tiết hơn những tính chất như mức độ p hi tuyến, tính ổ n định, khả năng đ iều khiển đ ược, mức độ tương tác giữa các biến vào/ra. Số bậc tự do cần được xác định lại, khi mà số biến độc lập giảm đi khi kết hợp hai mô hình thành phần có sử dụng biến chung. 2.3. Phân loại mô hình toán học Phần lớn các quá trình công nghiệp tương đối phức tạp với các biến vào /ra, nhiều quan hệ giữa các biến vào /ra không những phi tuyến mà còn phụ thuộc thời gian và theo thời gian. Khi xây d ựng mô hình toán học tuỳ theo mục đích và yêu cầu sử dụng, ta có thể bỏ qua nhiều khía cạnh nhằm đ ơn giản hoá bài toán. Mô hình nhận được có thể không phản ánh đúng quá trình thực nhưng điều quan trọng là nó sử dụng đúng mục đích đặt ra với các điều kiện giả thiết. Mô hình là đại diện cho một quá trình lý tưởng được đặt ra cho quá trình kỹ thuật. Mô hình được phân loại theo tính chất kỹ thuật của từng loại hệ thống. 2.3.1. Mô hình tuyến tính và mô hình phi tuyến Mô hình được gọi là tuyến tính khi quan hệ giữa các biến vào/ra của nó thể hiện theo nguyên lý xếp chồng. Một cách hình thức, nếu M(u ) là một toán tử truyến tính, u 1, u2 là biến độc lập, ta có được: M(u1 + u2) = M(u1) + M(u2) (2.1) khi đó nếu các tín hiệu ra y1, y2 lần lượt ứng với các tín hiệu độc lập bất kỳ u1, u2, thì ta sẽ có y = y1 + y2 ứng với u = u1 + u 2. Ngược lại, chỉ cần bất kỳ một quan hệ vào/ ra nào không thoả mãn nguyên lý xếp chồng thì mô hình sẽ được gọi là mô hình phi tuyến. Trong thực tế hầu hết là các quá trình phi tuyến. Tuy nhiên tu ỳ theo quan hệ mà có thể tuyến tính hoá theo mục đích sử dụng. Chỉ khi nào mô hình không thể tu yến tính được vì đ áp ứng ra sai với thực tế thì khảo sát mô hình theo hệ phi tuyến. http://www.ebook.edu.vn 25
Hình 2 . 3 . Minh hoạ nguyên lý xếp chồng 2.3.2. Mô hình đơn biến và mô hình đa biến Mô hình biểu diễn quan hệ giữa một biến vào và một biến ra là mô hình đ ơn biến (SISO) hoặc biểu diễn quan hệ giữa nhiều biến vào và nhiều biến ra là mô hì nh đa biến (MIMO). Phương trình vi phân, hàm truyền đạt và hàm quá độ là các dạng biểu diễn các quá trình đơn biến tiêu biểu . Trong đó hàm truyền đạt và hàm quá độ có ý nghĩa cho hệ thống tuyến tính. Các dạng mở rộng như phương trình vi phân, ma trận truyền đạt, ma trận quá độ đ ược sử dụng cho hệ đa biến. Phương pháp biểu diễn trong không gian trạng thái được coi là đa năng sử dụng cho hệ đ ơn biến, đ a biến tuyến tính và phi tuyến. Hình 2. 4. Mô hình đơn biến và mô hình đ a biến. Mô hình đ ơn biến có nhiều thuận lợi khi sử dụng các phương pháp điều kinh điển cũng như sử dụng các phương pháp điều khiển hiện đại. Một số các mô hình đơn biến tiêu biểu là các khâu b ậc nhất, bậc hai, có trễ hoặc không có trễ, các khâu quán tính tích phân, khâu dao động bậc hai. 2.3.3. Mô hình tham số hằng và mô hình tham số biến thiên Quan hệ giữa các đại lượng đặc trưng của quá trình có thể thay đổi theo thời gian, theo điểm làm việc và theo tác động của nhiễu. Một mô hình có quan tâm phản ánh sự thay đổi tham số phụ thuộc thời gian và được gọi là mô hình tham số biến thiên. Ngược lại mô hình có sự thay đổi của tham số theo thời gian không đáng kể hoặc ta chỉ quan tâm đén thời gian tương đ ối ngắn có thể sử dụng mô hình tham số hằng. Hầu hết các mô hình thiết kế chấp nhận dạng tham số hằng. Trong quá trình đ iều khiển sẽ chọn các giải pháp , các hướng điều khiển thích hợp . Mô hình tuyến tính tham số hằng (Viết tắt LTI – Linear Time – Invariant) 2.3.4. Mô hình tham số tập trung và mô hình tham số rải Mô hình biểu diễn tính chất phân bố theo không gian đ ược gọi là mô hình tham số rải (Distribited – Parameter Model). Ví dụ như nhiệt đ ộ lò nung tại những vị trí khác nhau là khác nhau hay nồng đ ộ http://www.ebook.edu.vn 26
của dung d ịch trong b ể trộn cũng không đ ồng đ ều tại mọ i vị trí. Khi đó biến ra y không chỉ phụ thuộc và u và thời gian mà còn phụ thuộc vào z: y = M(u, t, z) (2.2) Mô hình không quan tâm tới sự phân bố này được gọi là mô hình tham số tập trung (Lumped – Parameter model) , khi đó ta có: y = M(u, t) (2.3) Trong thức tế tuỳ theo yêu cầu mà có thể xây dựng mô hình theo dạng tham số rải hoặc tham số tập trung. Nhưng hầu hết ngầm hiểu các mô hình sử dụng là mô hình tam số tập trung. 2.3.5. Mô hình liên tục và mô hình gián đoạn Một mô hình liên tục(Continuous – time Model) mô tả quan hệ giữa các biến quá trình liên - tục theo thời gian. Nói cách khác các tín hiệu trong mô hình liên tục theo thời gian. Mô hình gián đoạn (Discrete – Time Model) chỉ phản ánh đặc tính quá trình tại thời điểm - nhất định (tại thời điểm quan sát) Một mô hình liên tục chỉ thích hợp với quá trình liên tục – Các quá trình mà đặc tính của nó có thể mô tả bằng các phương trình vi phân. Trong khi đó, mô hình gián đ oạn có thể thể hiện cho tất cả các thành phần trong hệ thống điều khiển số , cho cả quá trình và bộ điều khiển Một mô hình gián đo ạn có thể được xâ y dựng thô ng qua mô hình liên tục bằng các tín hiệu trính mẫu ho ặc được xây dựng trực tiếp thông qua nhận dạng. Hầu hết các phương pháp biểu diễn liên tục cũng có d ạng tương tự cho mô hình gián đ oạn. Để phân biệt được hai loại mô hình này thông qua sơ đồ: Hình 2 . 5 . Sơ đồ hệ thống điều khiển số http://www.ebook.edu.vn 27
2.4. Các dạng mô hình liên tục 2.4.1. Phương trình vi phân Phương trình vi phân là công cụ toán học quan trọng nhất cho các hệ liên tục. Đa số mô hình đơn biến tham số tập trung có thể đ ưa về biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân thường: d n1 y dny dy (2.4)  a n1 n 1  ....  a1  a0 y  hx ( y , u)  h f (u, t ) an n dt dt dt với y là biến ra, hx(y, u) là hàm tương tác phi tuyến, hf(u, t) là hàm cưỡng bức do tác động của biến vào , ai là các tham số . Khi đó n được gọi là bậc của mô hình. Hai dạng phương trình đ ơn giản dưới đ ây được đặc biệt quan tâm trong điều khiển quá trình. Mô hình phương trình vi phân của khâu quán tính bậc nhất có trễ FOPDT (first – order plus time) : dy( t )   y( t )  ku (t  ) (2.5 ) dt Mô hình tổng quát của khâu tuyến tính bậc hai có trễ SOPDT (Second – order plus dead-time) : d 2 y( t ) dy(t ) 2  2  y( t )  ku (t  ) (2.6 ) 2 dt dt trong đó k là hệ số khuyếch đại,  hằng số thời gian,  là thời gian trễ,  là hệ số tắt dần (  0). Đối với hệ đa biến, ta sẽ có một hệ phương trình vi phân phương trình (2.4) cũng có thể mở rộng để biểu diễn một cách tổng quá hệ đa biến: d n1y d ny dy  A n1 n1  ...  A1  A 0 y  h x ( y , u)  h f ( y , t ) An (2.7 ) n dt dt dt trong đó y, u là các véctơ tín hiệu , Ai là các ma trận tham số ; hx, hf là các vector hàm đa biến. Cần chú ý rằng : Phương trình vi phân có ưu điểm là khả năng biểu diễn mạnh , tuy nhiên rất khó phân tích và thiết kế hệ thống, đặc biệt là với mô h ình bậc cao. Phương pháp mô tả tổng quát và hữu hiệu là phương trình trạng thái. 2.4.2. Mô hình trạng thái 1. Mô hình trạng thái phi tuyến Mô hình trạng thái là hình thức mô tả tổng quát, phù hợp cho cả hệ đ ơn biến và hệ đa biến, tuyến tính cũng như phi tuyến. Một quá trình với m biến vào (vector vào u) , p biến ra (vector y) và n biến trạng thái (vector trạng thái x ) có thể biểu diễn với mô hình vector trạng thái sau:  x  Rn ,u  R m;f : R n  Rm  Rn x  f ( x, u), x(0)  x 0 ; y  RP,g : Rn  Rm  Rp y = g (x, u) (2.8) Trong đó f và g là các vector hàm đa biến. Phương trình thứ nhất được gọi là phương trình trạng thái, phương trình thứ hai đ ược gọi là phương trình đ ầu ra. Phương trình trạng thái thực chất là một hệ phương trình vi phân, trong đó chỉ xuất hiện đạo hàm cấp một. Chú ý rằng từ phương trình vi phân (2.4) http://www.ebook.edu.vn 28
ta cũng có thể dễ dàng đi đến dạng tổng quát bằng cách đặt vector trạng thái trung gian x. Ví dụ, nếu hx(y, u) = 0 và bỏ qua thời gian t trong hf(u, t) , đặt véc tơ trạng thái: y  dy    x   dt  (2.9 )  n1   d y  dt n 1    ta nhận đ ược  0 1 0 0 0 0  1  0     x    0 .x        (2.10)   0 0 0 1 0  a 0  a 1 a n 1   h f (u)    an an  a n 1   y  1 0  0x Mô hình biểu diễn trong không gian trạng thái có rất nhiều ưu điểm. Thứ nhất mô hình trạng thái không những thể hiện quan hệ vào/ra mà còn thể hiện cái nhìn sâu sắc hơn về hệ thống thông qua các biến trạng thái và cấu trúc liên kết b ên trong. Thứ hai, với mô hình trạng thái ta có thể tiến hành phân tích và thiết kế hệ thống trên miền thời gian thực bằng phương pháp đại số . Thứ ba, mô hình trạng thái rất dễ biểu diễn và thực thi trên máy tính. Chính vì thế mà các phương pháp phân tích mô hình trạng thái đ ược phát triển mạnh theo trường phái điều khiển hiện đại. 2 . Mô hình trạng thái tuyến tính Bản chất của bài toán điều chỉnh là duy trì trạng thái của quá trình tại một điểm làm việc cân bằng. Như vậy thay vì mô hình phi tuyến, trong đại đa số trường hợp ta sử dụng một mô hình tuyến tính đại diện cho quá trình trong lân cận điểm làm việc đó. Mô hình tuyến tính này có thể được xây dựng với quan điểm xấp xỉ tuyến tính ngay từ đầu, hoặc đ ược tuyến tính hoá từ một mô hình phi tuyến. Nếu một mô  hình trạng thái phi tuyến biểu diễn trong (2.8 ) có điểm cân bằng ( x , u ) hay x  f ( x , u )  0 và khả vi tại ( x , u ) ta có thể xấp xỉ về một mô hình tuyến tính cho phạm vi làm việc lân cận ( x , u ) thông qua phép khai triển Taylor. Đặt: x  x  x (2.11) u  u  u Khai triển chuỗi Taylor và bỏ qua thành phần bậc cao, ta có: f f   (2.12) x  Δx  f(x  Δx, u  Δu)  f(x, u )  Δx  Δu x x,u u x,u http://www.ebook.edu.vn 29
g g y  y  Δy  g( x  Δx, u  Δu)  g( x, u )  Δx  Δu (2.13 )  x u x , u x,u y Đặt các ký hiệu ma trận f , A  R n n A x x , u f , B  R n m B u x ,u g , C  R pn (2.14) C x x ,u g , D  R pm D u x , u Các ma trận A và B đ ược gọi là ma trận Jacobi của véctor hàm f(x, u) , C và D là các ma trận Jacobi của véctor hàm g(x,u) bất kỳ, f: Rn  Rm với:  x1   f1  x  f  x  , f   2 2     xn  f m  được định nghĩa  f f1    x x n  f  1     x  f m f m     x 1 x n    Lưu ý rằng, x , u và y hoàn toàn có thể đ ược coi là các biến đặc trưng của hệ thống nếu như ta lấy x , u và y là các điểm quy chiếu. Thực tế, với các mô hình tuyến tính ta luôn sử dụng các biến chênh lệch thay cho các biến giá trị thực. Vì vậy, đ ơn giản hoá cách viết mà không sợ nhầm lẫn, ta thay lại các ký hiệu x, u và y trở lại lần lượt bằng x, u và y:  x  Ax  Bu, x(0)  x 0  x (2.15) y = Cx + Du Hình2 . 6. Mô hình trạng thái liên tục minh hoạ bằng sơ đồ khối. http://www.ebook.edu.vn 30