§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
n
n ) hay
-
a0, a1, a2, .. là hằng số
a x ( n
a x n
x 0
0
0
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ¥ å n =
¥ å n =
Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0).
Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2)
§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
n
Miền HT của chuỗi lũy thừa
là tập D nếu
a x n 1 n
D
x " =
Î
chuỗi số
HT
x 0
¥ å n = a x n 0 1
¥ å n =
n
Ví dụ: Chuỗi
x
0
¥ å n =
Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1
Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)
§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
1
Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi
n
2
¥ å n =
x
1 1
+
1
=
xác định với mọi x
u x ( ) n
n
2
x
1
0
nx ® 2 ta được chuỗi PK theo đkcssht
u
1
+ Khi |x|<1: Cho n ® ¥ = Þ
n
n n 2
lim ® ¥ = " Þ
Khi |x|=1:
Chuỗi PK
n
n x u n 1, , = "
u
:
=
=
n ® ¥
n
Khi |x|>1:
Cho
n
n
2
1 x
1 2 x )
(
1
1 2 x |
+
æ ç ç ç | è
n ö ÷ ÷ ÷ ø
Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
1 2
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
n
Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa
HT tại x=x0,
1
¥ å n =
n
tức là chuỗi số
HT. Theo đkccsht ta được
a x n
0
1
¥ å n =
n
n
a x
0
=
M
0 :
Þ $
>
<
M n , "
n
0
a x n
0
lim n ® ¥
Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi:
n
n
n
n
=
"
a x n
,nv
n
n
n
0
0
n æ ö x ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç x è ø 0
n æ ö x ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç x è ø 0
n æ ö x ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç x è ø 0
a x a x a x M = = <
HT
n
Nếu |x|<|x0| thì chuỗi
1
¥ å n =
Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh.
Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây.
v
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Định lý Abel :
n
thì nó HTTĐ tại
HT tại
0
x ¹
0
1
¥ Nếu chuỗi lũy thừa å n =
mọi điểm
x
x
x
|
|,|
|)
Î
( -
0
0
n
Hệ quả: Nếu chuỗi
a x n
PK tại x1
1
¥ å n =
thì nó PK với mọi x thỏa |x|>|x1|
Bán kính hội tụ (BKHT):
n
Số R>0 sao cho chuỗi
HT với mọi x: |x| a x
n 1 ¥
å
n
= PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi a x
n §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa n | a
n Thì BKHT là Đặt:
Đặt: 1
| R = r | | 1
r Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của
chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận a
n
+
a
|
n é
lim |
ê
n
® ¥
ê= ê
lim
ê
n
® ¥
êë §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau n nx 2 (
1 1 ¥
1.
å
n
= ¥
n
) 2.
å
n
= n x
n
2 . n n | | = + ¥ = = r 0RÞ = a
n 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn:
lim
n
® ¥ lim
n
® ¥ BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} n n | | = = Þ = 2RÞ = a
2.
n a
n 2 2 lim
n
® ¥ lim
n
® ¥ 1
2 1
n
n
2 . Khi x=2: là chuỗi số dương HT Khi x=-2: là chuỗi HTTĐ 1 1
n
n
2 .
1
¥
å
2
n n
1
=
( 1)n
-
¥
å
2
n
n
= Vậy MHT [-2,2] §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n n 2
1) n n Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi:
n
ö+ ÷
æ
n
1
ç
÷
ç
÷
çè
ø-
n
1
2
1 1 ¥
2.
å
n
= ¥
1.
å
n
= x ( - n 3 5 x
+ n x ( - 1 1 ¥
3.
å
n
= ¥
å
n
= 4. 1. Chuỗi lũy thừa với BKHT R=5, MHT là (-5,5) n n n
!
n n
n x 1)!
n
5 a =
n → R=5 n n n n lim
n
® ¥ | | Þ = = a
n 5 3 1
+ Khi x=± 5: Là 2 chuỗi PK theo đkccsht n 1 ¥
å
n
= lim
n
® ¥
n
( 5)
±
n
5
3
+ Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi
đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht 1
5 3 5 1
+ §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 2. Chuỗi lũy thừa với X x , ( 2
1) 0 = - ³ a
n n → R=2 | = a
n n
lim |
n
® ¥ n
ö+ ÷
æ
n
1
ç=
÷
ç
÷
çè
ø-
n
2
1
1
2 Chuỗi PK theo đkccsht vì n
2 lim
n
® ¥
¥
Ta chỉ xét X=2:
å
n
= 1 2 1 3
n
- 3 n
-
3 2 u e 0 = = + ¹ n
® ¥
uuuuuur n n
ö
÷
÷
÷
ø æ
n
2
ç
ç
ç
è
n
2 2
1 2
ö
÷
÷
÷
ø
1 2 +
- 3
n
- n
ö+ ÷
æ
n
1
ç
=÷
ç
÷
çè
ø-
n
1
2
n
ö+ ÷
æ
n
1
ç
÷
ç
÷
çè
ø-
n
1
2
1
æ
ç
æ
ç
ç
1
ç
ç
ç
ç
è
ç
çè n
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷÷
ø Suy ra, chuỗi đã cho HT khi X x x 0 2 0 ( 2
1) 2 1 2 2 £ < « £ - < « - < 1
< + Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2) §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n ( 1)! = 3. Chuỗi lũy thừa với a
n n -
5 n | | → R=0 . Þ = = = + ¥ 1 n
!
n
+ lim
n
® ¥ lim
n
® ¥ lim
n
® ¥ n 1
| ( 1)! n
5 5
- 5 a
n
+
a
|
n Vậy BKHT R=0, MHT là {0} §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT X , = = 4. Chuỗi lũy thừa với a
n 1
x n
!
n
n n | | + . = = ! lim
n
® ¥ lim
n
® ¥ lim
n
® ¥ n
n æ
ç
ç
çè
n 1
e ! 1
| n
ö
n
÷
=÷
÷
ø+
1 ( n
1)!
(
+
n
+
n
1)
+ a
n
a
|
n n → R=e
Khi X=e: e 1 ¥
å
n
= n n 1 + e n
!
n
n
( 1 + . 1 = Þ = = n
® ¥
uuuuuur D
n n n 1 u
n
u n
n e
! n
e
1)!
+
n
+
n
(
1)
+ 1 n ) n Tuy nhiên, vì e n , + < < + " æ
ç
1
ç
ç
è n
ö
÷
÷
÷
ø æ
ç
1
ç
ç
è (
1
+
n
1
+
ö
÷
÷
÷
ø 1
n 1
n Nên Dn<1. Vậy chuỗi PK theo t/c d’Alembert §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT X , = = 4. Chuỗi lũy thừa với , R=e a
n 1
x n
!
n
n n Khi X=-e: e e n
) (
- = 1 n
( 1)
-
1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= n
!
n
n n
!
n
n Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó
cũng PK
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi 1 X e e x < « < « < 1
x 1
e e
1 e é >ê
x
« ê
ê < -
x
êë Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U(1/e,+ ∞) §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi n Tính chất của chuỗi lũy thừa: 1 ¥
å
n
= Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D
có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau:
1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D
2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R n n n - x ¢
S x
( ) 1
, R R
, ) = ¢
)
= " Î (
- a x
n a x
(
n a nx
n ¢
ö
÷
÷
÷
ø 1 1 1 æ
¥
ç=
å
ç
è
n
= ¥
å
n
= ¥
å
n
= 3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R n 1 + n
a t dt n
t dt x S t dt
( ) R R
, ) = = = " Î (
- n a
n a
n x
n ,
1 + 1 1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= ¥
å
n
= x
ò
0 x
ò
0 x
ò
0 (1) a x
n n n nx 2. x
n 1 1 §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Ví dụ: Tìm BKHT và tính tổng các chuỗi sau
¥
å
n
= ¥
1.
å
n
= n n n 2 1 - nx 4. ( 1) 2
-
1 1 ¥
3.
å
n
= ¥
å
n
= n n x
2
+ 1. Chuỗi có Dễ dàng suy ra R=1. na = n S x
( ) Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt x
n 1 ¥
å=
n
= n 1 - x x ¢
S x
( ) , Þ = = = " Î ( 1,1)
- x 1 1
- 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= Vậy: 1
n dt x x S x
( ) ln(1 ), = - - " Î ( 1,1)
- ¢æ ö
n
x
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
n
ø
è
1
1
- x
ò=
0 t 1 §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi x" Î ( 1,1)
- 2. Dễ dàng thấy R=1, ta đặt n n 1 - 1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= n (1 - - x S x
( ) x ¢
æ
ö
÷
ç=
x x
÷
ç
÷
çè
ø nx x nx S x
( ) = = 1 æ
¥
ç=
x
å
ç
è
n
= x x
(1 x
( 1)
-
2
) )
- x S x
( ) , = " Î ( 1,1)
- x
x 2
) (1 - ¢
ö
÷
=
÷
÷
ø x 1 1
- §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi x" 3. Dễ dàng thấy R=1, n 2 1 - n 2 x ta đặt
¢
ö
÷
÷
÷
ø nx S x
( ) ¥
å=
n
= ( 1)n
-
1 ( 1,1)
Î
-
æ
¥
ç=
å
ç
è
n
= 2 x )n ¢
ö
÷
÷
÷
ø (
-
1 æ
¥
ç=
å
ç
è
n
= 2 x ) æ
ç= -
(
ç
çè ¢
ö
÷
÷
÷÷
ø x 2
) 1
1 (
-
- 2 2 x x x
2 (1 .2 - = +
(1 )
+
2 2
x
) x
+ x S x
( ) , = - " Î ( 1,1)
- Vậy: x
x (1 2 2
) 2
+ ( 1) 2n
-
1 §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Î ( 1,1)
- 4. Dễ dàng thấy R=1, This image cannot currently be displayed. n n n n x S x
( ) - = - = = x"
æ
1
ç
ç
çè
n n x
n 1 ta đặt
ö
1
÷
÷
÷
ø+
1 x
n
+ 1 1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= ¥
å
n
= x
2
+ 1 ¥
å
n
1
=
n
+ S x
( ) = - n
1
x x
n 1 1 1 ¥
å
n
= n
n
x
n
n +
n Sử dụng kết quả câu 1. S x
( ) = - - 1 ¥
å
n
= x
n 1
x x
n x
1 ö
÷
÷
÷
÷
ø (
- ) ¥
å
n
=
æ
¥
ç
ç
å
ç
çè
n
1
=
1
x Vậy : x x x S x
( ) ln(1 ) ln(1 ) - = - - - - x x S x
( ) ln(1 ) - = - 1,
+ " Î ( 1,1)
- ö
÷
1
÷
÷
ø æ
1
ç
ç
çè
x §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0
Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi
n
( ) f ) 0 x x ( n
) - 0 x
(
n
! 0 ¥
å
n
= Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm n ( ) f n x n (0)
! 0 ¥
å
n
= Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi
x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể
bằng f(x). §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1. f(x) khả vi vô hạn lần
2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n n ( ) f ) 0 thì x x x x R f x
( ) ( n
) , ( R x
, ) - " Î - + 0 0 0 (
n x
! 0 ¥
å=
n
= Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều
kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử
dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi
Taylor - Maclaurint §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Một số chuỗi Maclaurint cơ bản
n x e 1 / , D R MHT: ! n x
n
0
n x 2 / , n n
x
( 1) ,
D 1,1 1
x 1 n 0 1
n
1) n x x
3 / 1
1 1
x
n
0
1)...(
(
n
! n
1 N 0 D
1 0 1
1,1 ,
1,1 ,
1,1 , R
,
n n
1 x ) , 4 / ln(1
D 1,1 §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
( 1) x
n n
1 n 2
1 n x 5 / sin
( 1) x
n
(2 1)! n
0
n 2 D R n x cos
( 1) x
n
(2 )! n 0 n 2
1 n x D 6 / arctan
( 1)
1,1 x
n
2 ,
1 n 0 §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm: 2 x x f x
1. ( ) f x
2. ( ) ln(2 - 3 ) = = + 2 x x x
5 6 - + 1. 2 x f x
( ) = = - x = + x + 1 1
3 1 1
2 1
3 n
æ ö
x
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
3 1
2 0 0 ¥
å
n
= ¥
å
n
= æ
ç
-
ç
ç
çè ö
n
æ ö ÷
x
÷ ÷
ç
÷ ÷
ç
÷
ç
è ø ÷
2
ø 1 1 - - æ
ç
ç
ç
-
ç
ç
ç
ç
çè ö
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷÷
ø x
2 n 1 + Vậy: MHT: (-2,2) ö
÷
÷
÷
ø æ
ç
ç
çè
x x 3 2 1
- 1
- x x x
5 6 - + 1 1 0 x
3
¥
å
n
= f x
( ) = - 1
n
+ 1
n
+ ö
÷
x
÷
÷
ø æ
ç
ç
çè
2 3 Chuỗi HT nếu 1 và 1 1 1
- < < - < < ↔ -2 x
3 x
2 §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 2. f(x)=ln(2-3x+x2) = ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x) 1 1 - - x f x
( ) ln 2 n
) = + (
- + n
( 1)
-
n x f x
( ) )) )) = ln(1 (
+ - + ln 2 ln(1 (
+ - + n
æ ö
x
÷
ç
-
÷
ç
÷
çè
ø
2 1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= n x
2
n
( 1)
-
n MHT: (-1,1) f x
( ) ln 2 = - + 1 ¥
å
n
= 1 < Chuỗi HT nếu x 1 1 Û - < < 1 < x
x
2 æ
ç
1
ç
çè ö
÷
x
÷
÷
ø 1
1
n
n
2
ì - < -
1
ïïï
í
-
ï - <
1
ïïî §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: x x f x
( ) ln 1 = + + x 1 2 1 2 Ta tính 1
2 x
f x
( ) 2 2 x x
x x
1
1 1 1 1
2 2 4 Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x):
1
2
x x
f x
( ) 1 n 1 1 n 1
2 1
2 1
2 2 1
2
x 2!
n ! §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1) n n 2 x
f x
( ) 1 ( 1) n 1.3.5...(2
n
2 n
!
n
1
2 Hàm khai triển được nếu x x 0
1 1 1 Suy ra: f f f x
( )
t dt
( ) (0) x
0 n n 2
1 x x x ln 1 x
( 1) n n
1)
1.3.5...(2
n
n
1)
!(2
2
n
1
MHT : 1x 1 §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm f x
( ) = Đặt X=x-3 3 f x
( ) = = = n
( 1)
- 2
x 3 æ
x
ç
ç
çè n
ö
÷
÷
÷
ø 1
x 3) 2 (
+ - 1
2 -
2 0 ¥
å
n
= 1
21 + -
2 x f x
( ) ( n
3) = - 0 ¥
å
n
= n
( 1)
-
n
1
+
2 MHT: (1,5) x 1 1
- §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành
chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi
Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp
dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa x , Î ( 1,1)
- n
x
)
+ 0 ¥
å
n
= (
-
n n
( 1) Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với na = n
( 1)
-
n n
(
+ Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1 1) S x
( ) = n
x
)
+ 0 ¥
å
n
= (
-
n n
( 1) n n
x S x
( ) = - ( 1)
- 0 ¥
å
n
= 1 n n + n x x + = - 0 ¥
( 1)
å
n
= 1 - - n n 1 + x x + = - §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
æ
1
ç
ç
çè
n
æ
n
-
( 1)
-
ç
ç
ç
ç
n
è
n
( 1)
-
n 1
x 1 n
( 1)
-
n
+ 0 0 ¥
( 1)
å
n
= ¥
å
n
= 1 - ö
1
÷
÷
÷
ø+
1
n
1 ( 1)
-
x n
1
+ ö
÷
1
÷
÷
÷
ø n - n
( 1)
-
n 0 x x ( 1)ln(1 ) = - + + - ö
÷
÷
1
÷
÷
ø (
ln(1 )
) 1
- x x ( 1)ln(1 ) = - + - + Vậy: æ
1
¥
ç
ç
å
ç
çè
x
n
=
1
x (-1,1) + + , x
" Î n
x
)
+ 0 ¥
å
n
= æ
ç=
1
ç
çè ö
÷
ln
÷
÷
ø 1
x x 1
x (
-
n n
( 1) 1 1
+ §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint n 1 + Ví dụ: Tính tổng của chuỗi x 1 ¥
å
n
= n n n
1
-
n
(2 )!! n n 1 + n x
. n 1 x = x x x
. = 1 ¥
å
n
= -
n
n
2 . x
! x - = n
æ ö
n x
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
n
! 2 1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
1
=
ö
n
æ ö ÷
x
1
÷ ÷
ç
÷ ÷
ç
÷
ç
è ø ÷
n
! 2
ø 1 - x - = n ( n
æ ö
x
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
1)! 2 1
- 1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= ö
n
æ ö ÷
x
1
÷ ÷
ç
÷ ÷
ç
÷
ç
è ø ÷
n
! 2
ø ¥
å
n
1
=
æ
¥
ç
ç
å
ç
çè
n
=
æ
x
ç
ç
ç
2
çè
2 x = - - x
2 n
æ ö
x
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
n
! 2 n
æ ö
x
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
n
! 2 0 0 ¥
å
n
= æ
¥
ç
ç
å
ç
çè
n
= ö
÷
÷
1
÷
÷
ø n
1
-
n
(2 )!! -
n
2.4.6...(2 ) §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
2 x x n 1 + 2 2 x e x e
( 1) = - - 1 ¥
å
n
= 2 x 2 n
1
-
n
(2 )!! = - + x
, x
" x
2
æ
x
ç
ç
ç
çè
2 ö
÷
x e
÷
÷
÷
ø §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu
tích phân bằng chuỗi, tính tích phân I ln = 1
ò
0 n
) (
- 1 - Ta có: x ln(1 ln ) = - - = - ö
÷
÷
÷
ø x x
n n
( 1)
-
1 ¥
å
n
= æ
ç
ç
çè
1 1
- n
) (
- I dx n
x dx
) = = (
- = x
n n
( 1)
-
n n
( 1)
-
1 1 ¥
å
n
= 1
1
+ 1
-
¥
å
n n n
1
= 1
¥
åò
n
=
0 1
ò
0 Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa Tổng riêng : Sn = u1+u2+…+un và tổng S ö
÷
dx
÷
÷
ø
x
æ
1
ç
ç
çè
1
-
Thay vào tích phân trên §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint ... - + + - = - nS ö
÷
÷
÷
ø æ
1
ç
ç
ç
è
n n ö æ
1
1
÷
ç
-
+
÷
ç
÷
ç
ø è
2 3 ö æ
1
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
ø è
3 1
4 ù
ö
1
÷
ú
÷
÷
ø
ú+
1
û nS - 1 - = - é
æ
1 1
ç
-
ê
ç
ç
è
ê
1 2
ë
é
1
ê
ê
ë Vậy n ù
1
n
® ¥
ú
uuuuuur
1
ú+
û I ln 1 = = - 1
ò
0 ö
÷
dx
÷
÷
ø x æ
ç
ç
çè
1 1
- §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng các chuỗi số sau n n 1. 3. n 1 + .5
n
! 0 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= n n
( n 1 2 + - n 4) n
( 2)
-
+
n
( 1)
- - 2. 4. n 1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= 2)7
1
.2.5.8...(3
1
3
-
n
.
2 ! 2
n
(2 )!!
n n 1 - n n 5 = 5e= 0 5 = + 0 1 ¥
1.
å
n
= ¥
å
n
= 5
n ! 0 ¥
å
n
= n n n 1 2 2 2 + 2. 2 = .5
n
! ( 1)! 5
n
- 1 ! ¥
å
n
= 1 ¥
å=
n
= n
2
¥
å
n n
1
= 2.2
n
n
2 ! n 2
n
(2 )!! 22(
e 1) = - 2 - = 0 ¥
å=
n
1
=
æ
¥
ç
ç
å
ç
çè
n
= 2
n ! 2.2
n
2.4.6...(2 )
ö
÷
÷
1
÷
÷
ø 3. = - n 1 + n 2 ö
1
÷
÷
÷
ø+
2 1 1 §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
n n
æ
( 1) 2 1 1
-
¥
ç
å
ç
çè
n
n
n
= ¥
å
n
= 2).7 n n
( 7.7 n
( 2)
-
+ = - n 1
14 ö
1
÷
÷
÷
ø+
2 n
( 1)
-
1 ¥
å
n
= 2 + 1 + = n
( 1)
-
n 1
-
14 n
æ ö æ
2
1
÷
ç
ç
÷
ç÷
ç
ç
ç
è ø è
n
7
n
1
-
æ ö
2
÷
ç
-÷
ç
÷
ç
è ø
7 1
14 n
æ ö
2
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
7 n
( 1)( 1)
-
-
n
2
+ 1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= 1 - ln(1 ) = + + - + n
( 1)
-
n 1
-
14 2
7 1 49
14 4 n
æ ö
2
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
7 2
7 1 æ
¥
ç
ç
å
ç
çè
n
= 2
æ ö
7
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
2
ö
2
æ ö
1 2
÷
÷ ÷
ç
÷ ÷
ç
÷
ç
è ø ÷
2 7
ø = - n 1 + 45 9
3
ln
56 7 14 ¥
å
n n n
1
= ( 2).7 n
( 2)
-
+ §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint - n 4) n
( 1)
- - 4. n ¥
å
n
= ! n n 1)( 2)...( ( 1)).3 - - - - 1
1 1
.(
3 3 1
.2.5.8...(3
1
3
-
n
.
2
1
3 = - 1 ¥
å
n
= 1
3
n
1 3
n
!
2 .2 .
1
1
3
3 n 2)...( 1)( ( 1)) - - - - 1 1
.(
3 3 2 = n
æ ö
3
֍
÷ç ÷çè ø
8 1 3 3 n ! 1
ö
3
÷
÷
÷
ø 2 2 = + - = - = 11 2
- ¥
å
n
=
æ
çæ
ç
ç
2 1
ç
ç
çç
è
ç
çè 3
8 11
8 ö
÷
÷
÷
1
÷
÷
÷÷
øĐịnh lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành
chuỗi Taylor)
Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa
(
)2
1
2
