Chương 5
Tích phân phụ thuộc tham số
5.1. Tích phân phụ thuộc tham số ...................................................................................... 183 5.1.1. Khái niệm ...................................................................................................................... 183 5.1.2. Tính liên tục .................................................................................................................. 184 5.1.3. Tính khả vi .................................................................................................................... 186 5.1.4. Tính khả tích ................................................................................................................. 187 5.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số...................................................................... 188 5.2.1. Khái niệm ...................................................................................................................... 188 5.2.2. Hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều ........................................................................ 189 5.2.3. Tính liên tục ................................................................................................................ 194 5.2.4. Tính khả vi .................................................................................................................... 196 5.2.5. Tính khả tích ................................................................................................................. 196 5.3. Một số tích phân đặc biệt ............................................................................................ 197 5.3.1. Tích phân Dirichlet ....................................................................................................... 198 5.3.2. Tích phân Euler (loại I) ................................................................................................. 199 5.3.3. Tích phân Euler (loại II)................................................................................................ 201
5.1. Tích phân phụ thuộc tham số 5.1.1. Khái niệm
⊆ R2 và với mỗi điểm
α β× [ , ]
∈
cố định, f khả tích theo x trên [a,b]. Khi ấy, tích phân:
y
[ , ] α β
b
f x y dx
(*)
( ,
)
∫
a
là một hàm số theo biến y. Ta nói tích phân (*) là tích phân phụ thuộc tham số với tham số y. Ký hiệu
b
I y ( )
f x y dx
( ,
)
.
= ∫
a
Giả sử hàm f xác định trên hình chữ nhật [ , ] a b
Giải tích các hàm nhiều biến
184
∈
Lưu ý rằng thay vì
y
có thể xét y U∈ ⊆ Rn và khi ấy ( )
I y là một hàm nhiều
[ , ] α β
biến. Tuy nhiên phần lớn các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với y ∈ Rn
tương tự như khi y ∈ R, vì vậy trong giáo trình này chúng ta chỉ xét tích phân phụ
và
a
b
yψ= ( )
y
(
)
thuộc một tham số. Ngoài ra, vì trong tích phân (*) hai cận a và b cố định nên người ta còn nói (*) là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân không yϕ= ( ) là những hàm phụ thuộc y, thì ta nói đổi. Nếu như trong (*), ψ
∫
(
y
)
ϕ
f x y dx ( , ) là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi.
1
2
Thí dụ. Tính một số tích phân phụ thuộc tham số sau đây:
= ∫
0
1) I y ( ) sin( y x dx ) là tích phân phụ thuộc tham số y với mọi y ∈ R. Ta có thể
=
0
y
nÕu
.
( ) I y
2
≠
)
0
y
y
nÕu
2
0 1 (1 cos − y
=
1
2
− (
)
y x 2
dx
2)
là tích phân phụ thuộc tham số y1, y2 và xác định với
I y , y ) ( 1
2
y e 1
= ∫
0
(
)
,
mọi
y y ∈R2. Hàm này không biểu diễn được dưới dạng các hàm sơ cấp. 1
2
5.1.2. Tính liên tục
Chúng ta vẫn dùng ký hiệu
≤
≤
≤
∈
≤ với mọi
⊆ R2 và
b a ,
y ( )
y ( )
a
b
.
y
I y cho tích phân phụ thuộc tham số với miền ( ) lấy tích phân thay đổi và giả thiết rằng f xác định trên hình chữ nhật a b [ , ] ϕ
α β× [ , ]
[ , ] α β
ψ
, ψ và ϕ liên tục trên [ , ]α β .
α β× [ , ]
Định lý. Giả thiết f liên tục trên miền [ , ] a b Khi ấy:
y
(
)
ψ
I y ( )
f x y dx
( ,
)
tính ngay được
y
(
)
ϕ
là một hàm liên tục trên [ , ]α β .
= ∫
. Ta sẽ chứng minh rằng với mọi
0
[ , ] α β
ε > , tồn tại δ
−
∈
< , với mọi
− < . Từ định nghĩa ta có
∈
)
y
y
y 0 ε
[ , ], α β
δ
I y ( 0
y 0
Chứng minh. Cố định sao cho I y ( )
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
185
(
)
ψ
(
y
)
ψ
y 0
−
=
I y ( )
)
f x y dx
( ,
)
( ,
)
f x y dx 0
I y− ( 0
∫
∫
(
y
)
ϕ
(
)
ϕ
y 0
(
)
)
ψ
ϕ
(
)
y
ψ
y 0
−
=
f x y dx
( ,
)
+
f x y dx
( ,
)
+
[
f x y ( ,
)
)]
dx
.
f x y ( , 0
0( y ∫
∫
∫
(
y
)
ϕ
(
)
(
)
ψ
ϕ
y 0
y 0
Để đánh giá hiệu trên, nhận xét rằng f liên tục trên tập compact nên giới nội và > để: liên tục đều, tức là tồn tại 0
M
δ> 0, 1
f x y M< , )
( ,
−
<
f x y ( ',
')
f x y ( ,
)
b (3(
− , )) a
ε
∈
(
)
[
× ]
, x
− < ' x
,
y
y
[ , ] α β
− < . Ngoài ra do ϕ và ψ '
δ 1
δ 1
với mọi ) ( x, y , x’, y’ a,b liên tục nên tồn tại 2δ để:
−
<
y ( )
)
3
M
,
ϕ
( ϕ
ε
−
<
y ( )
(
)
3
M
,
ψ
ψ
ε
y 0 y 0
∈
− < .
với mọi
y
y
[ , ], α β
δ
y 0
2
và áp dụng các bất đẳng thức đã thu được để đánh giá từng
δ
} 2 I y ( )
)
, ta có:
= Chọn min{ , δ δ 1 số hạng trong hiệu
I y− ( 0
)
(
)
ϕ
ψ
(
y
)
ψ
y 0
−
+
+
<
=
f x y dx
( ,
)
f x y dx
( ,
)
[
f x y ( ,
)
)]
dx
I y ( )
)
I y− ( 0
f x y ( , 0
0( y ∫
∫
∫
(
)
(
y
(
ψ
ϕ
ϕ
y 0
y 0
+
+
+
M
M
(
)
) .
<
<
ψ
( ϕ
y 0
y 0
) ε −
)
) ε 3 M
ε 3 M
3( b
a
∈
− < . Chứng tỏ I liên tục và định lý được chứng minh
y
y
ε + 3 ε + 3 ε = ε, 3
y 0
δ [ , ], α β
I y ( )
f x y dx
= ∫
∈
thì tích phân α β× [ , ] với mọi xong. Hệ quả. Nếu f liên tục trên miền [ , ] a b b ( , )
y liên tục trên [ , ]α β và với mọi 0
b
b
a [ , ] α β b
=
=
ta có
f x y dx
f x y dx
f x y dx 0
∫
∫
∫
a
a
a
( , ) ) ( , ) . lim ( , → y y 0 lim → y y 0
Chứng minh. Phần đầu của hệ quả là trường hợp riêng của định lý, phần sau suy ra ngay từ phần đầu.
Giải tích các hàm nhiều biến
5.1.3. Tính khả vi
186
Định lý. Giả sử hàm f liên tục có đạo hàm riêng f’y liên tục trên miền I y khả vi trên a b [ , ] ( ) [ , ]α β và:
(
)
y
ψ
=
+
−
và các hàm ϕ, ψ khả vi trên [ , ]α β . Khi ấy hàm α β× [ , ]
I y '( )
f
x y dx )
f
y y ( ),
y '( )
f
y y
y '( )
ψ
ψ
ϕ
∫
(
)
y
ϕ
. ( ) ) ( ( ), ϕ ' ( , y
v
=
∈
×
×
Chứng minh. Trước hết chúng ta xét hàm ba biến
F y u v ( , , )
f x y dx
y u v ( , , )
∫
u
( , ) , [ , ] α β [ , ] α β [ , ] α β
v
=
+
−
=
+
−
và chứng minh rằng hàm này khả vi liên tục. Muốn thế ta chỉ cần chỉ ra rằng F có các đạo hàm riêng liên tục. Cố định u,v và xét số gia:
F y u v ( , , )
F y (
y u v , , )
F y,u,v
f x y ( ,
f x y dx
∆
∆
y ∆
y
∫
. ( ) [ ) ( , )]
u yf ′ liên tục nên theo định lý giá trị trung bình
−
=
+
Vì
( ,
)
( , f x y
)
'( , f x y
)
f x y y ∆
y y λ∆ ∆
,
x y . Khi ấy
v
v
) trong đó λ ∈ [0,1] phụ thuộc ( ,
y
−
=
+
−
f
x y dx )
f
x y
y
f
x y dx )]
y
∫
∫
F y u v ( , , ) y ∆
u
u
∆ [ '( , ) . λ∆ ' ( , y ' ( , y
nên nó liên tục đều và do đó, với α β× [ , ]
+
−
<
0 0 Để ý rằng f’y là hàm liên tục trên [ , ] a b mọi y∆ δ > để mỗi khi ε > , tìm được δ< thì:
f
x y
f
x y
b (
− với mọi x,y.
a
y λ∆
y
) '( , ) ) ε ' ( , y
y∆
v
Do vậy, với mọi δ< , ta có đánh giá:
y
−
<
f
x y dx )
v
− ≤ u
∫
b (
a
F y u v ( , , ) y ∆
u
∆ . ε ' ( , y ε − )
v
Vì ε bất kỳ, ta kết luận:
y
f
x y dx )
= ∫
F y u v ( , , ) y ∆
u
∆ . ' ( , y lim → y 0 ∆
' ( ,
, )
yF y u v tồn tại và liên tục.
Ngoài ra ta còn có
Chứng tỏ
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
187
= −
F y u v ( , , )
f u y ( ,
)
F y u v ( , , )
f v y ( ,
)
' u ' v
=
= đều là những hàm liên tục, cho nên F là hàm khả vi liên tục. Nếu ϕ và ψ là những hàm khả vi thì, theo định lý về hàm hợp, F y ( ,
I y ( )
y ( ))
y ( ),
cũng là hàm khả vi và
=
+
+
=
'
'( ) I y
F
F
F
y
' u
' v
du dy
dv dy
(
)
y
ϕ
+
−
f
x y dx )
f
(
y y ( ),
)
y '( )
f
y y
)
y '( )
.
ψ ϕ
( ( ), ϕ
' ( , y
∫
(
)
y
ϕ
Định lý được chứng minh xong.
cos
y
. Theo định lý, hàm ( )
I y khả vi và
I y ( )
yx e dx
ψ ψ ϕ
= ∫
y
cos
y
2
cos
y
y
y
=
−
−
I y '( )
y
yx e dx
e
sin
y
e
.
∫
y
5.1.4. Tính khả tích
. Khi ấy các tích phân
a b Định lý. Giả thiết f là hàm liên tục trên miền [ , ]
Thí dụ. Với
β
b
( ,
)
f x y dx
,
f x y dy
( ,
)
khả tích trên các đoạn [ , ]α β , [ , ]a b (tương ứng) và ta
∫
∫
α
a có công thức Fubini:
β
β
b
b
=
.
dy
f x y dx
dx
f x y dy
( ,
)
( ,
)
∫
∫
∫
∫
a
y
α
α
α β× [ , ]
b
f x y dx
( ,
)
I y ( )
liên tục, suy ra khả tích trên [ , ]α β . Tương tự như vậy, hàm
= ∫
a
β
f x y dy
( ,
)
là khả tích trên đoạn [a,b]. Đặt
∫
α
t
b
b
t
=
( ,
)
( ) g t
dy
f x y dx
,
h t ( )
dx
f x y dy
( ,
)
,
≤ ≤ t
.
Chứng minh. Ở cuối Mục 4.3.1 chúng ta đã có công thức Fubini từ định lý tổng quát. Sau đây là một cách chứng minh khác. Vì f liên tục cho nên hàm
= ∫
∫
∫
∫
a
a
α
α
α β
Giải tích các hàm nhiều biến
188
∈
h t= ( )
t
[ , ] α β
và sẽ có ngay công thức trong = , cho nên ta )
g
0
với mọi g t ( ) β= . Chú ý rằng với t α= , ta có
( ) α
Ta sẽ chứng minh định lý khi chọn t chỉ còn phải chứng minh rằng
'( ) g t
h t= '( ) b
f x y dx
I y ( )
( ,
)
= ∫
a
liên tục trên [ , ]α β , cho nên
b
=
∈
với mọi
.
t
g t '( )
I t ( )
f x t dx ( , )
[ , ] α β
= ∫
a
Hơn nữa hàm hai biến
t
∈
×
,
,
f x y dx
x t ( , )
a b [ , ]
J x t ( , )
( ,
)
[ , ] α β
= ∫
α
=
f x t ( , )
), cho nên ta có thể
' ( , ) tJ x t
liên tục và có đạo hàm theo biến t liên tục (vì áp dụng định lý về đạo hàm của tích phân phụ thuộc tham số
b
b
b
=
=
(
)
J
x t dx =
f x t dx ( , )
.
'( ) h t
( , ) J x t dx
' ( , ) t
∫
∫
∫
d dt
a
a
a
và định lý được chứng minh đầy đủ.
Suy ra
g t '( )
h t= '( )
α= ( h . Nhận xét rằng hàm
2
2
≠
khi
x y ( ,
)
(0,0)
f x y ( ,
)
− +
x 2 x
y 2 2 y )
(
=
0
khi
x y ( ,
)
(0,0)
=
không liên tục tại điểm (x ,y)= (0,0) trong miền [0,1]×[0,1], và ta có:
1
1
1
1
1
1
=
= −
=
=
dx
f x y dy
dy
f x y dx
( ,
)
,
( ,
)
.
2
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Chú ý. Trong định lý trên nếu f không liên tục thì công thức đổi thứ tự tích phân không còn đúng nữa. Ví dụ, hàm
dx + x
− + 1
dy 2 y
1
0
0
0
0
0
0
π 4 π 4
5.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 5.2.1. Khái niệm
a Giả sử f là hàm số xác định trên miền [ ,
∞ × )
U U ,
⊆ R sao cho với mỗi
f
a> . Tích phân:
y U∈ cố định, hàm
(.,
y khả tích theo x trên [ , ]a b với mọi b )
∞
( ,
)
f x y dx
∫
a
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
189
được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (với cận +∞ ). Tích phân này là
∞
( ,
)
hội tụ. Ta nói tích phân suy rộng
hội tụ tại
0y U∈ nếu tích phân
f x y dx 0
∫
a
phụ thuộc tham số là hội tụ trên U nếu nó hội tụ tại mọi điểm của U tức là với mọi
∞
y U∈ ,
( ,
)
( ) J y
f x y dx
tồn tại (hữu hạn).
= ∫
a
Tương tự như trên ta có thể định nghĩa tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
với cận −∞ , hoặc cận −∞ và +∞ .
Đối với hàm f không giới nội, việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số cũng thực hiện hoàn toàn tương tự kể từ định nghĩa các khái niệm tới các định lý. Vì vậy, trong phần này, chúng ta chỉ xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ làm đại diện. Thí dụ
∞
1)
I y ( )
sin(
yx dx )
hội tụ khi
y = và phân kỳ khi
0
y ≠ . 0
= ∫
1 ∞
2
yx
I y ( )
− e
dx
hội tụ khi
y > và phân kỳ khi
0
y ≤ . 0
2)
= ∫
∞
0 1
2
=
=
I y ( )
dx− y
x
dt
hội tụ khi
3)
y < và phân kỳ khi
1
y ≥ . 1
−∫ yt
∫
0
1
5.2.2. Hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều
Khi nghiên cứu chuỗi hàm chúng ta đã gặp khái niệm hội tụ đều của chuỗi nhằm thiết lập các tính chất liên tục, khả vi ... của hàm tổng. Khái niệm này có thể mở rộng cho tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ như dưới đây.
Giả thiết rằng tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
∞
( ,
)
( ) I y
f x y dx
,
= ∫
a
hội tụ trên miền U ⊆ R. Ta nói rằng tích phân này hội tụ đều trên U nếu với mọi
0
ε > tìm được số 0b sao cho
∞
<
f x y dx
( ,
)
, với mọi
b
b> và mọi y U∈ .
0
∫
b
Nhận xét rằng định nghĩa trên tương đương với điều kiện:
∞
=
f x y dx
( ,
)
0
.
∫
lim sup →∞ ∈ b y U
b
ε
Giải tích các hàm nhiều biến
190
∞
2
)
x y
I y ( )
− − ( e
dx
.
= ∫
0
Nhận xét rằng với mọi y ∈ R, tích phân
I y hội tụ. Dùng phép đổi biến ta có với ( )
mọi b:
∞
∞
2
2
x y
)
x
=
− − ( e
dx
− e
dx
.
∫
∫
b
− b y
Từ đây ta thấy với
y
l< nào đó thì:
0
∞
∞
2
2
x
x
=
=
Thí dụ. Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân
− e
− e
∫
∫
. dx dx 0 lim →∞ b lim sup →∞ b ≤ y l 0
− b y ]l−∞ . Trên tập (
− b l 0 U = −∞ +∞ ta có ,
0
∞
∞
2
2
x
x
≥
,
− e
dx
− e
dx
0
∫
∫
π = > 2
sup ∈ y U
− b y
0
∞
2
x y
)
>
và ( )
I y không hội tụ đều.
cho nên
− − ( e
dx
0
∫
lim sup →∞ ∈ b y U
b
∞
Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân
I y ( )
f x y dx
( ,
)
hội tụ đều trên
Chứng tỏ ( ) I y hội tụ đều trên ( ) ,
0
tập U khi và chỉ khi với mọi
0
ε > , tồn tại số 0b để
b 2
= ∫
f x y dx
( ,
)
,
,
y U
ε≤
với mọi 1
b b , 2
b 0
∫
b 1
∞
≥ ∈ .
f x y dx
( ,
)
∫
ε 2
b
< Chứng minh. Điều kiện cần suy ra ngay từ định nghĩa vì nếu
với mọi
b
y U
b 0 ,
∞
∞
b 2
≤
+
≤ + =
≥ ∈ thì
ε
∫
∫
∫
ε 2
ε 2
b 1
b 1
b 2
b≥ , y U
∈ .
với mọi 1
,b b 2
0
f x y dx ( , ) f x y dx ( , ) f x y dx ( , )
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
191
∞
≥
≤
∈ .
y U
Điều kiện đủ. Với y cố định, điều kiện của định lý suy ra I y hội tụ. Hơn nữa ( )
ε
b với mọi 1
2 , b
∫
b 1
f x y dx ( , ) cho 2b → ∞ trong điều kiện đã nói thì
Theo định nghĩa, tích phân hội tụ đều trên U.
a≥ sao cho
b≥ , và tích phân
Định lý. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả thiết tồn tại hàm với mọi y U∈ , x một số b ( , f x y
F x≤ ( )
F x ≥ khả tích và ( ) 0
∞
∞
)
f x y dx
∫
∫
a
a
ε > tồn 0
hội tụ. Khi ấy hội tụ đều trên M. ( ) F x dx ( , )
b 2
( ) F x dx
ε<
với mọi 1
,b b 2
b≥ . 0
∫
b 1
Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy đối với tích phân hội tụ, với mọi tại b0 sao cho
, ta có
Chọn 0 b
b 2
b 2
b 2
≥ max{ , } b b 0
ε
∫
∫
∫
b 1
b 1
b 1
≤ ≤ < f x y dx ( , ) f x y dx ( , ) F x dx ( ) ,
∞
2
yx
≥ , y U ∈ . Áp dụng định lý Cauchy ta kết luận tích phân ( ) I y hội b 0 với mọi 1 b b , 2 tụ đều trên U.
0[
−∫ e
0
dx hội tụ đều trên tập U t > 0 , Thí dụ. Chứng minh rằng t= ∞ với 0 )
2
2
0t x
bất kỳ.
− ≤ yx e
Giải. Nhận xét rằng ∞
2
2
yx
t x 0
−∫ e
−∫ e
0
0 U.
∈ với mọi , 0 e− y U x ≥ . Hơn nữa tích phân ∞ hội tụ. Theo định lý Weierstrass, tích phân hội tụ đều trên dx dx
Để trình bày một số tiêu chuẩn hội tụ đều đối với tích phân của một tích chúng ta cần bổ đề sau, còn có tên gọi là định lý Bonnet và là một dạng của định lý giá trị trung bình.
đơn điệu và hàm số ( )g x khả tích ( )xα
Bổ đề. (Định lý Bonnet) Nếu hàm số trên [
[ a b∈ ,
]
]
,a b thì tồn tại điểm c sao cho
Giải tích các hàm nhiều biến
b
c
b
192
α
α
α
∫
∫
∫
a
a
c
= + . g x ( ) x dx ( ) a ( ) g x dx ( ) b ( ) g x dx ( )
( )
0
xα ≥ . (Trường hợp
( )xα
không tăng và
]
,a b cho bởi dãy
( )xα Chứng minh. Xét trường hợp không giảm là tương tự). Giả sử P là một phân hoạch bất kỳ của [ điểm
b
x i
n
=
=
... a b x 2 x 1 = < < < = . Khi ấy x n
α
α
∑
∫
∫
=
2
i
a
− 1
x i
x i
x i
n
n
=
+
−
g x ( ) x dx ( ) g x ( ) x dx ( )
α
α
α
[
]
− 1
− 1
∑
∑
∫
∫
=
=
2
2
i
i
− 1
− 1
x i
x i
( ) ( ) . (*) g x dx ( ) x ( ) g x dx ( ) x i x i
( )g x khả tích nên bị chặn, tức là
( )xα
δ< với
đơn điệu và ( )g x
δ > nào đó. Khi ấy thành phần thứ hai trong vế phải của (*)
] mọi có thể đánh giá như sau
x i
x i
n
n
−
≤
−
và với 0 x Nhận xét rằng [ a b∈ ,
α
α
δ
α
α
(
)
(
)
− 1
− 1
∑
∑
∫
∫
=
=
2
2
i
i
− 1
− 1
x i
x i
n
≤
−
−
( ) ( ) x ( ) g x dx ( ) x ( ) dx x i x i
− 1
∑
b ∫ δ α
=
2
i
a
( )xα
. )( ) x dx ( ) x ( α − i 1 x i x i
x
Do khả tích nên số trừ trong biểu thức trên tiến tới số bị trừ khi bề rộng của phân hoạch dần tới 0. Đối với thành phần đầu trong vế phải của (*) chúng ta lưu ý
]
= ∫
a
x i
rằng G x ( ) g x dx ( ) ,a b và do đó đạt cực đại là M và cực tiểu là liên tục trên [
n
=
=
−
α
α
)
− 1
− 1
− 1
σ T
( G x ( i
∑
∑
∫
=
=
2
2
i
i
− 1
x i
− 1 n
m trên đoạn này. Hơn nữa ta có biến đổi sau n ( ) ( ) ) ) g x dx ( ) x i x i G x ( i
− 1
∑
=
i
2
= − + ) ( ( ) ( G b ) ( ) . ( ( α α α x i x G x )) i i x − n 1
Tσ bị kẹp, cụ thể là
nxα (
≥ cho nên đại lượng 0 )
− − ) x ( Vì α α 1 i ≤ ≤ ( ) m a σ α T
b
≥ và 0 ) ( x i ( ) M a α . Qua giới hạn khi bề rộng của phân hoạch dần tới 0 ta có
∫
a
≤ . g x ( ) ≤ x dx M a ( ) ( ) m a ( ) α α α
[ a b∈ ,
]
c sao cho Vì G(x) là hàm liên tục, tồn tại
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
c
b
193
∫
∫
a
g x ( ) x dx ( ) a ( ) g x dx ( ) . (**) α α=
≥ , ta xét tích phân
( ) b
0
a ( ) x
( )xα
α
α−
(
) b dx ( )
[ a b∈ ,
]
∫
a
c
b
không nhất thiết là dương, với Bây giờ nếu b g x ( ) x ( ) . Theo chứng minh trên, tìm được c để α α−
(
) b dx ( )
(
)
∫
∫
a
a
b
c
b
− = − g x ( ) x ( ) a ( ) b ( ) g x dx ( ) . α α α α
∫
∫
∫
c
a
a
= + , chính là công thức cần Suy ra g x ( ) x dx ( ) a ( ) g x dx ( ) b ( ) g x dx ( ) α α α
b
tìm. Định lý. (Tiêu chuẩn Dirichlet) Giả thiết rằng:
∫
a
b
f x y dx bị chặn đều theo b và y tức là tồn tại c > để 0 i) Tích phân ( , )
∫
> với mọi ∈ ; b a y U , f x y dx ( , ) c<
a ϕ với mỗi y U∈ cố định. ∞
hội tụ đều theo y U∈ đến 0 khi x → ∞ và x y ( , ) đơn điệu theo x ii) ) x y ( , ϕ
∫
a
hội tụ đều trên U. Khi đó tích phân f x y ( , x y dx ) ) ( , ϕ
>
∈ .
b
y U
≥ ≥ , kết hợp với định lý Bonnet ta có:
Chứng minh. Lấy , với mọi c (4 ) ) 0 b y ( , ϕ ε< ε > bất kỳ. Từ ii) ta tìm được b0 để: 0 , b
ξ
b 2
b 2
b Khi ấy với mọi 2 b 1 b 0
∫
∫
∫
ξ
b 1
b 1
ξ
b 2
= ≤ f x y ( , x y dx ) ) f x y dx ( , ) ) f x y dx ( , ) ) ( , ϕ ( b y , ϕ 1 ϕ+ b y , ( 2
ϕ+ ( b y , 2
∫
∫
ξ
b 1
ξ
ξ
b 1
b 2
+
+
+
≤ ) f x y dx ( , ) ) f x y dx ( , ) ≤ ( b y , ϕ 1
= , ε
∫
∫
∫
∫
a
a
a
a
+ < c fdx fdx fdx fdx (2 c 2 ) ≤ ε 4 c ε c 4 ε c 4
Giải tích các hàm nhiều biến
194
2
∫
a
Định lý. (Tiêu chuẩn Abel) Giả thiết rằng
∞
] , b b . Theo định lý Cauchy, tích phân [ 1 trong đó ξ là một điểm trong đoạn ∞ là hội tụ đều. f x y ( , x y dx ) ) ( , ϕ
∫
a
f x y dx hội tụ đều trên U; i) Tích phân ( , )
≤ với mọi
ϕ đơn điệu theo x.
bị chặn đều, tức là tồn tại ii) ) c x y ( , )
ϕ x
∫
a
x y ( , ≥ , a y U c > để 0 ∈ , và với mỗi y U∈ cố định hàm )yϕ (., ∞ hội tụ đều trên U. Khi ấy tích phân f x y ( , x y dx ) ) ( , ϕ
∞
Chứng minh. Tương tự định lý trên, áp dụng định lý Bonnet và định lý Cauchy.
0[
∫
0
sin( trên tập dx U t ,= ∞ , ) Thí dụ. Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân )yx x
=
=
t > . 0 với 0
và
)
sin(
)
( , f x y
yx
ta thấy ngay rằng các điều kiện của
x y ( ,
)
ϕ
1 x
tiêu chuẩn Dirichlet thỏa mãn. Vì vậy tích phân này hội tụ đều trên U.
5.2.3. Tính liên tục
Để khảo sát các tính chất của tích phân hội tụ đều với cận vô hạn chúng ta
thiết lập mối liên hệ của những tích phân này với dãy hội tụ đều.
∞
Bổ đề. Giả thiết rằng tích phân
I y ( )
f x y dx
( ,
)
hội tụ đều trên tập U và
= ∫
a
f x y dx
y ( )
( ,
)
ϕ
n
a> . Khi ấy dãy hàm: { }na là một dãy số dần tới +∞ với na na = ∫
a
hội tụ đều tới hàm số ( )
I y trên U.
∞
f x y dx
( ,
)
hội tụ cho nên
Lấy
∫
a
I y . Ta sẽ chứng minh rằng dãy hội tụ đều. Cho ( )
( )}
n yϕ
dãy hàm { ε > bất kỳ. Vì ( ) 0
hội tụ tới I y hội tụ đều ta tìm được b0 sao cho:
∞
<
>
f x y dx
( ,
)
, với mọi
b
y U
∈ .
ε
b 0 ,
∫
b
Chứng minh. Với mỗi y∈U cố định, do tích phân
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
195
n > sao cho với mọi
0
n
n≥ , ta có
na
b≥ (vì { }na tiến tới ∞).
0
Khi ấy tồn tại 0 Như vậy
∞
∞
−
−
=
<
I y ( )
=
f x y dx
( ,
)
f x y dx
( ,
)
,
ϕ
)
( ,
f x y dx
ε
n y ( )
na ∫
∫
a
≥
với mọi
n
∫ na I y trên U.
( )}
hội tụ đều tới ( )
a ∈ . Chứng tỏ {
0 , n y U
n yϕ
và
Định lý. Giả thiết rằng hàm f xác định và liên tục trên miền [ , a
∞ × )
[ , ] α β
∞
( ,
)
tích phân ( ) I y
f x y dx
I y liên tục trên
hội tụ đều trên [ , ]α β . Khi ấy hàm ( )
= ∫
a
a> , và xét dãy hàm
[ , ]α β . Chứng minh. Lấy dãy { }na tiến dần ra +∞ , na
=
∈
f x y dx
y
.
y ( )
( ,
)
,
ϕ
[ , ] α β
n
na ∫
a
( )}
liên tục trên [ , ]α β . Áp dụng bổ để, {
n yϕ ( )
n yϕ
=
liên tục trên [ , ]α β . Định lý được chứng minh xong.
Với mỗi n cố định, theo định lý về tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số hội tụ với cận hữu hạn, hàm I y . Theo định lý về tính liên tục của dãy hàm hội tụ đều, ta kết luận hàm ( ) đều tới giới hạn ( ) I y
yϕ lim ( ) n →∞ n
( ,
0)
)
f x y ≥ , phần đảo của định lý trên Chú ý. Đối với trường hợp hàm dương ( vẫn đúng (như định lý Dini đối với dãy hàm). Cụ thể là, nếu f liên tục và dương
∞
, tích phân
f x y dx
( ,
)
hội tụ tới một hàm liên tục
I y ( )
a trên miền [ ,
∞ × )
[ , ] α β
∫
a
trên [ , ]α β , thì khi ấy tích phân trên hội tụ đều. Để chứng minh điều này, xét dãy + a n
hội tụ tới hàm liên tục
đơn điệu của các hàm liên tục
f x y dx
I y ( )
( ,
)
y ( )
ϕ
n
= ∫
a
ε > , tồn 0
trên [ , ]α β . Theo định lý Dini, dãy hàm này hội tụ đều, tức là với mọi tại n0 để:
∞
−
=
<
≥
∈
.
y ( )
I y ( )
f x y dx
( ,
)
, với mọi
ϕ
ε
n
[ , ] α β
n
n y 0 ,
∫
+ a n
a
Khi ấy với mỗi
≥ + , n 0
b ∞
∞
∈
<
f x y dx
, với mọi
.
( ,
)
y
[ , ] α β
f x y dx
( ,
)
ε
∫
∫
b
+ a n 0
∞
f x y dx
Chứng tỏ tích phân
( ,
)
hội tụ đều trên [ , ]α β .
∫
a
≤
Giải tích các hàm nhiều biến
196
5.2.4. Tính khả vi
Định lý. Giả thiết rằng
∞ × )
;
i) Hàm f liên tục và có đạo hàm riêng
[ , ] α β
yf ′ liên tục trên miền [ , a
∞
f x y dx
I y ii) Tích phân ( )
( ,
)
hội tụ trên [ , ]α β ;
= ∫
a
∞
iii) Tích phân
x y dx ( , )
hội tụ đều trên [ , ]α β .
y
′∫ f
a
Khi ấy hàm ( )
I y khả vi trên [ , ]α β và đaọ hàm được tính theo công thức:
∞
f
.
I y '( )
x y dx ( , )
′ y
= ∫
a
+ a n
∈
( ,
)
( ) y
f x y dx
,
y
.
ϕ
[ , ] α β
n
= ∫
a
Với mỗi n cố định, theo định lý về tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn, hàm
khả vi trên [ , ]α β và
n yϕ ( )
+ a n
∈
f
,
.
y ( )
x y dx ( , )
y
ϕ
[ , ] α β
′ n
′ y
= ∫
a
=
và
I y Ta có ( )
yϕ lim ( ) n →∞ n
∞
=
( , ) x y dx
.
y
′∫ f
′ lim ( ) yϕ n →∞ n
a
( )}
hội tụ đều trên tập [ , ]α β . Áp dụng định
n yϕ′
Theo bổ đề trong mục trước, dãy { lý về tính khả vi của dãy hàm ta thu được tính khả vi của hàm ( )
I y và
∞
=
=
( , ) x y dx
.
′ I y ( )
yϕ n
′ = lim ( ) yϕ n
y
′∫ f
→∞
→∞
′ [ lim ( )] n
n
a
Định lý được chứng minh xong.
5.2.5. Tính khả tích
Định lý. Giả thiết rằng
;
a i) Hàm f liên tục trên miền [ ,
∞ × )
[ , ] α β
Chứng minh. Xét dãy hàm
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
197
∞
I y ii) Tích phân ( )
f x y dx
( ,
)
hội tụ đều trên [ , ]α β .
= ∫
a
Khi ấy ( )
I y khả tích trên [ , ]α β và β
β
∞
∞
=
dy
f x y dx
dx
f x y dy
.
( ,
)
( ,
)
∫
∫
∫
∫
a
a
α
α
I y là hàm liên tục trên [ , ]α β , ( )
+ a n
( ,
)
( ) y
f x y dx
Chứng minh. Từ các điều kiện của định lý suy ra do đó khả tích. Để chứng mính công thức trên chỉ cần xét dãy hàm
n
= ∫
a
rồi áp dụng định lý về tính khả tích của dãy hàm hội tụ đều ta sẽ thu được
β
β
β
+ a n
=
=
=
( ,
)
( ) I y dy
dy
dy
f x y dx
ϕ
n
∫
∫
∫
∫
lim →∞ n
lim →∞ n
a
α
α
α
β
β
∞
+ a n
=
=
( ,
)
( ,
)
dx
f x y dy
dx
f x y dy
,
∫
∫
∫
∫
lim →∞ n
a
a
α
α
điều phải chứng minh.
)
( ) I y α ∞ ). Cụ thể là: Giả thiết hàm f liên tục và dương trên miền
)
)
ϕ
α∞ × ∞ và các tích phân
β
∞
I y , ( )
f x y dx
( ,
)
,
J y ( )
f x y dy
( ,
)
= ∫
= ∫
a
α
fdy
,
∞ ∞ dx
hội tụ tới các hàm liên tục. Khi ấy nếu một trong các tích phân
∫
∫
a
α
fdx
tồn tại thì tích phân còn lại cũng tồn tại và chúng bằng nhau.
∞ ∞ dx
∫
∫
a
α
Chú ý. Kết quả trên có thể mở rộng cho trường hợp miền lấy tích phân của vô hạn (thí dụ [ , [ , [ , α
5.3. Một số tích phân đặc biệt
Trong mục này chúng ta sẽ sử dụng những kết quả ở mục trước để khảo sát một số tích phân dạng đặc biệt thường gặp trong một số lĩnh vực của toán học ứng dụng.
Giải tích các hàm nhiều biến
198
5.3.1. Tích phân Dirichlet
Tích phân Dirichlet là tích phân phụ thuộc tham số có dạng
∞
)
( ) I y
dx
, y∈R .
= ∫
sin( yx x
0
)
=
f x y ( ,
)
Hàm
xác định trên toàn bộ R×R nếu ta cho
sin( yx x
)
=
f
y
y
(0,
)
= , y∈R .
lim → 0 x
sin( yx x
Sau đây là một số tính chất đơn giản của tích phân Dirichlet.
x
y = , ta có 1/ ( , x y
0 = )
I y : Nếu ϕ
0 [ , ] α β
y ≠ , áp dụng tiêu I y = . Nếu ( ) 0 ∞ × a > , ) trên miền [ , a với 0
∞
)
0
hội tụ và khi
dx
• Tính hội tụ của ( ) chuẩn Dirichlet cho f và
∫
yx sin( x
a
I y hội tụ đều trên miền [ , ]α β ( )
0
a → nó hội tụ tới 0 β α≥ > (hoặc 0 với
I y . Hơn nữa, tích phân ( ) β α≤ < ). Ngoài ra, từ bất đẳng thức
)
yx
)
yx
)
≥
sin( yx x
2 sin ( x
1 = − x 2
cos(2 x 2
∞
∞
yx
)
thấy ngay là
dx
dx
phân kỳ (vì
hội tụ).
∫
∫
sin( )yx x
cos(2 x 2
0
0
.
sgn
y
β α≥ > (hoặc 0 β α≤ < ) ta thấy ngay tích phân
∞
z
=
Thật vậy, bằng cách đổi biến yx
z= , ta thấy
dz
. Để chứng
y
I y ( )
∫ sgn( ).
sin z
0
• Công thức tính: ( ) I y π= 2
minh (1)
I
2
∞
yx
x
dx
,
− e
J y ( )
y∈[0,∞).
= ∫
sin x
0
Ta sẽ chỉ ra rằng
(1)
( )
J y liên tục trên [0,∞) ;
= −
(2)
J y khả vi và
( )
J y '( )
;
2
1 +
1
y
π= , xét tích phân phụ trợ
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
199
(3)
( ) J y
arctan( ) y
= − π + ; 2
(1)
(0)
(4)
lim ( ) J y → 0 y
= = I J
yx
sin
bị chặn đều. Như vậy, các
( , x y
)
−∫ e
1 x
a
tích phân
∞
∞
yx
yx
π = . 2 Thật vậy, để chứng minh (1) chỉ cần áp dụng định lý Dirichlet cho hàm đơn điệu b x dx = và nhận xét rằng tích phân ϕ
,
−∫ e
−∫ e
sin x
sin x
a
0
0
x x dx dx
là hội tụ đều trên [0, ], đều suy ra
( )
0β > .
, với
Muốn chứng minh (2) ta lưu ý rằng trên miền [0,
β β > . Theo kết quả về tính liên tục của tích phân hội tụ J y liên tục trên [0, ]β với mọi
[ , ]α β yx
β α≥ > 0
bất kỳ, hàm f liên tục cùng với đạo hàm riêng
∞
yx
x
sin . Hơn nữa x ∞ × ) −= − ' yf e
− e
sin
x
−≤ e α
∫
∈
0 với mọi
). Vậy
y
J y là khả vi và
( )
[ , ] α β
∞
yx
= −
sin
'( ) J y
− e
xdx
.
2
∫ = −
1 +
1
y
0
Từ tính chất (2) suy ra
hội tụ đều (dùng tiêu chuẩn Weierstrass và lưu ý rằng dx 'yf
2
∞
yx
= − + > J y ( ) + = − c arctan y c , y 0 , dy +∫ 1 y
− e
∫
→∞
y
0
≤ = ( ) J y dx . Từ = , do 0 trong đó hằng số c được xác định từ lim ( ) J y 1 y
đây π= và suy ra công thức (3) được chứng minh. c 2 Cuối cùng, do J y liên tục ta có ( )
5.3.2. Tích phân Euler (loại I)
= = I (1) J (0) lim ( ) J y → y 0 π = 2 và (4) đã được chứng minh.
Tích phân Euler loại 1 hay hàm Beta là tích phân phụ thuộc 2 tham số có dạng:
Giải tích các hàm nhiều biến
1
− 1
− p 1
q
200
∫
0
= − > > B p q ( , ) x (1 x ) dx , p 0, q 0 .
− 1
− 1
p
q
Một số tính chất của hàm Beta:
1,
q≥ ≥ hàm 1
( , liên tục trên [0,1] tương đương với = , ) x f x p q ∈ (0,1), p − (1 ) x , ) ( , f x p q
+→ cho nên tích phân hội tụ. Với
∈ tương đương 0 x q (0,1), f x p q , ) ( ,
−→ nên tích phân cũng hội tụ. Như vậy, hàm Beta xác định với
p 1) Tính hội tụ. Với nên tích phân xác định bình thường. Với 1 px − khi 1 1 qx − khi với 1 q> 0, p
1 x
40 30 20 10
p
0
0
0.2
q
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1 1
mọi 0 > . Hàm Beta có đồ thị như trong Hình vẽ 5.1.
Hình 5.1
2) Tính hội tụ đều. Với mọi > > cố định, tích phân hội tụ đều
− 1
− 1
− p 1
p 0
q 0
[ × ] [ ] > > p p 0 1 x vì khi 0, q q 0 1 +→ và 0 x 0 −→ ta có đánh giá: 1 trên miền p p , 0 1 q q , 0 1
−− q 1 ) x
≤ − (1 x x (1 x ) .
= = 2 , 2, q p q 1 q 0 3) Tính liên tục. Hàm Beta liên tục tại mọi điểm trên miền xác định vì tại mọi = thì tích phân hội tụ đều q> p q p 2, 2 p 0, 1 trên miền , do đó liên tục trên miền này. = ] > ta chọn 0 × ] p p [ , [ 1 0 p 0 q q , 1 0
= B p q ( , ) B q, p ( ) được suy trực tiếp từ định nghĩa với phép đổi x(cid:54) − . x 4) Tính đối xứng: biến 1
5) Công thức truy hồi (bằng cách kiểm tra trực tiếp)
+ + = + = + B p ( 1) 1, q B p ( q 1, ) B p q ( , 1) . q + + q 1) ( p q + + q 1) ( p
Trường hợp riêng:
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số
201
+ = B p ( 1,1) ; B (1,1) = ; 1 1
+ = + = ; B p ( n 1, ) B p ( 1,1) + + + + 1 + p n ! + − n p p p p n ! + − n ( n p )( 1)...( 2) ( n p )( 1)...( 1)
5.3.3. Tích phân Euler (loại II)
( 1)! ( 1)! = = B m n ( , ) B (1,1) . n ( − 1)!( m + − m n − 1)! n ( − 1)!( m + − m n − 1)!
∞
p
Tích phân Euler loại II hay hàm Gamma là tích phân phụ thuộc một tham số có dạng:
− − x 1 e dx
∫
0
= > ( p ) , x p 0 . Γ
p > , và hội tụ đều trên miền
0
Một số tính chất của hàm Gamma:
0
1) Tính hội tụ. Dễ thấy, tích phân hội tụ với mọi p> > bất kỳ. 0 [ , p p với ] 0 1 p 1
2) Tính liên tục trên miền xác định p > . Suy ra ngay từ tính hội tụ đều. 0
3) Công thức truy hồi (lấy tích phân theo từng phần)
n
p
p
n
+ − p
p
p
(
+ = + − ( n
)
1)(
2)...
(
)
Γ
Γ
.
Trường hợp riêng:
∞
∞
x
2
z
− e
(1) 1 n n ! ( Γ = , Γ + = , 1)
− e
∫
∫
0
0
= = = dx dz (1 2) 2 . Γ π x
Giải tích các hàm nhiều biến
202
40
30
20
10
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
p
Hàm Gamma có đồ thị như Hình vẽ 5.2.
Hình 5.2
Bằng một số phép biến đổi không phức tạp, ta có công thức liên hệ giữa hàm Beta và hàm Gamma:
= . B p q ( , ) ) ( ) q p Γ + ) q p ( Γ ( Γ
