Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.0

NG II: TÍCH PHÂN B I Ộ

CH §0: M T S M T B C HAI TH

ƯƠ Ộ Ố Ặ

NG G P ƯỜ Ậ Ặ

§1: TÍCH PHÂN KÉP

I. Đ nh nghĩa và Cách tính ị

II. Đ i bi n trong tích phân kép ế ổ

III. ng d ng hình h c c a tích phân kép ọ ủ Ứ ụ

ộ

§2: TÍCH PHÂN B I BAỘ I. Đ nh nghĩa và Cách tính II. Đ i bi n trong tích phân b i ba III. ng d ng hình h c c a tích phân b i ba ọ ủ ị ổ Ứ ế ụ ộ

ng g p §0. M t s m t b c hai th ộ ố ặ ậ ườ ặ

: I. M t Ellipsoid ặ

+ + 1. Ph : ng trình ươ = 2 1

x a y b z c

2. Cách g i tên m t ọ ặ :

ề

ế ươ ượ ộ

ủ ế ặ

ng trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = 0 ta đ u c giao tuy n c a m t v i 3 m t t a đ làcác ặ ọ ặ ớ ả 3 giao tuy n c a m t S ế ộ ho c các m t song song v i các m t ặ ặ

ng Ellipse. T c là n u c ứ ặ ẽ ọ ộ đ u là ellipse thì ta s g i m t S là m t ặ ọ ề ủ ớ ặ ặ

V i ph ớ nh n đ ậ đ ườ v i 3 m t t a đ ớ t a đ ọ Ellipsoid

3. Cách v hình ẽ

V 3 giao tuy n c a S v i 3 m t t a đ ủ ặ ọ ẽ ế ớ ộ

ng g p §0. M t s m t b c hai th ộ ố ặ ậ ườ ặ

x y + = 1 ng ẽ ườ ằ

a b V đ ellipse trên m t ph ng n m ẳ ặ ngang z = 0

ng g p §0. M t s m t b c hai th ộ ố ặ ậ ườ ặ

y z ẳ + = 1 V thêm đ ng ellipse ẽ ườ

trên m t ph ng ặ x = 0 b c

ng g p §0. M t s m t b c hai th ộ ố ặ ậ ườ ặ

x y z V m t ellipsoid ẽ ặ + + = 1

a b c

ng g p §0. M t s m t b c hai th ộ ố ặ ậ ườ ặ

x2+z2=1, y=0

y2+z2=1,x=0

x2+y2=1,z=0

x z + = 1 ng ellipse Có th v thêm đ ể ẽ ườ

a c

trên m t ph ng y = 0 ẳ ặ

ng g p §0. M t s m t b c hai th ộ ố ặ ậ ườ ặ

ặ

z ng trình 1. Ph : ươ

2 y + = 2 b

: II. M t Paraboloid Elliptic x a

ặ : 2. Cách g i tên m t ọ ng trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì đ

ộ ươ ế

c đ ườ 1 đ ng còn l ặ ọ ườ ượ ng Parabol ườ

2 đ i là ớ

ứ ặ ặ ọ

1 Ellipse thì ta g i m t ặ ọ ộ là 2 ọ ớ i là ạ ế ặ

c 2 V i ph ớ và cho giao tuy n v i 2 m t t a đ là ớ . z=c, c>0 ta đ ng Ellipse ạ ượ T c là n u ế 2 trong 3 giao tuy nế v i các m t t a đ ộ ho c các m t song song v i các m t t a đ ặ Parabol, giao tuy n còn l S là Paraboloid Elliptic

3. V hình ẽ

§0. M T S M T B C HAI TH NG G P Ộ Ố Ặ Ậ ƯỜ Ặ

V đ ng parabol ẽ ườ y2 = z trên m t ph ng x = 0 ặ ẳ

§0. M T S M T B C HAI TH NG G P Ộ Ố Ặ Ậ ƯỜ Ặ

V đ ng ellipse x2+y2 = 1 trên m t ph ng z = 1 ẽ ườ ặ ẳ

§0. M T S M T B C HAI TH NG G P Ộ Ố Ặ Ậ ƯỜ Ặ

V m t parabolid x2+y2 = z ẽ ặ

§0. M T S M T B C HAI TH NG G P Ộ Ố Ặ Ậ ƯỜ Ặ

z=x2, y=0

x2+y2=1,z=1

z=y2, x=0

V thêm đ ng parabol ẽ ườ x2 = z trên m t ph ng y = 0 ặ ẳ

NG G P Ậ ƯỜ Ặ

§0. M T S M T B C HAI TH Ộ Ố Ặ : III. M t Tr b c 2 ụ ậ ặ : Đ nh nghĩa m t tr b c 2 ặ ụ ậ ị

ng th ng song ở ặ ạ ườ

ố ị ự

ươ ng th ng đó g i là các đ ng c đ nh và t a lên 1 đ ườ ọ ẳ

ng cong c đ nh g i là đ ố ị ườ ẳ ườ ng sinh c a ng chu n c a ẩ ng cong c ố ủ ủ ọ

M t tr b c 2 là m t t o b i các đ ặ ụ ậ song v i 1 ph ớ đ nh. Các đ ườ ị m t tr , đ ặ ụ ườ m t tr . ặ ụ

§0. M T S M T B C HAI TH NG G P Ộ Ố Ặ Ậ ƯỜ Ặ

ng, ta s ch g p các m t tr có đ ng ẽ ườ ỉ ặ

ớ ụ ọ

ớ ụ

ươ ng trình ch a 2 bi n còn l ứ ế

ng ặ ụ ườ ẩ

Thông th sinh song song v i 1 trong 3 tr c t a đ . M t tr song song v i tr c nào thì ph đó, còn ph ươ trình đ ứ ặ ụ ườ ộ ặ ụ ng trình m t s thi u bi n ế ặ ẽ ế i là ph ng ươ ạ ng chu n c a m t tr trong m t t a đ t ộ ươ ặ ọ ng chu n ẩ ườ ủ ng và ta g i tên m t tr theo tên c a đ ặ ụ ủ ọ

NG G P Ộ Ố Ặ Ậ ƯỜ Ặ

§0. M T S M T B C HAI TH Ví d : M t ụ ặ x2+y2 = 1

ng trình ươ không ch a zứ ễ

ẩ

, đ 2+y2=1 trong m t ph ng ớ ụ ặ ườ ườ

nên nó bi u di n m t tr ể ặ ụ ng chu n là ườ z = 0 và ta g i ọ ng chu n theo tên c a đ Ph đ ng sinh song song v i tr c Oz ng tròn x đ ẳ đây là m t tr tròn xoay ặ ụ ườ ủ ẩ

ng ẽ ườ

V đ tròn x2+y2=1, trên m t ặ z=0

M t tr t o b i ở ặ ụ ạ ng th ng các đ ẳ ườ song song v i Oz ớ ng và t a lên đ ườ ự tròn trên

NG G P Ậ ƯỜ Ặ

ng trình Ộ Ố Ặ ặ z=x2 ụ ươ ể

, đ ẩ

không ch a yứ ườ y=0 nên ta g i đây là ễ m t tr ặ ụ 2 m t tr parabol §0. M T S M T B C HAI TH Ví d : M t Ph song song v i tr c Oy trên m t ph ng ặ ớ ụ ẳ nên nó bi u di n ng chu n là parabol z=x ọ ặ ụ

ẽ z=x2 trong m t ặ

V parabol y=0 ph ng ẳ

ẽ ặ ụ

ng ườ ớ ụ ng ườ

z=x2 ở

V m t tr có đ sinh song song v i tr c Oy, t a lên đ ự chu n là parabol ẩ trên

§0. M T S M T B C HAI TH NG G P Ộ Ố Ặ Ậ ƯỜ Ặ

IV. M t nón b c 2 : ặ ậ

ặ ườ

ặ ạ ự

ậ ố ị ẳ ọ ủ

ọ ng th ng đi qua ẳ ng cong c đ nh. Các ố ị ng sinh c a m t nón, ặ ng chu n c a m t nón ủ ẩ ặ

M t nón b c 2 là m t t o b i các đ ở 1 đi m c đ nh và t a lên 1 đ ể ng th ng đó g i là các đ đ ườ ng cong c đ nh g i là đ đ ố ị ườ và đi m c đ nh g i là đ nh c a nón ọ ể ườ ườ ườ ủ ố ị ỉ

Ví d : M t nón x2+y2=z2 ụ ặ

ta đ ở ặ ượ ặ

ẳ

ặ ố ọ , ta đ ượ ế

c 2 C t d c m t nón b i các m t x=0 ho c y=0 c t ngang b i ng th ng cùng đi qua g c t a đ O, đ ở ắ ộ c giao tuy n là 2 m t z = c và z = -c , c tùy ý đ i (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính b ng c ng tròn tâm t ắ ọ ườ ặ ườ ạ ằ

§0. M T S M T B C HAI TH NG G P Ộ Ố Ặ Ậ ƯỜ Ặ

V giao tuy n ế x2+y2=1, z=1 ẽ

Và giao tuy n ế x2=z2, y=0

x2+y2=z2,

V m t nón ẽ ặ l y ph n ấ ầ z > 0

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

Dij

ij, trên là ướ ỏ ớ c tính x p x v i hình h p ộ ỉ ớ

i là D

i,yj).

Th tích các hình h p nh v i đáy d ph n m t ch nh t đáy là D ặ z=f(x,y) s đ ậ ộ ẽ ượ ề ể ầ ữ ấ ij, chi u cao là f(x

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

ể ấ ậ

Khi đó, v t th ban đ u có th tích x p x v i t ng th ể tích các hình h p ch nh t nh x p liên ti p nhau ậ ỉ ớ ổ ế ể ỏ ế ầ ữ ộ

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

ị ị

ị

ề ề ặ ầ ẫ

1, ng ng ứ

ươ ầ ầ

ệ

Cho hàm f(x,y) xác đ nh Đ nh nghĩa tích phân kép : trong mi n đóng, b ch n D Chia mi n D thành n ph n không d m lên nhau là D D2, D3, …(các ph n không có ph n chung) t có di n tích là Trên m i mi n D ề ỗ

k ta l y 1 đi m M

k(xk,yk) tùy ý.

ΔS1, ΔS2, ΔS3, … ấ ể

L p t ng (g i là t ng tích phân kép c a hàm f(x,y)) ậ ổ ủ ổ ọ

)

S n

f x y ( k

S k

(cid:0)= k

ụ ộ

ể ề ấ Hi n nhiên t ng trên ph thu c vào cách chia ổ mi n D và cách l y đi m M ể k

ng kính c a mi n D t c là kho ng cách l n nh t ề ả ấ ớ

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hi u ệ đ ứ ủ gi a 2 đi m b t kỳ thu c D) ấ ườ ữ ể ộ

ế ế ạ

k thì gi

n ti n đ n gi N u khi y t ng S i h n h u h n S ế ấ ổ ữ không ph thu c vào cách chia mi n D cũng nh ư ộ ụ cách l y đi m M ớ ạ phân kép c a hàm f(x,y) trên mi n D và kí hi u là

c g i là tích ớ ạ ề ượ ấ ọ

f x y ds ( ,

)

i h n S đ ề ệ

)

f x y ( k

S k

max(

lim d D ( k

D (cid:0) ể ủ �� D f x y ds ( , T c làứ (cid:0)

ượ ọ

�� D c g i là hàm d Hàm f(x,y) đ mi n l y tích phân, ds là y u t hàm f(x,y) kh tích trên mi n D

= )) 0 k 1 i d u tích phân, D là ướ ấ di n tích. Khi y, ta nói ế ố ệ ề

ề ấ ấ

ả

ẳ

ớ

ạ

ộ Δxi,

c thay b i dxdy. Vì ở

ậ ớ ượ

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

Chú ý : N u f(x,y) kh tích trên D thì ta có th chia D ế ể ng th ng song song v i các tr c t a đ . b i các đ ụ ọ ườ ở Lúc đó Dij s là hình ch nh t v i các c nh là ữ ẽ Δyj nên ΔSij = Δxi. Δyj và ds đ v y, ta th ậ

ườ

ệ

ng dùng kí hi u )

= f x y ds ( , f x y dxdy ( , )

�� D �� D

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

ề ệ

: ả ng cong tr n :

ươ

ơ Đ ng cong C có ph ọ

ế

ụ

ơ ờ ằ ể

ơ ừ

ượ

ế

ườ c g i là tr n n u các đ o ượ ườ ồ c g i là tr n t ng khúc n u có th chia nó ạ

ặ và có

ị

ề trên mi n đó. thì kh tích ề ả

ơ ừ

Đi u ki n kh tích Đ nh nghĩa đ ườ ị trình tham s y = y(t), x = x(t) đ ạ ố hàm x’(t), y’(t) liên t c và không đ ng th i b ng 0. Đ ng cong C đ ọ thành h u h n các cung tr n. ơ ữ Đ nh lý: Hàm liên t cụ trên 1 mi n đóng, b ch n biên tr n t ng khúc

Tính ch tấ : Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm kh tích trên D ả

S D ( ) dxdy 1. (S(D) là di n tích mi n D) ề ệ

f x y [ ( ,

)

g x y dxdy )]

( ,

f x y dxdy ) ( ,

g x y dxdy )

( ,

= �� D +

�� D

= Cf x y dxdy C f x y dxdy

( ,

)

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

�� D

Tính ch tấ ( , �� D

�� F

�� D

�� E

thì 4. Chia D thành 2 mi n không d m lên nhau là E, F f x y dxdy ) ( , ẫ f x y dxdy ( , ) ề f x y dxdy ( , )

ế

f x y dxdy ( , )

g x y dxdy )

�� D

(cid:0) 5. N u f(x,y)≤g(x,y) trên D thì: ( ,

f x y dxdy MS D ( ,

mS D (

)

(

)

�� D

(cid:0) (cid:0) 6. Trên D, hàm f(x,y) đ t fạ max=M, fmin=m thì )

Đ nh lý: (V giá tr trung bình )

ề

ị

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

ặ

0,y0) sao

ể

)

f x y S D ( 0

ấ f x y dxdy ( , ) ề ấ ) ( Cho hàm f(x,y) liên t c trong mi n đóng, b ch n, liên ị ụ thông D. Khi y trong D có ít nh t 1 đi m (x = cho :

a = đ f x y dxdy ( , )

�� D ạ ượ

�� ) D giá tr trung bình c a hàm f(x,y) trên mi n D

ng Đ i l ượ c g i là ọ

1 S D ( ủ

ề ị

: Ý nghĩa hình h c c a tích phân kép ọ ủ

V i cách tính th tích hình tr cong trên ta có ể ớ

= ��

ụ ở f x y dxdy ( , )

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

c gi ậ ớ ạ ể ượ

f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, gi i h n d ậ ớ ạ

ớ ạ

i h n trên b i m t ặ ở i b i ướ ở i h n xung quanh ng : ở ể ẳ ậ ườ

Ví dụ : Cho v t th đ b c hai hình vuông D = [0,2]x[0,2] và gi c l x=0, x=2, y=0, y=2. b i 4 m t ph ng Ướ ượ ặ th tích c a v t th trong các tr ng h p sau ợ ể ủ

ầ ằ

ầ ầ ằ ằ

ằ ầ

a)Chia D thành 4 ph n b ng nhau; b)Chia D thành 16 ph n b ng nhau; c) Chia D thành 64 ph n b ng nhau; d)Chia D thành 256 ph n b ng nhau; e)Tính th tích v t th ể ể ậ

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

2 2

D2 D4

D1 D3

2 2

(cid:0) (cid:0)

= " = i 1,

1,...,4.

1 4 V V = f(M )×S i=1

(2,1)

(2,2)

+ (1,2) = +

(1,1) +

+ +

V V (cid:0)

f f 13 7 10 4 34.

(cid:0)

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

b. Chia thành 16 ph n, V≈ 41,5 ầ

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

c. Chia thành 64 ph n, V≈44,875 ầ

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

d. Chia thành 256 ph n, V≈46,46875 ầ

Cho hàm f(x,y)

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

ị

Đ nh lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) liên t c trên mi n đóng và b ch n D ụ ề ặ ị

y=y2(x)

y=y1(x)

1) Gi

s D xác đ nh b i:

ở

ị

a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ả ử bx(cid:0) a ( ) y x y 1

y x ( ) 2

y (x) b 2 � � a y (x) 1

(cid:0) (cid:0) I= f(x,y)dxdy= dx f(x,y)dy (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) �� D

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

ị

x=x1(y) x=x2(y)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

y ( )

s D xác đ nh b i: 2) Gi ở ả ử y(cid:0) c ( ) x y 1

x 2

(cid:0) (cid:0) f(x,y)dxdy= dy I f(x,y)dx (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x (y) d 2 � � c ( x y) 1

= �� D

Gi i câu e) ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

2x(cid:0) y 2

0 (cid:0) 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)

2 V= 16-x -2y dxdy

( �� D

)

= dx 16-x -2y dy Tính th tích c a v t th ủ ể ậ ể.

( 2 2 � � 0 0

(cid:0) = (16-x ) -2 y dx =48

2 � 2 (cid:0) � = 32-2x - � 0

2 � � � � 0

16 3 y 3 � dx � � � � � �

ụ

xydxdy

tam giác ABC v i A(1,-1), B(1,3), C(4,0)

ớ

Ta đi tích phân này b ng 2 cách

ằ

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị = �� Ví d : Tính tích phân trong đó D là

B(1,3)

ụ

ế

ề

ố

Cách 1 : Chi u mi n D xu ng tr c Ox ta đ

c đo n [1,4] ạ

ượ

C(4,0)

Đi theo tr c Oy t

i lên

d ừ ướ

y=4-x

ụ 4

A(1,-1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

- + x

(

)

(cid:0) - (cid:0) x 4) y x - 4 y=1/3(x-4) (cid:0) (cid:0)

xydy

2 4)

y 2

4 = (cid:0) 1

(

1 ( 3

1 3

= - (cid:0) x 1 1 ( 3 4 = � � dx x x ( = dx 7 - - 4 9

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

x=1

B(1,3)

ụ ế ượ x=-y+4

ừ

ẽ ặ

C(4,0)

ư ườ

-1

A(1,-1)

ẽ ề

Cách 2 : Chi u mi n D xu ng ề ố c đo n [-1,3] tr c Oy ta đ ạ trái Đi theo tr c Ox t ụ sang thì không gi ng ố nh trên, ta s g p 2 ng BC và AC. Do đ đó, ta s chia mi n D thành 2 ph n D1 và D2 ầ

xydx

x=3y+4

+ 4 3 0 � � 1

- + 4 y 3 dy � � 0

3 ) 1

x 2

2 x - ) 1 2

0 y ( � 1

3 y ( � 0

y dxdy )

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

-�� x (

x y ;

Ví d : Tính tích phân kép ụ v i D là mi n ớ ề

= D = - 2

gi ớ ạ i h n b i ở

) y dxdy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - = (cid:0) (cid:0) I

( -�� x D

(cid:0) (cid:0)

1 2 -

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x (cid:0) x -

(

) y dy

x 1 2 dx � � 2-

= (cid:0) dx

2 � � � � x

y 2 - � -� yx � �

- -

((2

)

- - -

2 2 ) 2

� dx � �

� 1 (cid:0) � x � 2

§1: Tích phân kép – Đ nh nghĩa và cách tính ị

trên mà ủ ậ

Ta còn có th ể xác đ nh c n c a tích phân ị nh sau: không c n v hình ư ầ ẽ

ủ ng biên c a mi n D: ủ ề

Tìm giao đi m c a 2 đ ể y = x = 2-x2 ườ x2+x-2 = 0 x = -2, x = 1

ứ ệ

-2 ≤ x ≤ 1, t c là ta l y trong kho ng 2 nghi m ấ ứ f(x) = x2+x-2 nên ta có b t đ ng th c: ả ấ ẳ ứ

x ≤ 2-x2

ườ

ả ng parabol ằ ướ đ i ườ

V y ta có ậ c a tam th c ủ x2+x-2 ≤ 0 ng th ng T c là, v i x n m trong kho ng (-2,1) thì đ ẳ ớ ứ y = 2-x2. V y ta cũng y=x n m d ậ ằ c ượ đ -

(

) y dy

= - I dx x

x 1 2 � � 2

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.0 - Nguyễn Thị Xuân Anh