Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.2

§2. Chu i lũy th a – Mi n h i t ừ ộ ụ ề ỗ

ỗ ừ ạ

n ) hay

ằ ố - x a0, a1, a2, .. là h ng s a x ( n a x n

Chu i lũy th a là chu i có d ng ﾥ � = 0 ỗ ﾥ � = 0

ố ạ

ừ ụ

un(x)=an(x-x0)n (1) ho c ặ un(x)=anxn S h ng t ng quát ổ (2) ph thu c vào n và bi n x, là 1 hàm lũy th a theo ế x ho c (x-x ặ ộ 0).

ư ạ ể ặ X=x-x0 và đ a d ng (1) v thành d ng ạ

t các k t qu sau đây v i s h ng ế ả ề ớ ố ạ ỉ ế

Ta có th đ t (2) nên ta ch vi t ng quát d ng (2) ổ ạ

§2. Chu i lũy th a – Mi n h i t ừ ộ ụ ề ỗ

Mi n HT c a chu i lũy th a là t p D n u ủ ề ỗ ế ậ ừ

ﾥ a x ﾥ n = n 1 ﾥ n a x ﾥ n = n 1

" = ﾥ x D chu i s ỗ ố x 0 HT

ﾥﾥ = n

Ví d : Chu i ỗ ụ x

Là chu i c p s nhân nên HT khi và ch khi |x|<1 ỗ ấ ố ỉ

Suy ra MHT c a chu i là (-1,1) ủ ỗ

§2. Chu i lũy th a – Mi n h i t ừ ộ ụ ề ỗ

ﾥﾥ = + 1 1 n

Ví d : Tìm MHT c a chu i ỗ ụ ủ

= xác đ nh v i m i x ớ ọ ị u x ( ) n

+ x

ﾥﾥ 0

nx 2 theo đkcssht

n n 2

lim ﾥﾥ = " 1,

= 1 Khi |x|<1: Cho n ﾥ u 1 � cượ ta đ chu i PKỗ

x n u n � Khi |x|=1: Chu i PKỗ

1 = " , 2

= = u : ﾥ n ﾥ Khi |x|>1: Cho 1 + x 1 1 2 x ( ) � �ﾥ 1 ﾥﾥﾥﾥﾥ 2 | x | � �

vì |x|>1

Chu i HTỗ V y ậ MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ừ ề ỗ

ﾥﾥ = n 1

T ng quát : gi s chu i lũy th a HT t i x=x ổ ả ử ừ ỗ ạ a x n

HT. Theo đkccsht ta đ t c là chu i s ỗ ố ứ cượ a x n

ﾥﾥ = n 1 > M

lim ﾥﾥ n

= 0 0 : < " M n , � $ a x n a x n

Bi n đ i s h ng t ng quát c a chu i: ỗ ổ ổ ố ạ ế

ủ n

n = = < M = " ,nv a x n a x n a x n

� � x � � � � � � � x � � � � x � � � � � � � x � � � � x � � � � � � � x � �

0| thì chu i ỗ

ﾥﾥ = n 1

v N u |x|<|x HT ế

Suy ra chu i ban đ u HTTĐ theo t/c so sánh. ầ ỗ

V y ta ch ng minh xong đ nh lý Abel sau đây. ứ ậ ị

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ừ ề ỗ

Đ nh lý Abel : ị

ﾥﾥ N u chu i lũy th a ỗ = n 1

thì nó HTTĐ t x ﾥ 0 ừ ế iạ a x n HT t i ạ 0

x | x |,| x |) -� ( m i đi m ể ọ

ﾥﾥ = n 1

PK t H quệ ả: N u chu i ỗ ế ọ ỏ a x n i xạ 1

thì nó PK v i m i x th a ớ |x|>|x1|

Bán kính h i t ộ ụ

HT v i m i x: |x|0 sao cho chu i ỗ ố ọ ớ a x (BKHT): ﾥﾥ = n 1

PK v i m i x: |x|>R đ ọ ớ ượ c g i là BKHT c a chu i ỗ ủ ọ

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ừ ề ỗ

ỗ ừ

| a n

= R Thì BKHT là r Đ t: ặ Đ t: ặ | | 1 r

a + 1 n a | | n Cách tìm BKHT c a chu i lũy th a ủ ﾥ lim | ﾥﾥﾥ n ﾥ= ﾥ lim ﾥﾥﾥﾥﾥ n

Cách tìm MHT c a chu i lũy th a ủ ừ ỗ

ự

Sau khi tìm xong BKHT, ta ch còn xét s HT c a chu i t i 2 đi m ủ ỉ ể x=R và x=-R n a là có k t lu n ữ ỗ ạ ế ậ

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ừ ỗ

ề Ví d : Tìm BKHT, MHT c a các chu i sau ủ ỗ n

ﾥ n ) 2. � = 1 n

n=nn:

ụ ﾥ 1. ( � = 1 n n x n 2 .

0R =�

lim ﾥﾥ n

ỗ n 1. V i chu i lũy th a này, ta đang có a ừ = ớ = = +ﾥ n | | r a n

BKHT R=0 t c là MHT ch g m 1 đi m duy nh t ỉ ồ ấ {0} ứ ể

lim ﾥﾥ n

= = = | | � 2. 2R =� a n a n

1 2 1 n n 2 .

Khi x=2: là chu i s d ng HT ỗ ố ươ

Khi x=-2: là chu i HTTĐ ỗ

1 n n 2 . 1 ﾥﾥ 2 n n = 1 ( 1)n - ﾥﾥ 2 n = n 1 V y MHT [-2,2] ậ

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ỗ ề

ụ ủ

- x 1)

ﾥ 1. � = 1 n

ừ Ví d : Tìm BKHT, MHT c a các chu i: ỗ n � �+ ﾥ n 1 ﾥﾥ ( 2. � ﾥﾥﾥﾥ� �- 1 2 n = 1 n x + 3 5

- ( n x

ﾥ 3. � = 1 n

ﾥ � = 1 n

1)! n 5 n ! n n n x

1. Chu i lũy th a v i ớ ừ ỗ BKHT R=5, MHT là (-5,5)

lim ﾥﾥ n

= = | | � a = n a n → R=5 1 5 1 + 1 + 3 5 3 5

ﾥﾥ = n 1

Khi x=± 5: đkccsht Là 2 chu i PK theo ỗ

ng PK theo đkccsht thì chu i ỗ

lim ﾥﾥ n n ﾥ ( 5) n + 3 5 Chú ý: Khi chu i s d ỗ ố ươ đan d u t ứ

ng ng cũng PK theo đkccsht ấ ươ

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ừ ề ỗ

2 1)

ﾥ X = - x ( 0 2. Chu i lũy th a v i ớ ừ ỗ a n

n lim | ﾥﾥ n

= → R=2 | a n

3 - n

Ta ch xét X=2 ỉ Chu i PK theo đkccsht vì ỗ

= ﾥﾥ u e 0 ﾥ n uuuuuur

n � �+ ﾥ n 1 ﾥ= , ﾥﾥﾥﾥ� �- 2 1 n n � �+ ﾥ 1 n 1 ﾥ =ﾥ lim ﾥﾥﾥ� �- 2 1 2 n ﾥﾥ n n � �+ ﾥ n 1 ﾥ n ﾥ : 2 ﾥﾥﾥﾥﾥ� �- 1 n 2 = 1 n � n ﾥ � � ﾥ� � = + 1 ﾥ� �� ﾥ � � � ﾥﾥ�

n �ﾥ - n 2 1 � ﾥ 3 � ﾥ � ﾥ � ﾥ � 1 ﾥﾥ �

+ - 3 - n 2 � 2 n � � � � n 2 2 1

Suy ra, chu i đã cho HT khi ỗ

2 1)

ﾥﾥ - - < < + 0 X < ﾥ 2 0 ( x < ﾥ 2 1 2 1 x 2

V y ậ BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ừ ề ỗ

( n 1)!

= 3. Chu i lũy th a v i ớ ừ ỗ a n

- 5

| |

+ 1 |

→ R=0 = = = + . � � n ! + n 1 lim ﾥﾥ n lim ﾥﾥ n lim ﾥﾥ n 5 - ( n 1)! n 5 5 a n a | n

V y ậ BKHT R=0, MHT là {0}

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ừ ề ỗ

= = , X 4. Chu i lũy th a v i ớ ừ ỗ a n

1 x n ! n n

| |

= = .

+ 1 |

n � � n ﾥﾥ =ﾥﾥﾥﾥ� �+ 1 n

lim ﾥﾥ n lim ﾥﾥ n lim ﾥﾥ n ! n n 1 e + n 1)! ( + ! n + 1) n ( a n a | n

ﾥﾥ = n 1

+ 1

→ R=e Khi X=e: e

+ 1

n ! n n ( e

+ 1

= = = . 1 � n � � uuuuuur D n

)

u n u + n e 1)! n + n ( 1) n n e ! 1

Tuy nhiên, vì < < + " n e ,

( + 1 + 1 n n � � � � 1 1 � � � � + 1 1 � � � � � � � � � � � � n n ỗ PK theo t/c d’Alembert Nên Dn<1. V y chu i

ậ

§2. Chu i lũy th a – Bán kính HT, Mi n HT ừ ề ỗ

= = , X , R=e 4. Chu i lũy th a v i ớ ừ ỗ a n

1 x n ! n n

n )

ﾥ � = n 1

ﾥ n - = ( 1) � = n 1

Khi X=-e: - ( e e

n ! n n n ! n n

ệ ố ẩ

Chu i tr tuy t đ i PK theo tiêu chu n d’A nên nó ỗ ị cũng PK Suy ra, chu i đã cho HT khi ỗ

X < ﾥ e < ﾥ e < ﾥ x

1 x 1 e e 1

e ﾥ >ﾥ x ﾥﾥ < - x ﾥﾥ

V y ậ BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U(1/e,+ ∞)

ỗ ổ ừ

§2. Chu i lũy th a – Tính t ng chu i ỗ n (1) ỗ ấ ủ ừ : Tính ch t c a chu i lũy th a a x n

ổ

ụ

ﾥﾥ = n 1 ớ BKHT là R, MHT là D và trong D Cho chu i (1) v i ỗ Ta có các k t lu n sau: có t ng là S(x) ậ ế 1. Hàm S(x) liên t c trong MHT D 2.Trong MHT D, ta có th ể l y đ o hàm t ng s h ng ấ ỗ

ố ạ ừ ạ

c ượ chu i lũy th a cũng có BKHT là R

1 ,

ﾥ � = 1 n

= " ﾥ ( ) S x ﾥ ) x R R , ) -� ( a x n a x ( n a nx n ỗ và đ ﾥ �ﾥ = ﾥﾥ � c a chu i ủ � ﾥﾥ= � ﾥ � = 1 n ừ ﾥ � = 1 n

ố ạ ừ

+ 1

S t dt ( )

n a t dt

n t dt

R R ,

)

-� (

a n

, 1

x n

ﾥ � = n 1

ﾥ � = 1 n

x � 0

3.Trong MHT D, ta có th ể l y tích phân t ng s h ng ấ c ượ chu i lũy th a cũng có BKHT là R c a chu i ủ ừ ỗ

ỗ và đ x ﾥ � � = 1 n 0

ỗ ừ ổ

ỗ

ổ 2. nx

x n §2. Chu i lũy th a – Tính t ng chu i ỗ Ví d : Tìm BKHT và tính t ng các chu i sau ﾥ � = n 1 ụ ﾥ 1. � = n 1

ﾥ - ( 1) 2 3. � = n 1

ﾥ � = n 1

nx 4.

x 2 + n n

= 1. Chu i có D dàng suy ra R=1. ỗ ễ

1 n

S x ( ) Ta tính t ng v i ổ

ﾥﾥ= = n 1

x n

= " = x x , - ( 1,1) ﾥ ( ) S x � �

ﾥ � = n 1

1 - 1 x

= - - " ln(1 dt ), x x ( 1,1) S x ( ) -� V y:ậ

1 t ớ x trong kho ngả (-1,1). Đ t ặ ﾥ� �ﾥ x ﾥﾥﾥ = ﾥ � ﾥﾥﾥﾥ n � � = 1 n x 1 ﾥ= - 0

§2. Chu i lũy th a – Tính t ng chu i ỗ ừ ỗ ổ

x" ( 1,1) -� 2. D dàng th y ễ ta đ tặ

= = S x ( ) x nx nx

ﾥ � = 1 n

ấ R=1, ﾥ � = 1 n

- - (1 S x ( ) x � ﾥ= x x ﾥﾥ� ﾥ � �ﾥﾥ n ﾥ= x x ﾥﾥﾥﾥ� � = n 1 ﾥ �ﾥ 1 = ﾥﾥ �- x 1 ) - x (1 - ( 1) x 2 ) x

= " S x ( ) , x ( 1,1) -�

2 )

- x x (1

§2. Chu i lũy th a – Tính t ng chu i ỗ ừ ổ ỗ

x" ễ ấ R=1,

S x ( ) nx x

ta đ tặ ﾥ �ﾥﾥﾥ � 3. D dàng th y ﾥ ( 1) 2n - ﾥ= = n 1 -� ( 1,1) � ﾥ ( 1)n ﾥ= - ﾥﾥ � = n 1

)n x

ﾥ �ﾥﾥﾥ � � ﾥﾥ= - ( ﾥﾥ � = n 1

) x

2 )

1 - - 1 ( x � ﾥ= - ( ﾥﾥ� ﾥ �ﾥﾥﾥﾥ �

- x 2 (1 x .2 x

x + + (1 + ) 2 2 x )

= - " S x ( ) , x ( 1,1) -� V y: ậ

2 2 )

2 + x x (1

§2. Chu i lũy th a – Tính t ng chu i ỗ ừ ỗ ổ

x" ( 1,1) -� 4. D dàng th y ễ

= - - = x S x ( )

ﾥ � = 1 n

� 1 ﾥﾥﾥ� n n x n x + n 1 ta đ tặ �ﾥ 1 ﾥ = � ﾥﾥ �+ 1 = 1 n x 2 +

ấ R=1, ﾥ � = 1 n + n 1

= - S x ( )

ﾥ � = 1 n

n 1 x 1 x n

n n x n n + n

= - - S x ( ) S d ng k t qu câu 1. ế ử ụ ả

ﾥ � = 1 n

x n 1 x x n x 1 �ﾥﾥﾥﾥ �

(

)

ﾥ � = n 1 � ﾥﾥﾥ � ﾥﾥ� = 1 n 1 x

- = - - - - - S x ( ) ln(1 x ) ln(1 x ) x

= - S x ( ) ln(1 x ) x ( 1,1) -� V y :ậ

� �ﾥ 1 ﾥ - + " 1 1, ﾥﾥﾥﾥ� � x

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

ả ạ ầ ủ ậ

ỗ

)

Cho hàm f(x) kh vi vô h n l n trong lân c n c a x Ta g i chu i Taylor c a f(x) là chu i ỗ ọ n ( f )

n )

- ( x x

ﾥﾥ = n

ủ x ( n !

ỗ ủ

)

c chu i Maclaurint c a hàm n ( ượ f

(0) ! n Khi x0=0, ta đ ﾥﾥ = n

ư ỗ ớ

ắ ổ ể ổ ư ắ

Tuy nhiên, các chu i trên ch a ch c đã HT v i m i ọ x, t c là ch a ch c chúng đã có t ng đ t ng có th ể ứ b ng f(x). ằ

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

: (Đi u ki n đ hàm f(x) có th khai tri n thành ể ể ể ệ ị

Đ nh lý ề chu i Taylor) ỗ

Gi s trong lân c n ả ử ậ (x0-R,x0+R), hàm f(x) th aỏ

1. f(x) kh vi vô h n l n ạ ầ

(n)(x)|≤Cn, v i m i n

2. T n t ọ ớ

n ) ,

ả i h ng s C>0: |f ố ( ồ ạ ằ ) f ) thì - " - + f x ( ) ( x x x x R x , R ) ( �

ﾥﾥ= = n

x ( n !

ể

ẽ ủ ỗ

ể ế ệ ụ ủ ể ỉ

Chú ý: Trong khi làm bài, ta s không ki m tra 2 đi u ề ki n trên đ có chu i Taylor c a hàm f(x) mà ta s s ẽ ử d ng các k t qu sau đây đ ch ra MHT c a chu i ỗ ả Taylor - Maclaurint

ỗ

ộ ố ơ ả ỗ

1 /

= (cid:0)

D R

MHT: =

x n

(cid:0) §2. Chu i Taylor - Maclaurint M t s chu i Maclaurint c b n n

(cid:0) (cid:0)

2 /

( D = -

)1,1

n n x

( 1)

1 +

- (cid:0) (cid:0) -

a a

(cid:0)

- + n

(

)

( 3 / 1

= + (cid:0) 1

= n 0 a 1)...( n !

= 1

(cid:0) (cid:0)

= (cid:0)

0 < a

(cid:0) - (cid:0)

- (cid:0)

R [ ( (

x a ] a 1,1 , ] - < 1 1,1 , ) 1,1 ,

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0)

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ (cid:0)

( D = -

]1,1

4 / ln(1

)

( 1)

x n

= 1

- - (cid:0)

+ 1

(cid:0)

5 / sin

( 1)

x n (2

1)!

- (cid:0)

D R=

(cid:0)

cos

( 1)

x n (2 )!

- (cid:0)

+ 1

(cid:0)

( = -

6 / arctan

( 1)

) 1,1

x n 2

, 1

- (cid:0)

ỗ

f x 1. ( )

f x 2. ( )

ln(2 - 3

)

x 5

§2. Chu i Taylor - Maclaurint Ví d : Tìm chu i Maclaurint các hàm: ụ ỗ

1. - = = f x ( ) x

�ﾥﾥﾥ � 1 - 1 - 2 x 3 - + x 5 x x 6

�

+ +

n �� x � � � � � � �� 3

n ��ﾥ x �ﾥ � �ﾥ � � � ��ﾥ 2

ﾥ � = n 0

1 1 3 1 1 2 1 3 1 2 � - - 1 1

+ 1

� ﾥﾥﾥ = - x ﾥﾥﾥﾥﾥ� � ﾥﾥﾥ� x �ﾥ � ﾥﾥﾥﾥ = - x ﾥﾥﾥﾥﾥ� ﾥﾥﾥ � x 3 x 2

ﾥﾥ = n

= - f x ( ) MHT: (-2,2) V y:ậ 1 + n 1 �ﾥ x ﾥﾥ � � 1 ﾥﾥﾥ� + n 1 2 3

- < < 1 1 và 1 - < < ↔ -2

x 3 x 2

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

2. f(x)=ln(2-3x+x2) = ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x)

= + + f x ( ) + - ln(1 ( x )) + - ln2 ln(1 ( ))

n )

+ = + f x ( ) ln2 x - (

n � � x ﾥﾥ - ﾥﾥﾥﾥ� � 2

ﾥ � = 1 n

ﾥ � = n 1

x 2 n - ( 1) n

ﾥﾥ = n 1

= - f x ( ) ln2 MHT: (-1,1)

1 x 1

- < < Chu i HT n u 1 x 1 ế ỗ �

< 1

n - ( 1) n � �ﾥ 1 1 ﾥ + ﾥ 1 x ﾥﾥﾥ� � n n 2 ﾥ- < - < ﾥﾥﾥﾥ - ﾥ- < 1 ﾥﾥﾥ

x 2

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

= f x ( ) ln x + + 1 x Ví d : Tìm chu i Maclaurint hàm: ỗ ụ

(

)2

Ta tính (cid:0)

) 1

f x ( )

( = + 1

x + +

1 +

x x

1 1

Tìm chu i Maclaurint c a hàm f’(x): ủ ỗ

1 2

- -

4 +

2 +

f x

= - ( ) 1

-� �� 1 � �� 2 � �� x 2!

(cid:0)

1 2

1 2 1 � �� - + � �� 2 � ��

� � � x

- - - -

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

(cid:0) -

= +

f x

( ) 1

( 1)

1.3.5...(2 n 2

n !

= 1

(cid:0) - (cid:0)

1 � � � � �

- Hàm khai tri n đ ể ượ ế c n u

f x ( )

t dt ( )

(0)

x 0

(cid:0) Suy ra: (cid:0)

+ 1

(cid:0) -

= + x

( 1)

- (cid:0)

)2

(

n 1.3.5...(2 + n n !(2 2

1) 1)

= 1

- (cid:0) (cid:0) MHT :

§2. Chu i Taylor - Maclaurint

0=3 c a hàm ủ

ỗ Ví d : Tìm chu i Taylor lân c n x ụ ở ậ

= f x ( )

ỗ 1 - x 1

n - ( 1)

= = f x ( ) =

n � �- x 3 ﾥﾥﾥﾥﾥﾥ� � 2

ﾥﾥ = n

2 x 3 Đ t ặ X=x-3 1 + - x 2 ( 3) 1 2 + 1 21

- 2

n 3)

ﾥﾥ = n

n - ( 1) + n 1 2

= - f x ( ) ( x

MHT: (1,5)

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

ệ ụ ơ ả

ỗ ệ ỗ

Ngoài vi c áp d ng khai tri n các hàm c b n thành ể chu i Maclaurint vào vi c tìm chu i Taylor , chu i ỗ ng. Ta còn có th áp Maclaurint các hàm bình th ườ d ng đ tính t ng các chu i lũy th a, chu i s ỗ ể ỗ ố ụ ừ ể ổ

Ví d : Tính t ng c a chu i lũy th a ủ ụ ừ ỗ

n x ) +

, x ( 1,1) -�

ﾥﾥ = n

ổ - ( ( n n 1)

= Chu i trên là chu i lũy th a v i ớ ừ ỗ ỗ

n - ( 1) + n n ( ớ -1

Nên d th y BKHT R=1, t c là v i ứ

n x ) +

= S x ( )

1) ễ ấ - ( ﾥﾥ ( n n = n

ỗ

n n x

= - S x ( ) - ( 1)

ﾥﾥ = n

+ = - x x

ﾥ ( 1) ﾥ = n

+ 1

�ﾥ 1 ﾥﾥ �+ 1 n - 1 ( 1) + x n 1 � ﾥ + 1 ﾥﾥﾥ �

+ = - x x

n - ( 1) + n

ﾥ ( 1) � = 0 n

ﾥ � = n 0

§2. Chu i Taylor - Maclaurint � 1 ﾥﾥﾥ� n � - n - ( 1) ﾥﾥﾥﾥ n � n - ( 1) n - 1 x 1

n - ( 1) n

= - - ( 1)ln(1 + + x ) x

� ﾥﾥ 1 ﾥﾥ �

(

) ) 1

= - ( 1)ln(1 + - x ) + - x

� - 1 ﾥﾥﾥﾥﾥﾥ� x = n 1 ln(1 x

V y:ậ

n x ) +

ﾥﾥ = n

ﾥ , x (-1,1) ﾥﾥﾥ 1 + - ( ( n n 1) � � 1 ﾥ= + 1 ln ﾥﾥ� � x 1 x 1 + " x

+ 1

ỗ

Ví d : Tính t ng c a chu i ỗ ổ ụ ủ x

ﾥﾥ = n 1

§2. Chu i Taylor - Maclaurint - n 1 (2 )!! n

+ 1

1 n n x . = x x x . = x

ﾥ � = n 1

- n 1 (2 )!! n - 2.4.6...(2 ) n - n 2 . n x !

ﾥﾥ = n 1 � n ��ﾥ x 1 �ﾥ � �ﾥ � � � ��ﾥ ! 2 n

n �� n x � � - � � � � �� ! 2 n

ﾥ � = 1 n

= x

�

= - x

- n �� x � � � � � � �� 1)! 2

n ��ﾥ x 1 �ﾥ � �ﾥ � � � ��ﾥ ! 2 n

ﾥ � = n 1

ﾥ � = 1 n

1 - ( n �

ﾥ � = n 1 � ﾥﾥﾥ � ﾥﾥ� = 1 n � x ﾥﾥﾥ 2 ﾥ� 2 ﾥ � = 0 n

x 2 � n �� x 1 ﾥﾥ� � - x ﾥ� � � ﾥ � � �� ! 2 n ﾥ� = n 0 � n �� ﾥ x 1 � ﾥ � - 1 � ﾥ � � � �� ﾥ ! 2 n �

+ 1

ỗ

ﾥﾥ = n 1

= - - x x e ( e 1)

= - + " x , x

§2. Chu i Taylor - Maclaurint 2 - x n 1 2 (2 )!! n � x ﾥﾥﾥﾥ� 2 �ﾥﾥ x e ﾥﾥ �

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

i d u ướ ấ ể

Ví d : S d ng khai tri n Maclaurint hàm d tích phân b ng chu i, tính tích phân ỗ

1 ﾥ 0

= I ln

n )

ﾥ n - ( 1) ﾥ = n 1

- ( Ta có: = - - = - ln ln(1 x ) ﾥﾥﾥ x n

ụ ử ụ ằ � �ﾥ 1 ﾥ dx ﾥﾥﾥﾥ� �- 1 x � � 1 ﾥﾥﾥ� �- 1 x Thay vào tích phân trên

n )

- (

n x dx )

= = = I dx - (

n - ( 1) n

ﾥﾥ = n 1

1 ﾥ n - ( 1) ﾥﾥ = n 1 0

1 ﾥ 0

x n - 1 1 ﾥﾥ + n n n 1 = 1

Ta tính t ng c a chu i s b ng đ nh nghĩa ỗ ố ằ ủ ổ ị

T ng riêng : ổ ổ Sn = u1+u2+…+un và t ng S

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

= - + + - ... � � � � � � 1 � + - � � 3 1 � + - � � 2 1 4 � 1 � � � � n n � � 1 � � � � � �+ 1 �

= - ﾥ - 1

� � � � � � � 1 1 1 � � - � � � � � � � � � � � 1 2 3 � � � � 1 ﾥ - 1 n � � uuuuuur �+� 1 n � �

V yậ

= = - I ln 1

1 ﾥ 0

� �ﾥ 1 ﾥ dx ﾥﾥﾥﾥ� �- 1 x

§2. Chu i Taylor - Maclaurint ỗ

Ví d : Tính t ng các chu i s sau ụ ổ

+ 1

1. 3.

ﾥ � = 0 n

+ 1

.5 n ! ỗ ố ﾥ � = 1 n n n (

- n 4)

ﾥ � = 1 n

n - ( 2) + 2)7 - n 1 - ( 1) .2.5.8...(3 - 1 3 n . 2

2. 4.

2 n (2 )!! n n

5e=

= + 0 5

ﾥ 1. � = 0 n

ﾥ � = 1 n

ﾥﾥ= 5 = n

+ 1

.5 n ! ( 5 - n 1)! 5 n !

ﾥ � = 1 n

ﾥﾥ= = n 1

2 n (2 )!! ! 2 ﾥﾥ= 2 n n = 1 2.2 n n 2 !

= - - 2 1)

ﾥ �= = 1 n � ﾥﾥﾥﾥﾥﾥ� = n

2 2.2 n 2.4.6...(2 ) �ﾥ 22( ﾥ e= 1 ﾥﾥ �

2 n !

+ 1

3. = -

ﾥ � = 1 n

2 � 1 ﾥﾥﾥ �+ 2 n §2. Chu i Taylor - Maclaurint n n � - ( 1) 2 1 1 ﾥﾥ � ﾥﾥ� n n = 1 n ỗ n - ( 2) + 2).7 n n ( 7.7

ﾥ n - ( 1) ﾥ = n 1

+ 1

1 14 � 1 � � � �+ 2 n

n - ( 1) n

n �� 2 1 � � � -� � �� n 7 n - 1 �� 2 � � -� � � � �� 7

n - ( 1)( 1) n 2

+ n 2 2 �� 7 2 � � � � � � � � � � � � �� 2 7

ﾥ � = 1 n

- + - 1 14 1 14

= ln(1

n - ( 1) n

n �� 2 � � � � � � �� 7

- 1 14 2 + + ) 7 1 49 14 4 2 - + 7 � 2 �� 1 2 ﾥ �ﾥ � �ﾥ � � � ��ﾥ 2 7 � ﾥﾥﾥﾥﾥﾥ� = n 1 �

+ 1

= -

n - ( 2) +

ﾥﾥ n n n = 1

3 45 9 ln 56 7 14 ( 2).7

- ỗ - n - ( 1) 4) n 4.

- - - - 1)).3 1)( n ( 2)...(

ﾥﾥ = n 1 1 1 .( 3 3

ﾥﾥ = n 1

§2. Chu i Taylor - Maclaurint 1 .2.5.8...(3 - 1 3 n . 2 1 3 =

- - - 2)...( 1)( ( n 1))

1 3 n 1 3 n 2 .2 . ! 1 1 3 3 1 1 .( 3 3 = 2

n ! - ��ﾥﾥ 3 ﾥﾥﾥﾥ�� 8

2 - = 2 - 11 2

ﾥﾥ = n 1 �ﾥ � 1 ﾥ� � ﾥ 3 ﾥ 3 ﾥﾥﾥ= - = + 1 2 1 ﾥﾥﾥﾥﾥﾥﾥﾥ � � 8 ﾥﾥﾥﾥ� �

11 8

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh