ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA
TÍCH PHÂN KÉP
NỘI DUNG
• Tính diện tích miền phẳng • Tính thể tích vật thể trong R3 • Tính diện tích mặt cong
TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN PHẲNG
D là miền đóng và bị chận trong R2:
dxdy
S D (
)
D
Có thể dùng cách tính của tp xác định
trong GT1 cho những bài không đổi biến.
Ví dụ
1/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi:
y
x
2, x y
2
y
x
dxdy
S D (
)
D
x
1
y
x
dx
dy
1 3
2
0
x
2/ Tính diện tích miền D là phần nằm ngoài
2
2
và nằm trong đường tròn
2
2
x y 1
đường tròn 2 3
Đổi biến: x = rcos, y = rsin
Tọa độ giao điểm
2
2
x
y
2
2
x
y
x
1 2 3
y x x
2
2
1
x
y
2
2
x
x
y
1
r
6
cos
6
D
:
cos
2 3
1 2 3 6 r 1
cos
2 3
rdr
S D (
)
r 3 2
1
6 d 6
3 6 18
Nếu sử dụng tính đối xứng của D
Miền D đối xứng qua Ox
D1 = D {x,y)/ y 0} S(D) = 2S(D1)
:
D 1
cos
6 2 3
0 r 1
cos
2 3
d rdr S D ( )
6 0
1
BÀI TOÁN THỂ TÍCH
Xét vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi mặt cong z = f2(x, y), mặt dưới là z = f1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh //
Oz và đường chuẩn là biên của miền D
đóng và bị chận trong Oxy.
V
(
)
)
( ,
f x y ( , 2
f x y dxdy ) 1
D
Khi đó, hình chiếu của lên Oxy là D.
Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D
B1: chọn hàm tính tích phân:
Chọn hàm tương ứng với biến chỉ xuất hiện
2 lần trong các pt giới hạn miền tính thể
tích ().
VD: z chỉ xuất hiện 2 lần : z = f1(x, y),
z = f2(x,y), hàm tính tp là
z = |f2(x,y) – f1(x,y)|
Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D
B2: Xác định miền tính tp D Gs hàm tính tp là z = f(x,y), D là hình chiếu
của lên mp Oxy và được xác định từ các
yếu tố sau:
1.Điều kiện xác định của hàm tính tp
2.Các pt không chứa z giới hạn miền .
3.Hình chiếu giao tuyến của z = f1(x,y) và z = f2(x,y) (có thể không sử dụng)
Hình chiếu giao tuyến
1.Được tìm bằng cách khử z từ các pt chứa z.
2. Các TH sử dụng hc giao tuyến.
Tìm được từ đk 1,2
Không sử dụng
Sử dụng
f1 > f2
D1
D2
f2 > f1
Sử dụng để xác định dấu của f2 – f1
Ví dụ
1/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi:
y
x z
z
x y ,
0,
0,
1
Cách 1: z xuất hiện 2 lần nên hàm lấy tp là
z = 1 – x và z = 0 (các hàm xác định trên R2)
D hc Oxy
1
•các pt không chứa z
y
y
x
0,
D
•Hc giao tuyến:
1 x 0
1
V x dxdy ( ) [(1 ) 0]
D
1
1
dy (1 x dx )
2
0
y
1
1
dy
(1
x dx )
4 15
2
0
y
x z
z
y :
x y ,
0,
0,
1
Cách 2: y xuất hiện 2 lần, chọn hàm tính tp là
y y x 0,
D hc Oxz
x
•Đk xác định của hàm tính tp: 0
•Các pt không chứa y: x z
x
•Hc giao tuyến:
z 1, 0
z
x x 0 0
V x dxdz ( ) 0] [
D
x
1
1 dx
xdz
0
0
1
1/2
3/2
x x dx
0
4 15
x z
z
0,
x y ,
y :
1
0, Cách 3: x xuất hiện 2 lần, chọn hàm tính tp là 2,
x y x z x 1
y z
1
D hc Oyz
z = 1 – y2
•Đk xác định hàm:
•Các pt không chứa x:
y 0
y z 0, 0
y
1
2
•Hc giao tuyến:
y
1 z
2
V z ( ) [(1 ) y dydz ]
D
2
y
1
1
2 z y dz
dy (1 )
0
0
4 15
D hc Oyz
D hc Oxz
D hc Oxy
2
2
2
y
x
z
x
2/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: 0,
2 y z ,
4
2
2
x
z
z xuất hiện 2 lần nên hàm lấy tp là:
2 y z ,
4
0
D hc Oxy
2
2
•Các pt không chứa z:
2
2
•Hc hiếu giao tuyến: 2
2
y
0
4 x
Hình chiếu giao tuyến không sử dụng
x y 2
2
2
D
2
V x y dxdy ( ) [(4 ) 0]
2 d 0
2 0
r rdr (4 )
20 2 3
2
2
z
x
y
4
2
2
x
y
2
z
0
2
2
2
2
z
x
y
x
y
z
3/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: , 2
4
2
2
2
x
y
2
2
Hàm tính tp:
z
x
y
z
4
,
1
2
2
2
x
y
2
2
(hc giao tuyến)
x
y
4
1
:
2
2
2
y
x
2
2
2
D hc Oxy
2
2
x y
V x y dxdy ( ) (4 ) 1
D
2
2
2
x
y
2
2
V
x
y
dxdy
(
)
(4
)
1
2
D
2
2
y dxdy
x 6 3 3
D
2
2
2
1 2
r rdr d (2 )
0
0
2
2
2
2
z x y 4
x y
z 1
Hình chiếu: x2 + y2 2
2
2
2
và các mặt tọa độ.
x
y
4/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: z x y
1,
1
2
Các mặt tọa độ bao gồm: x = 0, y = 0, z = 0 2
2
z
x
y
z
2
1,
0
Hàm tp:
:
x
1,
0,
0
D hc Oxy
y x y (Không có gt của 2 mặt cong tính tp)
2
2
1 2
y dxdy
V x ( )
D
2
2
z
x
y
4
x
y
1
D
5/ Tính thể tích của vật thể cho bởi:
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
y z
4,
2 ,
0
2
Hàm tp :
z
x
4
2 y z ,
0
2
2
2
2
:
x
y
x
y
y
4,
2
D hc Oxy
2
2
2
V x y dxdy ( ) 4
D
sử dụng tính đối xứng của D:
2
2sin
2 r rdr
2
V ( ) d 4
0
0
2
2
z
x
y
4
6/ Tính thể tích của vật thể cho bởi:
2
2 y y ,
z x 1 x y , x z 3 , 0; x y z , , 0
