Chương 7 Phương sai thay đổi
I. Bản chất và nguyên nhân phương
sai thay đổi
Bản chất : Phương sai có điều kiện của
2
Ui không giống nhau ở mọi quan sát.
iσ
(i=1,2,…,n) Var (Ui) =
Nguyên nhân : - Do bản chất của các mối quan hệ trong kinh tế chứa đựng hiện tượng này.
- Do kỹ thuật thu thập số liệu được cải tiến, sai lầm phạm phải càng ít hơn. - Do con người học được hành vi trong
quá khứ.
- Do trong mẫu có các giá trị bất thường (hoặc rất lớn hoặc rất nhỏ so với các giá trị khác).
Hiện tượng phương sai không đồng đều
thường gặp đối với số liệu chéo.
II. Hậu quả của phương sai thay đổi
1. Các ước lượng OLS vẫn là các ước
lượng tuyến tính, không chệch nhưng không còn hiệu quả nữa.
2. Ước lượng phương sai của các ước
lượng OLS bị chệch nên các kiểm định t và F không còn đáng tin cậy nữa.
3. Kết quả dự báo không hiệu quả khi sử dụng các ước lượng OLS.
2
2 2 i σω (i=1,2,…,n)
Giải thích
1. Xét mô hình Yi = 1+ 2Xi +Ui (1) iσ với Var(Ui) = =
i
ˆβ
2
yx i 2 x i
ˆβ
2
2 là
- Dùng p2 OLS cho (1), ta có ước lượng của vẫn là ước lượng tuyến tính, không chệch của 2 (do khi chứng minh tính không chệch của các ước lượng , không sử dụng giả thiết phương sai thuần nhất).
i
β 1
β 2
Y i ω i
1 ω i
i
X U i ωω i
X
X
- Mặt khác, nếu chia 2 vế của (1) cho i:
* Y i
β 1
0 i
β 2
* i
* U i
(2)
2 2 σσω
i
* )U(Var i
)U(Var i
2 i
i
1 2 ω i
Var
U 1 i 2 ωω i
Hay Ta có :
Nên (2) thỏa các giả thiết của mô hình hồi qui tuyến tính cổ điển.
Do đó, nếu dùng p2 OLS cho (2), ta sẽ
* 2
ˆβ
2
ˆβ
ˆβ
thu được là ước lượng tuyến tính, không chệch, có phương sai bé nhất của 2 (Theo định lý Gauss-Markov). Vì vậy phương sai của không còn bé nhất nữa nên không còn là ước 2 lượng hiệu quả nữa.
)ˆ(Var β 2
x
2 2 σ i i 22
i
2. Với mô hình (1), khi có phương sai thay đổi thì có thể chứng minh được : x Tuy nhiên, nếu vẫn dùng ước lượng của
phương sai theo công thức
Var
)ˆ( 2
2 ˆ 2 ix
như của mô hình có phương sai thuần
)ˆ(Var 2β
nhất thì rõ ràng đây là ước lượng chệch của .
(1)
III. Cách phát hiện phương sai thay đổi 1. Phương pháp đồ thị Xét mô hình : Yi = 1+ 2Xi +Ui - Hồi qui (1) thu được các phần dư ei. - Vẽ đồ thị phân tán của e theo X. - Nếu độ rộng của biểu đồ rải tăng hoặc
giảm khi X tăng thì mô hình (1) có thể có hiện tượng phương sai thay đổi. * Chú ý : Với mô hình hồi qui bội, cần vẽ đồ thị phần dư theo từng biến độc lập hoặc theo .Yˆ
2
2. Kiểm định Park
iσ
2
Ý tưởng : Park cho rằng là một hàm
ln
2 ieX i 2 2 ln i 2
X i
i
2
2
2 ie
của X có dạng : 2 i ln
Do đó : iσ Vì chưa biết nên để ước lượng hàm trên Park đề nghị sử dụng thay cho iσ
Các bước kiểm định Park : - Ước lượng mô hình hồI qui gốc (1), thu
2 ie
ln
X
i
2 e i
1
i
lấy phần dư ei tính
2
- Ước lượng mô hình ln 2 * Chú ý : Nếu mô hình gốc có nhiều biến
ieln
iYˆ theo từng biến độc lập hoặc theo - Kiểm định giả thiết H0 : 2 = 0 (MH gốc có phương sai không đổi) Nếu chấp nhận H0 mô hình gốc (1) có phương sai không đổi.
độc lập thì hồi qui
Dependent Variable: LOG(RESID^2) Variable Coefficient Std. Error
t-Statistic
Prob.
C LOG(X2)
5.777839 6.220227 0.928879 0.3748 0.8933 0.179591
0.137531
1.305824
Ta có : t2 = 0.13753 với p = 0.8933 > = 0.05 nên chấp nhận H0, nghĩa là MH gốc có phương sai không thay đổi.
e i
2
1
i
X
e i
2 i
1
i
1 X
X
e i
2
1
i
i
e i
2
1
i
i 1 X
i
3. Kiểm định Glejser Tương tự kiểm định Park, tuy nhiên sau khi thu các phần dư từ mô hình hồi qui gốc, Glejser sử dụng các dạng hàm sau
Nếu chấp nhận H0 : 2 = 0 mô hình gốc (1) có phương sai không đổi.
Coefficient Std. Error 0.403073 0.779093 0.005495 0.006221
t-Statistic 0.517363 0.883229
Dependent Variable: ABS(RESID) Variable Prob. C 0.6162 0.3978- X2 -----------------------------------------------------------
Ta có : t2 = 0.883229 với p = 0.3978 > = 0.05 nên chấp nhận H0, nghĩa là MH gốc có phương sai không thay đổi.
ie
4. Kiểm định White Xét mô hình : Yi = 1+ 2X2i + 3X3i +Ui Bước 1 : Ước lượng mô hình gốc, thu Bước 2 : Hồi qui mô hình phụ sau, thu hệ số
X
i2
i3
2 i2
2 i3
XX i3i2
V i
X αα 1 2
X α 3
α 5
2 auxR α 6
2 e X α i 4 Bước 3 : Kiểm định H0 : MH gốc có PS
xác định của hồi qui phụ :
không đổi. )(2 2 nRaux p Nếu bác bỏ H0. Với p là số hệ số trong mô hình hồi qui phụ
không kể hệ số tự do (tung độ gốc).
White Heteroskedasticity Test:
Probability
0.900195 F-statistic 0.283745 Obs*R-squared 2.6807 Probability 0.74906
Ta có: Obs*R2 = 2.6807 với p = 0.74906 > = 0.05 nên chấp nhận H0, nghĩa là MH gốc có phương sai không thay đổi.
2
IV. Biện pháp khắc phục
(1) có PS. thay đổi
*GT1:PS của Ui . tỷ lệ với bình phương của biến g.t: var(Ui/Xi) = б2Xi Yi = 1+ 2Xi +Ui Yi/Xi = 1/Xi + 2 +Ui/Xi
Yi*= 1Xi*+ 2 +Ui* (2) có PS không đổi
Aùp dụng OLS ước lượng MH(2). Sau đó nhân 2 vế với Xi, ta được mô hình mẫu cần tìm
*GT2 : Phöông sai cuûa sai soá tyû leä
vôùi bieán giaûi thích var(Ui/Xi) = б2Xi
*GT3 : Phöông sai cuûa sai soá tyû leä thuaän vôùi bình phöông giaù trò trung bình cuûa Y var(Ui/Xi) = б2[ E(Y)]2
*GT4 : Pheùp bieán ñoåi loâgarit Ln(Yi) = 1+ 2ln(Xi) +Ui
Moâ hình loâgarit coù theå coù phöông sai khoâng ñoåi.
