64
PHẦN 2. TRUYỀN NHIỆT
Chương I. DẪN NHIỆT
1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Dẫn nhiệt
Dẫn nhiệt là sự truyền nhiệt năng giữa các nguyên tử hay phân tử của một vật
hoặc giữa các vật khi chúng tiếp xúc với nhau. Cách thức truyền năng lượng phụ thuộc
vào trạng thái của vật chất. Ví dụ, trong kim loại năng lượng được truyền giữa các phần
tử nhỏ nhất nhờ khuếch tán điện tử còn đối với các chất khí, năng lượng chủ yếu được
truyền thông qua khuếch tán phân tử. Dẫn nhiệt vì thế còn được gọi là sự truyền nhiệt
giữa các phân tử. Tuy vậy, đối tượng của việc nghiên cứu dẫn nhiệt không phải là bản
chất của tác động qua lại giữa các phân tử mà là việc xác định trường nhiệt độ và dòng
nhiệt trong vật thể.
Về mặt toán học, có thể khảo sát các quá trình dẫn nhiệt nhờ hai định luật cơ
bản: định luật bảo toàn năng lượng ứng dụng riêng cho nhiệt năng và định luật kinh
nghiệm của Fourier về dẫn nhiệt. Sử dụng kết hợp hai định luật này cho phép ta thiết
lập phương trình vi phân dẫn nhiệt mà nghiệm của nó là phân bố nhiệt độ trong vật thể
khảo sát. Nội dung cơ bản của các tính toán về dẫn nhiệt là tích phân các phương trình
vi phân nói trên ở các điều kiện đơn trị cụ thể.
1.1.2. Trường nhiệt độ
1.1.2.1. Khái niệm
Tập hợp những giá trị nhiệt độ trong không gian tại một thời điểm nào đó gọi là
trường nhiệt độ. Như vậy, tại các điểm khác nhau và thời điểm khác nhau thì nhiệt độ
cũng khác nhau nên trường nhiệt độ là hàm phụ thuộc vào không gian và thời gian.
t= f(x, y, z, ) (1-1)
1.1.2.2. Phân loại
- Trường nhiệt độ ổn định: là trường nhiệt độ không phụ thuộc vào thời gian
(
0
t=
). Trong trường nhiệt độ ổn định cũng có trường nhiệt độ ổn định 1 chiều, 2
chiều, 3 chiều.
- Trường nhiệt độ không ổn định: là trường nhiệt độ phụ thuộc vào thời gian
(
0
t
). Trong trường nhiệt độ không ổn định cũng có trường nhiệt độ không ổn định
1 chiều, 2 chiều, 3 chiều.
1.1.3. Mặt đẳng nhiệt
Bề mặt có chứa tất cả các điểm có cùng giá trị nhiệt độ tại một thời điểm gọi là
mặt đẳng nhiệt. Đặc điểm của mặt đẳng nhiệt là chỉ có một giá trị nhiệt độ và các mặt
đẳng nhiệt không cắt nhau chúng chỉ có thể là các mặt khép kín hay kết thúc trên biên
của vật.
1.1.4. Gradien nhiệt độ
Xét các mặt đẳng nhiệt như hình vẽ, một mặt đẳng nhiệt có nhiệt độ t còn mặt
đẳng nhiệt kia có nhiệt độ là t +t. Nhiệt độ của một điểm nào đó trên bề mặt có nhiệt
độ t chỉ có thể thay đổi theo các hướng cắt các mặt đẳng nhiệt. Ta nhận thấy tốc độ thay
đổi nhiệt độ theo phương pháp tuyến n là lớn nhất
max
n
t=
. Đại lượng thay đổi nhiệt
độ theo phương pháp tuyến tại một thời điểm gọi là Gradien nhiệt độ kí hiệu là:
65
Gradt = lim
n
t
n
t
=
;oK/m
n
→
0
Như vậy Gradt là một vector có phương vuông góc với mặt đẳng nhiệt, chiều
theo chiều tăng nhiệt độ.
1.1.5. Mật độ dòng nhiệt
Mật độ dòng nhiệt là lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích bề mặt đẳng
nhiệt vuông góc với hướng truyền nhiệt trong một đơn vị thời gian. Mật độ dòng nhiệt
kí hiệu là q [w/m2].
=d.dF
dQ
q
Nếu mật độ dòng nhiệt phân bố đều theo diện tích và không đổi theo thời gian thì :
=.F
Q
q
(W/m2) (1-2)
1.1.6. Định luật Fourier về dẫn nhiệt
Ta hãy khảo sát một vật thể đồng nhất, đẳng hướng có cấu tạo vật chất được
xem là liên tục. Khi vật không ở trạng thái cân bằng nhiệt động, tức là khi mọi điểm
trong vật có nhiệt độ không như nhau, thì trong vật thể sẽ xảy ra quá trình dẫn nhiệt.
Mối quan hệ giữa vector mật độ dòng nhiệt
và gradt được Biot đề cập đến
năm 1804 và năm 1822 được Fourier phát biểu thành định luật kinh nghiệm Fourier-một
định luật cơ bản về dẫn nhiệt.
Định luật
Mật độ dòng nhiệt dẫn qua một đơn vị diện tích bề mặt trao đổi nhiệt trong một
đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với Gradt.
Gradtq −=
(1-3)
Hệ số dẫn nhiệt [w/mK] là đại lượng đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật
liệu, giá trị của nó phụ thuộc vào các yếu tố: bản chất vật lý, áp suất, độ ẩm, hướng... Hệ
số dẫn nhiệt của một số vật liệu thường gặp được đưa trong phần phụ lục.
Như vậy, mật độ dòng nhiệt cũng là một vector có phương vuông góc với mặt
đẳng nhiệt và chiều là chiều nhiệt độ giảm.
Độ lớn:
n
t
q
−=
[w/m2] (1-4)
t+t
t
n
t-t
l
Hình 1-1. Xác định Gradien nhiệt độ
66
Sự phụ thuộc của vào nhiệt độ, trong phần lớn các trường hợp có thể biểu
diễn qua:
t = 0(1+t) (1-5)
Trong đó 0 là hệ số dẫn nhiệt tại nhiệt độ 0oC và là hằng số được xác định
bằng thực nghiệm; có thể lớn hơn 0, nhỏ hơn 0 hoặc bằng 0, tuỳ thuộc vào sự thay đổi
của khả năng dẫn nhiệt theo nhiệt độ. Đối với không khí và các vật rắn không dẫn điện:
>0 (tức là tăng khi nhiệt độ tăng), còn khả năng dẫn nhiệt của chất lỏng giảm khi
nhiệt độ tăng (<0), trừ nước và glixerin. Các chất có <0,2[w/moK] có thể dùng làm
chất cách nhiệt.
Như vậy, nhiệm vụ cơ bản của lý thuyết giải tích về dẫn nhiệt là xác định trường
nhiệt độ. Điều này chỉ có thể thực hiện được thông qua việc thiết lập và giải các phương
trình vi phân dẫn nhiệt.
1.2. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH KHI KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG
1.2.1. Bài toán dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng
- Giả thiết: Cho vách phẳng đồng chất, đẳng hướng có chiều dài l lớn hơn rất
nhiều so với bề dầy , có hệ số dẫn nhiệt =const, nhiệt độ bề mặt vách trong cùng tw1,
nhiệt độ bề mặt vách ngoài cùng tw2, (tw1>tw2).
- Kết luận:
+ Xác định biểu thức trường nhiệt độ dẫn qua vách phẳng.
+ Xác định mật độ dòng nhiệt dẫn qua một đơn vị diện tích bề mặt vách phẳng.
Bài giải
Với giả thiết trên ta thấy nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương x và ta chọn hệ trục
tọa độ như hình vẽ: các mặt đẳng
nhiệt là các mặt phẳng song song và
vuông góc với trục x.
Tại một vị trí x ta tách 2 mặt đẳng
nhiệt cách nhau một khoảng dx.
Áp dụng định luật Fourier:
dx
dt
q−=
;
dx
q
dt
−=
(1-5)
Giả thiết = const thì
Cx
q
dx
q
t+
−=
−=
(1-6)
Xác định C dựa vào điều kiện ban
đầu:
Nếu x = 0 thì
Ctt 1
w==
Ta có trường nhiệt độ dẫn qua vách phẳng:
1
w
tx
q
t+
−=
(1-7)
Như vậy, trường nhiệt độ dẫn qua vách phẳng là đường thẳng nghịch biến.
Nếu x = thì
2
w
tt =
nên ta có:
= 0
2
w
t
> 0
< 0
qx
x1
x2
x
Hình 1-2. Dẫn nhiệt qua tấm phẳng rộng vô hạn
1w
t
67
r1
tw1
r2
r
t, z
tw2
Hình 1-4. Dẫn nhiệt qua
vách trụ
12 ww t
q
tt +
−==
(1-8)
R
t
tt
q21 ww
=
−
=
; [W/m2];
(1-9)
=
R
R- là đại lượng làm cản trở dòng nhiệt
nên theo định luật Ohm trong kỹ thuật
điện ta gọi R là nhiệt trở của vách
phẳng 1 lớp.
Xét với vách phẳng nhiều lớp
Cho vách phẳng 2 lớp:
Lớp 1 có bề dày 1, hệ số dẫn nhiệt 1
Lớp 2 có bề dày 2, hệ số dẫn nhiệt 2
Xác định mật độ dòng nhiệt dẫn qua
vách.
Quá trình dẫn nhiệt qua vách gồm 2
giai đoạn:
+ Dẫn nhiệt qua lớp 1:
1
1
ww
121 tt
q
−
=
(1-10a)
+ Dẫn nhiệt qua lớp 2:
2
2
ww
232 tt
q
−
=
(1-10b)
Vì quá trình dẫn nhiệt ổn định một chiều nên q1 = q2 = q, giải hệ hai phương trình ta tìm
được q và
2
w
t
.
Tổng quát với vách phẳng n lớp:
=
−
=+
n
1i i
i
ww 1n1 tt
q
(1-11)
1.3.2. Bài toán dẫn nhiệt ổn định qua vách trụ
- Giả thiết: Cho vách trụ vật liệu đồng chất, đẳng
hướng có chiều dài L(m), bán kính trong và ngoài r1,, r2
nhiệt độ bề mặt vách trong cùng và ngoài cùng là
1
w
t
và
2
w
t
, hệ số dẫn nhiệt =const.
- Kết luận: Xác định trường nhiệt độ và dòng nhiệt dẫn
qua L( m) chiều dài vách trụ.
2
2
q
tw1
tw3
tw2
1
Hình 1-3. Dẫn nhiệt qua vách phẳng
nhiều lớp
1
68
0
r
t
tw1
tw2
r1
r2
Hình 1-5. Dẫn nhiệt qua vách cầu
Bài giải: Đây là bài toán dẫn nhiệt ổn định một chiều, nhiệt độ chỉ thay đổi theo
phương bán kính r còn theo phương chiều dài L gần như không thay đổi t = f(r). Tại bán
kính r nào đó ta tách ra 2 mặt đẳng nhiệt cách nhau một khoảng dr.
Theo định luật Fourier:
2
dt
Q rL
dr

=−
[W] (1-12)
.
2
Q dr
dt Lr

=−
(1-13)
Lấy tích phân hai vế ta được:
ln
2
Q
t r C
L

= − +
(1-14)
Như vậy trường nhiệt độ dẫn qua vách trụ có dạng đường cong logarit
Nếu r = r1 thì
11
ln
2.
w
Q
t t r C
L

= = − +
nên
11
ln
2.
w
Q
C t r
L

=+
Thay vào biểu thức (1-26) ta được biểu thức trường nhiệt độ:
1
1
ln
2w
r
Q
tt
Lr

=+
Kết luận: Như vậy, biểu thức trường nhiệt độ dẫn qua vách trụ có dạng đường
cong logarit.
Nếu r =r2 thì
1
21
2
ln
2.
ww
r
Q
t t t
Lr

= = +
Rút Q ta được:
12
2
1
1ln
2
ww
tt
Qr
Lr

−
=
[W] (1-15)
Đặt
2
1
1ln
2
t
r
RLr

=
- Nhiệt trở của vách trụ một lớp.
Tương tự với vách trụ n lớp:
11
1
1
1ln
2
n
ww
ni
iii
tt
Qr
Lr

+
+
=
−
=
[W] (1-16)
1.3.3. Bài toán dẫn nhiệt ổn định qua vách cầu
- Giả thiết: Cho vách cầu đồng chất, đẳng
hướng có đường kính trong d1 = 2r1, đường kính
ngoài d2 = 2r2, hệ số dẫn nhiệt = const, nhiệt độ tại
mọi điểm trên bề mặt vách trong cùng là tw1, bề mặt
vách ngoài cùng là tw2 (tw1 > tw2).
- Kết luận: Xác định biểu thức trường nhiệt
độ, dòng nhiệt dẫn qua vách cầu.
Bài giải
Chọn hệ trục như (hình 1-5), theo giả thiết và
cách chọn ta thấy: các mặt đẳng nhiệt là những mặt
cầu đồng tâm, nhiệt độ chỉ biến thiên theo phương
bán kính r, t = f(r) trường nhiệt độ ổn định một