Bài giảng: Ma trận nghịch đảo

Ma traän nghòch ñaûo

1 Ma traän nghòch ñaûo Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Ma traän nghòch ñaûo cuûa A = (aij)n×n laø A−1 thoûa AA−1 = A−1A = In. Khi ñoù A ñöôïc goïi laø ma traän khaû nghòch.

Ñeå chöùng minh B laø ma traän nghòch ñaûo cuûa A ta caàn chöùng toû AB = In.

Ñònh nghóa

A = (aij)n×n suy bieán ⇔ |A| = 0.

Ñònh lyù

A = (aij)n×n khaû nghòch ⇔ A khoâng suy bieán ⇔ |A| 6= 0.

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Ma traän nghòch ñaûo

Ví duï Cho bieát caùc ma traän sau coù khaû nghòch hay khoâng?   (cid:19) −3 A = B =   (cid:18) 1 3 −2 6 2 −3 −1 0 5 1 1 −2

Ta coù |A| = 12 6= 0 neân A khaû nghòch. Ta coù |B| = 10 + 0 − 6 + 5 − 9 − 0 = 0 neân B khoâng khaû nghòch.

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá

Ñònh lyù

 

soá cuûa aij vaø Ap =   ñöôïc goïi laø ma traän phaàn buø ñaïi   · · · . . . · · · Cho A = (aij)n×n khaû nghòch, Aij = (−1)i+j|Mij| ñöôïc goïi laø phaàn buø ñaïi A1n ... Ann A11 ... An1 soá cuûa A. Khi ñoù A−1 = AT p 1 |A|

Ví duï (cid:19) (cid:18) a a. Cho A = vôùi |A| = ad − bc 6= 0 b c d (cid:19) (cid:19) ⇒ A−1 = Ta coù: Ap = (cid:18) + d − c − b + a (cid:18) d −b −c a 1 ad − bc

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá

(cid:19) b. Xaùc ñònh ma traän nghòch ñaûo cuûa A = (cid:18) 3 −2 1 1

  (cid:19) (cid:18) Ta coù |A| = 5 6= 0 neân A khaû nghòch. 1 5 2 5 = Vaäy A−1 = 1 2 − 1 3 1 5         − 3 5 1 5

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá

 

c. Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa A =   0 2 3 1 −2 1 −1 2 −3

  + + − 1 2 2 3 1 −1 2 −3 −1 2 −3 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Ta coù |A| = 1 6= 0 neân A khaû nghòch. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

− + − Ta coù Ap = 1 0 2 3 1 −2 2 −3 −2 0 −3 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

                      + − + 1 0 1 2 1 −2 1 −1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −2 0 −1 2  

3 6 =   (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 −1 3 −1 1 −4 −2

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá

Töø ñoù, ta ñöôïc    

3 1 3 1 A−1 = AT p =   =   1 1 1 |A| 6 −4 3 −2 1 6 −4 3 −2 1 −1 −1 −1 −1

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp

Ñònh lyù

Cho A = (aij)n×n khaû nghòch, xeùt ma traän môû roäng (A|In). Baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng ñöa ma traän A veà ma traän In, khi ñoù ma traän In seõ bieán thaønh A−1.

(In|A−1) (A|In) bieán ñoåi sô caáp −→ treân doøng

Ví duï  

Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa A =   1 −2 0 1 −1 2 2 −3 3

  

   

d2=d2−d1−→ d3=d3+(−2)d1

1 −2 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 −1 3 −2 Ta coù (A|I3) =  1 −2 0 1 −1 2 2 −3 3

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp

 

 



 

d1=d1+2d2−→ d3=d3−d2

 

 

d1=d1−4d3−→ d2=d2−2d3

1 −2 1 0 1 0  1 0 0 0 1 0 1 0 0  0 0 1 6 −4 3 −2 1 

Vaäy A−1 =   0 0 0 1 0 2 −1 1 3 −2 0 1 2 4 −1 1 2 −1 1 0 1 −1 −1 3 0 0 0 1 1 −1 −1 6 −4 3 3 −2 1 1 −1 −1

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Tính chaát cuûa ma traän nghòch ñaûo

Tính chaát (1) (A−1)−1 = A

Tính chaát (2)

|A−1| = 1 |A|

Ví duï: 

Cho A =   . Tính |A−1|. 1 −2 0 1 −1 2 2 −3 3

= 1, vì Ta coù: AA−1 = I3 ⇒ |AA−1| = |I3| ⇒ |A||A−1| = 1 ⇒ |A−1| = 1 |A| |A| = 1.

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Tính chaát cuûa ma traän nghòch ñaûo

Tính chaát (3) Cho A = (aij)n×n khaû nghòch. Khi ñoù |Ap| = |A|n−1

Tính chaát (4)

Cho A,B vuoâng cuøng caáp, khoâng suy bieán. Khi ñoù (AB)−1 = B−1A−1

Chöùng minh (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = I.

Tính chaát (5) (AT)−1 = (A−1)T

Chöùng minh (AT)(A−1)T = (A−1A)T = IT = I.

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Giaûi phöông trình ma traän

Cho A = (aij)n×n vaø B = (bij)m×m

1 AX = C ⇔ A−1AX = A−1C ⇔ InX = A−1C ⇔ X = A−1C 2 XA = C ⇔ XAA−1 = CA−1 ⇔ XIn = CA−1 ⇔ X = CA−1 3 AXB = C ⇔ A−1AXBB−1 = A−1CB−1 ⇔ InXIm = A−1CB−1 ⇔ X =

A−1CB−1

Ví duï a. Tìm ma traän X thoûa phöông trình (cid:19) (cid:19) = X. (cid:18) 1 1 2 3 (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 2 3 5 (cid:19) (cid:19)−1 . . 2 5 (cid:18) 3 −1 1 −2 1 1 (cid:18) 1 3 (cid:19) (cid:18) 1 1 2 3 (cid:19) (cid:19) . . = = 1 2 Ta coù X = (cid:18) 1 3 2 5 = (cid:18) −1 −1 (cid:18) 1 2 3 5 (cid:18) 3 −1 1 −2

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH

Ma traän nghòch ñaûo

Ñònh nghóa Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng ma traän phaàn buø ñaïi soá Tìm ma traän nghòch ñaûo baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp Tính chaát Giaûi phöông trình ma traän

Giaûi phöông trình ma traän

Ví duï   

1 2 b. Cho A =     vaø B =  1 1 −3 1 1 1 −1 2 −2 2 −1 1 5 1 −3 −7 Tìm ma traän X thoûa phöông trình AX = B.



Ta coù |A| = 1, A−1 =    ⇒ X = A−1B =

  1   

=   .   =   . 12 7 5 −5 −2 −3 1 1 1 1 1 −3 1 1 8 −3 1 7 5 12 −5 −2 −3 1 1 1 −1 2 −2 0 4 0 −2 1 −1

Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM

TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH