Bài giảng Ôtômát và ngôn ngữ hình thức: Chương 5

MÁY TURING ĐƯỢC GIỚI THIỆU BỞI ALAN TURING VÀO NĂM 1936.

CHƯƠNG 5: MÁY TURING (TURING MACHINE)

Tham khảo: http://vi.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing

1. Mô tả máy Turing. 2. Ngôn ngữ chấp nhận bởi

3. TM thực hiện hàm tính 4. Chương trình con.

1

2 MÔ TẢ MÁY TURING (TT)

MÔ TẢ MÁY TURING.

 Một máy Turing gồm:

 Một bộ điều khiển hữu hạn.  Một băng được chia thành các ô để lưu dữ liệu.  Một đầu đọc – viết, mỗi lần đọc có thể duyệt qua một ô trên băng để

 Mỗi bước chuyển của máy Turing, phụ thuộc vào ký hiệu do đầu đọc đọc được trên băng và trạng thái của bộ điều khiển, máy sẽ thực hiện các bước sau:  Chuyển trạng thái.  In một ký hiệu trên băng tại ô đang duyệt (nghĩa là thay

đọc hay viết ký hiệu.

ký hiệu đọc được trên băng bằng ký hiệu nào đó).

 Dịch chuyển đầu đọc – viết (sang trái (L), sang phải (R)

Input, Bộ nhớ, Output

hoặc đứng yên ()).

 Một cách hinh thức, ta định nghĩa máy Turing (TM) như

Bộ điều khiển

a1 a2 … ai an B B B B …

4

3

1 MÔ TẢ MÁY TURING (TT)

 Định nghĩa: TM là một hệ thống gồm các thành phần M(, Q,

 Một hinh thái (thể hiện) của máy Turing M được cho bởi 1q2, trong đó q là trạng thái hiện hành của M; 12  * là nộ dung của băng tính từ đầu băng cho tới ký hiệu khác Blank bên phải nhất của băng. Giả sử Q và  rời nhau: đầu đọc đang đọc ký hiệu bên trái nhất của 2 hoặc nếu 2 =  thì đầu đọc đọc Blank.

 Hàm chuyển: Ta định nghĩa một phép chuyển trạng thái của TM như

Đặt X1X2…Xi-1qXi…Xnlà một thể hiện của TM.

, , q0, B, F), trong đó:  : bộ ký hiệu nhập.  Q: tập hữu hạn các trạng thái.  : tập hữu hạn các ký tự được phép viết trên băng.  B: ký hiệu thuộc  dùng để chỉ khoảng trắng trên băng (Blank).  : hàm chuyển ánh xạ: Q x   Q x  x {L, R, } ( có thể không

 Giả sử (q, Xi) = (p, Y, L), trong đó:

xác định với một vài đối với).

Nếu i – 1 = n thì Xi là B. Nếu i= 1 thì không có ID kế tiếp, nghĩa là đầu đọc không được

 q0  Q là trạng thái bắt đầu.  F  Q là tập các trạng thái kết thúc.

phép vượt qua cận trái của băng.

5

6 MÔ TẢ MÁY TURING (TT)

NỘI DUNG

Nếu i>1 ta viết: X1X2…Xi-1qXi…Xn |M X1X2…Xi-2pXi-1YXi+1…Xn

1. Mô tả máy Turing. 2. Ngôn ngữ chấp nhận

X1X2…Xi-1qXi…Xn |M X1X2…Xi-1YpXi+1…Xn

bởi TM

 Tương tự (q, Xi) = (p, Y, R) thì ta viết:  Tương tự (q, Xi) = (p, Y,) thì ta viết:

3. TM thực hiện hàm tính 4. Chương trình con.

X1X2…Xi-1qXi…Xn |M X1X2…Xi-1pYXi+1…Xn Chú ý rằng nếu i-1 = n thì chuỗi Xi…Xn là rỗng và vế phải dài hơn vế trái, nghĩa là TM M mở rộng chuỗi ký hiệu trên băng.

7

8

2 NGÔN NGỮ CHẤP NHẬN BỞI TM

GIẢI THUẬT

 Ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM: Ký hiệu L(M): tập hợp các chuỗi trong * là nguyên nhân đưa TM M đi đến trạng thái kết thúc khi đã thực hiện việc thay thế từ bến trái các ký hiệu trên băng của M với trạng thái bắt đầu q0. Một cách hình thức, ta định nghĩa tập hợp ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM M(, Q, , , q0, B, F) là tập: L(M) = {w| w  * và q0w |*

M 1p2 với p  F còn 12

B1: Input : w = 0n1n Output : yes , w  L No, w L B2 : ý tưởng chung: Khởi đầu TM chứa 0n1n bên trái nhất trên

*}

băng sau đó là vô hạn khoảng trống Blank. TM lặp lại quá trình sau:

9

10

 Ví dụ 6.1: Thiết kế TM chấp nhận ngôn ngữ L = {0n1n | n  1 }

GIẢI THUẬT (TT)

 TM thay 0 bên trái nhất bằng X rồi chuyển sang phải tới 1 trái nhất, TM thay 1 này bằng Y rồi dịch chuyển về bên trái cho tới khi gặp X phải nhất nó chuyển sang phải một ô (tới 0 trái nhất) rồi tiếp tục lập một chu trình mới.

 Nếu trong khi chuyển sang phải để tìm 1 mà TM gặp Blank thì TM dừng lại và không chấp nhận input. Tương tự, khi TM đã thay hết 0 bằng X và kiểm tra còn 1 trên băng thì TM cúng dừng và không chấp nhận input.

 TM chấp nhận input nếu như cũng không còn ký hiệu 1 nào trên

 Ta có thể hình dung mỗi trạng thái là một câu lệnh hoặc một nhóm câu lệnh trong chương trình. Trạng thái q0 là trạng thái khởi đầu và nó làm cho ký hiệu 0 bên trái nhất thay bằng X. Trạng thái q1 được dùng để tiến sang phải bỏ qua các số 0 và Y để tìm 1 bên trái nhất. Nếu M tìm thấy 1 nó thay bằng 1 bằng Y rồi đi vào trạng thái q2. Trạng thái q2 đưa M tiến sang trái cho tới X đầu tiên và đi vào trạng thái q0, dịch chuyển sang phải để tới 0 bên trái nhất và tiếp tục một chu trình mới. Khi M tiến sang phải trong trạng thái q1, nếu B hoặc X được tiếp thấy trước 1 thì input bị loại bỏ (không chấp nhận) vì có chứa nhiều ký hiệu 0 hơn 1 hoặc input không có dạng 0*1*.

băng nữa.  B3: Thiết kế:  Đặt TM: M(, Q, , , q0, B, F) với các thành phần:

={0, 1}; Q={q0, q1, q2, q3, q4}; ={0,1, X, Y, B} và F={q4}

11

12

3

 Ký hiệu 1 X B - - - - - (q2, Y, L) - - 0 (q1, X, R) (q1, 0, R) (q2, 0, L) (q0, X, R)

B4 : Các phép chuyển hinh thái của TM M trên input 0011:

 Trạng thái q0 còn có vai trò khác. Nếu trạng thái q2 tìm thấy X bên phải nhất thì ngay sau đó là Y thì các con số 0 đã được xét hết, do đó ở trạng thái bắt đầu một chu trình mới q0 không tìm thấy ký hiệu 0 nào để thay thành X mà chỉ gặp Y thì M đi vào trạng thái q3 duyệt qua các Y để kiểm tra có hay không có ký hiệu 1 còn lại. Nếu theo ngay sau các Y là B, nghĩa là trên băng nhập không còn ký hiệu bào cả thì M sẽ đi vào q4 (trạng thái kết thúc) để chấp nhận input. Ngược lại input bị loại bỏ.

 Hàm chuyển  được cho bởi bảng sau:

q00011 | Xq1011 | X0q111 | Xq20Y1 | q2X0Y1 | Xq00Y1 | XXq1Y1 | XXYq11 | XXq2YY | Xq2XYY | XXq0YY | XXYq3Y | XXYYq3 | XXYYq4

Output: Yes

- - - Y (q3, Y, R) (q1, Y, R) (q2, Y, L) (q3, Y, R) - (q4, B, ) - Trạng thái q0 q1 q2 q3 q4

13

14

NỘI DUNG

 B5: Thiết kế thuật toán  B6: Cài đặt thuật toán  B7: Testing Demo

1. Mô tả máy Turing. 2. Ngôn ngữ chấp nhận bởi

3. TM thực hiện hàm tính 4. Chương trình con.

15

16

4 MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH

MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)

 Ngôn ngữ được chấp nhận bởi một máy Turing được gọi là ngôn ngữ đệ qui liệt kê. Lớp ngôn ngữ này rất rộng nó chứa ngôn ngữ phi ngữ cảnh và một số ngôn ngữ khác.

 Máy Turing như một máy tính hàm số nguyên:

 Ví dụ 6.2: Thiết kế máy Turing tính toán phép trừ riêng Ta định nghĩa phép trừ riêng như sau:

m – n nếu m  n

 Máy Turing cũng có thể được xem như là một máy tính của các hàm

f(m,n) = m\n =

số nguyên (đi từ tập số nguyên đến tập số nguyên).

0 nếu m

 Mỗi số nguyên ta viết dưới dạng số trong hệ nhất phân (unary), tức

là với một số i  0 ta viết thành chuỗi 0i (gồm i chữ số 0).

Input: 0m10n Output: 0m\n

 Nếu hàm f có k đối số i1, i2, …, ik thì ta viết lần lượt các số nguyên này trên băng của TM ngăn cách nhau bởi 1, nghĩa là input có dạng 0i110i2…0ik. Nếu TM dừng (chấp nhận hoặc không chấp nhận) với băng 0m thì ta nó f(i1,i2,…,ik) = m

17

18 MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)

ii. Khi bắt đầu một vòng lặp mới, M không tìm thấy 0 để đổi thành B, lúc này m số 0 đầu đã bị đổi thành B, trường hợp này xảy ra khi m  n. Khi đó, M thay tất cả các sô1 1 và 0 trên băng thành B để cho kết quả phép trừ thành 0 (biểu diễn gồm toàn ký hiệu B trong hệ nhất phân).

Ta xây dựng TM như sau: M({0, 1}, {q0, q1,…, q6}, {0, 1,

M lặp lại việc thay thế lần lược từng số 0 ở đầu băng bằng B rồi tiến sang phải, ra sau 1 tìm 0 và thay thế 0 này bằng 1. M lại chuyển sang trái cho đến khi gặp B đầu tiên thì dừng lại, trở về trạng thái bắt đầu và tiếp tục vòng lặp như trên. M dừng nếu: i. Khi tìm 0 bên phải, M gặp B. Lúc này M đã thay n số 0 bên phải 0m10n thành 1 và n+1 số 0 bên trái thành B, trường hợp này xảy ra khi trong chuỗi input có m>n. Do vậy M phải thay lại tất cả n +1 số 1 sau thành B, và sau đó dịch trái thay trả lại một B về thành 0, cuối cùng trên băng còn lại kết quả phép trừ là m-n số 0.

B}, , q0, B, {q6}).

TM sẽ bắt đầu bằng 0m10n trên băng và kết thúc với 0m\n

trên băng. Các phép chuyển trạng thái được định nghĩa như sau:

19

20

5 MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)

(q0, 0) = (q1, B, R) 1. M thay 0 đầu băng bởi B (q1, 0) = (q1, 0, R) (q1, 1) = (q2, 1, R)

2. M di chuyển sang phải qua 0 tìm 1

(q2, 1) = (q2, 1, R) (q2, 0) = (q3, 1, L)

3. M di chhuyển sang phải vượt qua 1 đến khi gặp 0, đổi 0 thành 1.

(q3, 0) = (q3, 0, L) (q3, 1) = (q3, 1, L) (q3, B) = (q0, B, R)

4. M dịch trái tới khi gặp B, trở về trạng thái q0 và bắt đầu một vòng lặp mới.

5. (q2, B) = (q4, B, L) (q4, 1) = (q4, B, L) (q4, 0) = (q4, 0, L) (q4, B) = (q6, 0, ) Nếu ở trạng thái q2 sang phải tìm 0 để thay thành 1 nhưng chỉ gặp B thì ta xét trường hợp kết thúc i) ở trên: TM chuyển sang trạng thái q4 và chuyển sang trái đổi tất cả 1 thành B cho đến khi gặp 1 B bên trái đầu tiên. B này sẽ được thay lại thành 0 rồi M đi vào trạng thái kết thúc q6 và dừng. 6. (q0, 1) = (q5, B, R) (q5, 0) = (q5, B, R) (q5, 1) = (q5, B, R) (q5, B) = (q6, B, )

21

22 MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)

NỘI DUNG

1. Mô tả máy Turing. 2. Ngôn ngữ chấp nhận bởi

Nếu ở trạng thái bắt đầu vòng lặp mới q0 gặp 1 thay vì gặp 0, thì khối các sô 0 bên trái đã xét hết, đây là trường hợp kết thúc ii) nêu trên: TM sẽ đi vào trạng thái q5, xóa phần còn lại của băng rồi đi vào trạng thái kết thúc q6 và dừng.  Chẳng hạn TM tính toán phép trừ 2\1 (tức input 0010) như

3. TM thực hiện hàm tính 4. Chương trình con.

q00010 | Bq1010 | B0q110 | B01q20 | B0q311 | Bq3011 | q3B011 | Bq0011 | BBq111 | BB1q21 | BB11q2 | BB1q41 | BBq41 | Bq4BB | Bq60B.

23

24

6 CHƯƠNG TRÌNH CON

CHƯƠNG TRÌNH CON (TT)

Phần chính của thủ tục trên là thủ tục COPY để chép n số 0 sang phải.

Thủ tục này được xác định bằng hàm chuyển sau:

 TM có thể đóng vai trò như một đoạn chương trình con với trạng thái bắt đầu và trạng thái kết thúc để thực hiện lặp lại một công việc nào đó.

 Ví dụ 6.3: Thiết kế TM tính toán hàm nhân 2 đối số f(m,n)

= mxn.

2 B

M bắt đầu với 0m10n trên băng và kết thúc với 0mn trên

băng được bao quanh bởi các Blank.

Ý tưởng chung là đặt thêm 1 sau 0m10n rồi chép khối n số 0 sang phải m lần, mỗi lần xóa một con số 0 bên trái của 0m. Ta được kết quả cuối cùng là 10n10mn. Giờ chỉ việc xóa 10n1 ta được kết quả 0mn.

Ở trạng thái q1 nhìn thấy 0, M đổi 0 thành 2 và đi vào trạng thái q2. Ở trạng thái q2 M dịch phải tới Blank viết 0 rồi dịch trái trong trạng thái q3. Khi ở trạng thái q3 mà gặp 2 M đi vào trạng thái q1 để tiếp tục lặp lại quá trình trên cho tới khi gặp 1.

(q3, 0, L) 0 (q2, 2, R) (q2, 0, R) (q3, 0, L) 1 (q4, 1, L) (q2, 1, R) (q3, 1, L) (q5, 1, R) q1 q2 q3 q4 (q1, 2, R) (q4, 0, L)

25

26 CHƯƠNG TRÌNH CON (TT)

Trạng thái q4 được dùng để biến đổi 2 thành 0 và thủ tục dừng tai q5. Để làm đầy đủ chương trình ta phải thêm các trạng thái để biến đổi ID khởi đầu q00m10n thành B0m-11q10n1. Tức là ta cần 3 qui tắc:

1 2 B 0 (q7, 0, L) (q8, 1, L)

(q0, 0) = (q6, B, R) (q6, 0) = (q6, 0, R) (q6, 1) = (q1, 1, R)

(q9, 0, L) (q9, 0, L) (q10, B, R) (q0, B, R)

Sau đó, ta lại thêm các trạng thái cần thiết để biến đổi ID Bi0m-i1q50n10ni thành Bi+10m-i-11q10n10ni là trạng thái bắt đầu lại COPY và kiểm tra có hay không i=m (tất cả các 0 của 0m đã bí xóa). Nếu i=m thì 10n1 bị xóa và tính toán dừng lại trạng thái q12

Vì input chỉ có 0m10n ta muốn có 0m10n1 trên băng ta cần thêm vào các hàm chuyển trạng thái như sau:

q5 q7 q8 q9 q10 q11 (q11, B, R) (q11, B, R) (q12, B, R)