Bài giảng Phân tích chuỗi thời gian

ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN KHOA TOÁN KINH TẾ Bộ môn Toán Kinh tế

Bài giảng PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN

Bùi Dương Hải www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai 2020

Thông tin học phần

▪ Tiếng Việt: Phân tích Chuỗi Thời gian ▪ Tiếng Anh: Time Series Analysis ▪ Số tín chỉ: 3 ▪ Giảng viên: Bùi Dương Hải ▪ Liên hệ: haibd@neu.edu.vn ▪ Website: www.mfe.edu.vn/buiduonghai ▪ Đánh giá: 10% chuyên cần, 30% bài kiểm tra, 60%

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

bài thi

Tài liệu

▪ [1] Nguyễn Quang Dong, Nguyễn Thị Minh (2018),

Giáo trình Kinh tế lượng, NXB ĐH KTQD.

▪ [2] Nguyễn Quang Dong, (2008), Kinh tế lượng nâng

cao, NXB KHKT.

▪ [3] Phạm Thế Anh, (2013), Kinh tế lượng ứng dụng –

Phân tích chuỗi thời gian, NXB Lao Động.

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Phần mềm thực hành: Eviews 10. ▪ Dữ liệu: www.mfe.edu.vn/buiduonghai → NEU – chuyên ngành → Phân tích chuỗi thời gian

Nội dung

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Bài 1. Nhắc lại về Kinh tế lượng ▪ Bài 2. Số liệu chuỗi thời gian ▪ Bài 3. Làm trơn và ngoại suy chuỗi thời gian ▪ Bài 4. Tính dừng và AR – MA ▪ Bài 5. Mô hình ARMA ▪ Bài 6. Tích hợp – đồng tích hợp ▪ Bài 7. Mô hình VAR ▪ Bài 8. Mô hình ARCH – GARCH

Bài 1. NHẮC LẠI VỀ KINH TẾ LƯỢNG

▪ Biến phụ thuộc 𝑌, biến độc lập 𝑋2, … , 𝑋𝑘 ▪ Mô hình tổng thể

• 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘 + 𝑢 • 𝑢: sai số ngẫu nhiên, rất quan trọng

2 → min

▪ Số liệu chéo, hồi qui mẫu

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• Tìm መ𝛽𝑗 ෠𝑌𝑖 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + መ𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 • • 𝑌𝑖 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + መ𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑒𝑖 ▪ Ước lượng OLS trên mẫu 𝑛 quan sát 𝑛 𝑒𝑖 𝑗 = 1, 𝑘 : 𝑅𝑆𝑆 = σ𝑖=1

Các giả thiết OLS với số liệu chéo

▪ Giả thiết 1. Mẫu ngẫu nhiên độc lập ▪ Giả thiết 2. Trung bình sai số bằng 0 ▪ Giả thiết 3. Phương sai sai số không đổi ▪ Giả thiết 4. Không có đa cộng tuyến hoàn hảo ▪ Giả thiết 5. Sai số phân phối Chuẩn

𝑂𝐿𝑆) nhỏ nhất

→ Các UL OLS là Tuyến tính, không chệch, hiệu quả.

𝑂𝐿𝑆 = 𝛽𝑗; 𝑉𝑎𝑟( መ𝛽𝑗

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝐸 መ𝛽𝑗

Kiểm định T và F

▪ ൝

𝐻0: 𝛽𝑗 = 0: hệ số không có ý nghĩa thống kê 𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0

𝑛−𝑘 so sánh với 𝑡𝛼/2

𝑇 =

መ𝛽𝑗 − 0 𝑆𝑒( መ𝛽𝑗)

𝑚,𝑛−𝑘

▪ ቊ

𝐹 = so sánh với 𝑓𝛼

𝐻0: 𝑚 hệ số = 0 𝐻1: ít nhất một hệ số ≠ 0 (𝑅𝑆𝑆𝑅 − 𝑅𝑆𝑆𝑈𝑅)/𝑚 𝑅𝑆𝑆𝑈𝑅/(𝑛 − 𝑘)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

Bài 2. SỐ LIỆU CHUỖI THỜI GIAN

▪ Biến ngẫu nhiên theo thời gian (𝑌|𝑡) ▪ Chuỗi thời gian 𝑌𝑡, 𝑡 = 1,2, … , 𝑇. ▪ Tần xuất (frequency): Năm, quí, tháng, tuần, ngày,…

• 𝐺𝐷𝑃1990 ⋯ 𝐺𝐷𝑃2019; • 𝐶𝑃𝐼2000𝑄1 ⋯ 𝐶𝑃𝐼2019𝑄3 • 𝐸𝑋2004𝑀1 ⋯ 𝐸𝑋2019𝑀12

▪ Mô hình

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑡 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡 + 𝑢𝑡 • 𝑌𝑡 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋2𝑡 + ⋯ + መ𝛽𝑘𝑋𝑘𝑡 + 𝑒𝑡

Đánh giá mô hình số liệu chuỗi TG

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Hàm hồi qui phù hợp? ▪ Hệ số xác định 𝑅2, ത𝑅2 ▪ Ước lượng các hệ số? ▪ Hệ số có ý nghĩa thống kê? ▪ Các hiện tượng • Dạng hàm • Phương sai sai số thay đổi • Đa cộng tuyến • Tự tương quan

Đánh giá mô hình số liệu chuỗi TG

▪ Tự tương quan thuần → Không hiệu quả ▪ Tự tương quan do dạng hàm sai → Chệch. ▪ Kiểm định tự tương quan ▪ Durbin-Watson

• 𝐷𝑊 ≈ 2: không có tự tương quan • 𝐷𝑊 → 0 hoặc 4: có tự tương quan.

▪ Kđ Breusch-Godfrey

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝐻0: không có tự tương quan • 𝐻1: có tự tương quan

Đánh giá mô hình số liệu chuỗi TG

𝐹 = ෠𝑌𝑡

𝐹 − 𝑌𝑡

1 𝑚

• 𝑀𝐴𝐸 = ▪ Tiêu chuẩn AIC, SIC, HQ (càng nhỏ càng tốt) ▪ Tiêu chuẩn Maximum likelihood ▪ Giá trị dự báo: 𝑌𝑡 ▪ Sai số dự báo cho m quan sát; 𝑒𝑡 = 𝑌𝑡 𝑚 |𝑒𝑡| σ𝑖=1

1 𝑚

• 𝑅𝑀𝑆𝐸 = σ𝑖=1

• 𝑀𝐴𝑃𝐸 =

⋅ 100%

σ𝑖=1

1 𝑚

𝑚 𝑒𝑡 2 𝑚 |𝑒𝑡| 𝑌𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

Trễ và Sai phân

▪ Trễ (Lag): 𝐿 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 ;

• 𝐿2 𝑌𝑡 = 𝐿 𝐿 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−2 • 𝐿𝑝 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−𝑝 ▪ Sai phân (Difference)

Bậc nhất Δ𝑌𝑡 Δ2𝑌𝑡 Hai kì Δ2𝑌𝑡 Bậc hai

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−2 Δ(Δ𝑌𝑡) 𝑌𝑡 − 2𝑌𝑡−1 + 𝑌𝑡−2 1 − 𝐿 𝑌𝑡 1 − 𝐿2 𝑌𝑡 (1 − 𝐿)(1 − 𝐿)𝑌𝑡 1 − 𝐿 2𝑌𝑡

Sai phân và dạng xu thế

Đồ thị 𝑌𝑡

Δ𝑌𝑡 0 Δ2𝑌𝑡 0

(+) 0

(+) (+)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

(+) (−)

Bài 3. SAN CHUỖI VÀ NGOẠI SUY

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ 3.1. Hồi qui theo xu thế thời gian (time trend) ▪ 3.2. San chuỗi đơn (single smoothing) ▪ 3.3. San mũ đơn và kép (exponential smoothing) ▪ 3.4. Lọc Hodrick – Prescott ▪ 3.5. Hiệu chỉnh mùa vụ (seasonal adjusted) ▪ 3.6. Mô hình Holt-Winters ▪ 3.7. Hồi qui xu thế và mùa vụ (seasonal dummies)

3.1. Hồi qui theo xu thế thời gian

▪ Tổng quát: 𝑌𝑡 = 𝑓 𝑡 + 𝑢𝑡

𝑌𝑡 = 𝑒𝛽1+𝛽2𝑡+𝑢𝑡 𝑌𝑡 = 𝑒𝛽1𝑡𝛽2𝑒𝑢𝑡

Lin-lin 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡 Lin-log 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑡 + 𝑢𝑡 Log-lin ln 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡 Log-log ln 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑡 + 𝑢𝑡 Inverse

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2

+ 𝑢𝑡

1 𝑡

𝐹 = መ𝑓(𝑡)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Chuỗi ෠𝑌𝑡 là chuỗi loại bỏ xu thế (detrended) ▪ Dự báo: 𝑌𝑡

3.2. San chuỗi đơn

𝑀𝐴 =

▪ Dùng trung bình trượt (moving average)

𝑊𝑀𝐴5 = 𝑌𝑡

𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 + 𝑌𝑡 + 𝑌𝑡+1 𝑀𝐴3 = 𝑌𝑡 3 𝑌𝑡−𝑚 + ⋯ + 𝑌𝑡 + ⋯ + 𝑌𝑡+𝑚 2𝑚 + 1

▪ Trung bình trượt có trọng số (weighted), ví dụ 𝑌𝑡−2 + 2𝑌𝑡−1 + 4𝑌𝑡 + 2𝑌𝑡+1 + 𝑌𝑡+2 10

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Lưu ý: mất đi một số quan sát đầu và cuối

3.3. San mũ

▪ San mũ đơn (Single exponential smoothing: SES) ▪ Chuỗi không có xu thế, không mùa vụ, biến đổi ít ▪ Không dùng để dự báo

𝑆𝐸𝑆 = 𝛼𝑌𝑡 + 𝛼 1 − 𝛼 𝑌𝑡−1 + 𝛼 1 − 𝛼 2𝑌𝑡−2 + ⋯ ∞ 1 − 𝛼 𝑖𝑌𝑡−𝑖 𝑆𝐸𝑆 = 𝛼 σ𝑖=0 𝑆𝐸𝑆 𝑆𝐸𝑆 = 𝛼𝑌𝑡 + (1 − 𝛼)𝑌𝑡−1

𝑆𝐸𝑆 2 → 𝑚𝑖𝑛

• 𝑌𝑡 • 𝑌𝑡 • 𝑌𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Hằng số san mũ 𝛼 ▪ Tìm 𝛼 sao cho 𝑅𝑆𝑆 = σ𝑖 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡

3.3. San mũ

𝑆𝐸𝑆 𝑆𝐸𝑆 = 𝛼𝑌𝑡 + (1 − 𝛼)𝑌𝑡−1 𝐷𝐸𝑆 = 𝛼𝑌𝑡

𝐷𝐸𝑆 𝑆𝐸𝑆 + (1 − 𝛼)𝑌𝑡−1

▪ San mũ kép (double exponential smoothing - DES) ▪ San mũ đơn hai lần, có thể dự báo xu thế tuyến tính

𝑆𝐸𝑆

𝐷𝐸𝑆 ; 𝛽2 =

• San lần 1: 𝑌𝑡 • San lần 2: 𝑌𝑡 • Công thức dự báo: 𝐹 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 𝑌𝑇+𝑘

𝑆𝐸𝑆 − 𝑌𝑇

𝐷𝐸𝑆 − 𝑌𝑇 𝑌𝑇

𝛼 1−𝛼

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

Với 𝛽1 = 2𝑌𝑇

3.4. Mô hình lọc Hodrick - Prescott

𝐻𝑃 để tối thiểu hóa sai số, có ràng buộc

▪ Tìm chuỗi 𝑌𝑡

𝑇

𝐻𝑃 2

về sai phân bậc 2

𝐻𝑃 2 + 𝜆 σ𝑡=2

→ min 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡 Δ2𝑌𝑡 • 𝐻𝑃 = σ𝑡=0

𝜆 = 100

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ 𝜆 càng lớn chuỗi càng gần tuyến tính ▪ Thông thường: • Số liệu năm: • Số liệu quí: 𝜆 = 1600 • Số liệu tháng: 𝜆 = 14400

3.5. Hiệu chỉnh mùa vụ

▪ Mùa vụ: chu kỳ lặp lại sau mỗi năm ▪ Số liệu quí: 4 mùa vụ; Tháng 12 mùa vụ, tuần 52 ▪ Dạng Cộng và dạng Nhân ▪ Dạng cộng: Yếu tố mùa vụ không chịu ảnh hưởng

của thời gian: độ chênh lệch là như nhau trong các năm

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Dạng nhân: Yếu tố mùa vụ kết hợp với thời gian, độ chênh lệch càng về sau càng lớn (nếu chuỗi tăng dần) hoặc càng nhỏ (nếu chuỗi giảm dần)

3.5. Hiệu chỉnh mùa vụ | Số liệu quí

𝐴 + 𝑄2

𝐴 + 𝑄3

𝑆𝐴𝐴 = 𝑌𝑖𝑗 − 𝑄𝑗 𝐴

▪ Dạng cộng, tính chênh lệch so với trung bình trượt (difference from moving average) 4 hệ số mùa vụ 𝐴 = 0 𝐴 + 𝑄4 • 𝑄1 • Chuỗi hiệu chỉnh, số liệu năm 𝑖, quí 𝑗 𝑆𝐴𝐴 = 𝑌𝑖𝑗 𝑌𝑡

▪ Dạng nhân, tính tỉ số so với trung bình trượt (ratio

𝑀 = 1

𝑀 × 𝑄4

𝑀 × 𝑄2 𝑆𝐴𝑀 =

𝑀 × 𝑄3 𝑌𝑖𝑗 𝑀 𝑄𝑗

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

from moving average): 𝑄1 𝑆𝐴𝑀 = 𝑌𝑖𝑗 𝑌𝑡

3.6. Mô hình Holt-Winters

▪ Mô hình Holt-Winters không mùa vụ ▪ Dự báo xu thế tuyến tính, mô hình có hai hệ số

• Bước 1: 𝜏1 = 𝑌1 − 𝑌0 và ෠𝑌1 = 𝑌1

• Bước 𝑡 : ቐ

෠𝑌𝑡 = 𝛼𝑌𝑡 + 1 − 𝛼 ෠𝑌𝑡−1 + 𝜏𝑡−1 𝜏𝑡 = 𝛽 ෠𝑌𝑡−1 + 𝜏𝑡−1 + 1 − 𝛽 𝜏𝑡−1

• Tìm 𝛼, 𝛽 sao cho 𝑅𝑆𝑆 nhỏ nhất

𝐹 = ෠𝑌𝑇 + 𝑘 ⋅ 𝜏𝑇 𝑌𝑇+𝑘

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Công thức dự báo

3.6. Mô hình Holt-Winters

▪ Mô hình Holt-Winters có mùa vụ: có ba hệ số 𝛼, 𝛽, 𝛾 ▪ Holt-Winters có mùa vụ dạng Cộng • Tổng các hệ số mùa vụ bằng 0 • Công thức dự báo 𝐹 = ෠𝑌𝑇 + 𝑘 ⋅ 𝜏𝑇 + 𝑆tương ứng 𝑌𝑇+𝑘

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Holt-Winters có mùa vụ dạng Nhân • Tích các hệ số mùa vụ bằng 1 • Công thức dự báo 𝐹 = ෠𝑌𝑇 + 𝑘 ⋅ 𝜏𝑇 𝑆tương ứng 𝑌𝑇+𝑘

3.7. Phân tích thành phần

▪ Yếu tố chu kì (Cyclical): 𝐶 ▪ Yếu tố xu thế (Trend): 𝑇 ▪ Yếu tố mùa vụ (Seasonal): 𝑆 ▪ Yếu tố bất qui tắc (Irregular): 𝐼 ▪ Mô hình dạng Cộng (additive) • 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝑇𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐼𝑡

▪ Mô hình dạng Nhân (multiplicative)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 ⋅ 𝑇𝑡 ⋅ 𝑆𝑡 ⋅ 𝐼𝑡

Hồi qui với xu thế và biến giả mùa vụ

▪ Ví dụ: số liệu quí, đặt 4 biến giả, dùng tối đa 3 biến ▪ Giả sử lấy quí 1 làm gốc ▪ Mô hình xu thế tuyến tính

• 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛼2𝑆2 + 𝛼3𝑆3 + 𝛼4𝑆4 + 𝑢𝑡 ▪ Mô hình xu thế tuyến tính và tương tác mùa vụ

• 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛼2𝑡 ⋅ 𝑆2 + 𝛼3𝑡 ⋅ 𝑆3 + 𝛼4𝑡 ⋅ 𝑆4 + 𝑢𝑡

▪ Mô hình xu thế log-lin

• ln 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛼2𝑆2 + 𝛼3𝑆3 + 𝛼4𝑆4 + 𝑢𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

Bài 4. TÍNH DỪNG & CHUỖI ARMA

▪ Mục tiêu: phân tích ảnh hưởng của sốc quá khứ và

dự báo cho chuỗi thời gian

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ 4.1. Tính dừng ▪ 4.2. Hàm ACF và PACF ▪ 4.3. Nhiễu trắng ▪ 4.4. Quá trình Trung bình trượt (MA) ▪ 4.5. Quá trình Tự hồi qui (AR) ▪ 4.6. Tính khả nghịch ▪ 4.7. Dự báo chuỗi dừng

4.1. Tính dừng (stationary)

▪ Tính dừng (stationary) của chuỗi thời gian ▪ Dừng chặt (strongly stationary): không xét ▪ Dừng yếu (weakly stationary): với mọi 𝑡

• • • ∀𝑡 (1) 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 (2) 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎2 ∀𝑡 (3) 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘 = 𝛾𝑘 ∀𝑡

▪ Vi phạm ít nhất một: không dừng (non-stationary)

𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡,𝑌𝑡−𝑘 𝜎 𝑌𝑡 𝜎(𝑌𝑡−𝑘)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

không đổi ▪ Từ (2) và (3) 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘) =

4.2 Hàm ACF và PACF

▪ Hàm tự tương quan

=

𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 𝜌𝑘 =

𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘) 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) 𝛾𝑘 𝛾0

▪ Hàm tự tương quan riêng (partial ACF): loại bỏ tác

𝜌2−𝜌11𝜌1 1−𝜌11𝜌1

động của các trễ khác • 𝑃𝐴𝐶𝐹 1 = 𝜌11 = 𝜌1 • 𝑃𝐴𝐶𝐹 2 = 𝜌22 =

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Eviews tự động tính ො𝜌𝑘 và ො𝜌𝑘𝑘 trên mẫu

4.3. Nhiễu trắng

▪ Chuỗi 𝑢𝑡 là Nhiễu trắng (white noise) nếu

• ൞

𝐸 𝑢𝑡 = 0 ∀𝑡 = 𝜎2 ∀𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑡, 𝑢𝑡−𝑝 = 0 ∀𝑡

▪ Nhiễu trắng là chuỗi dừng, i.i.d (independent

identified distributed) • 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 0 ∀𝑘 ≠ 0

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Tương tự nhiễu trắng: • 𝑌𝑡 = 𝛼1 + 𝛼2𝑢𝑡

4.4. Trung bình trượt (MA)

▪ Chuỗi là trung bình trượt bậc 1, kí hiệu 𝑀𝐴(1) nếu

• 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 • với 𝑢𝑡 là nhiễu trắng

•

𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 2) 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎2(1 + 𝜃1 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−1 = 𝜎2𝜃1 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘 = 0 ∀𝑘 > 1

▪ Chuỗi MA(1) là dừng

𝜃 1+𝜃2

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝐴𝐶𝐹 1 = ; 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 0 ∀𝑘 > 1

3.4. Trung bình trượt (MA)

2 + ⋯ + 𝜃𝑞 2)

▪ Trung bình trượt bậc q: MA(q), với 𝑢𝑡 là nhiễu trắng

2 + 𝜃2𝜃1 + ⋯ ; 2 + 𝜃3𝜃1 + ⋯ ;

•

• 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑞𝑢𝑡−𝑞 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇; 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎2(1 + 𝜃1 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−1 = 𝜎2 𝜃1 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−2 = 𝜎2 𝜃2 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘 = 0 ∀𝑘 > q

▪ Chuỗi 𝑀𝐴(𝑞) là dừng

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0; 𝐴𝐶𝐹 2 ≠ 0; … ; 𝐴𝐶𝐹 𝑞 ≠ 0 • 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = 0 ∀𝑘 > 𝑞

4.4. Trung bình trượt (MA)

∞ 𝜃𝑖𝑢𝑡−𝑖

∞ |𝜃𝑖| < ∞

▪ Trung bình trượt vô hạn 𝑀𝐴(∞) ▪ 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 + ⋯ = 𝜇 + σ𝑖=0 ▪ Là chuỗi dừng nếu σ𝑖=0

▪ Biểu diễn dạng toán tử trễ

• MA(1): 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝐿 𝑢𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝜃1𝐿 𝑢𝑡 • MA(q): 𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝜃1𝐿 + 𝜃2𝐿2 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐿𝑞 𝑢𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

= 𝜇 + 𝜙 𝐿 𝑢𝑡

4.4. Trung bình trượt (MA)

𝑢𝑡

𝑢𝑡−3

𝑢𝑡−1

𝑢𝑡−2

▪ 𝑀𝐴 1 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 𝑌𝑡

𝑢𝑡−1

𝑢𝑡−3

𝑢𝑡

𝑢𝑡−2

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ 𝑀𝐴(2) 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3 𝑌𝑡

4.5. Tự hồi qui (Autoregression)

▪ Bước ngẫu nhiên không hằng số (random walk

với 𝑢𝑡 là nhiễu trắng

without drift) • 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • 𝑌𝑡 = 𝑌0 + (𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑡)

= 𝑌0 = 𝑡𝜎2

• ൞

𝐸 𝑌𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘 = 𝑡 − 𝑘 𝜎2

▪ Bước ngẫu nhiên là không dừng, sốc bảo tồn, không

𝑡−𝑘 𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

dự đoán được xu thế • 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = xấp xỉ 1 nếu 𝑡 lớn, 𝑘 nhỏ

4.5. Tự hồi qui | Bước ngẫu nhiên

▪ Bước ngẫu nhiên có hằng số (r.w with drift)

với 𝑢𝑡 là nhiễu trắng

• 𝑌𝑡 = 𝝁 + 𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • 𝑌𝑡 = 𝑡𝜇 + 𝑌0 + (𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑡)

= 𝑡𝜇 + 𝑌0 = 𝑡𝜎2 • ൞

𝐸 𝑢𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑡 𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑡, 𝑢𝑡−𝑘 = 𝑡 − 𝑘 𝜎2

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝐴𝐶𝐹 𝑘 = xấp xỉ 1 nếu 𝑡 lớn, 𝑘 nhỏ ▪ Là chuỗi không dừng ▪ Xu thế tăng 𝜇 > 0; giảm nếu 𝜇 < 0. 𝑡−𝑘 𝑡

4.5. Tự hồi qui | AR(1)

𝑡−1𝑢1)

▪ Tự hồi qui bậc 1 – AR(1) không hằng số:

𝑡𝑌0 + (𝑢𝑡 + 𝜙1𝑢𝑡−1 + ⋯ + 𝜙1

• 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • 𝑌𝑡 = 𝜙1

2𝑡

𝐸 𝑌𝑡

▪ 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡

𝑡𝑌0 = 𝜙1 = 𝜎2 1−𝜙1 2 1−𝜙1 𝑘𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡−𝑘 )

𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘 = 𝜙1

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Tính dừng, 𝐴𝐶𝐹 phụ thuộc vào giá trị của 𝜙1

4.5. Tự hồi qui | AR(1)

▪ AR(1) không hằng số: 𝑌𝑡 = 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 ▪ 𝜙1 > 1: bùng nổ, không xảy ra trong thực tế ▪ |𝜙1| = 1: bước ngẫu nhiên, không dừng ▪ |𝜙1| < 1: hội tụ về dừng khi 𝑡 tăng, khi đó

𝐸 𝑌𝑡 → 0

𝜎2 2 1−𝜙1

𝑘𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 )

• 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 →

𝑘 giảm dần về 0

𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘 → 𝜙1

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝐴𝐶𝐹 ≈ 𝜙1

4.5. Tự hồi qui | AR(1)

𝑡−1 + 𝜙1

• 𝑌𝑡 = 𝜇 1 + 𝜙1 + ⋯ + 𝜙1

𝑡𝑌0

+(𝑢𝑡 + 𝜙1𝑢𝑡−1 + ⋯ + 𝜙1

2𝑡

▪ AR(1) có hằng số: 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 𝑡𝑌0 𝑡−1𝑢1) 𝑡−1 + 𝜙1 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 1 + 𝜙1 + ⋯ + 𝜙1

• 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡

= 𝜎2 1−𝜙1 2 1−𝜙1 𝑘𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡−𝑘

𝜇 1−𝜙1

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝐶𝑜𝑣 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−𝑘 = 𝜙1 ▪ Tương tự chuỗi không hằng số ▪ 𝜙1 < 1 thì 𝑌𝑡 → dừng, 𝐸 𝑌𝑡 →

4.5. Tự hồi qui | AR(2)

▪ Tự hồi qui bậc 2 ▪ 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + 𝑢𝑡 ▪ Phương trình đặc trưng: 1 − 𝜙1𝑧 − 𝜙2𝑧2 = 0 ▪ 𝑌𝑡 là chuỗi dừng  Nghiệm phương trình đặc trưng nằm ngoài vòng tròn đơn vị  các nghiệm phương trình nghịch đảo (inverted roots) nằm trong vòng tròn đơn vị.

𝜇 1−𝜙1−𝜙2

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ 𝑌𝑡 dừng thì 𝐸 𝑌𝑡 =

3.5. Tự hồi qui

𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡 𝑌𝑡−3

𝑢𝑡

𝑢𝑡−3

𝑢𝑡−1

𝑢𝑡−2

▪ Sơ đồ 𝐴𝑅 1

𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3

𝑢𝑡

𝑢𝑡−3

𝑢𝑡−1

𝑢𝑡−2

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Sơ đồ 𝐴𝑅(2)

4.5. Tự hồi qui | AR(p)

𝜇 1−𝜙1−𝜙2−⋯−𝜙𝑝

= 𝜇∗ là cân bằng dài hạn

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Tự hồi qui bậc p ▪ 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜙2𝑌𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑢𝑡 ▪ Phương trình đặc trưng: 1 − 𝜙1𝑧 − ⋯ − 𝜙𝑝𝑧𝑝 = 0 ▪ 𝑌𝑡 dừng  Các nghiệm đặc trưng nằm ngoài vòng tròn đơn vị  các nghiệm nghịch đảo (inverted roots) nằm trong vòng tròn đơn vị. • 𝐸 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝜇∗ = 𝜙1 𝑌𝑡−1 − 𝜇∗ + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑌𝑡−𝑝 − 𝜇∗ + 𝑢𝑡

4.5. Tự hồi qui | AR(p)

▪ Biểu diễn qua toán tử trễ ▪ 𝐴𝑅(1): 𝑌𝑡 − 𝜙1𝑌𝑡−1 = 𝜇 + 𝑢𝑡

⇔ 1 − 𝜙1𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 ▪ 𝐴𝑅(𝑝): 𝑌𝑡 − 𝜙1𝑌𝑡−1 − ⋯ − 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 = 𝜇 + 𝑢𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

⇔ 1 − 𝜙1𝐿 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐿𝑝 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 ⇔ 𝜙(𝐿) 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡

4.6. Tính khả nghịch

2𝑢𝑡−2 + ⋯

▪ 𝐴𝑅(1): 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

= 𝜇∗ + 𝑢𝑡 + 𝜙1𝑢𝑡−1 + 𝜙1 ▪ AR có thể biểu diễn dưới dạng MA

3.7. Dự báo

▪ Chuỗi nhiễu trắng thuần ngẫu nhiên: không dự báo ▪ Dự báo cho chuỗi không dừng sai số rất lớn ▪ Thực hiện dự báo cho chuỗi dừng ▪ Dự báo trong mẫu: để đánh giá 𝐹 = ෠𝑌𝑡: 𝑡 = 0,1, … , 𝑇

• 𝑌𝑡 𝐹 • Sai số 𝑒𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Dự báo ngoài mẫu 𝐹 : 𝑘 = 1,2, … • 𝑌𝑇+𝑘

4.7. Dự báo | MA

𝐹 = ෠𝑌𝑡 = ො𝜇 + መ𝜃1𝑢𝑡−1

𝐹 = ො𝜇 + መ𝜃1 ො𝑢𝑇 𝐹 = ො𝜇

𝐹 = ො𝜇 + መ𝜃1 ො𝑢𝑇 + መ𝜃2 ො𝑢𝑇−1 + መ𝜃3 ො𝑢𝑇−2 … 𝐹 = ො𝜇 + መ𝜃2 ො𝑢𝑇 + መ𝜃3 ො𝑢𝑇−1 …

: dự báo chỉ sau 1 kì 𝐹 = ෠𝑌𝑡 = ො𝜇 + መ𝜃1𝑢𝑡−1 + ⋯ + መ𝜃1𝑢𝑡−𝑞

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

= ො𝜇 : dự báo chỉ sau 𝑞 kì ▪ MA(1):𝑌𝑡 • 𝑌𝑇+1 • 𝑌𝑇+2 ▪ MA(q): 𝑌𝑡 • 𝑌𝑇+1 • 𝑌𝑇+2 • ⋯ 𝐹 = ො𝜇 + መ𝜃𝑞 ො𝑢𝑇 • 𝑌𝑇+𝑞 𝐹 • 𝑌𝑇+𝑞+1

4.7. Dự báo | AR(1)

𝐹 = ෠𝑌𝑡 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑡−1

𝑆𝐹 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑇

▪ 𝐴𝑅(1) dừng: 𝑌𝑡 ▪ Dự báo tĩnh (static): dùng giá trị thực

• Chỉ dự báo ngoài mẫu 1 kì • 𝑌𝑇+1

𝐷𝐹

𝐷𝐹 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑇 𝐷𝐹 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑇+1 𝐷𝐹

𝐷𝐹

▪ Dự báo động (dynamic): dùng giá trị dự báo để tính

𝐷𝐹 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑇+(𝑘−1)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝑌𝑇+1 • 𝑌𝑇+2 • ⋯ • 𝑌𝑇+𝑘

4.7. Dự báo | AR(p)

𝐹 = ෠𝑌𝑡 = ො𝜇 + ෠𝜙1𝑌𝑡−1 + ⋯ + ෠𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝

▪ 𝐴𝑅(𝑝) dừng: 𝑌𝑡 ▪ Dự báo tĩnh: chỉ sau 1 kì ▪ Dự báo động: vô hạn ▪ Kết hợp tĩnh và động: sử dụng số liệu thực cho đến khi còn dùng được, từ đó trở đi dùng số liệu dự báo

▪ Lưu ý: Qui đổi hệ số chặn từ kết quả Eviews

ො𝜇thực =

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

ො𝜇Eviews 1 − ෠𝜙1 − ⋯ − ෠𝜙𝑝

4.8. Mô hình ARMA

▪ 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) dạng đầy đủ ▪ 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + ⋯ + 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝

+𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑞𝑢𝑡−𝑞 1 − 𝜙1𝐿 − ⋯ − 𝜙𝑝𝐿𝑝 𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝜃1𝐿 + ⋯ + 𝜃𝑞𝐿𝑞 𝑢𝑡

▪ 𝜙 𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜃 𝐿 𝑢𝑡

▪ Sơ đồ 𝐴𝑅𝑀𝐴(2,1)

𝑌𝑡

𝑌𝑡−1

𝑌𝑡−2

𝑌𝑡−3

𝑢𝑡

𝑢𝑡−3

𝑢𝑡−1

𝑢𝑡−2

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

4.8. Mô hình ARMA

▪ Nếu các phương trình đặc trưng có nghiệm nằm

ngoài vòng tròn đơn vị  nghiệm nghịch đảo nằm trong vòng tròn đơn vị  chuỗi dừng.

▪ Dự báo chuỗi dừng: ▪ Với 𝑀𝐴(𝑞): chỉ dự báo 𝑞 kì ▪ Với 𝑀𝐴(𝑝): tĩnh chỉ 1 kì, động dự báo vô hạn ▪ Nhận biết bậc 𝑝, 𝑞 cần phân tích 𝐴𝐶𝐹, 𝑃𝐴𝐶𝐹 và các

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

kiểm định

Bài 5. KIỂM ĐỊNH TÍNH DỪNG - ARIMA

▪ Để phân tích, dự báo, xây dựng mô hình cho chuỗi

• • (1) Chuỗi dừng → mô hình AR-MA và dự báo (2) Chưa dừng → đưa về dừng → (1)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ 5.1. Dừng sai phân, dừng xu thế ▪ 5.2. Kiểm định nghiệm đơn vị (Dickey-Fuller) ▪ 5.3. Kiểm định tự tương quan ▪ 5.4. Xác định bậc ARMA ▪ 5.5. Mô hình ARIMA ▪ 5.6. Phương pháp Box – Jenkins ▪ 5.7. Mô hình có yếu tố mùa vụ

5.1. Dừng sai phân – Dừng xu thế

không dừng

▪ 𝑌𝑡 là dừng sai phân (bậc 1) ቊ

𝑌𝑡 Δ𝑌𝑡 dừng

▪ 𝑌𝑡 là dừng sai phân bậc 2  ൞

𝑌𝑡 không dừng Δ𝑌𝑡 không dừng Δ2𝑌𝑡 dừng

▪ 𝑌𝑡 là dừng xu thế  𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡, 𝑢𝑡 là dừng

không dừng 𝑌𝑡  ቊ

𝐷𝑒𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑑(𝑌𝑡) dừng

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Dừng xu thế ⊂ Dừng sai phân ⊂ Không dừng

5.1. Dừng sai phân – Dừng xu thế

Δ𝑌𝑡 Δ2𝑌𝑡 𝑌𝑡

Dừng ≈ 0, nhiễu trắng

Dừng, (+) ≈ 0 Dừng sai phân bậc 1 Dừng xu thế

Không dừng, (+) Dừng, (+)

Dừng sai phân bậc 2 Tăng nhanh dần

Không dừng, (+) Dừng, (−)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

Dừng sai phân bậc 2 Tăng chậm dần

5.2. Kiểm định Nghiệm đơn vị

▪ Kiểm định tính dừng của chuỗi 𝐴𝑅(1)

• 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 • 𝜙 = 1: 𝑌𝑡 không dừng, nghiệm đơn vị (unit root) • 𝜙 < 1: 𝑌𝑡 dừng, không nghiệm đơn vị

▪ Kiểm định Dickey-Fuller

• Δ𝑌𝑡 = 𝜙 − 1 𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡

• ቊ  ቊ

𝐻0: nghiệm đơn vị 𝐻1: không nghiệm đơn vị

• 𝜏 =

; Nếu 𝜏 > |𝜏𝛼| thì bác bỏ 𝐻0

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝐻0: 𝛿 = 0 𝐻1: 𝛿 < 0 ෡𝛿 𝑆𝑒(෡𝛿)

5.2. Kiểm định Nghiệm đơn vị

▪ Nếu መ𝛿 > 0: thêm yếu tố ▪ Có hệ số chặn

• Δ𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡

• ቊ

𝐻0: 𝛿 = 0: nghiệm đơn vị quanh 𝜇 𝐻1: 𝛿 < 0: dừng quanh 𝜇

▪ Có hệ số chặn và xu thế

• Δ𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝛽𝑡 + 𝑢𝑡 • Nếu 𝛽 có ý nghĩa thống kê thì 𝑌𝑡 có xu thế

• ቊ

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝐻0: 𝛿 = 0: nghiệm đơn vị quanh xu thế 𝐻1: 𝛿 < 0: dừng xu thế

5.2. Kiểm định Nghiệm đơn vị

▪ Nếu 𝑢𝑡 không phải nhiễu trắng, có tự tương quan,

AR bậc cao hơn

▪ Kiểm định Augmented DF (ADF): thêm trễ

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• Δ𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝛾1Δ𝑌𝑡−1 + 𝛾2Δ𝑌𝑡−2 + ⋯ + 𝑣𝑡 • Tiêu chí lựa chọn bậc trễ: AIC, BIC, HQ nhỏ, hết tự tương quan, hệ số của trễ có ý nghĩa thống kê

5.2. Kiểm định Nghiệm đơn vị

Trend is significant

insig.

Trend + Constant 𝐻0: unit root around trend ቊ 𝐻1: trend stationary

Constant

Const is significant

insig.

𝐻0: unit root around const ቊ 𝐻1: stationary around const

None

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝐻0: unit root around 0 ቊ 𝐻1: stationary around 0

5.3. Kiểm định tự tương quan

▪ Với chuỗi dừng, kiểm định tự tương quan 𝐴𝐶𝐹(𝑘)

• ቊ

| ො𝜌𝑘| >

→ bác bỏ 𝐻0

𝑧𝛼/2 𝑛

𝐻0: 𝜌𝑘 = 0 𝐻1: 𝜌𝑘 ≠ 0

▪ Kiểm định tự tương quan riêng 𝑃𝐴𝐶𝐹(𝑘)

• ቊ

| ො𝜌𝑘𝑘| >

→ bác bỏ 𝐻0

𝑧𝛼/2 𝑛

𝐻0: 𝜌𝑘𝑘 = 0 𝐻1: 𝜌𝑘𝑘 ≠ 0

▪ Lược đồ tự tương quan (Correlogram) thực hiện

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

kiểm định này

5.3. Kiểm định tự tương quan

▪ Kiểm định tự tương quan đến bậc k

• ቊ

𝑘

2(𝑘) thì bác bỏ 𝐻0

2 > 𝜒𝛼 ො𝜌𝑗

𝑘

2(𝑘) thì bác bỏ 𝐻0

𝐻0: 𝜌1 = ⋯ = 𝜌𝑘 = 0 𝐻1: ∃𝜌𝑗 ≠ 0 ▪ Kđ Box - Pierre • 𝜒2 = 𝑛 σ𝑗=1 ▪ Kđ Ljung – Box

2 ෝ𝜌𝑗 𝑇−𝑗

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝑄 = 𝑛 𝑛 + 2 σ𝑗=1 > 𝜒𝛼

5.4. Xác định bậc AR-MA

Chuỗi 𝑨𝑪𝑭 𝑷𝑨𝑪𝑭

= 0 = 0 Nhiễu trắng

𝐴𝐶𝐹 𝑘 ≈ 1

𝑃𝐴𝐶𝐹 1 = 1 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 Bước ngẫu nhiên, nghiệm đơn vị

𝐴𝐶𝐹 giảm dần về 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝐴𝑅(1) không nghiệm đơn vị

𝐴𝐶𝐹 giảm dần về 0

𝐴𝑅(2) không nghiệm đơn vị

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝑃𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 2 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 2 = 0

5.4. Xác định bậc AR-MA

Chuỗi 𝑨𝑪𝑭 𝑷𝑨𝑪𝑭

𝑀𝐴(1)

𝑀𝐴(2)

𝑃𝐴𝐶𝐹(𝑘) giảm dần về 0 𝑃𝐴𝐶𝐹(𝑘) giảm dần về 0

𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1)

𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞)

𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 2 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 2 = 0 𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 ≤ 𝑝 ≠ 0 𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 𝑝 = 0

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝑃𝐴𝐶𝐹 1 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 1 = 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 ≤ 𝑞 ≠ 0 𝑃𝐴𝐶𝐹 𝑘 > 𝑞 = 0

5.4. Xác định bậc AR-MA

▪ Ước lượng mô hình theo bậc đã xác định ▪ Kiểm định về mô hình

• Nghiệm nghịch đảo phải trong vòng tròn đơn vị • Hệ số không có ý nghĩa thống kê? → bỏ bớt • Còn tự tương quan? → thêm bậc 𝐴𝑅 • Phần dư không nhiễu trắng? → thêm bậc 𝑀𝐴

▪ Đánh giá mô hình

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• Hệ số xác định lớn, maximum likelihood lớn • AIC, BIC, HQ nhỏ, Sai số dự báo nhỏ

5.5. Mô hình ARIMA

▪ Tích hợp (integrate)

• 𝑌𝑡~𝐼(0)  𝑌𝑡 dừng • 𝑌𝑡~𝐼(1)  𝑌𝑡 không và Δ𝑌𝑡 dừng • 𝑌𝑡~𝐼(2)  𝑌𝑡 không, Δ𝑌𝑡 không, Δ2𝑌𝑡 dừng • 𝑌𝑡~𝐼(𝑑)  dừng sau khi lấy sai phân bậc 𝑑 ▪ Chuỗi 𝑌𝑡 đưa về dừng sau sai phân bậc 𝑑, áp dụng

𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) → 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) • Phương trình tổng quát

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝜙 𝐿 1 − 𝐿 𝑑𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜃 𝐿 𝑢𝑡

5.6. Phương pháp Box-Jenkins

Chuỗi gốc 𝑌𝑡

Sai phân 𝐼(𝑑) KĐ ADF

S

Dừng? Đ

Xác định bậc 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) Lược đồ T. quan

Ước lượng MH

S

MH tốt? OLS / ML KĐ đánh giá

Đ

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

Dự báo chuỗi dừng → Dự báo chuỗi gốc

5.7. Mô hình có mùa vụ

▪ Chẳng hạn mùa vụ theo quí, 𝑠 = 4 ▪ Chênh lệch theo mùa: 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−𝑠 = 1 − 𝐿𝑠 𝑌𝑡 ▪ Sai phân có mùa vụ: Δ𝑌𝑡 − Δ𝑌𝑡−𝑠 = 1 − 𝐿 1 − 𝐿𝑠 𝑌𝑡 ▪ Sai phân bậc 𝑑 có mùa vụ: 1 − 𝐿𝑑 1 − 𝐿𝑠 𝑌𝑡 ▪ Trung bình trượt có mùa vụ

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

• 𝑀𝐴(1): 𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝜃1𝐿 𝑢𝑡 • 𝑆𝑀𝐴 1 1 𝑠: 𝑌𝑡 = 𝜇 + (1 + 𝛾𝐿𝑠) 1 + 𝜃1𝐿 𝑢𝑡 • 𝑠 = 4: 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 + 𝜃1𝑢𝑡−1 + 𝛾𝑢𝑡−4 + 𝛾𝜃1𝑢𝑡−5

5.7. Mô hình có mùa vụ

▪ Tự hồi qui có mùa vụ

• 𝐴𝑅(1): 1 − 𝜙1𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 • 𝑆𝐴𝑅 1 1 𝑠: 1 − 𝜆𝐿𝑠 1 − 𝜙1𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝑢𝑡 • 𝑠 = 4: 𝑌𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + 𝜆𝑌𝑡−4 − 𝜆𝜙1𝑌𝑡−5 + 𝑢𝑡

▪ Mô hình 𝑆𝐴𝑅𝑀𝐴 𝑝, 𝑞 𝑃, 𝑄 𝑠

• 1 − 𝜆𝐿𝑠 𝜙 𝐿 𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝛾𝐿𝑠 𝜃 𝐿 𝑢𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Tổng quát 𝑆𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴 𝑝, 𝑑, 𝑞 𝑃, 𝐷, 𝑄 𝑠 1 − 𝜆𝐿𝑠 𝜙 𝐿 1 − 𝐿𝑠 1 − 𝐿 𝑑𝑌𝑡 = 𝜇 + 1 + 𝛾𝐿𝑠 𝜃 𝐿 𝑢𝑡

Bài 6. Tích hợp – Đồng tích hợp

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ 6.1. Hồi qui cổ điển với chuỗi thời gian ▪ 6.2. Tích hợp - đồng tích hợp ▪ 6.3. Mô hình hiệu chỉnh sai số ECM

6.1. Hồi qui cổ điển với chuỗi thời gian

▪ Giả thiết 1 phương pháp OLS với chuỗi thời gian:

Chuỗi dừng, phụ thuộc yếu

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Hai chuỗi không có quan hệ, cùng không dừng, cùng xu thế, hồi qui có ý nghĩa thống kê, 𝑅2 cao → Hồi qui giả mạo (spurious regression)

6.2. Tích hợp - đồng tích hợp

▪ 𝑌𝑡~𝐼(𝑑): tích hợp (integrated) bậc 𝑑, 𝑑 = 0,1,2,3 ▪ Tính chất ▪ Nếu 𝑋𝑡~𝐼 𝑑1 ; 𝑌𝑡~𝑌 𝑑2 ; 𝑍𝑡 = 𝛼1𝑋 + 𝛼2𝑌

• 𝑑1 ≠ 𝑑2 thì 𝑍𝑡~𝐼 max 𝑑1, 𝑑2 • 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑 thì 𝑍𝑡~𝐼(𝑑) hoặc 𝑍𝑡~𝐼(0)

▪ Trường hợp 𝑍~𝐼(0) thì 𝑋𝑡 và 𝑌𝑡 là đồng tích hợp

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

(cointegrated)

6.2. Tích hợp - đồng tích hợp

▪ Đồng tích hợp bậc 1: • 𝑋𝑡~𝐼 1 ; 𝑌𝑡~𝐼(1) • Hồi qui 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 • Sai số 𝑢𝑡~𝐼(0)

▪ Nếu đủ lí thuyết kinh tế → quan hệ cân bằng dài hạn ▪ Khi 𝑋 hội tụ về trạng thái cân bằng 𝑋∗ thì 𝑌 hội tụ về

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

cân bằng 𝑌∗ = 𝛽1 + 𝛽2𝑋∗

6.2. Tích hợp – đồng tích hợp

▪ Kiểm định Johansen với 𝑘 chuỗi (𝑘 ≥ 3), có dạng chỉ

có hệ số chặn và có xu thế

• ቊ

𝐻0: số mối quan hệ đồng tích hợp = 0 𝐻1: số mối quan hệ đồng tích hợp > 0 𝐻0: số mối quan hệ đồng tích hợp ≤ 1 𝐻1: số mối quan hệ đồng tích hợp > 1

• ⋯

▪ Nếu 𝜆𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒 hoặc 𝜆𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 > giá trị tới hạn thì bác

bỏ 𝐻0.

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

6.3. Mô hình Hiệu chỉnh sai số (ECM)

▪ Cân bằng dài hạn 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 ▪ Sai lệch khỏi cân bằng: 𝑢𝑡 ▪ Mất cân bằng kì trước: 𝑢𝑡−1 ▪ Mô hình

• Δ𝑌𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1Δ𝑋𝑡 + 𝛾𝑢𝑡−1 + 𝑣𝑡

▪ Nếu có cơ chế tự hiệu chỉnh sai số thì −1 < 𝛾 < 0,

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

hệ số hiệu chỉnh là 𝛾

Bài 7. Mô hình VAR

▪ Vector Autoregressive Model ▪ Các biến tác động qua lại với nhau, không còn biến

phụ thuộc và độc lập riêng biệt

▪ Mô hình không cần lí thuyết kinh tế chi tiết

▪ 7.1. Mô hình ▪ 7.2. Kiểm định nhân quả Granger ▪ 7.3. Phân tích tác động qua lại

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

7.1. Mô hình

▪ Mô hình hai biến, trễ 1

• 𝑌𝑡 = 𝛽10 + 𝛽11𝑌𝑡−1 + 𝛼11𝑋𝑡−1 + 𝑢1𝑡 • 𝑋𝑡 = 𝛽20 + 𝛽21𝑌𝑡−1 + 𝛼21𝑋𝑡−1 + 𝑢2𝑡

• = + +

𝑢1𝑡 𝑢2𝑡

▪ Dạng vectơ 𝑌𝑡 𝑋𝑡 𝑌𝑡−1 𝑋𝑡−1 𝛽11 𝛼11 𝛽21 𝛼22

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝛽10 𝛽20 • 𝐘𝑡 = 𝛃0 + 𝐀1𝐘𝑡−1 + 𝐮

7.1. Mô hình

𝑢1𝑡

𝑢1𝑡−3

𝑢1𝑡−1

𝑢1𝑡−2

▪ Sơ đồ mô hình 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1)

𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 𝑌𝑡−2 𝑌𝑡−3

𝑢2𝑡

𝑢2𝑡−3

𝑢2𝑡−1

𝑢2𝑡−2

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

𝑋𝑡 𝑋𝑡−1 𝑋𝑡−2 𝑋𝑡−3

7.1. Mô hình

▪ Mô hình 2 biến trễ 2 kì 𝑌1𝑡 = 𝛽10 + 𝛽111𝑌𝑡−1 + 𝛽112𝑌𝑡−2 + 𝛽121𝑌2𝑡−1 + 𝛽122𝑌2𝑡−2 + 𝑢1𝑡 𝑌2𝑡 = 𝛽20 + 𝛽211𝑌𝑡−1 + 𝛽212𝑌𝑡−2 + 𝛽221𝑌2𝑡−1 + 𝛽222𝑌2𝑡−2 + 𝑢2𝑡

• Dạng vectơ

𝐘𝑡 = 𝛃0 + 𝐀1𝐘𝑡−1 + 𝐀2𝐘𝑡−2 + 𝐮𝑡

▪ Mô hình 𝑘 biến trễ 𝑝 kì

• 𝐘𝑡 = 𝛃0 + 𝐀1𝐘𝑡−1 + 𝐀2𝐘𝑡−2 + ⋯ + 𝐀p𝐘𝑡−p + 𝐮𝑡

⋮

𝐘 =

; 𝐮 =

; 𝛃0 =

; 𝐀𝑗 =

𝑢1 ⋮ 𝑢𝑘

𝑌1 ⋮ 𝑌𝑘

𝛽11𝑗 ⋯ 𝛽1𝑘𝑗 ⋱ 𝛽𝑘1𝑗 ⋯ 𝛽𝑘𝑘𝑗

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

7.2. Kiểm định nhân quả Granger

▪ Kiểm định đến trễ bậc 𝑝

• 𝑌𝑡 = 𝛽10 + 𝛽11𝑌𝑡−1 + ⋯ + 𝛽1𝑝𝑌𝑡−𝑝

+ 𝛼11𝑋𝑡−1 + ⋯ + 𝛼1𝑝𝑋𝑡−𝑝 + 𝑢1𝑡

• 𝑋𝑡 = 𝛽20 + 𝛽21𝑌𝑡−1 + ⋯ + 𝛽2𝑝𝑌𝑡−𝑝

+ 𝛼21𝑋𝑡−1 + ⋯ + 𝛼2𝑝𝑋𝑡−𝑝 + 𝑢1𝑡

𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖

𝑌

▪ ቐ𝐻0: 𝛼11 = ⋯ = 𝛼1𝑝 = 0: 𝑋

𝐻1: 𝑐ó ℎệ 𝑠ố ≠ 0

𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖

𝑋

▪ ቐ𝐻0: 𝛽21 = ⋯ = 𝛽2𝑝 = 0: 𝑌

𝐻1: 𝑐ó ℎệ 𝑠ố ≠ 0

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

7.3. Phân tích ảnh hưởng qua lại

▪ Phân tích phản ứng (impulse response)

•

• •

𝐼𝑃𝑗𝑖𝑝 là phản ứng của 𝑌𝑗𝑡 (biến 𝑌𝑗 kì 𝑡) khi có sốc xảy ra với 𝑌𝑖.𝑡−𝑝 (biến 𝑌𝑖 kì 𝑡 − 𝑝) 𝑖 = 𝑗: phản ứng với sốc của chính nó 𝑖 ≠ 𝑗: phản ứng với sốc của biến khác. ▪ Phân rã phương sai (variance decomposition)

𝑘 𝑣𝑗𝑖𝑡 = 100%, ∀𝑗, 𝑡

• 𝑣𝑗𝑖𝑡 là tỉ lệ (%) biến động của biến 𝑌𝑗 vào kì 𝑡 được giải thích bởi biến động của 𝑌𝑖 cùng kì

• σ𝑖=1

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

Bài 8. MÔ HÌNH ARCH – GARCH

▪ Đo lường rủi ro (risk) trong tài chính bởi sự biến

thiên (volatility) của sai số mô hình.

▪ Thông thường đo bởi 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑡)

▪ 8.1. Tự hồi qui của phương sai thay đổi có điều kiện

(ARCH)

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ 8.2. ARCH tổng quát (GARCH)

8.1. Mô hình ARCH

▪ Mô hình: 𝑌𝑡 = … + 𝑢𝑡

2 thay đổi (heteroscedasticity)

[…] thường là AR

• • Giả thiết 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑡) không đổi có thể sai • 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑡 = 𝜎𝑡

2 + 𝑣𝑡

▪ Giả thiết: Phương sai có điều kiện thay đổi có dạng

tự hồi qui (autoregressive conditional heter.) • 𝐴𝑅𝐶𝐻(1): 𝜎𝑡 • 𝐴𝑅𝐶𝐻(𝑞): 𝜎𝑡

2 + 𝑣𝑡 2 + ⋯ + 𝛼𝑞𝑢𝑡−𝑝

2 = 𝛼0 + 𝛼1𝑢𝑡−1 2 = 𝛼0 + 𝛼1𝑢𝑡−1

2 ▪ Xác định 𝑞 theo PACF của 𝑢𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

8.1. Mô hình ARCH

▪ Qui trình ước lượng ▪ Ước lượng mô hình: 𝑌𝑡 = … + 𝑢𝑡 → phần dư ො𝑢𝑡 ▪ Ước lượng mô hình hồi qui phụ:

2 + ⋯ + 𝛼𝑞 ො𝑢𝑡−𝑞

•

൝

2 + 𝑣𝑡 (∗) 2 = 𝛼0 + 𝛼1 ො𝑢𝑡−1 ො𝑢𝑡 𝐻0: 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑞 = 0: Không có 𝐴𝑅𝐶𝐻 𝑞 𝐻1: 𝑐ó ℎệ 𝑠ố ≠ 0 • 𝜒2 = 𝑇 − 𝑞 𝑅(∗)

2 > 𝜒𝛼

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

∶ có 𝐴𝑅𝐶𝐻 ở bậc tương ứng 2(𝑞) thì bác bỏ 𝐻0 ▪ Dùng mô hình để dự báo chuỗi biến thiên

8.2. Mô hình GARCH

2 + 𝛼1𝑢𝑡−1

𝜎2 =

▪ 𝑌𝑡 = … + 𝑢𝑡 với […] là ARMA 2 + 𝑣𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛽1𝜎𝑡−1 ▪ 𝐺𝐴𝑅𝐶𝐻 1,1 : 𝜎𝑡 • Nếu 𝛽1 + 𝛼1 ≥ 1: phương sai không dừng • Nếu 𝛽1 + 𝛼1 < 1: phương sai dừng, còn gọi là GARCH tích hợp, và phương sai không điều kiện 𝛼0 1 − (𝛽1 + 𝛼1)

•

2 + 𝑤𝑡

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

▪ Ước lượng (∗) thu được ෠ො𝑢𝑡 ෠ො𝑢𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛽1 ෠ො𝑢𝑡−1 2 + 𝛼1 ො𝑢𝑡−1

8.2. Mô hình GARCH

▪ 𝐺𝐴𝑅𝐶𝐻(𝑝, 𝑞) ▪ 𝜎𝑡

2 = 𝛼0 + 𝛽1𝜎𝑡−1 +(𝛼1𝑢𝑡−1

2 + ⋯ + 𝛽𝑝𝜎𝑡−𝑝 2 + ⋯ + 𝛼𝑞𝑢𝑡−𝑞 2 ▪ Khi phương sai dừng, tính phương sai không điều

) + 𝑣𝑡

kiện

𝜎2 =

𝛼0 1 − σ𝑖 𝛽𝑖 + σ𝑗 𝛼𝑗

▪ Từ đó dự báo cho phương sai (volatility) để đánh

giá rủi ro.

Time Series - www.mfe.neu.edu.vn/buiduonghai

Bài giảng Phân tích chuỗi thời gian - Bùi Dương Hải

ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN KHOA TOÁN KINH TẾ Bộ môn Toán Kinh tế