Bài giảng Phép biến đổi Laplace ngược - TS. Lê Xuân Đại

Chia sẻ: Nguyễn Thái Hiền | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

542
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phép biến đổi Laplace ngược" giới thiệu đến các bạn những nội dung về định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược, định lý phép biến đổi Laplace ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phép biến đổi Laplace ngược - TS. Lê Xuân Đại

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 1/1
Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa Định nghĩa Nếu phép biến đổi Laplace L{f (t)} = F (s) thì f (t) được gọi là biến đổi Laplace ngược của F (s) và ta viết f (t) = L−1{F (s)} Ví dụ 1 1 Ta có L{e −3t } = nên L−1{ } = e −3t . s +3 s +3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 2/1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tuyến tính Định lý Nếu f1(t) và f2(t) lần lượt là biến đổi Laplace ngược của F1(s) và F2(s), còn c1, c2 là hằng số bất kỳ thì L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t) Ví dụ 4 3s 5 Tính L−2{ − 2 + 2 }. s − 2 s + 16 s + 4 5 Đáp số. 4e 2t − 3 cos 4t + sin 2t TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 3/1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo s) Định lý Nếu L{f (t)} = F (s) thì L−1{F (s + a)} = e −at f (t) Các công thức quan trọng 1 L−1{F (s)} = e −at L−1{F (s − a)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 4/1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo s) Ví dụ Tính 1 1 t 1 L−1{ }. ĐS. e sin 2t. s 2 − 2s + 5 2 6s − 4 2 L−1{ 2 }. ĐS. e 2t (6 cos 4t + 2 sin 4t) s − 4s + 20 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 5/1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo t) Định lý Nếu L{f (t)} = F (s) thì L−1{e −as F (s)} = f (t − a)u(t − a). Ví dụ e −πs/3 −1 π 1 Tìm L { 2 }. ĐS. sin(t − π3 )u(t − ). s +1 3 −s −2s 2(e − e 2 Tìm L−1{ }. ĐS. (s + 1)(s + 2) 2[e −(t−1) − e −2(t−1)]u(t − 1) − 2[e −(t−2) − e −2(t−2)]u(t − 2). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 6/1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất đổi thang đo Định lý 1 t −1 Nếu L{f (t)} = F (s) thì L {F (as)} = f , a a (a > 0) Ví dụ 2s Tìm L−1 4s 2 + 16 1 Đáp số. cos 2t 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 7/1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm Định lý Nếu L{f (t)} = F (s) thì L−1{F (n)(s)} = (−1)n t n L−1{F (s)} hay −1 L−1{F (n)(s)} L {F (s)} = (−1)n t n Ví dụ s +1 2 sinh t 1 L−1{ln . ĐS. s −1 t 1 2[u(t) − cos t] 2 L−1{ln(1 + 2 }. ĐS. s t TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 8/1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace ngược của tích phân Định lý ∞ f (t) Nếu L{f (t)} = F (s) thì L−1 R F (x)dx = ∞ s t −1 −1 R hay L {F (s)} = tL F (x)dx . s Ví dụ s 1 Tìm L−1 . ĐS. t sinh t (s 2 − 1)2 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 9/1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Nhân cho s n Định lý Nếu F (0) = 0 và L{f (t)} = F (s) thì d L−1{sF (s)} = f 0(t) = L−1{F (s)} hay dt d G (s) L−1{G (s)} = L−1 dt s TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 10 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Nhân cho s n Định lý Nếu f (0) = f 0(0) = . . . = f (n−1)(0) thì −1 n (n) d n −1 L {s F (s)} = f (t) = n L {F (s)} hay n dt d G (s) L−1{G (s)} = n L−1 dt sn Ví dụ s Tìm L−1{ }. ĐS. cos 2t. s2 + 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 11 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Chia cho s n Định lý Rt −1 F (s) Nếu L{f (t)} = F (s) thì L = f (x)dx s 0 Rt hay L−1 {G (s)} = L−1{sG (s)}dx . 0 Ví dụ 1 1 − cos 2t 1 Tìm L−1{ }. ĐS. . s(s 2 + 4) 4 −1 1 t2 2 Tìm L { 3 2 }. ĐS. + cos t − 1. s (s + 1) 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 12 / 1
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tích chập Định lý Nếu L−1{F (s)} = f (t) và L−1{G (s)} = g (t) thì Z t L−1{F (s)G (s)} = f (x)g (t − x)dx 0 Ví dụ 1 Tìm L−1{ }. ĐS. e 2t − e t . (s − 1)(s − 2) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 13 / 1
Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 3s − 12 s2 + 8 2 2s − 5 s2 − 9 3 1 s5 4 s (s + 1)5 5 3s + 2 4s 2 + 12s + 9 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 14 / 1
Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 e −2s s2 s +2 2 ln s +1 3 1 s(s + 1)3 4 1 (s − 1)5(s + 2) 5 1 (s + 1)(s 2 + 1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 15 / 1
Bài tập THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP. HCM — 2011. 16 / 1