1
Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Công nghệ Cơ khí
Bộ môn Cơ sở - Thiết kế
Bài 4:
Trị riêng và Véctơ riêng
Thời lượng: 3 tiết
2
Nội dung bài học
3
Khái niệm Trị riêng và Véctơ riêng
Cho ma trận vuông [A] và
véctơ :
λ là giá trị riêng và véctơ là véctơ riêng của ma trận [A] nếu thỏa
mãn điều kiện đẳng thức sau:
(1)
Ý nghĩa: [A] hoạt động trên để mang lại λ lần
4
Khái niệm Trị riêng và Véctơ riêng
(2)
L là toán tử có thể biểu diễn phép nhân với ma trận, đạo hàm, tích phân, v.v., v có thể là vectơ hoặc hàm số. Và λ là một hằng số vô hướng.
- L là toán tử thể hiện đạo hàm bậc 2 theo x: - v là một hàm số y phụ thuộc x: y(x) - λ = k2 là hằng số
5
Ví dụ về ứng dụng của trị riêng và véctơ riêng
Tần số dđ riêng (Frequencies)
Phương thức (Modes) Thứ nhất
Thứ hai
Thứ ba
Thứ tư
Trong nghiên cứu về dao động, các giá trị riêng đại diện cho các tần số riêng tự nhiên (the natural frequencies) của một hệ thống hoặc thành phần, và các véctơ riêng đại diện cho các phương thức của những dao động này (the modes of vibrations). Việc xác định các tần số riêng tự nhiên này là rất quan trọng vì khi hệ thống hoặc thành phần chịu tải trọng bên ngoài (lực) một cách tuần hoàn ở tại hoặc gần các tần số này, sự cộng hưởng có thể làm cho ứng xử (chuyển động) của kết cấu được khuếch đại, có khả năng dẫn đến hỏng hóc thành phần của hệ thống.
6
Ví dụ về ứng dụng của trị riêng và véctơ riêng
Các ứng suất chính được xác định là các giá trị riêng của ma trận ứng suất, và các hướng là chính được hiểu hướng của các véctơ riêng liên quan
7
Phương trình đặc trưng
(3)
- Nếu ma trận [Δ]=[A-λ.I] không đặc biệt (tức là tồn tại ma trận đảo ngược [A-λ.I]-1) thì hệ
phương trình (3) chỉ có một nghiệm đơn giản là T= {0 0 … 0}.
- Nếu ma trận [Δ]=[A-λ.I] đặc biệt (tức là không tồn tại ma trận đảo ngược [A-λ.I]-1) thì hệ (3)
có thể tồn tại nghiệm không tầm thường (nontrivial solution) của . Để đạt điều đó ta cần
điều kiện:
(3)
Phương trình đặc trưng (Characteristic Equation)
8
Phương pháp cổ điển
Trong đó:
- Là ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix)
Phương trình đặc trưng (3) là một phương trình đa thức bậc n có dạng (4) và sẽ có n
nghiệm: λ1,λ2,…, λn. Mỗi nghiệm λi có véctơ riêng .
(4)
Có nghĩa là chúng ta sẽ có n đẳng thức sau:
- Là ma trận (của) véctơ riêng
- Là véctơ (của) giá trị riêng
9
Phương pháp cổ điển
Khi có λi ta làm như sau để tìm véctơ riêng :
Dùng phép khử Gauss để đưa về dạng bậc thang (Reduced Row Echelon Form)
10
Phương pháp cổ điển
Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận sau:
1. Tính ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix)
2. Tính phương trình đặc trưng (Characteristic Equation)
3. Giải phương trình đặc trưng ta có 3 nghiệm λ, từ đó có véctơ giá trị riêng:
11
4.1. Tìm véctơ riêng
12
4.2. Tìm véctơ riêng
13
Ma trận (của) véctơ riêng
14
Phương pháp luỹ thừa Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận sau: 1) Vòng lặp 1:
Trị riêng Véctơ riêng
c=Index(max(|w1|))=3
Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là 4. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị
riêng để thu được mới.
15
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ?
2) Vòng lặp 2:
16
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ?
3) Vòng lặp 3:
17
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ?
Tiếp tục quá trình
18
Trị riêng
Véctơ riêng
19
Phương pháp luỹ thừa
1. Xuất phát từ véctơ riêng ban đầu
2. Đối với vòng lặp i, i =1, 2, 3, …
• Tính =[A]·
•
c=index(max(||))
• Tính
• Tính λi = c
λi
• Tính Véctơ chênh lệch:
phép ε: |||| < ε ?
3. Trị riêng = λi cuối, véctơ riêng = cuối
20
Phương pháp luỹ thừa Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận sau: 1) Vòng lặp 1:
c=Index(max(|w1|))=3
Trị riêng Véctơ riêng
Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là -4. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị
riêng để thu được mới.
21
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ?
Tiếp tục quá trình
22
Trị riêng
Véctơ riêng
23
Phương pháp luỹ thừa
1. Phương pháp lũy thừa có tốc độ hội tụ chậm, cho dù
véctơ riêng ban đầu có gần với véctơ đích thực.
2. Phương pháp lũy thừa được sử dụng trong các điều
kiện:
- Chỉ cần tính trị riêng lớn nhất - Giá trị riêng lớn nhất không thể là nghiệm lặp lại của phương trình đặc trưng. Nói cách khác, không thể có giá trị riêng khác có cùng độ lớn với giá trị riêng lớn nhất
- Giá trị riêng lớn nhất phải là một số thực
24
Phương pháp luỹ thừa nghịch đảo
(5)
25
Phương pháp luỹ thừa nghịch đảo
Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận sau:
1) Tính ma trận nghịch đảo của [A]
26
2) Vòng lặp 1:
c=Index(max(|w1|))=3
Véctơ riêng
Trị riêng của [B]
Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là ¼. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị
riêng để thu được mới.
27
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ?
3) Vòng lặp 2:
c=Index(max(|w2|))=1
Trị riêng của [B]
Véctơ riêng
Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là 5/8. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị
riêng để thu được mới.
28
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ?
29
30
31
Trị riêng ≈ -2
Véctơ riêng
32
Phương pháp luỹ thừa nghịch đảo
1. Tính ma trận nghịch đảo của [A]: [B]=[A]-1
2. Xuất phát từ véctơ riêng ban đầu
3. Đối với vòng lặp i, i =1, 2, 3, …
• Tính =[B]·
•
c=index(max(||))
𝟏
• Tính μi = c ; λi =
μi
• Tính
= ·λi
μi
• Tính Véctơ chênh lệch:
phép ε: |||| < ε ?
3. Trị riêng = λi cuối, véctơ riêng = cuối
33
Phương pháp luỹ thừa nghịch đảo
1. Phương pháp lũy thừa nghịch đảo dùng để xác định giá
trị riêng nhỏ nhất
2. Các phương pháp lũy thừa và lũy thừa nghịch đảo có
thể vừa tìm được trị riêng và véctơ riêng
34
Sử dụng MATLAB để tính trị riêng và véctơ riêng
Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận sau:
format long A = [1 -3 3; 3 -5 3; 6 -6 4] [V, L] = eig(A)
35 Các bài toán kỹ thuật ứng dụng trị riêng và véctơ riêng
Vị trí cân bằng
Cho hệ 2 vật khối lượng lần lượt m1, m2 được liên kết với các lò xo có cùng độ cứng k như hình vẽ. Bỏ qua ma sát. Hãy xác định tần số dao động riêng của hệ?
Giải phóng liên kết từng vật và xét Sơ đồ vật thể tự do của nó. So với vị trí chưa biến dạng ban đầu ta sẽ phải biết được từng lò xo ở biên là nén hay giãn. Các lò xo liên kết giữa các vật thì có thể giả thiết nén hay giãn với vật này, thì sẽ là giãn hoặc nén đối với vật kia
36
1) Xét vật m1:
(6)
2) Xét vật m2:
(7)
Gọi ω là tần số dao động của cơ hệ. Do không có ma sát và lực cưỡng bức nên hệ dao động điều hòa. Giả sử biên độ dao động của các vật m1, m2 lần lượt là A1, A2. Ta có phương trình dao động của 2 vật là:
37
(8)
Đây là một hệ 2 phương trình đại số tuyến tính thuần nhất. Có 3 ẩn số: A1, A2 và ω. Giá trị tường minh duy nhất của ba ẩn số không thể được xác định bằng hai phương trình. Trên thực tế, lời giải duy nhất, khác với nghiệm tầm thường A=0, phụ thuộc vào các giá trị cụ thể của ω. Giá trị của ω thỏa mãn hệ phương trình được gọi là giá trị riêng. Giá trị duy nhất của AT = [A1 A2] không thể được xác định. Tuy nhiên, với mọi giá trị của ω, các giá trị tương đối của A1 và A2 có thể được xác định. Các giá trị tương ứng của A được gọi là véctơ riêng. Các véctơ riêng xác định phương thức dao động (tức là các giá trị tương đối của A1, A2)
38
Phương trình đặc trưng:
(9)
Có 2 tần số dao động riêng
Thế số: m1 = m2 = 40 kg, k = 200 N/m
39
40
41
Tp = 1.62 s A1 = A2
Tp = 2.81 s A1 = A2
Tần số dao động riêng thứ 1 lớn hơn nên chu kz nhỏ hơn. Véc tơ riêng các có thành phần đối nhau có nghĩa là của biên độ chúng bằng nhau và ngược chiều dao động
Tần số dao động riêng thứ 2 nhỏ hơn nên chu kz lớn hơn. Véctơ riêng các có phần thành bằng nhau có nghĩa là biên độ của chúng bằng nhau và cùng chiều dao động
Giá trị cụ thể của các biên độ thì chỉ được xác định khi có ngoại lực tác dụng vào ban đầu để khiến cho các vật chuyển vị đến một vị trí cân bằng mới rồi thả ra.
42
43
Cho hệ 3 vật khối lượng lần lượt m1 = m2 = m3 = m (các vật mầu vàng) được liên kết với các lò xo có cùng độ cứng k như hình vẽ. Bỏ qua ma sát. Hãy xác định tần số dao động riêng của hệ?
44
1) Bước 1: Vẽ lại cơ hệ khi các vật ở trí biến một vị dạng: Để thuận lợi giả sử các x bên phải lớn hơn các x bên trái: x3 > x2 > x1 Khi đó ta sẽ biết được sự nén hay giãn của từng lò xo.
45
2) Bước 2: Vẽ sơ đồ vật thể tự do xét từng vật: 2.1. Xét vật m1:
(10)
2.2. Xét vật m2:
(11)
46
2.3. Xét vật m3:
(12)
Gọi ω là tần số dao động của cơ hệ. Do không có ma sát và lực cưỡng bức nên hệ dao động điều hòa. Giả sử biên độ dao động của các vật m1, m2, m3 lần lượt là A1, A2, A3 Ta có phương trình dao động của 3 vật là:
47
3) Bước 3: Xây dựng hệ phương trình đại số thuần nhất:
(13)
48
Các bài toán kỹ thuật ứng dụng trị riêng và véctơ riêng
Curvature:
Cho thanh chiều dài L chịu tác dụng của lực nén P. Xác định lực P tới hạn khiến thanh mất ổn định. Xác định các dạng mất ổn định của thanh. Cho biết: M – Nội lực mômen uốn E – Môđun đàn hồi I – Mômen quán tính
49
(14)
Khi thanh mất ổn định, đường cong đàn hồi của nó có dạng hình sin-cos nên ta giả sử phương trình gần đúng của nó:
(15)
Vấn đề giá trị riêng: (Xem lại slide 4)
50
Từ (14) và (15) ta suy ra:
• ODE • Phương pháp sai phân hữu hạn:
• Phương trình đặc trưng:
51
• Có một nút ở giữa (h = L/2)
• Có 2 nút ở giữa (h = L/3)
52
• Three interior nodes (h = L/4)
53
