PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 12 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE §1. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược
• Phép biến đổi Laplace • Tính chất của phép biến đổi Laplace • Phép biến đổi Laplace ngược
1. Đặt vấn đề • Thường gặp trong thực tế các phương trình vi phân
′′
′
′′
′
mx
cx
′ I E t ( )
+
+
kx F t ; = ( )
LI RI +
=
+
nói chung là gián đoạn,
1 C ( )F t và
( ) ′E t
L
{ f
( ) t
}( ) s
f
=
( ) biến phương trình vi phân với ẩn hàm t ( )F s - có lời giải được tìm ra dễ hơn nhiều.
(
)
) 1
n
n
−
(cid:1)
(
′
tương ứng với hệ thống giảm sóc và chuỗi mạch RLC, khi đó phương pháp như đã biết khá bất tiện. Có hay không phương pháp tiện lợi hơn? ( ) • Phép biến đổi Laplace: F s thành một phương trình đại số với ẩn hàm Chẳng hạn như đối với phương trình vi phân cấp cao ( y
) f x ,
+
+
=
+
a y n
a y 1
y 1
−
(
′′
′
( 2 2
) 1
) 1
4
0
x
y
x
y
−
+
+
+
=
a n với điều kiện ban đầu nhận được công thức nghiệm tường minh biểu diễn qua tích chập Laplace. • Giải một lớp phương trình vi phân cấp cao với hệ số hàm số (điều này không thể làm được với các phương pháp đã biết), chẳng hạn xy • Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao
n
)
n
)
( 1
( f x 1
∑
k
1
=
n
)
(
)
y = + a y k k 1
( n n
∑
k n =
y x = + a y nk k f n (cid:2)
∞
st
−
L
• Giải một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hàm số. 2. Phép biến đổi Laplace
( ) F s
{ f
( ) t
}( ) s
( ) f t dt
,
ở đó
,s f
0
(cid:4)
, s f
. Nhưng trong chương này ta
( ) ∈ t
(cid:3)
e • Định nghĩa: = t ∈ (cid:3) ( ) = ∫
( ) ∈ , t s f { }( ) 1 s
• Nhận xét. Phép biến đổi Laplace xác định với chỉ cần sử dụng L
Ví dụ 1. Tính
∞
∞
st
st
bs
−
−
−
e
dt
e
e
, > 0s
∫
lim b →∞
1 s
1 s
1 s
1 s
= −
0
L
0 { }( ) 1 s
khi
• Không tồn tại
0s ≤ .
• = = − + =
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
at
(cid:3)
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo ( L
f
. Tính
0
e
,
t
t
ate
.
Ví dụ 2. ( ) =
≥
) ∈, a
b
∞
∞
(
) s a t −
at
st at
s a t )
−
( − −
{ e
}( ) s
•
∫
∫
0
0
)
s a b
( − −
)
L dt e dt e e = = = − lim b →∞ e s a −
( 1
0 1 s a −
a
e , nếu >s a = − = lim b →∞
(cid:5)
t
t
a
{ f
} ( ) t
> −
{ } ∈, nt n
f ∞
st a
−
L L , 1 . Tính và 1 s a − • Phân kì khi ≤s a Ví dụ 3. Cho ( ) =
{ }( ) a s t
t dt
e
•
= ∫
0
∞
L .
−
u
t
dt
{ } a t
u a e u du
s
• Đặt = ⇒ = st
=
=
=
>
a a
+ 1 +
∫1
u s
du s
s
s
0
L
{ } n t
,
s
0
•
=
>
1
n ! n +
s
1) ( Γ L , có , 0 (2.1) 1 a +
3. Tính chất của phép biến đổi Laplace Định lý 1. Tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace L
L
( ) t
{ f
Cho
và
∃
,α β là hằng số và
L
( ) t
( ) g t
{ ( ) g t { f
( ) t
s
β
α
β
+
=
}( ) s }( ) s +
∀
{ L α f
}( ) s }( ) s
, khi đó { L ( ) g t
}( ), s
Chứng minh.
∞
st
−
L
+)
f
e
( ) t
β
=
+
( f α
) ( ) g t dt
{ + α β
}( ) g s
∫
0
b
st
−
e
( ) t
+)
β
+
=
( f α
) ( ) g t dt
∫
lim b →∞
0 b
b
st
st
−
−
e
( ) t dt
e
( ) g t dt
+)
f α
β
+
=
∫
∫
lim b →∞
lim b →∞
0
0
st
st
−
−
+)
e
f
( ) t dt
e
( ) g t dt
=
+
∞ ∫ α
∞ ∫ β
L
+)
0 .
0 L α
β
=
{ } +f
2
3 2
L
{ } g {
}
t 3
t 4
+
• Ta có
Γ
π
=
Γ
Γ
Γ
Γ
. Γ
π
=
+
=
=
•
=
+
=
1
1 2
1
Ví dụ 4. Tính 3 2
5 2
3 2
3 2
3 2
1 2
3 1 . 2 2
1 2
3 4
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo 3 2
3 2
L
L
L
{ }
{ } 2 t
t 4
3
4
t
•
=
+
+
t 3
)
Γ
L
{ } 2 t
,
s
0
•
=
=
>
Sử dụng (2.1) ta có 2! 3
( 3 3
s
s
2
{ }3
•
Γ 3 L t = =
Γ
2
3 2
5 2 5 2 π 5 2 s s 4.
3
=
+
6 3
π 5
s
s
t 3
L t 4 3. 4 • + = + 2! 3 s
L
L
L
}
}
}
}
{ cosh
kt
,
kt
,
{ cos
kt
,
{ sin
kt
s L 5 2 5 2 { sinh
Ví dụ 5. Tính
kt
kt
−
e
kt
kt
−
L
L
L
L
}
}
}
(
)
{ cosh
kt
{ e
{ e
•
=
=
+
e + 2
L
}
s
k
{ cosh
kt
,
0
• Theo ví dụ 2 có
=
+
=
>
>
2
1 s k −
1 s k +
1 2 1 2
s
k
s −2
L
kt
k
• Tương tự
, > s
> 0
{ sinh
} =
2
s
k
k −2
∞
∞
st
−
L
(
)
}( ) kt s
kt dt
e
{ cos
cos
•
2
2
= ∫
ste − 2 k +
0
0
ikt
ikt
−
sin kt s cos kt k = − = s s k s +2
L
L
}
{ cos
2
1 2 s
L
{ sin
e s (hoặc kt , 0 ) = = + = > ik s ik 1 − 1 + e + 2 s k s +2
} =
2
kt , s 0 • Tương tự > s k
L
{ te +2 3 2
}
k +2 2
t 1 cos 6 • + −
}
= L
Ví dụ 6. Tính { +2 te L 3 { te 2 L
{ t cos 6
3 • = + −
s 3
} t 2sin 3 { } te 23 L { } 1 s +2 72 −
+
,
s
2
− + = • 2sin 3 t } L 1 s s 36 s 3 2 − 3
>
=
s 144 2
2)(
36)
s
( s s
+
−
•
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
L
( ) t
{ f
thì ta gọi
f
( ) t
là biến đổi Laplace ngược của
( )F s
−
f
=
L
cos ,
kt s
0
s L
Ví dụ 7 a.
; b.
=
>
2
2
2
2
− 1
cosh , kt s k 0 = > >
4. Phép biến đổi Laplace ngược }( ) ( ) Định nghĩa. Nếu s F s = 1 { } L và viết ( ) ( ) F s t − s 1
k
s
+
s k −
( ) t
( )F s
f
) ( > 0s 1
) ( > 0s t 1 s 1 2
(
nt
)≥ 0
∞
) ( > 0s n s n n ! +1 s
s
−
−
(
)
1 t e dt
at
1) ( Γ ), s t ( > 0s Γ a a + 1 + = ∫ ( a > − 1) s
0 Re
( s 0 ) >
ate
( >s a )
2
) ( > 0s cos kt s k
2
) ( > 0s sin kt s k
2
k ) ( >s cosh kt s k
2
(
)−u t a
k ) ( >s sinh kt k
) ( > 0s 1 s a − s +2 k +2 s −2 k −2 s −ase s
Bảng 4. 1. 2. Bảng các phép biến đổi Laplace
3
1
−
te 5
L L t 4.
c.
d.
=
=
2 4
{
}
1 3 s 5 4 − s
{ } f
=
+
=
β
{ gα β +f
}
1
1
−
−
L L L G F
{ } F
+
=
β
L +)
− 1 Nhận xét. Phép biến đổi ngược Laplace có tính chất tuyến tính. Thật vậy, ta có +) α β α + { L L α
1
1
1
−
−
−
L
L
L
{ } g } { } G +) Từ đó và từ định nghĩa có
{ } F
{ } G
+
=
+
β
{ } G α β α
F .
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo f
được gọi là liên tục từng khúc trên [
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ]
;a b nếu như
]
Định nghĩa. Hàm số ( ) t liên tục trên mỗi khoảng nhỏ (ở đó [ • ( ) t f • ( ) có giới hạn hữu hạn khi t tiến tới hai điểm biên của mỗi đoạn này. t f
;a b được chia thành hữu hạn khoảng nhỏ)
Hình 4.1.3. Đồ thị của hàm liên tục từng khúc. Các dấu chấm chỉ ra các giá trị mà hàm số gián đoạn
Hình 4.1.4. Đồ thị của hàm đơn vị bậc thang
L
(
)
t a < , a 0 ,
Ví dụ 8. Tính
>
{ } ( ) au t
( ) u t a
= u t a − t a . ≥
∞
∞
st
−
st
st
−
−
L
{ } ( ) u t a
a
∫
∫
t a =
a
0
sa
sb
−
−
(
)
0 = 1 b e e u t dt ( ) e dt • = = = − lim b →∞ s
e e • = −
, s 0, a 0 • = > > 1 . lim s b →∞ ase − s
( ) ≤ t Me
, f ,ct t T ∀ ≥
Định nghĩa. Hàm f được gọi là bậc mũ khi t → +∞ nếu tồn tại các hằng số không âm ,M c T sao cho Định lý 2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace Nếu hàm f liên tục từng khúc với L .
( ) t
{ f
thì tồn tại t t và là bậc mũ khi → +∞ ≥ 0
}( ) ∀ > ,
ct
s s c
t ⇒ , 0 f
Chứng minh. +) Từ giả thiết f là bậc mũ khi → ∞
b
b
b
st
st
ct
) s c t
−
−
( − −
t ∀ ≥
( ) t dt
( ) t dt
−∫ ste
∫
∫
( ) ≤ t Me b ∫ M e
0
0
0
0
∞
st
−
( ) F s
+) Ta có e f e Me dt . f dt , s c . = ≤ = ≤ > M s c −
( ) t dt
∫
0
e f +) Cho b → +∞ có ≤ ≤ M s c −
thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo ( ) F s s thỏa mãn giả thiết của Định lý 2 thì
c , và có >,
=
s
F s lim ( ) 0 →+∞
f ⇒ Cho → +∞ s ∃ Hệ quả. Nếu ( ) t
Chú ý. • Một hàm hữu tỉ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) là ảnh của phép biến đổi Laplace • Định lí 2 không là điều kiện cần, ví dụ:
Hàm
f t ( )
t
, nhưng ở ví dụ 3 có
=
không liên tục từng khúc tại = 0
1 t
Γ
1 2
L
{
}−
,
t
=
=
π s
1 2 1 2
s
L
( )
)
. Nếu
}( ) s
,
thỏa mãn giả thiết của Định lý 2 để tồn tại tại t
c thì có
( ) g t
( ) t
s
f
=
=
( ) F s G s , ∀ >s
=
=
2
2
Định lý 3. Sự duy nhất của biến đổi Laplace nghịch đảo ( ) ( ) Giả sử rằng các hàm t g t f , }( { { L ( ) ( ) ( ) ( ) F s g t G s t f mà cả hai hàm liên tục. Ví dụ 9. Dùng bảng tính biến đổi Laplace của các hàm số sau f t ( ) b) a)
t sin 2 cos 3
cos
f t ( )
f t ( )
c)
t
t
=
=
=
cosh 3 3 2 t e
(2
f t ( )
f t ( )
f t ( )
e)
f)
t te
=
t = +
t + 2 t )
F s ( )
F s ( )
( )F s
a)
b)
c)
=
=
=
s 2 4 − +2 s 4
3
s
d) = Ví dụ 10. Dùng bảng tính biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau 2 −
s
5
−
F s ( )
e)
F s ( )
3
1 − s e
d)
=
=
2 3 s s 2 5 − − 2 s 9
Chú ý • Hai hàm liên tục từng khúc, là bậc mũ và bằng nhau qua phép biến đổi Laplace chỉ có thể khác nhau tại những điểm gián đoạn cô lập. Điều này không quan trọng trong hầu hết các ứng dụng thực tế. • Phép biến đổi Laplace có một lịch sử khá thú vị: Xuất hiện đầu tiên trong nghiên cứu của Euler, mang tên nhà toán học Pháp Laplace (1749-1827) - người đã dùng tích phân trong lý thuyết xác xuất của mình, nhưng việc vận dụng phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân lại không thuộc về Laplace mà thuộc về kĩ sư người Anh Oliver Heaviside (1850-1925).
STANDING! HAVE A GOOD UNDERSTANDING! HAVE A GOOD UNDER STANDING! STANDING! HAVE A GOOD UNDER HAVE A GOOD UNDER
